52.正弦函数的对称轴与对称中心求解（中等）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 52.正弦函数的对称轴与对称中心求解（中等）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】正弦函数的对称轴 ￮ 定义表述：正弦函数图象沿某条直线对折后，直线两侧的图象完全重合，这条直线就是正弦函数的对称轴。 ￮ 数学符号/表达式：函数 的对称轴方程为 ； 推广到 的对称轴方程满足 ，解得 ￮ 关键特征：对称轴垂直于轴，且经过正弦函数图象的最高点或最低点。 ￮ 跨章节关联：适用于所有三角函数（余弦、正切除外）、二次函数（抛物线的对称轴）。 2. 【概念2】正弦函数的对称中心 ￮ 定义表述：正弦函数图象绕某点旋转 后，图象与原图象完全重合，这个点就是正弦函数的对称中心。 ￮ 数学符号/表达式：函数 的对称中心为 ； 推广到 的对称中心横坐标满足 ，解得 ，对称中心为 ￮ 关键特征：对称中心在正弦函数的平衡位置（轴）上，且经过图象与轴的交点。 ￮ 跨章节关联：适用于所有三角函数、奇函数（对称中心为原点）、反比例函数（双曲线的对称中心）。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 正弦函数对称轴与对称中心的关系 的对称轴与相邻对称中心的水平距离为 1. 混淆对称轴与对称中心的表达式，误将对称轴写成 ；2. 忽略参数 ；3. 推广到 时，未对 整体求解 二次函数 只有对称轴，无对称中心；反比例函数 只有对称中心，无对称轴 含参数正弦函数的对称轴/对称中心求解 已知对称轴/对称中心求参数时，需将该点/直线代入方程，结合 求参数取值 1. 未对 进行整体代换；2. 忽略 的取值不影响对称轴和对称中心的位置 指数函数 既无对称轴也无对称中心；余弦函数 对称轴为 ，对称中心为 三、题型分类与例题精析 题型1： 基础型——正、余弦函数的对称轴与对称中心求解 题型特征：直接考查 或 的对称轴、对称中心，无参数，侧重概念直接应用。 解题步骤： 1. 回忆 对称轴与对称中心的基本公式； 2. 直接代入公式，结合 写出结果； 3. 验证结果是否符合图象特征（对称轴过最值点、对称中心过零点）。 例题1 求函数 的对称轴方程和对称中心坐标。 解析：根据正弦函数的基本性质， 的对称轴经过图象的最高点或最低点，满足 ；对称中心经过图象与轴的交点，坐标为 。 答案：对称轴方程为 ；对称中心为 举一反三1-1 求函数 的对称轴方程和对称中心坐标。 解析：余弦函数 的对称轴经过最高点或最低点，满足 ；对称中心经过图象与轴的交点，满足 ，即对称中心为 。 答案：对称轴方程为 ；对称中心为 举一反三1-2 函数 的图象中，与直线 相邻的两条对称轴之间的距离为多少？ 解析： 的对称轴方程为 ，相邻两条对称轴的水平距离为半个周期， 的周期 ，故距离为 。 答案： 举一反三1-3 判断点 是否为函数 的对称中心，并说明理由。 解析： 的对称中心坐标为 ，令 ，解得 ，因此该点不是对称中心。 答案：不是；理由见解析 题型2： 基础型——含、的正弦函数对称轴与对称中心求解 题型特征：考查形如 的函数，已知函数表达式求对称轴或对称中心，需用整体代换思想。 解题步骤： 1. 令 ，将函数转化为 ； 2. 根据 的对称轴 或对称中心 ，代入 ； 3. 解出 的表达式，结合 写出最终结果。 例题2 求函数 的对称轴方程和对称中心坐标。 解析：令 ，函数化为 。 1. 求对称轴：由 ，得 ，解得 ； 2. 求对称中心：由 ，得 ，解得 ，对称中心为 。 答案：对称轴方程为 ；对称中心为 举一反三2-1 求函数 的对称轴方程。 解析：令 ，由 ，得 ，解得 。 答案： 举一反三2-2 求函数 的对称中心坐标。 解析：令 ，由 ，得 ，解得 ，对称中心为 。 答案： 举一反三2-3 函数 的周期为 ，求其对称轴方程。 解析：由周期公式 ，得 ，函数为 。令 ，由 ，解得 。 答案： 题型3： 综合型——已知对称轴/对称中心求参数值 题型特征：已知函数 的对称轴或对称中心，反求参数 或 的值，需结合方程思想求解。 解题步骤： 1. 将对称轴对应的 值或对称中心的横坐标代入 （对称轴）或 （对称中心）； 2. 结合题目中其他条件（如周期、最值等）确定 的取值； 3. 解出参数 或 的值。 例题3 已知函数 的图象关于直线 对称，且周期为 ，求 和 的值。 解析：1. 求 ：由周期 ，得 ，函数为 ； 2. 求 ：图象关于 对称，故 ，解得 ； 3. 结合 ，得 ，。 答案：， 举一反三3-1 已知函数 的图象关于点 对称，求 的最小值。 解析：图象关于 对称，故 ，解得 。当 时，； 时，，故 的最小值为 。 答案： 举一反三3-2 已知函数 的图象的一条对称轴为 ，求 的最小值。 解析：由对称轴条件得 ，解得 。因为 ，所以当 时， 取得最小值 。 答案： 举一反三3-3 已知函数 的图象过点 ，且关于直线 对称，若 ，，求 的值。 解析：函数为 ，过点 ，故 ，即 ， 或 ； 又图象关于 对称，故 ，即 ； 联立得 （当 时）。 答案： 题型4： 创新型——正弦函数与其他函数结合的对称问题 题型特征：将正弦函数与二次函数、绝对值函数结合，考查复合函数的对称轴或对称中心，侧重图象变换与性质综合。 解题步骤： 1. 分析复合函数的构成，画出函数图象（或利用图象变换规律）； 2. 结合正弦函数和外层函数的对称性，综合判断复合函数的对称轴/对称中心； 3. 代入验证，确定最终结果。 例题4 求函数 的对称轴方程和对称中心坐标。 解析： 的图象是将 的下部分翻折到轴上方，周期变为 。 1. 对称轴：图象关于直线 对称； 2. 对称中心：翻折后图象无对称中心（旋转 后不重合）。 答案：对称轴方程为 ；无对称中心 举一反三4-1 求函数 的对称轴方程。 解析： 是偶函数，图象关于轴对称，即 ；当 时，，对称轴为 ；当 时，，对称轴为 。综上，对称轴方程为 和 。 答案： 和 举一反三4-2 判断函数 的对称性。 解析：设 ，定义域为 ，，故函数为奇函数，对称中心为原点 。 答案：对称中心为 举一反三4-3 求函数 的对称轴方程。 解析：，该函数的对称轴与 相同，由 ，得 。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数 的对称轴方程不包括（） A. B. C. D. 解析： 的对称轴方程为 ，选项C的 不满足该式。 答案：C 2. 多选题 关于函数 的性质，下列说法正确的有（） A. 对称轴方程为 B. 对称中心为 C. 周期为 D. 图象关于点 对称 解析：令 ，对称轴：，A正确；对称中心：，对称中心为 ，B正确；周期 ，C正确；将 代入得 ，对应点 ，D正确。 答案：ABCD 3. 填空题 函数 的对称中心坐标为__________。 解析：令 ，解得 ，对称中心为 。 答案： 4. 解答题 (1) 求函数 的对称轴方程； 解析：令 ，解得 。 答案： (2) 已知函数 的图象关于直线 对称，求 的一个可能值。 解析：由 ，得 ，取 ，。 答案：（答案不唯一） （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数 的图象的两个相邻对称轴之间的距离为 ，则 的值为（） A. B. C. D. 解析：相邻对称轴的距离为半个周期，即 ，由 ，得 。 答案：B 2. 多选题 已知函数 的图象关于点 对称，则下列说法正确的有（） A. B. 函数的对称轴方程为 C. 函数在 上单调递增 D. 函数的周期为 解析：由对称中心条件得 ，结合 ，得 ，，A错误；函数为 ，对称轴方程 ，B正确；当 时，，函数在此区间先增后减，C错误；周期 ，D正确。 答案：BD 3. 填空题 函数 的对称轴方程为__________。 解析： 的对称轴为 ，令 ，解得 。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数 的图象的一条对称轴为 ，且在区间 上是单调函数，求 的值； 解析：由对称轴条件得 ；函数在 单调，故周期 ，结合 ，得 ，。 答案： (2) 已知函数 的图象过点 ，且关于点 对称，求 的解析式。 解析：由 得 ；由对称中心得 ；两式相减得 ；取 ，，代入得 ，故 。 答案： （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 已知函数 ，若 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于轴对称，则 的最小值为（） A. B. C. D. 解析：平移后函数为 ，其图象关于轴对称，故 ，又 ，取 ，，得 ；取 ， 最小为 时满足条件。 答案：A 2. 多选题 关于函数 ，下列说法正确的有（） A. 函数的周期为 B. 函数的对称中心为 C. 函数的对称轴方程为 D. 函数在 上单调递增 解析：化简 。周期 ，A正确；对称中心：，B错误；对称轴：，C错误；单调递增区间：，D正确。 答案：AD 3. 填空题 已知函数 的图象关于直线 对称，且 ，，则 的值为__________。 解析：由 得 ；由 得 ；由对称轴得 ；联立解得 。 答案： 4. 解答题 (1) 已知函数 的最大值为 ，周期为 ，且图象关于点 对称，求 的解析式，并求其对称轴方程； 解析：由最大值得 ，周期得 ，函数为 ；由对称中心得 ，结合 ，得 ，故 ；对称轴方程为 。 答案：；对称轴方程为 (2) 已知函数 ，若对任意的 ，都有 ，求函数 的对称中心坐标。 解析：由 知 是对称轴，故 ，取 ，；，其对称中心为 。 答案： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 52.正弦函数的对称轴与对称中心求解（中等）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】正弦函数的对称轴 ￮ 定义表述：正弦函数图象沿某条直线对折后，直线两侧的图象完全重合，这条直线就是正弦函数的对称轴。 ￮ 数学符号/表达式：函数 的对称轴方程为 ； 推广到 的对称轴方程满足 ，解得 ￮ 关键特征：对称轴垂直于轴，且经过正弦函数图象的最高点或最低点。 ￮ 跨章节关联：适用于所有三角函数（余弦、正切除外）、二次函数（抛物线的对称轴）。 2. 【概念2】正弦函数的对称中心 ￮ 定义表述：正弦函数图象绕某点旋转 后，图象与原图象完全重合，这个点就是正弦函数的对称中心。 ￮ 数学符号/表达式：函数 的对称中心为 ； 推广到 的对称中心横坐标满足 ，解得 ，对称中心为 ￮ 关键特征：对称中心在正弦函数的平衡位置（轴）上，且经过图象与轴的交点。 ￮ 跨章节关联：适用于所有三角函数、奇函数（对称中心为原点）、反比例函数（双曲线的对称中心）。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 正弦函数对称轴与对称中心的关系 的对称轴与相邻对称中心的水平距离为 1. 混淆对称轴与对称中心的表达式，误将对称轴写成 ；2. 忽略参数 ；3. 推广到 时，未对 整体求解 二次函数 只有对称轴，无对称中心；反比例函数 只有对称中心，无对称轴 含参数正弦函数的对称轴/对称中心求解 已知对称轴/对称中心求参数时，需将该点/直线代入方程，结合 求参数取值 1. 未对 进行整体代换；2. 忽略 的取值不影响对称轴和对称中心的位置 指数函数 既无对称轴也无对称中心；余弦函数 对称轴为 ，对称中心为 三、题型分类与例题精析 题型1： 基础型——正、余弦函数的对称轴与对称中心求解 题型特征：直接考查 或 的对称轴、对称中心，无参数，侧重概念直接应用。 解题步骤： 1. 回忆 对称轴与对称中心的基本公式； 2. 直接代入公式，结合 写出结果； 3. 验证结果是否符合图象特征（对称轴过最值点、对称中心过零点）。 例题1 求函数 的对称轴方程和对称中心坐标。 