精品解析：河北省沧衡名校联盟2025-2026学年高一上学期11月期中质量检测数学试题

沧衡名校联盟2025-2026学年期中质量检测高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合真子集个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 给出下列函数，其中不是幂函数是（　　） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定为（　　） A. B. C. D. 4. 关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 6. 已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 已知不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（　　） A B. C. D. 8. 某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，若集合中有三个元素，则实数可以是（　　） A. 2 B. 3 C. D. 10. 已知函数是幂函数，则下列结论正确的是（　　） A. 若是负偶数，则的图象只在第一象限和第二象限内 B. 若的图象只在第一象限，则的值可以是 C. 存在，使得的图象经过第四象限 D. 当时，是奇函数且是增函数 11. 设函数的定义域为，给定一个集合，当时，都有，则称函数是“封闭”函数．以下说法正确的是（　　） A. 对任意定义域为的函数，都有是“封闭”函数 B. 函数是“封闭”函数 C. 函数是“封闭”函数 D. 若函数是“封闭”函数，则必是“封闭”函数（其中） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知全集，则实数___________． 13. 函数值域为___________． 14. 函数若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围是___________，这6个实数根的和为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）求函数的值域. 16. 已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为． （1）求． （2）（i）求； （ii）若，求实数取值范围． 17. 已知实数满足． （1）分别求出的取值范围和的最大值． （2）求的最大值，并求此时，的值． （3）当，分别为何值时取得最小值？请求出最小值． 18. 已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）求证：在区间上单调递减； （3）若，解不等式． 19. 已知函数在定义域上的最大值为． （1）求的值与函数解析式． （2）设． （i）讨论函数的单调区间． （ii）是否存在，对区间上任意三个数，都存在以为边 长的三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沧衡名校联盟2025-2026学年期中质量检测高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合的真子集个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，写出集合的真子集，即可求解. 【详解】由，可得集合的真子集分别为， 所以集合的真子集个数为3. 故选：A. 2. 给出下列函数，其中不是幂函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据幂函数定义逐项验证即可求解. 【详解】选项A、选项C、选项D都符合的形式， 选项B中自变量在指数位置，不是幂函数， 故选：B． 3. 命题“”的否定为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用存在量词命题的否定是全称量词命题写出结果即可． 【详解】含有存在量词的命题，其否定形式为全称量词命题， 所以命题“”的否定为. 故选：D． 4. 关于的方程，则“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由方程有一个正根和一个负根可求得的范围，进而可求得结论. 【详解】方程有两个不等实根，则，解得； 方程有一正实根和一负实根，则， 所以方程有一个正实根和一个负实根，则； 若，则，又，所以方程有一正实根和一负实根； 所以“”是“方程有一个正实根和一个负实根”的充要条件. 故选：C． 5. 已知为正实数，且，则的最小值为（　　） A. 4 B. 8 C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式，结合一元二次不等式的解法可求的最小值. 【详解】因为为正实数，所以，所以， 所以0，所以， 解得或（舍去），所以，当且仅当时取等号. 所以的最小值为 故选：C． 6. 已知三个不等式：①ab＞0；②bc＞ad；③.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 讨论三种情况，利用不等式的性质，逐一判断即可. 【详解】（1）若以①②为条件，③为结论. 则，因为，即， 故，即；则此时可以组成真命题； （2）若以①③为条件，②为结论. 则由，即，结合，故可得. 则此时可以组成真命题； （3）若以②③为条件，①为结论. 则由，即，结合，即可得. 则此时可以组成真命题 故可以组成正确命题的个数是：. 故选：. 【点睛】本题考查不等式的基本性质，属基础题. 7. 已知不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（　　） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出二次函数的最小值，从而可得关于a的不等式，求出其解后可得其取值范围. 【详解】，当且仅当时取等号， 又不等式对任意实数恒成立， 所以，解得，实数的取值范围是. 故选：D． 8. 某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的总利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为．则这批机器的年平均利润值最大为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设年平均利润为，利用基本不等式求出的最大值即可. 【详解】设年平均利润为，因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因此，这批机器的年平均利润值最大为万元. 故选：C． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，若集合中有三个元素，则实数可以是（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，得到，求得，结合选项，即可求解. 【详解】由集合， 若集合中有三个元素，则， 可得，结合选项，可得A正确，B不正确，C正确，D正确． 故选：ACD. 10. 已知函数是幂函数，则下列结论正确的是（　　） A. 若是负偶数，则的图象只在第一象限和第二象限内 B. 若的图象只在第一象限，则的值可以是 C. 存在，使得的图象经过第四象限 D. 当时，是奇函数且是增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据幂函数的图象与性质，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若是负偶数，根据幂函数的性质，可得幂函数是偶函数且不经过原点，所以A正确； 对于B，当时，的定义域为，值域为，所以B正确； 对于C，根据幂函数的图象与性质，幂函数的图象不经过第四象限，所以C不正确； 对于D，当时，函数是奇函数且是增函数，所以D正确． 故选：ABD. 11. 设函数的定义域为，给定一个集合，当时，都有，则称函数是“封闭”函数．以下说法正确的是（　　） A. 对任意定义域为的函数，都有是“封闭”函数 B. 函数是“封闭”函数 C. 函数是“封闭”函数 D. 若函数是“封闭”函数，则必是“封闭”函数（其中） 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据定义及函数的性质计算即可判断ABD；利用赋值法可判断C. 【详解】对于集合，若，则，所以，故A正确； 对于区间，只要， 都有，故B正确； 对于区间，取，则，但，故C不正确； 是“封闭”函数，则当，即时，都有， 即．若，即， 则， 即是“封闭”函数，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知全集，则实数___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合补集的运算，以及元素与集合的关系，列出方程组，即可求解. 【详解】由全集， 可得或，解得. 故答案为：. 13. 函数的值域为___________． 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，分和，两种情况讨论，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数， 当时，可得，当且仅当，即时取等号， 所以； 当时，可得， 当且仅当，即时取等号，， 综上可得，函数的值域为. 故答案为：. 14. 函数若关于的方程有6个不同的实数根，则实数的取值范围是___________，这6个实数根的和为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】令，可得或，分类讨论，结合的图像，可得实数的取值范围，计算可求得6个实数根的和. 【详解】函数的图象如图所示， 令可得方程， 解得或， 由即，方程的四个解和； 当即时，方程另两解； 若，，此时， 方程另两解， 则， 所以， 故填 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性； （2）求函数的值域. 【答案】（1）偶函数 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）设，则且，把函数转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 由函数有意义，需使，解得， 所以的定义域为，关于原点对称， 又由恒成立， 即，所以函数为定义域上的偶函数． 【小问2详解】 设，则且， 则， 该抛物线的开口向下且对称轴为直线，所以在区间上单调递增， 又由，所以，即， 所以函数的值域为． 16. 已知函数的定义域为集合，关于的不等式的解集为． （1）求． （2）（i）求； （ii）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）答案见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用根据根式有意义的条件，被开方数需非负得到或，进而求解集合即可. （2）（i）对参数分类讨论，进而求解集合即可，（ii）将条件转化为，进而得到参数范围即可. 【小问1详解】 由，解得或， 得到． 【小问2详解】 （i）不等式，即， 当时，，即； 当时，无解，即； 当时，，即． （ii）由，得， 由（i）知当时，，则不成立； 当时，成立； 当时，，对任意，都有，即，满足，恒成立． 综上，实数的取值范围是． 17. 已知实数满足． （1）分别求出的取值范围和的最大值． （2）求的最大值，并求此时，的值． （3）当，分别为何值时取得最小值？请求出最小值． 【答案】（1）的取值范围都是，的最大值为3． （2）最大值为6，此时或． （3）时取得最小值，最小值为 【解析】 【分析】（1）由方程有解，可得，求解可得的范围，同理可求得的范围，由基本不等式可求得的最大值． （2）利用，可求得的最大值，由等号成立的条件可求得此时，的值． （3）利用配方法，结合，可求得的范围，进而可求得最小值，由等号成立的条件可求得此时，的值. 【小问1详解】 ，即， 则关于的方程有解，所以， 可得，即． 同理，，故的取值范围都是． ， 所以（当时取等号），即的最大值为3． 【小问2详解】 由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为6，此时或． 【小问3详解】 ，即， 又，则， 因此， 解得，当且仅当和分别取左右等号； 所以当时取得最小值，最小值为. 18. 已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）求证：在区间上单调递减； （3）若，解不等式． 【答案】（1）奇函数，理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先求得，再令，得到，即可证得为奇函数； （2）由（1）得到，令且，根据题意，证得，即可得证； （3）由（2）求得，根据题意，把不等式转化为，得到不等式，求解即得. 【小问1详解】 函数为奇函数，理由如下： 因函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，可得． 令，则，即， 用代换，可得，所以为奇函数． 【小问2详解】 由（1）知，则，即， 令，且，则且， 可得， 因为当时，，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减． 【小问3详解】 由（2）知，可得， 由题设，可得，又，故原不等式可化为， 由（2）函数在上单调递减，可得，解得， 故不等式的解集为． 19. 已知函数在定义域上的最大值为． （1）求的值与函数解析式． （2）设． （i）讨论函数的单调区间． （ii）是否存在，对区间上任意三个数，都存在以为边 长的三角形？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）2， （2）（i）答案见解析；（ii）存在，． 【解析】 【分析】（1）利用对勾函数的单调性分类求出的最值，进而得到的值，再代入到中即可； （2）（i）利用对勾函数的单调性与复合函数的单调性法则分类讨论可得的单调性， （ii）换元，令，原题可转化为，利用的单调性求出的最值即可. 【小问1详解】 ， 若区间上单调递减，（舍去）； 若，则在区间上单调递增，， 解得． 综上，的值为2． 由上知，则， 函数． 【小问2详解】 （i）由（1）知在区间上单调递增， 则，即． 设，则， 利用对勾函数在区间上单调递减， 在区间上单调递增，分类讨论： ①若在区间上单调递增， 即在区间上单调递增； ②若在区间上单调递减，上单调递增， 即在区间上单调递减，上单调递增； ③若在区间上单调递减， 即在区间上单调递减． （ii）若“对区间上任意三个数， 都存在以为边长的三角形”等价于对，只需． 当时，在区间上单调递减， 只需， 即，解得， 故，所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $