精品解析：广西南宁市第二中学2026届高三上学期11月月考数学试题

南宁二中2025年11月高三月考 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数是（ ） A B. C. D. 2. 已知是两条不同的直线，且平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（　　） A. B. C. D. 4. 已知动圆M与圆：内切，同时与圆：外切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 7. 若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（ ） A B. C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知样本数据，（）（），则（ ） A. 若样本数据的极差为R，则样本数据的极差为 B. 若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C. 若样本数据的众数为N，则样本数据的众数为 D. 若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 10. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数 C. D. 11. 如图所示，在圆锥中，为高，为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于4的等腰直角三角形，C为母线的中点，点M为底面上的动点，且，点O在直线上的射影为H，当点M运动时，则有（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 直线与直线不可能垂直 C. 点H的轨迹长度为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式的所有系数之和为，则__________． 13. 在中，角、、所对边分别为、、，若，，，则______. 14. 已知函数的部分图象如图所示，O为坐标原点，B，C为图象与坐标轴的交点，D为图象上的点且满足，，，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列为递增数列，其前n项和为，满足，. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前n项和. 16. 某工厂采购了甲、乙两台新型机器，现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计如下： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 （1）以频率估计概率，若在这第一批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望； （2）在甲、乙两台新型机器生产的这第一批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的2倍，且甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件，若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 17. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为正三角形，，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围； （3）若函数，证明：当时，. 19. 抛物线焦点为，上纵坐标为的点到的距离为.对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点. （1）求抛物线的方程； （2）求证：； （3）取，并记为上分别以与为切点两条切线的交点，求的值（用含的式子表示）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁二中2025年11月高三月考 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算求出，再根据共轭复数的概念求出结果. 【详解】复数，其共轭复数是， 故选：A. 2. 已知是两条不同的直线，且平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义结合空间中线面关系即可得出选项. 【详解】若，且平面，则，所以“”是“”的充分条件， 若，平面，则，平面，或者与相交（包括）， 所以“”不是“”的必要条件， 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两角差的余弦公式展开已知条件中的，通过移项化简得到的值，再利用余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由题知， 所以，即， 所以. 故选：B. 4. 已知动圆M与圆：内切，同时与圆：外切，则动圆M的圆心的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出动圆圆心为 ，，根据椭圆的定义即可求解. 【详解】已知圆心 ，半径 ， 整理得 ，圆心， 半径 设动圆圆心为， 半径为 ， 因为动圆与内切，与外切， 所以， 则，由椭圆的定义可知， 是以 为焦点的是椭圆， 则， 动圆M的圆心的轨迹方程为． 故选：D 5. 函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性排除AB，再利用函数单调性或是极限值即可排除D. 【详解】，定义域为，关于原点对称， 当时，则，且，显然图中没有符合的， 当时， ，其既不恒等于， 也不恒等于，则其不具有奇偶性，即为非奇非偶函数，故AB错误； 当时，取的情况，此时，则，则CD图象不适合， 则只考虑的情况， 当时，取的情况，此时均在上单调递减，则在上单调递减，故D错误， 从极限角度考虑则当，且时，此时，则，故D错误. 故选：C. 6. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”包含的函数个数为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 【答案】D 【解析】 【分析】已知函数的值域取值情况结合题目条件求出函数定义域取值的集合，再由集合非空子集个数及分步计数求“同族函数”个数即可得． 【详解】由题可知 的值域为 ，则 或 或 ， 结合“同族函数“的定义， 则函数定义域分别从 中各取至少一个数， 所以共有 种． 故选：D 7. 若函数恰有两个极值点，则实数m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，根据题意，转化为在上有两个不同的解，即为与的图象在上有两个不同的交点，结合二次函数的图象和性质，得到，即可求解. 【详解】由函数，其定义域为，且， 因为函数恰有两个极值点，即在上有两个不同的解， 显然，即在上有两个不同的解， 即与的图象在上有两个不同的交点， 又由对应的抛物线开口向上，且对称轴为，且， 如图所示，可得，解得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 8. 已知双曲线的右焦点为，右顶点为，过点的直线与双曲线的一条渐近线交于点，与其左支交于点，且点与点不在同一象限，直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形，取左焦点，证明为平行四边形，推得，由相似比，结合题设条件得到，即可求得离心率. 【详解】 如图，因直线与直线为坐标原点）的交点在双曲线上，则点与点关于原点对称， 设点为双曲线的左焦点，连接，因，则四边形为平行四边形， 故，易得， 则，化简得，故. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知样本数据，（）（），则（ ） A. 若样本数据的极差为R，则样本数据的极差为 B. 若样本数据的平均值为，则样本数据的平均值为 C. 若样本数据的众数为N，则样本数据的众数为 D. 若样本数据的方差为，则样本数据的方差为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据极差的定义即可判断A；根据平均数的性质即可判断B；根据众数的定义即可判断C；根据方差的性质即可判断D. 【详解】对于A，设样本数据中，最大值，最小值为，则， 由于在上单调递增， 故样本数据中，最大值为，最小值为， 故， 则样本数据的极差为，故A正确： 对于B，由平均数的性质可得，样本数据的平均值为，故B错误； 对于C，根据众数的定义可得，样本数据的众数为，故C正确； 对于D，根据方差的性质可知，样本数据的方差为，故D正确， 故选：ACD． 10. 已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 是以8为周期的周期函数 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及表达式，可得，则的图象关于点对称，故A错误；化简可得，故B正确；又，可得，故C正确；利用赋值法可求得，故D错误. 【详解】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误. 故选：BC. 11. 如图所示，在圆锥中，为高，为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于4的等腰直角三角形，C为母线的中点，点M为底面上的动点，且，点O在直线上的射影为H，当点M运动时，则有（ ） A. 三棱锥体积的最大值为 B. 直线与直线不可能垂直 C. 点H的轨迹长度为 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，根据等体积法表示出三棱锥的体积，用基本不等式可求其最大值；对于选项B，根据条件可证明；对于选项C，根据条件得，得点H的轨迹为圆，从而得轨迹的长度；对于选项D，求得的函数解析式，利用基本不等式求解判断． 【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l． 由题可知，所以， 因为，所以， 因为，所以， 对于A，因为平面，平面，则， 又，，平面，故平面， 则三棱锥的体积 ， 当且仅当时，等号成立． 故三棱锥体积最大值为，故A正确； 对于B，因为平面，平面，所以， 因为点O在直线上的射影为，所以， 由，且平面，得平面， 因为平面，则， 又，连接，又C为的中点，故， 又，平面，所以平面， 因平面，故，即B不正确； 对于C，由选项B可知平面． 因为平面，平面，所以， 因过点C且与垂直的平面仅有一个， 则H点的轨迹为以为直径的圆(除去两点)． 因为，所以H点的轨迹周长为，故C正确； 对于D，由选项B可知，因，则点M必在圆内， 设，则， ，， 当时，由基本不等式得， 故，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到， 所以，故D错误． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知的展开式的所有系数之和为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用赋值法，令即可构造方程求得结果. 【详解】的展开式的所有系数之和为， 令，则，解得：. 故答案为：. 13. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理进行角化边，由题意解得两边的长，利用余弦定理，可得答案. 【详解】因为，所以根据正弦定理得， 代入，可得，解得，. 所以由余弦定理可得，即. 故答案为：. 14. 已知函数的部分图象如图所示，O为坐标原点，B，C为图象与坐标轴的交点，D为图象上的点且满足，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】作出辅助线，根据，得到方程，求出，，的最小正周期，分和，分别求出，，，求出函数解析式，代入求值，得到答案. 【详解】如图，连接CD，OD，作DE垂直轴于点E， 因为，所以四边形OBCD为平行四边形， ，， 又，解得，， 由对称性得，的最小正周期， 若，则， 由点在图象上，可知， 故，，解得，， 由得，，，解得， 所以，， 故； 若，则， 由点在图象上，可知， 故，，解得，， 由得，，，解得， 所以，， 故. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列为递增数列，其前n项和为，满足，. （1）求的通项公式； （2）若数列满足，求的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件，结合等差数列的性质构成方程组解出，求出公差和首项，然后可得； （2）由裂项可得，然后求和即可. 【小问1详解】 ∵等差数列为递增数列，∴， ∵，即，∴， ∴， 联立，解得， ∴， ∴． 【小问2详解】 由（1）可得， ∴， ∴数列的前n项和 . 16. 某工厂采购了甲、乙两台新型机器，现对这两台机器生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的直径进行了统计如下： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 （1）以频率估计概率，若在这第一批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为，求的分布列和数学期望； （2）在甲、乙两台新型机器生产的这第一批零件中，甲机器生产的零件数是乙机器生产的零件数的2倍，且甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件，若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 【答案】（1）分布列见解析；期望为 （2） 【解析】 【分析】解：根据题意，得到直径在内的概率为，且，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （2）设事件“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”，事件“从这批零件中随机抽取一件次品”，得到，结合全概率公式和条件概率的计算公式，即可求解. 【小问1详解】 解：由题意，随机抽取一个零件，直径在内的概率为， 所以在这第一批零件中随机抽取4个，则随机变量满足， 所以，， ，， ， 所以随机变量分布列为 0 1 2 3 4 所以期望为. 【小问2详解】 设事件“从这批零件中随机抽取一件来自甲机器生产”， 事件“从这批零件中随机抽取一件次品”， 则为“从这批零件中随机抽取一件来自乙机器生产”， 由题意得， 则， ， 所以， 即检测出这个零件是次品，这个零件是甲机器生产的概率为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为正三角形，，. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分别取的中点，证明平面后可得证面面垂直； （2）以O为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【小问1详解】 分别取的中点，连接，则且， 因为，所以， 所以四边形为平行四边形，则， 因为，故，故， 因为，故， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． 小问2详解】 连接，因为为正三角形，所以， 因为平面，平面，则， 故两两垂直， 以O为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， ，， 所以， 为的中点，则， 设，因为，则， 所以，即， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则， 显然二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为． 18. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意，恒成立，求实数a的取值范围； （3）若函数，证明：当时，. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）等价变形给定不等式，再构造函数，利用导数求出恒成立的的范围即可； （3）利用导数分别求出函数在上的最大值、最小值即可推理得证． 【小问1详解】 函数，求导得， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 对，， 令， 依题意，在上恒成立，且， 求导得， 令， 求导得， 函数在上单调递增，， 当，即时，， 函数在上单调递增，则， 函数在上单调递增，，符合题意， 当时，，而函数在的图象连续不断， 则存在，使得当时，， 于是函数在上单调递减，当时，， 因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意， 所以实数的取值范围是． 【小问3详解】 ，令，则， 函数在上单调递增，而， 则，使得，即， 当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 函数，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此， 所以，当时，． 19. 抛物线的焦点为，上纵坐标为的点到的距离为.对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点. （1）求抛物线的方程； （2）求证：； （3）取，并记为上分别以与为切点的两条切线的交点，求的值（用含的式子表示）. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义，结合已知点纵坐标，建立关于的方程，求解即可得； （2）设过焦点的直线方程，代入抛物线方程，得到关于的一元二次方程，再利用韦达定理计算即可得； （3）先借助导数的几何意义计算出点、为切点的两条切线方程，从而求出，再借助两点间距离公式与等比数列求和公式计算即可得. 【小问1详解】 设该点坐标为，则，且，则 则，化简得， 解得或，又，则， 即； 【小问2详解】 ，设直线的方程为， 联立，则有，恒成立， 则，即得证； 【小问3详解】 由在第一象限，则在第四象限， 则点在函数上，， 则抛物线上以为切点的切线为， 又，则， 点在函数上，， 则抛物线上以为切点的切线为， 又，则， 令，解得，即， 由、，则，， 即， 则， 故 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $