2026年中考数学二轮复习 巧解题系列——四种方法解二次函数中等角问题

该初中数学讲义聚焦二次函数中等角问题这一中考核心考点，以“考点梳理-方法指导-真题讲解-分层练习”为主线，通过等腰三角形构造、相似三角形应用等四种解法系统整合知识，帮助学生建立从基础到综合的解题框架，突破压轴题难点。 亮点在于“一题多解”与核心素养融合的教学设计，如通过例题展示构造全等、三角比转化等方法，培养几何直观与推理意识。配套分层题型演练和即时反馈机制，能在有限时间内提升学生抽象能力和创新意识，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

四种方法解二次函数中等角问题 （解析版） 二次函数具有涉及知识点多、综合性强、难度大、对思维要求高等特点，往往作为压轴题出现在模拟考或者中考中. 例题：如图1，在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点，抛物线与轴交于点。 （1）求点的坐标； （2）点在抛物线对称轴上，且位于点下方，当时，求点的坐标。 分析 这道二次函数压轴题有如下特点：第一，这道题以二次函数为背景，同时二次函数的表达式未知，需要先正确地求出解析式，然后才能完成后面问题的解答；第二，需要求某个点的坐标.点坐标的求解可以结合线段长来完成，考查了点坐标与线段长之间的转化关系，或者可以利用交轨法把交点问题转化成方程组的公共解问题；第三，出现了相等的角，如何处理等角便是这压轴部分的关键.初中阶段已经学习了与等角有关的知识点，如“全等三角形”“等腰三角形的等角对等边”“相似三角形”等.因此，结合条件本题可以从以下几方面处理角度相等问题，如图2所示. 解析 （1）由题意得点的坐标为。 当时，代入， 得。 因为直线向下平移5个单位， 所以， 解得，所以点的坐标为。 （2）下面将以4种解法来解答本题： 思路1：巧用角度相等，构造等腰三角形. 结合条件，可以联想到为等腰三角形.由于点和点坐标已知，尝试利用两点之间距离公式求出点的坐标，这样就能求出直线的表达式，再求直线与抛物线对称轴的交点即可.综上分析，构造等腰三角形的方法是可行的。 解法1如图3，因为，， 所以直线的表达式为：。 设，因为， 所以， 即， 解得，所以， 所以。 因为点在上且横坐标为， 则。 思路2： 巧用角度相等，寻找相似三角形。结合条件，先思考包含这两个角的三角形是否存在相似关系。经过观察发现如果能证明，便能利用相似比求出，进而求出点的坐标。所以本题可以利用相似三角形求解。 解法2如图3，因为，， 所以， 所以， 所以， 解得。 所以， 则。 思路3：巧用角度相等，求角的三角比。 对于条件，根据角的和差计算，可得。是已知的，如果在中可以求出的正切值，便可求出的值，由此得到点的坐标。 解法3如图3，作于点，于点。 因为是等腰直角三角形， 所以。 因为， 所以。 因为， 所以 因为，所以， 所以， 所以。 思路4：巧用角度相等，寻找全等三角形。 结合条件，可以联想到全等三角形。经过观察，如果可以证明，就能得到，只要求出的长度，便可求出的长度，从而求得点的坐标。 解法4如图4，作交的延长线于点。 因为，，， 所以， 所以。 把代入直线的表达式得， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以。 通过构造等腰三角形、寻找相似或全等三角形、转化角的三角比等多种方法处理二次函数中的等角问题，不仅体现了知识间的关联与融合，也为解题提供了灵活思路，有助于提升综合运用数学知识解决复杂问题的能力。 题型演练 1．（翠园文锦中学王新建供题）如图所示：二次函数y＝x2﹣x﹣6的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求直线BC的函数表达式； （2）如图1，若点M为抛物线上线段BC右侧的一动点，连接CM，BM．求△BMC面积的最大值及相应点M的坐标； （3）如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACO＝∠BCP？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：对于（1）， 令， 解得或-2， 令，则， 故点A，B，C的坐标分别为， 设直线BC的表达式为， 则，解得， 故直线BC的表达式为 （2）解：过点作轴的平行线交BC于点， 设点M的坐标为（x，x2﹣x﹣6），则点H（x，2x﹣6）， 则面积， ，故面积存在最大值， 当时，面积的最大值为， 此时点M的坐标为 （3）解：存在，理由： 在Rt中，，由B、C的坐标得，， ①当点P在BC的右侧时， 延长CP交x轴于点H，过点H作NH⊥BC交CB的延长线于点N， 在Rt△BNH中，tan∠NBH＝tan∠OBC＝2，设BN＝x，则NH＝2x， 在Rt中，，解得， 则，故点的坐标为， 由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝x﹣6②， 联立①②并解得（不合题意的值已舍去）， 故点P的坐标为（2，﹣4）； ②当点P在BC的左侧时， 设直线CH'交抛物线于点P'， 同理可得，点H'的坐标为（，0），则直线CH'的表达式为y＝7x﹣6③， 联立①③并解得（不合题意的值已舍去）， 故点P的坐标为（8，50）； 综上，点P的坐标为（2，﹣4）或（8，50） 【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得点A，B，C的坐标分别为，设直线BC的表达式为，再根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式即可求出答案. （2）过点作轴的平行线交BC于点，设点M的坐标为（x，x2﹣x﹣6），则点H（x，2x﹣6），根据三角形面积可得面积，结合二次函数性质即可求出答案. （3）根据正切定义可得，由B、C的坐标得，，分情况讨论：①当点P在BC的右侧时，延长CP交x轴于点H，过点H作NH⊥BC交CB的延长线于点N，在Rt△BNH中，根据正切定义可得tan∠NBH＝tan∠OBC＝2，设BN＝x，则NH＝2x，在Rt中，根据正切定义建立方程，解方程可得，根据勾股定理可得，故点的坐标为，由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝x﹣6，联立方程组，解方程组即可求出答案；②当点P在BC的左侧时，设直线CH'交抛物线于点P'，同理可得，点H'的坐标为（，0），则直线CH'的表达式为y＝7x﹣6，联立方程组，解方程组即可求出答案. 2．（2024·顺德模拟）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B(﹣2，0)，点C(8，0)，直线y＝经过点A，与x轴交于D点． （1）求该二次函数的表达式； （2）点E为线段AC上方抛物线上一动点，若△ADE的面积为10，求点E的坐标； （3）点P为抛物线上一动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转到AP'，并使∠P'AP＝∠DAO，是否存在点P使点P'恰好落到坐标轴上？如果存在，请直接写出此时点P的横坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）把点B、C的坐标代入抛物线的解析式得， 解得，， ∴二次函数的解析式为：； （2）如图，设E(m，)（0＜m＜8），过E作EQ⊥x轴于点Q， ∴EQ＝，OQ=m， ∵直线y＝经过点A与x轴交于D点， ∴y=0时，x=3，x=0时，y=4， ∴D(3，0)，A（0，4）， ∴DQ＝m﹣3，OA=4，OD=3， ∴S△ADE＝S梯形AOQE﹣S△AOD﹣S△DEQ ＝ ＝， 解得：m＝8（舍），或m＝， ∴E点的坐标为(，)； （3）①当P点在第一象限内，P'点在y轴上时，如图2， 过P作PE⊥x轴于点E，过A作AM⊥PE于M， 设P(m，＋4)，则AM＝m，PM＝PE-ME=PE-OA=， ∵PE∥AO， ∴∠APM＝∠P'AP， ∵∠PAP'＝∠DAO， ∴∠APM＝∠DAO， ∵∠AMP＝∠AOD＝90°， ∴△APM∽△DAO， ∴， 即， 解得，m＝0（舍），或m＝， ∴此时P点的横坐标为； ②当P点在y轴左边，P'在x轴上时，如图3，过P作PM⊥y轴于M，过P'作P'M'⊥AD于M'， 则∠AMP＝∠AM'P'=90°， 设P（m，＋4），则AM＝，PM＝﹣m， ∵∠PAP'＝∠DAO， ∴∠PAM＝∠P'AM'， ∵AP＝AP'， ∴△APM≌△AP'M'（AAS）， ∴PM＝P'M'＝﹣m，AM＝AM'═， ∵∠DM'P'＝∠DOA＝90°，∠P'DM'＝∠ADO， ∴△DP'M'∽△DAO， ∴， 即， ∴， ∵OD=3，OA=4， ∴AD==5， ∴DM'＋AM'＝AD＝5， ∴， 解得，m＝，或m＝（舍）， ∴此时P点的横坐标为； ③当P点在第四象限内，P'点在x轴上时，如图4，过P作PM⊥y轴于M，过P'作P'M'⊥AD于点M'， 则∠AMP＝∠AM'P'， 设P(m，＋4)，则AM＝，PM＝m， ∵∠PAP'＝∠DAO， ∴∠PAM＝∠P'AM'， ∵AP＝AP'， ∴△APM≌△AP'M'（AAS）， ∴PM＝P'M'＝m，AM＝AM'═， ∵∠DM'P'＝∠DOA＝90°，∠P'DM'＝∠ADO， ∴△DP'M'∽△DAO， ∴， 即， ∴， ∵AM'﹣DM'＝AD＝5， ∴， 解得，m＝（舍），或m＝． ∴此时P点的横坐标为． 综上，存在，其中P点的横坐标为或或． 【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点B，C坐标代入抛物线解析式即可求出答案. （2）设E(m，)（0＜m＜8），过E作EQ⊥x轴于点Q，根据两点间距离可得EQ＝，OQ=m，根据x轴上点的坐标特征可得D(3，0)，A（0，4），则DQ＝m﹣3，OA=4，OD=3，再根据S△ADE＝S梯形AOQE﹣S△AOD﹣S△DEQ，结合二次函数性质即可求出答案. （3）分情况讨论：①当P点在第一象限内，P'点在y轴上时，过P作PE⊥x轴于点E，过A作AM⊥PE于M，设P(m，＋4)，则AM＝m，PM＝PE-ME=PE-OA=，根据直线平行性质可得∠APM＝∠P'AP，再根据相似三角形判定定理可得△APM∽△DAO，则，代值计算即可求出答案；②当P点在y轴左边，P'在x轴上时，过P作PM⊥y轴于M，过P'作P'M'⊥AD于M'，设P（m，＋4），则AM＝，PM＝﹣m，根据全等三角形判定定理可得△APM≌△AP'M'（AAS），则PM＝P'M'＝﹣m，AM＝AM'═，根据相似三角形判定定理可得△DP'M'∽△DAO，则，代值计算可得，再根据勾股定理可得AD=5，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；③当P点在第四象限内，P'点在x轴上时，过P作PM⊥y轴于M，过P'作P'M'⊥AD于点M'，设P(m，＋4)，则AM＝，PM＝m，根据全等三角形判定定理可得△APM≌△AP'M'（AAS），则 PM＝P'M'＝m，AM＝AM'═，根据相似三角形判定定理可得 △DP'M'∽△DAO， 则，代值计算可得，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案. 3．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）点是二次函数上一动点，过点作轴交直线于点，连接，将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，请求出点的坐标； （3）在二次函数的图象上，是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）这个二次函数的表达式为； （2）点的坐标为或； （3）点坐标为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四种方法解二次函数中等角问题 （原卷版） 二次函数具有涉及知识点多、综合性强、难度大、对思维要求高等特点，往往作为压轴题出现在模拟考或者中考中. 例题：如图1，在直角坐标平面中，直线向下平移5个单位后，正好经过抛物线的顶点，抛物线与轴交于点。 （1）求点的坐标； （2）点在抛物线对称轴上，且位于点下方，当时，求点的坐标。 分析 这道二次函数压轴题有如下特点：第一，这道题以二次函数为背景，同时二次函数的表达式未知，需要先正确地求出解析式，然后才能完成后面问题的解答；第二，需要求某个点的坐标.点坐标的求解可以结合线段长来完成，考查了点坐标与线段长之间的转化关系，或者可以利用交轨法把交点问题转化成方程组的公共解问题；第三，出现了相等的角，如何处理等角便是这压轴部分的关键.初中阶段已经学习了与等角有关的知识点，如“全等三角形”“等腰三角形的等角对等边”“相似三角形”等.因此，结合条件本题可以从以下几方面处理角度相等问题，如图2所示. 解析 （1）由题意得点的坐标为。 当时，代入， 得。 因为直线向下平移5个单位， 所以， 解得，所以点的坐标为。 （2）下面将以4种解法来解答本题： 思路1：巧用角度相等，构造等腰三角形. 结合条件，可以联想到为等腰三角形.由于点和点坐标已知，尝试利用两点之间距离公式求出点的坐标，这样就能求出直线的表达式，再求直线与抛物线对称轴的交点即可.综上分析，构造等腰三角形的方法是可行的。 解法1如图3，因为，， 所以直线的表达式为：。 设，因为， 所以， 即， 解得，所以， 所以。 因为点在上且横坐标为， 则。 思路2： 巧用角度相等，寻找相似三角形。结合条件，先思考包含这两个角的三角形是否存在相似关系。经过观察发现如果能证明，便能利用相似比求出，进而求出点的坐标。所以本题可以利用相似三角形求解。 解法2如图3，因为，， 所以， 所以， 所以， 解得。 所以， 则。 思路3：巧用角度相等，求角的三角比。 对于条件，根据角的和差计算，可得。是已知的，如果在中可以求出的正切值，便可求出的值，由此得到点的坐标。 解法3如图3，作于点，于点。 因为是等腰直角三角形， 所以。 因为， 所以。 因为， 所以 因为，所以， 所以， 所以。 思路4：巧用角度相等，寻找全等三角形。 结合条件，可以联想到全等三角形。经过观察，如果可以证明，就能得到，只要求出的长度，便可求出的长度，从而求得点的坐标。 解法4如图4，作交的延长线于点。 因为，，， 所以， 所以。 把代入直线的表达式得， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以。 通过构造等腰三角形、寻找相似或全等三角形、转化角的三角比等多种方法处理二次函数中的等角问题，不仅体现了知识间的关联与融合，也为解题提供了灵活思路，有助于提升综合运用数学知识解决复杂问题的能力。 题型演练 1．（翠园文锦中学王新建供题）如图所示：二次函数y＝x2﹣x﹣6的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC． （1）求直线BC的函数表达式； （2）如图1，若点M为抛物线上线段BC右侧的一动点，连接CM，BM．求△BMC面积的最大值及相应点M的坐标； （3）如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACO＝∠BCP？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024·顺德模拟）如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋4的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B(﹣2，0)，点C(8，0)，直线y＝经过点A，与x轴交于D点． （1）求该二次函数的表达式； （2）点E为线段AC上方抛物线上一动点，若△ADE的面积为10，求点E的坐标； （3）点P为抛物线上一动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转到AP'，并使∠P'AP＝∠DAO，是否存在点P使点P'恰好落到坐标轴上？如果存在，请直接写出此时点P的横坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中，． （1）求这个二次函数的表达式； （2）点是二次函数上一动点，过点作轴交直线于点，连接，将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，请求出点的坐标； （3）在二次函数的图象上，是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $