5.4.1正弦函数、余弦函数的图象（5大题型）训练-2025-2026学年高一数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019必修第一册）

5．4．1 正弦函数、余弦函数的图象 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：五点作图法的应用 2 题型二：绝对值的三角函数图像 3 题型三：解不等式问题 5 题型四：零点问题 6 题型五：识图问题 7 02 重难点拓展 10 题型一：五点作图法的应用 1．已知，用“五点法”作出在上简图． 【解析】∵，∴，列表如下： 0 0 2 0 描点，连线，在上的图象如下： 2．已知函数，用五点法画出长度为一个周期的闭区间上的简图． 【解析】根据五点法列表如下： 0 π x y 0 2 0 －2 0 3．已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 【解析】（1）由题意，列表： 0 1 0 -1 0 1 2 1 1 根据五点，作图： （2）其图象如图： 观察图象得：当或时，有0个交点； 当或时，有1个交点； 当或时，有2个交点； 当时，有3个交点. 题型二：绝对值的三角函数图像 4．（2025·高一·上海浦东新·期末）若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】 则单调递增区间为，，单调递减区间为，， 又， 又函数的图像与仅有两个不同交点， 则的取值范围是 故答案为： 5．有下列四个命题： ①与的图像关于y轴对称； ②与的图像关于x轴对称； ③与图像相同； ④与图像关于y轴对称． 其中所有正确命题的序号为 ． 【答案】③④ 【解析】是偶函数，是奇函数，与的图像不关于y轴对称，①错误； 是偶函数，是保留在轴上方的图像，下方翻折到轴上方， 而是奇函数，与的图像不关于x轴对称，②错误； ，是偶函数等价于；故与图像相同，③正确 是偶函数等价于，与图像关于轴对称，④正确. 故答案为：③④. 6．（2025·高一·湖南长沙·期中）函数在区间内的零点个数是 . 【答案】4 【解析】令，则， 设， 则当时，， 当时，， 画出函数的图象， ， 易知函数的图象与直线有4个不同的交点， 故答案为：4 题型三：解不等式问题 7．关于的不等式在上的解集为 . 【答案】 【解析】作出余弦函数在区间上的图象如下图所示： 由图象可知，关于的不等式在上的解集为. 故答案为：. 8．不等式的解集是 . 【答案】或 【解析】先分析在内的情况,再根据余弦函数的单调性求解即可.在内,直线,与函数的图像的交点的横坐标分别为,,,, 所以满足不等式的解集为.或 故答案为：或 9．（2025·高一·青海西宁·期末）若函数,,则不等式的解集为 . 【答案】 【解析】对分类讨论，再根据余弦函数的图像和性质即可得到不等式的解集.当时，，且，解得或； 当时，，且，解得， 不等式的解集为. 故答案为：. 题型四：零点问题 10．（2025·河北·一模）函数在上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】令函数，根据“勾函数”的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以当时，， 由，. 只有当时，的值分别对应. 又因为在上各有2个解， 所以在上有6个零点. 故选：C 11．（2025·高一·浙江杭州·期末）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则方程的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由题，，故时，，与没有交点， 当时，，与没有交点， 当时，，与有一个交点， 当时，，与有1个交点， 当时，，与没有交点， 故共有2个交点， 故选：C. 12．（2025·高一·浙江杭州·期末）在下列区间中，函数不存在零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数零点为与的图象交点横坐标， 在同一坐标系中画出与的图象. 如下图示： 由图可知与的图象在区间上无交点. 所以选项中，函数不存在零点的区间. 故选: 题型五：识图问题 13．（2025·高一·上海·期中）下列函数图像所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A：函数的定义域为，又，， 所以，且当时，而， 所以，当或时，所以，则， 又，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，符合题意，故A正确； 对于B：函数的定义域为，故排除B； 对于C：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除C； 对于D：函数的定义域为， 且，所以为非奇非偶函数， 且当或时，所以，故排除D； 故选：A 14．（2025·安徽合肥·一模）函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】由 ，解得 ， 所以函数 的定义域为 ， 因为，所以函数为奇函数，排除C项； 设，显然该函数单调递增，故当时，， 则当时，，故， 当时，，故， 当时，，故，故排除D项； 当时，，故，故排除B项. 故选：A. 15．（2025·高一·北京·期中）函数图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】从四个选项中可以看出，函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项， 但是，因此的图象关于直线对称，可排除AC， 又，排除B， 故选：D． 1．若函数有4个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 而，则，使得，函数在上有1个零点， 由函数有4个零点，得函数有3个零点， 由，得，则，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：D 2．（2025·高三·天津·月考）函数的图象的大致形状是（   ） A．   B．   C．   D．     【答案】B 【解析】由，令，则， 所以和都是奇函数，得， 即为偶函数，图像关于轴对称，所以C，D错误； 而，再由当时，，， 得，，所以A错误，B正确. 故选：B. 3．函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解析】当时， 当时，， 由正弦函数的图象可知，A选项符合题意， 故选：A． 4．已知函数，，则的图象与直线的交点个数最多有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解析】的最小正周期，在区间上有1.5个周期． 考虑函数平移后的图象与直线的交点个数， 如时，的图象在和与直线各有两个交点， 故可知交点最多有4个． 故选：C． 5．（2025·高一·辽宁·期末）已知直线族：与曲线在区间内的图象共有2025个交点，则（   ） A． B．1013 C． D．1012 【答案】A 【解析】当时，，当时，，当时，，…， 由题意及曲线在区间内的图象， 可知方程分别有两个不同实根，且各根均不同， 所以需满足，所以. 故选：A. 6．（2025·高一·湖南·期末）若函数的图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由图形判断函数的定义域为，且为偶函数， 对A，，故错误； 对C，，故错误； 对B，， 当且始终是正数，故正确； 对D，， 当，但可以为负数，所以不符合要求，故错误. 故选：B 7．（2025·高一·江西萍乡·期末）已知表示不超过的最大整数，如：，，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由，得，令函数与， 依题意，所求问题即为函数与在上的交点个数， 在同一坐标系内作出函数与在上的图象， 观察图象得函数与在上的图象有2个交点， 所以函数在区间上的零点个数为2. 故选：A 8．（2025·高一·江苏南通·期中）若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 因为，当时，， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以，，解得，即的最小值为. 故选：C. 9．（2025·高一·广东江门·期中）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点，故D正确. 故选：D 10．（多选题）（2025·高一·广东阳江·期末）已知函数则（    ） A．， B．函数只有2个零点 C．直线与的图象有3个交点 D．， 【答案】ABD 【解析】对于A：当时，，当时，， 所以成立，即选项A正确； 作出的图象（如图所示）， 由图象，得与的图象关于轴对称，且与有交点， 即，，即选项D正确； 对于C：由图象，得直线与的图象只有2个交点， 即选项C错误； 对于B：的零点个数等于 的图象与的图象的交点个数，由图可知，的图与的图象的交点个数为2，即选项B正确． 故选：ABD 11．（多选题）（2025·高一·甘肃甘南·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】函数的定义域为，由可得， 于是函数的零点所在的区间即函数与函数的交点的横坐标所在区间. 如图作出两函数的图象如下： 对于A，时，因在上递增，在上递减，而在恒为增， 且，，故两函数在上必有交点， 即为原函数的一个零点所在区间，故A正确； 对于B，时，因在上递减，在上递增，且在上恒成立， 而在上恒为增，且，故两函数在上无交点， 即不是原函数的零点所在区间，故B错误； 对于C，时，因在上递增，在上递减， 而在上恒为增，且，，， 即两函数在有两个交点，即为原函数的零点所在的区间，故C正确； 对于D，时，情况与选项B相似，函数在上恒成立， 而在上恒为增，且，即两函数在上无交点， 即不是原函数的零点所在区间，故D错误. 故选：AC. 12．函数的定义域 【答案】 【解析】由题意有，解得， 所以， 故答案为：. 13．（2025·高一·上海·月考）定义在区间的函数与的图像交点个数为 ． 【答案】4 【解析】在平面直角坐标系中，函数与的图像如图所示， 根据图像，可得函数与的图像交点个数为4. 故答案为：4. 14．已知函数在区间上有且只有3个零点，则实数的取值范围是 ； 【答案】 【解析】，， 函数在区间上有且仅有3个零点， ，解得， 即的取值范围是 故答案为： 15．已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是 . 【答案】 【解析】不妨设，画出的图象如下图所示， ，所以. 令，解得， 所以，所以. 故答案为： 16．设为正整数.如果函数在区间内恰有2023个零点，则的值是 . 【答案】1349 【解析】令，， 由解得或， 即或, 根据正弦函数的图象和性质可知，在区间内有个解，， 所以当时，在区间内有2022个零点， 又在区间内有一个解， 综上函数在区间内恰有2023个零点， 故答案为：1349 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 5．4．1 正弦函数、余弦函数的图象 目录 01 基础题型归纳 2 题型一：五点作图法的应用 2 题型二：绝对值的三角函数图像 2 题型三：解不等式问题 3 题型四：零点问题 3 题型五：识图问题 3 02 重难点拓展 5 题型一：五点作图法的应用 1．已知，用“五点法”作出在上简图． 2．已知函数，用五点法画出长度为一个周期的闭区间上的简图． 3．已知函数， (1)用五点法画函数的图象； (2)讨论函数图象与直线（为常数）的交点个数. 题型二：绝对值的三角函数图像 4．（2025·高一·上海浦东新·期末）若函数，的图像与仅有两个不同交点，则的取值范围是 . 5．有下列四个命题： ①与的图像关于y轴对称； ②与的图像关于x轴对称； ③与图像相同； ④与图像关于y轴对称． 其中所有正确命题的序号为 ． 6．（2025·高一·湖南长沙·期中）函数在区间内的零点个数是 . 题型三：解不等式问题 7．关于的不等式在上的解集为 . 8．不等式的解集是 . 9．（2025·高一·青海西宁·期末）若函数,,则不等式的解集为 . 题型四：零点问题 10．（2025·河北·一模）函数在上的零点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 11．（2025·高一·浙江杭州·期末）函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则方程的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 12．（2025·高一·浙江杭州·期末）在下列区间中，函数不存在零点的是（    ） A． B． C． D． 题型五：识图问题 13．（2025·高一·上海·期中）下列函数图像所对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·安徽合肥·一模）函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   15．（2025·高一·北京·期中）函数图像可能是（    ） A．   B．   C．   D．   1．若函数有4个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·高三·天津·月考）函数的图象的大致形状是（   ） A．   B．   C．   D．     3．函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   4．已知函数，，则的图象与直线的交点个数最多有（    ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．（2025·高一·辽宁·期末）已知直线族：与曲线在区间内的图象共有2025个交点，则（   ） A． B．1013 C． D．1012 6．（2025·高一·湖南·期末）若函数的图象如图，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·高一·江西萍乡·期末）已知表示不超过的最大整数，如：，，则函数在区间上的零点个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2025·高一·江苏南通·期中）若函数在区间上有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（2025·高一·广东江门·期中）当时，曲线与的交点个数为（   ） A．1 B．2 C．4 D．6 10．（多选题）（2025·高一·广东阳江·期末）已知函数则（    ） A．， B．函数只有2个零点 C．直线与的图象有3个交点 D．， 11．（多选题）（2025·高一·甘肃甘南·期末）函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 12．函数的定义域 13．（2025·高一·上海·月考）定义在区间的函数与的图像交点个数为 ． 14．已知函数在区间上有且只有3个零点，则实数的取值范围是 ； 15．已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是 . 16．设为正整数.如果函数在区间内恰有2023个零点，则的值是 . 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $