期中复习专题3——拓展探究与压轴突破- 2026-2027学年人教版七年级数学上册

期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （人教版七年级上册：期中核心考点） 目录 一、专题定位 1 二、 核心考点梳理 1 三、压轴与拓展 2 题型1：绝对值分类讨论、绝对值几何意义与最值 2 题型2：数轴单动点综合探究 7 题型3：有理数数字规律探究 13 题型4：阅读理解-新定义运算 17 题型5：复杂变形之后整体代入求值 24 题型6：将错就错：看错条件求正确结果 29 题型7：整式多参数综合探究 32 题型8：代数式式子规律探究 36 一、专题定位 本专题聚焦第1~4章跨小节综合问题，精准对标七上期中统考压轴命题方向。着重落实数形结合、分类讨论、代数建模、阅读理解探究四大核心数学思想，针对多问式大题、隐含条件挖掘、数轴动点、阅读理解新定义、复杂整体代入、含参数多情况分析等学生思维短板开展专项突破。本专题面向班级优生培优，适用于期中第三轮复习、压轴专项讲练、拔高限时训练，训练学生拆解复杂大题的能力，攻克试卷拉分压轴题，实现高分段突破。 2、 核心考点梳理 章节 核心考点 有理数 绝对值多情况分类讨论；绝对值的几何意义；数轴上动点问题（单动点、双动点，求距离，定值探究）；数轴上的折叠问题；有理数规律探究（数字规律、符号规律）；阅读理解-新定义运算题型。 有理数的运算 绝对值与符号综合多情况求值；结合|a|分类讨论，分正负去掉绝对值符号；利用运算规律进行猜想与归纳。 代数式与整式的加减 复杂整体代入（需要对条件变形后再整体代换）；“将错就错”看错符号、抄错条件类题型；整式多参数综合探究；代数式规律探究（式子排列找通项）；新定义结合整式运算。 三、压轴与拓展 题型1：绝对值分类讨论、绝对值几何意义与最值 1.（25-26七年级上·天津滨海新区·期中）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数且，满足与互为相反数． （1）____________，___________，____________； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____________表示的点重合； （3）点开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； 【答案】（1），，4；（2）3；（3）不变，其值为 【分析】本题考查了绝对值非负性，列代数式，整式加减的应用，根据成轴对称图形的特征进行求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据是最大的负整数，可求出，根据非负数的意义与相反数的意义，结合，满足与互为相反数，可求得，； （2）先求出的中点，再根据中点重合，求出点与重合的点表示的数； （3）先求出运动后、、表示的数，再求出，，然后求出再下结论． （1）解：∵是最大的负整数， ∴， ∵，满足与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，，4． （2）∵将数轴折叠，使得点与点重合，点表示数，点表示数，点表示数，，，， ， ∴的中点表示的数为1， ∵点与它重合的点的连线的线段的中点表示的数也是1， ∴点与数3表示的点重合， 故答案为：3； （3）由题意可得：运动后表示的数为，表示的数为，表示的数为， ∴， ， ∴， ∴的值随着时间的变化而不变，其值为． 2.（25-26七年级上·江苏南通·期中）关于代数式的最值，下列说法正确的是（） A．最小值是0 B．最小值是3 C．最小值是 D．无最大值 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，根据绝对值的意义表示到的距离与的距离的差，进而分类讨论绝对值符号，化简代数式，并分析各段取值范围，得出最值． 解：表示到的距离与的距离的差， ①当时，，， ∴ ②当时，，， ∴ ∴ ③当时，，， ∴ 综上所述，当时，有最小值为 故选：C． 3.（25-26七年级上·四川广安·期中）的最小值是______． 【答案】8 【分析】本题考查了绝对值的性质，从数轴和绝对值的几何意义考虑求解更简便． 利用绝对值的几何意义，表示数轴上点x到点和点7的距离之和，当x在与7之间时，距离之和最小，为两点之间的距离． 解：设点x在数轴上， 表示点x到点的距离，表示点x到点7的距离． 当点x在点和点7之间时，即，距离之和最小， 最小值为：． 故答案为：8． 4.（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知a，b为有理数，规定，，例如：，． （1）若，求的值： （2）求的最值： （3）若有理数a，b，c满足，，求的值． 【答案】（1）13；（2）5；（3）8 【分析】本题考查了绝对值的性质与几何意义及去绝对值符号等知识点． （1）利用绝对值非负性，求出a和b的值后代入计算； （2）将表达式化为，利用数轴上的距离和求最小值； （3）根据条件推导出和，化简表达式求值． （1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：， ∵表示点a到4和的距离之和， ∴， ∴有最小值5． （3）解：∵，且， 设，，则， 若，则，即，解得， ∵， ∴与矛盾，故该情况舍去， 因此有，即， ∴，整理得， ∴，， 由，即， ∵，即， ∴成立， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴原式． 题型2：数轴单动点综合探究 1.（25-26七年级上·浙江湖州·期中）如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为，，． （1）写出数轴上点，表示的数：___________，___________． （2）动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①为何值时，点到点的距离为2个单位长度； ②为何值时，点到、、三点的距离和有最小值，并求出这个最小值． 【答案】（1）2，5；（2）①3或5；②，最小值为11 【分析】本题考查了数轴上点的移动，数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，合理运用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据长度关系运算求解即可； （2）①：运用含的式子表达出点，再分类讨论点的位置，结合距离的运算方法列式运算即可； ②：分类讨论点的位置，结合距离的运算方法列式运算即可． （1）解：∵点表示的数为，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）①解：由题意可得：， 当点在点的左边时， 解得： 当点在点的右边时， 解得： 综上，或时，点到点的距离为2个单位长度； ②解：到、、三点的距离为： 当点在中间线段时，即， 则 ， ∴当时，可取最小值，最小值为； 当点在中间线段时，即， 则 ， ∴当时，可取最小值，最小值为； 当点在的右边线段时，即， 则 ， ∴当时，可取最小值，最小值为； 综上，时，可取最小值，最小值为． 2.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：A． 3.（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，重复此操作，则该动点运动到第秒时所对应的数是____． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，找到动点的运动规律是解题的关键． 根据移动的方向、速度和规律进行计算找出运动的规律即可求解， 解：第个秒，即第一次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第二次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第三次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第四次向左运动秒，向右运动秒后，这个点所对应的数为， ， ∵， 即第次秒后，再向左移动秒，此时这个点所对应的数为， ∴运动到第秒时，所对应的数为， 故答案为：． 4.（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知数轴上两点对应的数分别为为数轴上的一个动点，其对应的数为． （1）若点P到点A，B的距离相等，则x的值为_________． （2）若将数轴折叠，使A，B两点重合，则表示的点与表示__________的点重合． （3）若数轴上M，N两点之间的距离为2025（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（2）中的方式折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 【答案】（1）；（2） （3）点对应的数为，点对应的数为 【分析】本题主要考查了数轴上的点以及数轴上两点之间的距离，解题的关键是列出方程，解方程． （1）根据两点之间的距离公式，列出关于的方程，解方程即可； （2）先求出折叠点表示的数为，再设与表示的点重合的点为数，进而有，解方程即可； （3）设点表示的数是，则点表示的数是，列出关于的方程，解方程即可得出的值，即可得出答案． （1）解：点到点的距离相等， ， 解得：． （2）解：将数轴折叠，使两点重合， 折叠点表示的数为． 设与表示的点重合的点为数， 则即， 解得：， 所以表示的点与表示的点重合． （3）解：设点表示的数是，则点表示的数是， 两点经过（2）中的方式折叠后互相重合 即 解得： 点对应的数为，点对应的数为 题型3：有理数数字规律探究 1.（25-26七年级上·江苏泰州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 以上三个等式两边分别相加得： 请解答下列问题： （1）根据上面的规律写出______为正整数； （2）直接写出计算结果：…______； （3）探究并计算： 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，数字变化规律问题，能根据所给等式发现各部分的变化规律，并据此进行计算是解题的关键． （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律进行计算即可； （3）将改写为，改写为，…，据此进行计算即可． （1）解：由题知，；；，…， 所以第n个等式可表示为：． 故答案为：； （2）解：由（1）知， … ， ， ． 故答案为：； （3）解：因为，，…， 所以原式 ， ， ． 2.（25-26七年级上·山西运城·期中）为了确定的末位数字，我们可以先从简单的特例入手探究．通过计算得到，，，，，，，…．观察归纳上述算式中的规律，可知的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字找规律，准确分析计算是解题的关键． 观察末位数的变化规律：3，9，7，1，即4个数循环，即可得出答案． 解：由，，，，，，，…， ∴个位数变化规律为： 3，9，7，1，3，9，7，1…． ∴． 即和第的末位数字相同，为9． 故选：D． 3.（25-26七年级上·全国·课后作业）设表示不超过x的整数中最大的整数，如：，．根据此规律计算：________． 【答案】 【分析】根据题意直接计算即可．本题考查有理数的大小的认识及有理数减法的计算方法，掌握有理数减法的计算方法是解题的关键． 解：由题可知，， 故答案为：． 4.（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ⋯ 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：___________=___________； 第（为正整数）个等式：__________=___________； （2）求的值． 【答案】（1），，，；（2） 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，用代数式表示数、图形的规律，数字类规律探索，分式加减乘除混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）通过观察，发现规律，用规律列出第5个等式和第（为正整数）个等式； （2）将每项拆成两项后再计算即可． （1）解：按以上规律列出第5个等式：， 第（为正整数）个等式： 故答案为：，，，； （2）解： ． 题型4：阅读理解-新定义运算 1.（25-26七年级上·广西贵港·期中）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定． （1）当，时，求的值． （2）当，时，求的值． （3）已知，，求式子的值． （4）已知，，求a的值． 【答案】（1）20；（2）1；（3）14；（4）15或10 【分析】本题主要考查了整式加减、有理数混合运算、绝对值的性质，掌握有理数混合运算顺序及合并同类项，绝对值的性质的熟练应用是解题关键． （1）根据新的运算，先判断奇偶性，再列式计算； （2）先判断奇偶性，再列式计算； （3）先判断奇偶性，再列式计算； （4）先判断奇偶性，列式计算结果为是偶数，求转化为求，针对a的取值分情况讨论，再结合，确定a的取值． （1）解：当，时， ，结果是偶数， ； （2）解：当，时， ，结果是奇数， ； （3）解：，， ，结果是奇数， ， ， ∵整数a，b，， ， ， ， ； （4）解：一定是偶数，， ， 当a为奇数时，是奇数， ， ， 解得：； 当a为偶数时，是偶数， ， ， 解得：； 综上所述，a的值为15或10． 2.（25-26八年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式—数字规律找到运算规律（）是解题关键． 解：原式 故选：D． 3.（25-26七年级上·陕西西安·期中）对于任意的有理数、，定义一种新运算：，例如：，则的值为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了新定义，含乘方的有理数混合运算等知识，根据新运算的定义，先计算括号内的运算 ，再计算外层运算 ． 解：∵， ∴ ∴ 故答案为：4． 4.（24-25七年级上·安徽亳州·期中）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律成为解题的关键． （1）根据“倒数差”的定义列式计算即可求出的值． （2）先根据题意可得和，的数均相同，代入数值到中，然后求和即可． （3）先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运规律解答即可． 解：（1）∵，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差 ∴结合题意可得，，． （2）由的值，可得三个值为一组循环数，后面每三个数一组进行重复， ∴和，得数均相同，即，，． ∴， 故答案为：． （3）解：∵确定为， ∴第次变换后，， ∴第次变换后，，， ∴第次变换后，，， ∴同理可得，，， ，，， ，，， ∴， ， ， ∴ 题型5：复杂变形之后整体代入求值 1.（25-26七年级上·四川乐山·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 【答案】（1）11；（2）；（3）2022；（4）19 【分析】本题考查了整体代入求值，准确计算是解题的关键． （1）原式整理成，再整体代入，即可求解； （2）先将代入得出，再将代入得到，整体代入，即可求解； （3）由当，时得到，再整体代入，即可求解； （4）先求得，再将原式整理成，再整体代入，即可求解． （1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：11； （2）解：把代入，得 ， ， 当时， ； （3）解：当，时， ， 当，即时， ∴原式； （4）解：∵的值为最大负整数， ∴， ∵， ∴    ． 2.（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）已知是有理数，，，则（     ）． A．3 B．或 C． D．1 【答案】D 【分析】利用将原式分子替换为对应字母的相反数，结合判断，，的正负个数，代入计算即可． 解：∵， ∴，，， ∴原式， ∵， ∴，，中负数的个数为或， ∵， ∴，，不可能全为正数或全为负数， ∴，，中有个负数，个正数， ∴， ∴原式． 3.（25-26七年级上·江苏南通·期中）若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查的整式的加减，求解代数式的值，掌握整体代入法求解代数式的值是解本题的关键，由条件可得和 ，再整体代入求解代数式的值即可． 解：∵ ∴， ∴ ； 故答案为：． 4.（25-26七年级上·湖北孝感·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题． 代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为　　　　． 【答案】（1）19；（2）；（3）－8 【分析】本题考查 “整体思想” 在代数式求值中的应用，涉及知识点：代数式的变形、整体代入求值、相反数的性质．解题技巧是将已知条件中的代数式视为一个整体，通过变形将所求代数式转化为整体的倍数或加减形式；解题关键是准确识别整体并进行合理变形；易错点是符号处理错误或整体代入时的系数计算错误． 解：（1）由 ，得 将 变形为，代入 ： （2）当 时， 当 时， 所以 （3）先化简所求代数式： 将其变形为 ，代入 ，： 题型6：将错就错：看错条件求正确结果 1.（25-26七年级上·山东德州·期中）有这样一道题“已知，” （1）当，时，求的值”． （2）小颖在计算这道题时，将“，”写成了“，”，但是结果是正确的，为什么？ 【答案】（1）；（2）由（1）得：当，时，； 当，时， 可得：； 将“，”写成了“，”，但是结果是正确的． 【分析】本题主要考查了整式的化简求值、去括号，解决本题的关键是根据整式的运算法则进行计算． 首先把化简，可得：原式，再把知，代入计算； 根据有理数的乘法法则可知当，时，，当，时，，所以把数代错了计算结果仍然正确． （1）解：， ，， ； 当，时，． （2）略 2.（25-26七年级上·福建泉州·期末）小明做一道数学题，“求代数式，当时的值”，由于将式中某一项前的“”号看为“”号，误求得代数式的值为5，小明同学看错符号的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式的加减-化简求值问题，一般要先化简，再把给定字母的值代入计算，得出整式的值，不能把数值直接代入整式中计算． 解：把代入，得： ， ∵误求得代数式的值为5，比大8， 则， ∴小明同学看错了前面的符号． 故选：B． 3.（24-25八年级下·黑龙江绥化·开学考试）小明在计算时，误将看成了，结果求出的答案是，已知．请你帮他纠错，正确地算出的结果___________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，包括去括号和合并同类项，熟练掌握整式的加减运算法则和运算性质是解答本题的关键． 通过已知的错误计算结果和一个代数式，求解另一个代数式，并正确计算两个代数式的差即可． 解：根据题意得：， 则， 故答案为：． 4.（2025·河北唐山·三模）复习整式的运算时，李老师在黑板上出了一道题：“已知，，当时，求的值．” （1）嘉嘉准确地计算出了正确答案，淇淇由于看错了B式中的一次项系数，比正确答案的值多了14，问淇淇把B式中的一次项系数看成了什么数？ （2）小明把“”看成了“”，小明只是把x的值看错了，其余计算正确，那么小明的计算结果与嘉嘉的计算结果有什么关系？ 【答案】（1）；（2）小明的计算结果与嘉嘉的计算结果互为相反数 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式的求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）设淇淇把式中的一次项系数看成了，由题意可得，整理可得，再代入计算即可得解； （2）先求出的值，再代入计算即可得解． （1）解：设淇淇把式中的一次项系数看成了， 根据题意，淇淇的计算结果为， ∴， ∴， 把代入得，， 解得， 淇淇把式中的一次项系数看成了． （2）解：，， 当时，原式， 与互为相反数， 小明的计算结果与嘉嘉的计算结果互为相反数． 题型7：整式多参数综合探究 1.（2025七年级上·全国·专题练习）已知与是关于x，y的单项式，且它们是同类项． （1）求a的值． （2）若，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据同类项相同的字母的指数相同列出方程即可求解； （2）根据同类项合并为0，得出系数和为0，求出字母的值，再代入求解即可． 解：（1）与是关于x，y的单项式，且它们是同类项． ， ． （2）， ， ． 【点睛】本题考查了同类项的定义，解题关键是明确同类项所含字母相同，相同的字母的指数也相同． 2.（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）若单项式与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义．根据同类项的定义，相同字母的指数必须相等，因此通过方程求解和，再计算表达式的值． 解：两个单项式是同类项， 的指数相等：， ． 的指数相等：， 代入，得， ． ． 故选：A． 3.（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）与合并同类项后结果是，那么______ ． 【答案】 【分析】本题考查的是合并同类项，根据合并同类项的条件，两个单项式的相同字母的指数必须相等，从而列出关于n和m的方程，求解后代入计算． 解：由于合并同类项后结果为， 因此两个单项式是同类项，即a的指数和b的指数分别相等， ，解得， ，解得， 则， 故答案为：． 4.（25-26七年级上·浙江金华·期中）【新知学习】类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”．例如：与是“强同类项“． 【新知应用】 （1）给出下列四个单项式：①，②，③；④，其中是“强同类项”的组合是______；（填写序号） （2）若与是“强同类项”，求m的值； （3）若为关于x，y的多项式，，当C的任意两项都是“强同类项”时，求n的值； （4）已知，均为关于a，b的单项式，其中，，如果，是“强同类项”，那么x的最大值和最小值分别是什么？ 【答案】（1）①④，②③；（2）；（3）；（4）x的最大值为，x的最小值为 【分析】知识点：新定义“强同类项”的应用、绝对值运算、整式项的系数与指数分析方法：根据“指数差绝对值为0或1”列条件，分类讨论求解．关键：准确理解新定义，逐一验证项的指数关系．易错点：遗漏指数差的两种情况；忽略项的系数为0的特殊情况． （1）计算各单项式的指数差，筛选出符合“强同类项”的组合． （2）根据指数差绝对值为0或1，列方程求m的可能值． （3）验证多项式中任意两项的指数关系，结合系数为0的情况确定n． （4）先确定s、t、k的范围，再结合绝对值公式求x的最值． 解：（1）计算各单项式字母指数的差： 、、、、、， 得：①与②③指数差绝对值大于1，不是“强同类项”； ①与④指数差绝对值为1，是“强同类项”； ②与③指数差绝对值为0或1，是“强同类项”； ②与④、③与④指数差绝对值大于1，不是“强同类项”． 故组合为：①④，②③． 故答案为：①④，②③． （2）根据“强同类项”定义，指数差的绝对值为0或1，即或1： 当时，； 当时，； 当时，． 故． （3）已知，任意两项为“强同类项”： 第一项与第二项满足“强同类项”； 第一项与第三项：需指数差绝对值为0或1，得、6、7； 第二项与第三项：需指数差绝对值为0或1，得、5、6； 当时，第一项系数为0，为单项式（不符合题意），故． （4）由与是“强同类项”，得、4、5，、2、3； 结合，得、1、； 由，得； ∵表示数轴上x到1的距离， ∴的值越大对应的x的两个值小的越小，大的越大， 即取最大值时，x的两个值分别取最小值和最大值， 当s取最大（）、k取最小（）时，，此时或． 故x的最大值为，最小值为． 题型8：代数式式子规律探究 1.（25-26七年级上·湖北荆门·期中）观察下列的三行单项式： 、、、、、、……① 、、、、、、……② 、、、、、、……③ （1）根据你发现的规律，第①行第7个单项式为______；第②行的第个单项式为______． （2）取每行的第9个单项式，记这三个单项式的和为，计算当时，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）由，，，，可发现规律，即可求解；由，，，，可发现规律，即可求解． （2）可求①的第个单项式：，②的第个单项式：，③得第个单项式：，可求，将其代入，即可求解． （1）解：，，，， 第个单项式为； ，，，， 第个单项式为； 故答案：，． （2）解：由（1）得 ①的第个单项式：， ②的第个单项式：， ③，，， 第个单项式：， 所以 ； ； 当时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了探究单项式规律问题及由规律产生的整式的值，找出规律是解题的关键． 2.（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）我们可以用符号表示代数式．当是正整数时，我们规定如果为偶数，；如果为奇数，．例如：，．设，，…；依此规律进行下去，得到一列数：，，，…（为正整数），则（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了数字变化规律，解题的关键是由特殊规律找到一般性的规律；分别计算，，，…，可发现，，，…（为正整数）每7个数一循环，再结合所求式子的特点发现，，再对原式变形为，即可得解． 解：由题意知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，…（为正整数）每7个数一循环， ， ，， ， ， 故选：． 3.（25-26七年级上·重庆·期中）按一定的规律排列的单项式：，，，，，则第9个单项式是_____． 【答案】 【分析】本题考查了与单项式有关的规律探索，通过观察单项式的符号、系数、a的指数和b的指数的变化规律，发现符号交替为负、正、负、正，系数为2的n次幂减1，a的指数为奇数序列，b的指数为偶数序列，从而推导出第n个单项式的一般表达式． 解：观察单项式序列：第1项为，第2项为，第3项为，第4项为，第5项为，…… 符号规律：第n项的符号为， 系数的绝对值规律：第n项的系数的绝对值为， a的指数规律：第n项a的指数为， b的指数规律：第n项b的指数为， 因此，第n个单项式为， 当时， 符号为， 系数为， a的指数为， b的指数为， 所以，第9个单项式为． 故答案为：． 4.（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段检测）观察下面三行数： 第一行：；……① 第二行：；……② 第三行：；……③ 探索他们之间的关系，寻求规律解答下列问题： （1）直接写出第①行数的第8个数是______；第②行数的第8个数是_____；第③行数的第8个数是______； （2）取每一行的第个数，从上到下依次记作A，B，C，若对于任意的正整数均有为一个定值，求的值及这个定值． 【答案】（1）256；258；；（2）时，为定值21 【分析】本题考查了数字类规律，整式的加减等知识，找到三行数的规律是解题的关键； （1）第①行数的规律是正负相间，且奇数项为负，偶数项为正，每项是2的乘方；第②行数的规律是第①行数加2得到对应的第②行数；第③行数与第②行数对应的数的和为5；据此规律即可完成三空的填写； （2）根据三行数的规律，则可用n表示出A，B，C，再代入中计算即可． （1）解：第①行数的规律是正负相间，且奇数项为负，偶数项为正，每项是2的乘方，且指数与项数相同， 则第8个数为； 第②行数的规律是第①行数加2得到对应的第②行数，则第8个数为； 第③行数与第②行数对应的数的和为5，则第8个数为； 故答案为：256；258；； （2）解：由三行数的规律得：， ， 由题意知，， 即，此时， 故当时，为定值21． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习专题3——拓展探究与压轴突破 （人教版七年级上册：期中核心考点） 目录 一、专题定位 1 二、 核心考点梳理 1 三、压轴与拓展 2 题型1：绝对值分类讨论、绝对值几何意义与最值 2 题型2：数轴单动点综合探究 3 题型3：有理数数字规律探究 4 题型4：阅读理解-新定义运算 6 题型5：复杂变形之后整体代入求值 7 题型6：将错就错：看错条件求正确结果 9 题型7：整式多参数综合探究 10 题型8：代数式式子规律探究 10 一、专题定位 本专题聚焦第1~4章跨小节综合问题，精准对标七上期中统考压轴命题方向。着重落实数形结合、分类讨论、代数建模、阅读理解探究四大核心数学思想，针对多问式大题、隐含条件挖掘、数轴动点、阅读理解新定义、复杂整体代入、含参数多情况分析等学生思维短板开展专项突破。本专题面向班级优生培优，适用于期中第三轮复习、压轴专项讲练、拔高限时训练，训练学生拆解复杂大题的能力，攻克试卷拉分压轴题，实现高分段突破。 2、 核心考点梳理 章节 核心考点 有理数 绝对值多情况分类讨论；绝对值的几何意义；数轴上动点问题（单动点、双动点，求距离，定值探究）；数轴上的折叠问题；有理数规律探究（数字规律、符号规律）；阅读理解-新定义运算题型。 有理数的运算 绝对值与符号综合多情况求值；结合|a|分类讨论，分正负去掉绝对值符号；利用运算规律进行猜想与归纳。 代数式与整式的加减 复杂整体代入（需要对条件变形后再整体代换）；“将错就错”看错符号、抄错条件类题型；整式多参数综合探究；代数式规律探究（式子排列找通项）；新定义结合整式运算。 三、压轴与拓展 题型1：绝对值分类讨论、绝对值几何意义与最值 1.（25-26七年级上·天津滨海新区·期中）如图1，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点到点的距离记为．我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 请用上面的知识解答下面的问题： 如图2，在数轴上点表示数，点表示数，点表示数，是最大的负整数且，满足与互为相反数． （1）____________，___________，____________； （2）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数_____________表示的点重合； （3）点开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，请问的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值； 2.（25-26七年级上·江苏南通·期中）关于代数式的最值，下列说法正确的是（） A．最小值是0 B．最小值是3 C．最小值是 D．无最大值 3.（25-26七年级上·四川广安·期中）的最小值是______． 4.（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知a，b为有理数，规定，，例如：，． （1）若，求的值： （2）求的最值： （3）若有理数a，b，c满足，，求的值． 题型2：数轴单动点综合探究 1.（25-26七年级上·浙江湖州·期中）如图，点，，是数轴上的三点，点表示的数为，，． （1）写出数轴上点，表示的数：___________，___________． （2）动点从出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为秒． ①为何值时，点到点的距离为2个单位长度； ②为何值时，点到、、三点的距离和有最小值，并求出这个最小值． 2.（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（   ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，重复此操作，则该动点运动到第秒时所对应的数是____． 4.（25-26七年级上·全国·课后作业）如下图，已知数轴上两点对应的数分别为为数轴上的一个动点，其对应的数为． （1）若点P到点A，B的距离相等，则x的值为_________． （2）若将数轴折叠，使A，B两点重合，则表示的点与表示__________的点重合． （3）若数轴上M，N两点之间的距离为2025（点M在点N的左侧），且M，N两点经过（2）中的方式折叠后互相重合，求M，N两点表示的数． 题型3：有理数数字规律探究 1.（25-26七年级上·江苏泰州·期中）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 以上三个等式两边分别相加得： 请解答下列问题： （1）根据上面的规律写出______为正整数； （2）直接写出计算结果：…______； （3）探究并计算： 2.（25-26七年级上·山西运城·期中）为了确定的末位数字，我们可以先从简单的特例入手探究．通过计算得到，，，，，，，…．观察归纳上述算式中的规律，可知的末位数字是（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 3.（25-26七年级上·全国·课后作业）设表示不超过x的整数中最大的整数，如：，．根据此规律计算：________． 4.（25-26七年级上·四川达州·阶段检测）观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ⋯ 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第5个等式：___________=___________； 第（为正整数）个等式：__________=___________； （2）求的值． 题型4：阅读理解-新定义运算 1.（25-26七年级上·广西贵港·期中）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”：当为偶数时，规定；当为奇数时，规定． （1）当，时，求的值． （2）当，时，求的值． （3）已知，，求式子的值． （4）已知，，求a的值． 2.（25-26八年级上·广东广州·期末）定义新运算：对任意非零实数，有，则（） A． B．1 C． D． 3.（25-26七年级上·陕西西安·期中）对于任意的有理数、，定义一种新运算：，例如：，则的值为_____． 4.（24-25七年级上·安徽亳州·期中）【初步感知】已知有理数（不为和），我们把称为的倒数差，如：的倒数差是，的倒数差是． 【理解运用】若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）分别求出的值； （2）的值为______（直接写出计算结果）． 【拓展提升】 （3）设有理数（都不为和），将一个数组（）中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第次变换后得到数组，第次变换后得到数组，…，第次变换后得到数组．若数组确定为，求的值． 题型5：复杂变形之后整体代入求值 1.（25-26七年级上·四川乐山·期末）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用较为广泛．以下是老师安排的作业题． 代数式的值为7，则代数式的值为_______． 阅读理解： 小乐在做作业时采用的方法如下： ， ， ， ∴代数式的值为5． 方法运用： （1）若代数式，则代数式_______； （2）当时，代数式的值为11，求当时，代数式的值； 拓展运用： （3）已知，，，求的值； （4）已知，的值为最大负整数，求的值． 2.（26-27七年级上·陕西西安·阶段检测）已知是有理数，，，则（     ）． A．3 B．或 C． D．1 3.（25-26七年级上·江苏南通·期中）若，则_____． 4.（25-26七年级上·湖北孝感·期中）“整体思想”是数学解题中一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．请阅读下面材料解决问题． 代数式的值为，则代数式的值为______． 【阅读理解】 小明在做作业时采用的方法如下：由题意得，，则有，，所以代数式的值为． 【方法运用】 （1）若代数式的值为，求代数式的值． （2）若时，代数式的值为，当时，求代数式的值． 【拓展应用】 （3）若，．则的值为　　　　． 题型6：将错就错：看错条件求正确结果 1.（25-26七年级上·山东德州·期中）有这样一道题“已知，” （1）当，时，求的值”． （2）小颖在计算这道题时，将“，”写成了“，”，但是结果是正确的，为什么？ 2.（25-26七年级上·福建泉州·期末）小明做一道数学题，“求代数式，当时的值”，由于将式中某一项前的“”号看为“”号，误求得代数式的值为5，小明同学看错符号的项是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25八年级下·黑龙江绥化·开学考试）小明在计算时，误将看成了，结果求出的答案是，已知．请你帮他纠错，正确地算出的结果___________． 4.（2025·河北唐山·三模）复习整式的运算时，李老师在黑板上出了一道题：“已知，，当时，求的值．” （1）嘉嘉准确地计算出了正确答案，淇淇由于看错了B式中的一次项系数，比正确答案的值多了14，问淇淇把B式中的一次项系数看成了什么数？ （2）小明把“”看成了“”，小明只是把x的值看错了，其余计算正确，那么小明的计算结果与嘉嘉的计算结果有什么关系？ 题型7：整式多参数综合探究 1.（2025七年级上·全国·专题练习）已知与是关于x，y的单项式，且它们是同类项． （1）求a的值． （2）若，且，求的值． 2.（25-26七年级上·山东东营·阶段检测）若单项式与是同类项，则的值是（    ） A． B． C． D． 3.（25-26七年级上·广西崇左·阶段检测）与合并同类项后结果是，那么______ ． 4.（25-26七年级上·浙江金华·期中）【新知学习】类比同类项的概念，我们规定：所含字母相同，并且相同字母的指数之差的绝对值等于0或1的项是“强同类项”．例如：与是“强同类项“． 【新知应用】 （1）给出下列四个单项式：①，②，③；④，其中是“强同类项”的组合是______；（填写序号） （2）若与是“强同类项”，求m的值； （3）若为关于x，y的多项式，，当C的任意两项都是“强同类项”时，求n的值； （4）已知，均为关于a，b的单项式，其中，，如果，是“强同类项”，那么x的最大值和最小值分别是什么？ 题型8：代数式式子规律探究 1.（25-26七年级上·湖北荆门·期中）观察下列的三行单项式： 、、、、、、……① 、、、、、、……② 、、、、、、……③ （1）根据你发现的规律，第①行第7个单项式为______；第②行的第个单项式为______． （2）取每行的第9个单项式，记这三个单项式的和为，计算当时，求的值． 2.（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）我们可以用符号表示代数式．当是正整数时，我们规定如果为偶数，；如果为奇数，．例如：，．设，，…；依此规律进行下去，得到一列数：，，，…（为正整数），则（    ）． A．5 B．6 C．7 D．8 3.（25-26七年级上·重庆·期中）按一定的规律排列的单项式：，，，，，则第9个单项式是_____． 4.（25-26七年级上·湖北襄阳·阶段检测）观察下面三行数： 第一行：；……① 第二行：；……② 第三行：；……③ 探索他们之间的关系，寻求规律解答下列问题： （1）直接写出第①行数的第8个数是______；第②行数的第8个数是_____；第③行数的第8个数是______； （2）取每一行的第个数，从上到下依次记作A，B，C，若对于任意的正整数均有为一个定值，求的值及这个定值． 学科网（北京）股份有限公司 $