举一反三1-1 求函数 的对称轴方程和对称中心坐标。 举一反三1-2 函数 的图象中，与直线 相邻的两条对称轴之间的距离为多少？ 举一反三1-3 判断点 是否为函数 的对称中心，并说明理由。 题型2： 基础型——含、的正弦函数对称轴与对称中心求解 题型特征：考查形如 的函数，已知函数表达式求对称轴或对称中心，需用整体代换思想。 解题步骤： 1. 令 ，将函数转化为 ； 2. 根据 的对称轴 或对称中心 ，代入 ； 3. 解出 的表达式，结合 写出最终结果。 例题2 求函数 的对称轴方程和对称中心坐标。 举一反三2-1 求函数 的对称轴方程。 举一反三2-2 求函数 的对称中心坐标。 举一反三2-3 函数 的周期为 ，求其对称轴方程。 题型3： 综合型——已知对称轴/对称中心求参数值 题型特征：已知函数 的对称轴或对称中心，反求参数 或 的值，需结合方程思想求解。 解题步骤： 1. 将对称轴对应的 值或对称中心的横坐标代入 （对称轴）或 （对称中心）； 2. 结合题目中其他条件（如周期、最值等）确定 的取值； 3. 解出参数 或 的值。 例题3 已知函数 的图象关于直线 对称，且周期为 ，求 和 的值。 举一反三3-1 已知函数 的图象关于点 对称，求 的最小值。 举一反三3-2 已知函数 的图象的一条对称轴为 ，求 的最小值。 举一反三3-3 已知函数 的图象过点 ，且关于直线 对称，若 ，，求 的值。 题型4： 创新型——正弦函数与其他函数结合的对称问题 题型特征：将正弦函数与二次函数、绝对值函数结合，考查复合函数的对称轴或对称中心，侧重图象变换与性质综合。 解题步骤： 1. 分析复合函数的构成，画出函数图象（或利用图象变换规律）； 2. 结合正弦函数和外层函数的对称性，综合判断复合函数的对称轴/对称中心； 3. 代入验证，确定最终结果。 例题4 求函数 的对称轴方程和对称中心坐标。 举一反三4-1 求函数 的对称轴方程。 举一反三4-2 判断函数 的对称性。 举一反三4-3 求函数 的对称轴方程。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 函数 的对称轴方程不包括（） A. B. C. D. 2. 多选题 关于函数 的性质，下列说法正确的有（） A. 对称轴方程为 B. 对称中心为 C. 周期为 D. 图象关于点 对称 3. 填空题 函数 的对称中心坐标为__________。 4. 解答题 (1) 求函数 的对称轴方程； (2) 已知函数 的图象关于直线 对称，求 的一个可能值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知函数 的图象的两个相邻对称轴之间的距离为 ，则 的值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 已知函数 的图象关于点 对称，则下列说法正确的有（） A. B. 函数的对称轴方程为 C. 函数在 上单调递增 D. 函数的周期为 3. 填空题 函数 的对称轴方程为__________。 4. 解答题 (1) 已知函数 的图象的一条对称轴为 ，且在区间 上是单调函数，求 的值； (2) 已知函数 的图象过点 ，且关于点 对称，求 的解析式。 （三）拔高冲刺卷（5题） 1. 单选题 已知函数 ，若 的图象向左平移 个单位后得到的图象关于轴对称，则 的最小值为（） A. B. C. D. 2. 多选题 关于函数 ，下列说法正确的有（） A. 函数的周期为 B. 函数的对称中心为 C. 函数的对称轴方程为 D. 函数在 上单调递增 3. 填空题 已知函数 的图象关于直线 对称，且 ，，则 的值为__________。 4. 解答题 (1) 已知函数 的最大值为 ，周期为 ，且图象关于点 对称，求 的解析式，并求其对称轴方程； (2) 已知函数 ，若对任意的 ，都有 ，求函数 的对称中心坐标。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $