5.4.1正弦函数、余弦函数的图象（思维导图+3大知识点+5大题型）（讲义）-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

本讲义聚焦正弦函数、余弦函数的图象这一核心知识点，系统梳理描点法、几何法、五点法三种图象画法，明确正弦曲线的定义及应用，衔接前期三角函数线知识，为后续函数性质学习搭建从画法到应用的递进式学习支架。 资料亮点在于融入思维导图构建知识网络，通过五点作图法应用、绝对值三角函数图像等五类题型及变式题，培养学生几何直观与推理能力，如零点问题结合数形结合思想，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺强化理解。

5.4.1正弦函数、余弦函数的图像 目录 01题型归纳目录.2 02思维导☒…3 03知识点梳理… 4 知识点一：正弦函数图象的画法 知识点二：正弦曲线4 知识点三：用三角函数图象解三角不等式的方法5 04题型归纳，举一反三.6 题型一：五点作图法的应用 6 题型二：绝对值的三角函数图像11 题型三：解不等式问题14 题型四：零点问题17 题型五：识图问题 19 1/23 01 题型归纳目录 题型一：五点作图法的应用 题型四：零点问题 题型归纳 题型二：绝对值的三角函数图像 题型五：识图问题 题型三：解不等式问题 2/23 02 思维导图 描点法 正弦、余弦函数图象的画法 几何法 五点法 1 3π 正弦曲线 20 π 正弦函数、余弦函数的图象 1 余弦曲线 2 3/23 03 知识点梳理 知识点一：正弦函数图象的画法 1、描点法： 按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法， 2、几何法 利用三角函数线作出正弦函数在[O,2π]内的图象，再通过平移得到y=six的图象. 3、五点法 先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到 正弦曲线在一个周期内的图象。 在确定正弦函数y=six在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 a0..r,0.(g,-2x,0 知识点诠释： (1)熟记正弦函数图象起关键作用的五点. (2)若x∈R,可先作出正弦函数在[0,2π]上的图象，然后通过左、右平移可得到y=sinx的图象. 知识点二：正弦曲线 (1)定义：正弦函数y=sinx(x∈R)的图象叫做正弦曲线 (2)图象 y=sinx,x∈R 知识点诠释： (1)由正弦曲线可以研究正弦函数的性质， (2)运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如x∈[0,2π]，方程lgx=six根的个数. 知识点三：用三角函数图象解三角不等式的方法 1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象； 4/23 2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集； 3、根据公式一写出不等式的解集. 5/23 04 题型归纳，举一反三 题型一：五点作图法的应用 【例题1】已为函数fe)=sn2x-爱 .12 请用“五点法”画出函数∫(x)在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）； 2x- π 0 6 2下 f(x) 【解析】令2x-工=0， 6 3π，2π，得 2元， 3π 6 0 刀 2 2 2π x t 7π 5π 13π 12 3 12 6 12 f(x) 0 0 -1 0 画出函数f(x)在一个周期的图象，如图， 7元 12 3玩 41 【例题2】作出下列函数的大致图像： (1)y=sinx+I ②y=3sn2x- 6/23 【解析】(1)因为y=sinx+6 取值列表： 5π 11π 6 3 6 3 6 t交 0 π 刀 3π 2π 6 2 2 y 0 1 0 -1 0 描点连线，可得函数图象如图示： 4元 6 π5元 11π 3 6 6 (2)因为y=3sin 2×-3 取值列表： X 元 5π 11π 7π 6 12 3 12 2x-交 0 刀 3 2 2 2π 0 3 0 -3 0 描点连线，可得函数图象如图示： 珠 A π/ 211π7π 6 3126 【方法技巧与总结】 1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y=sx或 y=cosx的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点. 2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换 【变式1】已知函数f(x)= sinx,cosx≤sinx cosx,cosx>sinx,试画出f()的图像 【解析】在同一坐标系内分别画出正、余弦曲线，再比较两个函数的图像，上方的画成实线，下方的画成 虚线，则实线部分即为∫(x)的图像 7/23 y=sinx 、 -2π☑ v-coSx 【变式2】(2025高一北京期中)已知函数f9=sin(2x-乃)+m过原点(0,0). (1)求m的值： ②求函数fe在0与上的零点： (3)下表是应用五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据 x 5π 3 6 2r-π 0 3π 6 2 n 2π ands 0 1 0 -1 0 y 1 2 2 【解析】(1)依题意，f0)=0,即sin(-乃+m=0,即m- 6 20, 所以m= 1 2由1知，)=2x-爱+分由a0,得sn(2x-名= 6 6 2 当051时，2君e后.则2x音-若战2x-音-名成2x-名1 6 66 66 66 解得x=0或x 2L或x=π， 所以函数在D,行上的学发为0， (3)根据“五点法”作图，填表如下： X π 12 元3 7π 5π 13π 2 6 12 2r- 0 6 2 n 2 2π 0 1 0 -1 0 8/23 1-2 3-2 1-2 1 【变式3】已知函数f(x)=2sin +8 (I)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数(x的大致图象，要求：列表，描点，连线： 珠 3 2 元：3π π5π 2 4 4 2: 4 4 -2 -3 (2)若方程∫(x)=a在x∈[0，元有两个不同的实数根，求a的取值范围 【解析】(1)因为f(x)=2sin 则列表如下： 个 2π 5π 8π 11元 9 9 9 9 9 3 0 2 3π 2π 6 2 2 f(x) 0 2 0 -2 0 所以f(x)的图象如图， 珠 3 2 2π 5元8元11元 9:99 π卡 4 2 4 2 9/23 ②》医为e0小，所以爱+警 6 63 又加爱-行如马。苏合中周象，可短在可上的周余如图， 3 2 珠 2 y=f(x) y=a 8元 9兀 02π 9 -2 因为方程∫(x=a在x∈[0，元有两个不同的实数根， 所以f(x)与y=a的图象有两个交点，故1≤a<2或-2<a≤-√5 【变式4】已知函数八到=2sn2x+引 用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，元上的大致 图象 2 0ππ元π5元π7元2元3元5元11π π -1 126431221234612. 【解析】列表： 0 π-6 π 11π 12 刀 3 12 2x+元 刀 2π 13π 6 6 2 2 6 y 1 2 0 -2 0 1 描点，连线，画出(x)在[0，π上的大致图象如图： 10/235.4.1正弦函数、余弦函数的图像 目录 01题型归纳目录.2 02思维导图.…….3 03知识点梳理… 4 知识点一：正弦函数图象的画法 知识点二：正弦曲线4 知识点三：用三角函数图象解三角不等式的方法5 04题型归纳，举一反三6 题型一：五点作图法的应用 6 题型二：绝对值的三角函数图像8 题型三：解不等式问题9 题型四：零点问题10 题型五：识图问题11 1/13 01 题型归纳目录 题型一：五点作图法的应用 题型四：零点问题 题型归纳 题型二：绝对值的三角函数图像 题型五：识图问题 题型三：解不等式问题 2/13 02 思维导图 描点法 正弦、余弦函数图象的画法 几何法 五点法 1 3π 正弦曲线 20 π 正弦函数、余弦函数的图象 1 余弦曲线 2 3/13 03 知识点梳理 知识点一：正弦函数图象的画法 1、描点法： 按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法， 2、几何法 利用三角函数线作出正弦函数在[O,2π]内的图象，再通过平移得到y=six的图象. 3、五点法 先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到 正弦曲线在一个周期内的图象。 在确定正弦函数y=six在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是 a0..r,0.(g,-2x,0 知识点诠释： (1)熟记正弦函数图象起关键作用的五点. (2)若x∈R,可先作出正弦函数在[0,2π]上的图象，然后通过左、右平移可得到y=sinx的图象. 知识点二：正弦曲线 (1)定义：正弦函数y=sinx(x∈R)的图象叫做正弦曲线 (2)图象 y=sinx,x∈R 知识点诠释： (1)由正弦曲线可以研究正弦函数的性质， (2)运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如x∈[0,2π]，方程lgx=six根的个数. 知识点三：用三角函数图象解三角不等式的方法 1、作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象； 4/13 2、写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集； 3、根据公式一写出不等式的解集. 5/13 04 题型归纳，举一反三 题型一：五点作图法的应用 【例题1】已知函数f(x)=sin(2xr- 6 0 .12 请用“五点法”画出函数∫(x)在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图)： 2x- 0 2π 6 f(x) 【例题2】作出下列函数的大致图像： (Dy-sin ②y=3sm2r- 【方法技巧与总结】 1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y=sx或 y=cosx的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点. 2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换 sinx,cosx≤sinx 【变式1】已知函数f(x)= cosx,cosx>sinx'试画出f(x)的图像 6/13 【变式2】(2025高一北京期中)己知函数f)=sin(2x-+m过原点(0,0). 61 (1)求m的值： ②求函数f)在0，行1上的零点： (3)下表是应用“五点法”进行的列表，请填写表中缺失的数据。 元-3 5π 6 2r-交 0 3π 6 2 2π sin) 0 1 0 -1 0 y 2 2 2 【度式3】已知系数1-2x+君 (1)在下列网格纸中利用“五点作图法”作出函数(x)的大致图象，要求：列表，描点，连线： A 3 2 1 π：π： 兀：3π元5π 24 、 2:4 4 1 (2)若方程f(x)=a在x∈[0，π有两个不同的实数根，求a的取值范围. 7/13 【变式4】已知函数f(纠=2sin2x+君) 用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数∫(x)在0，π上的大致 图象 2 Oπ π5元π7元2元3元5元11元 12 6 -1 4312 2123.4612 题型二：绝对值的三角函数图像 【例题3】(2025黑龙江绥化模拟预测)若函数∫(x)的图象上存在两个不同点A,B关于原点对称，则称A sinx,x0 ,B两点为一对“优美点”，记作(A,B),规定(A,B)和(B,A)是同一对“优美点”.已知f(x)= -lg(-x),x<0 ,则函数f(x)的图象上共存在“优美点” 对 【例题4】当re[0,3π]时，设关于x的方程sinx+2sinx=m（m∈R)根的个数为n,那么n的取值构成的 集合为 (用列举法表示) 【方法技巧与总结】 分类讨论解决绝对值问题 【变式5】函数f(x)=sinx+2sinx,xe[0,4π]，方程f(x)=a有4个根，求实数a的取值范围. 【变式6】当x∈[-2π，2π时，作出下列函数的图象，把这些图象与y=snx的图象进行比较，你能发现图 象变换的什么规律？ (1)y=sinx; 8/13 (2)y sin x. 【变式7】画出函数y=nx+与n的简图. 2 【变式8】当x∈[-2π，2π]时，作出下列函数的图象，把这些图象与y=sinx的图象进行比较，你能发现图 象变换的什么规律？ (1)y=-sinx; (2)y=sinx; (3)y=sin x. 题型三：解不等式问题 【例题5】已知xe(π，3π)，则不等式cosx>- 2的解集为《） ( B. 3π5π 4’4 c.44 5π11π D. 性两 【例题6】(2025湖北省直辖县级单位模拟预测)已知f(x)是定义在[-5,5]上的偶函数，当-5≤x≤0时， fx的图象如图所示，则不等式d<0的解集为() sinx 9/13 A.-π，-2)U0,2)Uπ，5] B.（-π，-2)U(π，5 C.(-5,-2)U(0,πU(π，5) D.(-5,-2)U(π，5) 【方法技巧与总结】 用三角函数的图象解sinx>a(或cosx>a)的方法 (1)作出直线y=a,作出y=sinx(或y=cosx)的图象. (2)确定sinx=a(或cosx=a)的x值. (3)确定sinx>a(或cosx>a)的解集. 【变式9】在[0,2π]内，不等式sinx<- 5的解集是 +3下2的解集为 【变式10】不等式sim2x+≥ 【变式11】(2025高一上海嘉定期中)不等式c0sx≥xe-元，的解集为 题型四：零点问题 【例题7】2025高一陕西成阳期末)已知函数f八=cor0x+写到o>0)在区间0，到上拾好有3个零点， 则ω的取值范围是() 09 C. 1319 6 6’6 【例题8】(2025高三云南昭通开学考试)函数f()=2 cos+52(o>0,若y=f(y在[0，刘上有 π 且只有5个零点，则实数⊙的取值范围为() 「6571 6571 4765 4765 A. B D. 12'12 12’12 12'12 12’12 【方法技巧与总结】 方程的根（或函数零点）问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题， 这正是数形结合思想方法的应用 【变式12】已知函数f(x)=lgx-sinx,则f(x)在(0，+oo)上的零点有() A.2个 B.3个 C.4个 D.无数个 10/13