精品解析：河北省沧州市南皮县第一中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 使成立的一个充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解不等式得到，根据题意找到的一个真子集即可. 【详解】由得， 对于A，因为是的真子集，所以是的必要不充分条件，故A错误； 对于B，因为是的真子集，所以是的充分不必要条件，故B正确； 对于C，因为是的真子集，所以是的必要不充分条件，故C错误； 对于D，因为与不是包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，故D错误. 故选：B. 2. 要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（ ） A. 2100元 B. 1980元 C. 1870元 D. 1760元 【答案】B 【解析】 【分析】设水池底部长宽分别为米，根据已知有、总造价，应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】设水池底部长宽分别为米，则， 所以水池总造价为， 当且仅当时等号成立，故总造价最小值为元. 故选：B 3. 已知，若的解集为，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知函数的解集，再结合函数关于y轴对称得出图象. 【详解】由的解集为， 可知函数的大致图象为选项D中的图象， 又函数与的图象关于y轴对称,可得出图象为C选项. 故选:C． 4. 若有意义，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将分数指数幂转化为根式，进而求解. 【详解】由，所以， 所以， 故选：D. 5. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，确定函数的单调性，再利用分段函数单调性列式求解. 【详解】对任意，当时，都有成立， 得函数在上单调递增，而函数， 则，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A 6. 设集合， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 【答案】D 【解析】 【分析】先求，再求． 【详解】因为， 所以. 故选D． 【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算． 7. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析可知、是关于方程的两根，且，利用韦达定理可求得的值，再将代入方程，可得出，再结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】由题意可知，、是关于的方程的两根，且， 由韦达定理可得，解得，故原方程为，即， 将代入方程得， 因为，所以， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：A. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，构造函数，求出函数的单调性和奇偶性，即可求出不等式的解集. 【详解】令，由题意知在上为减函数， 又为上的偶函数，所以为上的奇函数， 又在上为减函数，， 所以在上为减函数， ①当时，，即， 所以，所以，解得； ②当时，，即， 所以，所以，解得.所以或. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果. 【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合， 即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且； 因此阴影部分可表示为，即A正确； 且，因此阴影部分可表示，C正确； 易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误. 故选：AC. 10. 下列各组中，函数与是同一个函数是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由相同函数的定义（定义域和对应法则相同）逐项判断可得. 【详解】根据函数的定义可知，选项A，C，D中的与均是同一个函数，选项B中的定义域为，的定义域为，不是同一个函数. 故选：ACD. 11. 已知正实数满足，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据的不同取值，由题设等式，利用基本不等式“积定和最小，和定积最大”以及求解一元二次不等式即可逐一判断各选项. 【详解】对于A，当时，，因，则，解得，故A错误； 对于B，当时，由，解得，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C，当时，，由B易得， 则由，整理得， 因为，解得，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，当时，，可得，则， 由为正数可得，，，当且仅当时等号成立， 由，解得，故D正确. 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数的运算法则计算即可. 【详解】由 . 故答案为： 13. 若不等式的一个充分不必要条件为，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求解不等式，再根据充分不必要条件的性质得到关于的不等式，进而求出实数的取值范围. 【详解】由题意得，即，解得， 当时，不等式无解；当时，不等式的解集为， 不等式是不等式的充分不必要条件， 不等式的解集是不等式解集的真子集， 当时，不等式的解集为空集，不符合要求， 当时，不等式的解集为，需满足，解得. 实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 若不等式对任意的恒成立，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 由题分析得到，，再求得两函数的零点，分析得出若不等式对任意的恒成立，则有，再利用基本不等式求得最大值得解. 【详解】时，有成立，所以 时，有，所以 令 的零点是，在上，在上 的零点是，在上，在上 若不等式对任意的恒成立，则 ，当且仅当时，等号成立. 故答案为： 【点睛】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于，小于，还是大于，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式． (2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式与的关系． (3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围； （2）若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用对称轴和区间的关系，列不等式求解即可； （2）利用判别式即可解决. 【小问1详解】 因为函数在区间上是单调递增函数， 且的对称轴为， 所以，解得. 【小问2详解】 若对一切实数都成立， 则，解得. 16. 已知函数. （1）判断的奇偶性并用定义进行证明； （2）用定义证明在区间上单调递减. 【答案】（1）是奇函数，证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性的定义证明即可； （2）令，，且，做差判断的正负来确定函数单调性. 【小问1详解】 是奇函数，证明如下： 由，得的定义域为. 对于，都有， 且， 所以是奇函数. 【小问2详解】 证明：任取，，且， 则 ， 因为，所以，，，， 因此，即， 所以函数在区间上单调递减. 17. （1）计算的值； （2）已知，求的值. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用换底公式以及指对数的运算法则可得答案； （2）利用完全平方公式以及立方和公式可得答案. 【详解】（1）原式 （2）因为，所以. 所以 18. 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） （1）求出k的值，并将y表示为x的函数； （2）求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 【答案】（1）， （2）所以当投入广告的费用为6万元时，该产品的月利润最大，最大利润为162万元. 【解析】 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值 【小问1详解】 由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为6万元时，该产品的利润最大，最大利润为162万元. 19. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元．x为每月生产人形机器人的个数． （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本y（单位：万元）最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润W（单位：万元）不低于400万元？ 附：利润=售价×销量-成本． 【答案】（1）台，最低为万元 （2）不低于台 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到平均每个人形机器人的成本为，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，得到每月的利润，结合，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意得，生产台人形机器人的总成本为， 所以每个人形机器人的平均成本为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以该企业每月的产量为台时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为万元. 【小问2详解】 解：由题意得，每月的利润， 令，即， 整理得，解得或， 因为为正整数，所以， 所以该企业应每月制订生产的人形机器人不少于台时，才能确保每月的利润不低于万元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 使成立的一个充分不必要条件的是（ ） A. B. C. D. 2. 要建造一个容积为9立方米，深为1米的长方体无盖水池．若水池的底每平方米的造价为100元，水池的壁每平方米的造价为90元，则该水池的总造价（底的造价与壁的造价之和）的最小值为（ ） A 2100元 B. 1980元 C. 1870元 D. 1760元 3. 已知，若的解集为，则函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 若有意义，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 5. 已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 设集合， ， ，则 A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4} 7. 已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的偶函数，若，，且，都有成立，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（ ） A B. C. D. 10. 下列各组中，函数与是同一个函数的是（ ） A. ， B ， C. ， D. 11. 已知正实数满足，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. ___________． 13. 若不等式的一个充分不必要条件为，则实数的取值范围是__________. 14. 若不等式对任意的恒成立，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围； （2）若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）判断的奇偶性并用定义进行证明； （2）用定义证明在区间上单调递减. 17. （1）计算的值； （2）已知，求值. 18. 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） （1）求出k的值，并将y表示为x的函数； （2）求投入广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 19. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等．现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元．x为每月生产人形机器人的个数． （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本y（单位：万元）最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润W（单位：万元）不低于400万元？ 附：利润=售价×销量-成本． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $