38.余弦函数（y=cos x）的图像绘制（五点法）（基础）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 38.余弦函数（y=cos x）的图像绘制（五点法）（基础）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】余弦函数的五点法作图 ￮定义表述：五点法是绘制余弦函数一个周期内图像的简便方法，通过选取一个周期内三个平衡点和两个极值点这五个关键的点，描点连线得到函数的大致图像。 ￮数学符号/表达式：对于，，五个关键点为、、、、 ￮关键特征：五个点包含了函数一个周期内的最大值、最小值和与轴的两个交点，能精准反映函数的基本走势。 ￮跨章节关联：适用于三角函数的图像绘制，与函数的周期性、奇偶性、单调性等性质紧密相关。 2. 【概念2】余弦函数的周期区间 ￮定义表述：余弦函数是周期为的周期函数，其图像在上的形状完全相同，选取任意一个长度为的区间均可作为五点法作图的周期区间。 ￮数学符号/表达式：的周期，常见周期区间有、等 ￮关键特征：不同周期区间内的五个关键点，横坐标相差周期的整数倍，纵坐标保持不变。 ￮跨章节关联：与周期函数的定义和性质相关，是拓展绘制复杂余弦型函数图像的基础。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 五点的选取规则 五点法作图时，必须选取一个周期内的起点、与轴交点、最小值点、与轴交点、终点，坐标需严格对应的函数值 1. 混淆与的关键点坐标；2. 记错关键点的纵、横坐标，如将写成 类比绘制二次函数图像时，错选的顶点坐标 连线的规范要求 五个点确定后，需用光滑的曲线依次连接，不能画成折线或线段 将五个关键点用直线直接连接，破坏了余弦函数图像的平滑性 类比绘制反比例函数图像时，错将两支曲线用直线连接 周期区间的拓展 绘制在上的图像时，只需将上的五个关键点横坐标加，纵坐标不变 拓展周期区间时，错误地改变关键点的纵坐标，或横坐标加减的不是周期的整数倍 类比绘制图像时，错将的顶点横坐标减写成加 三、题型分类与例题精析 题型1：利用五点法绘制在上的图像 题型特征：指定周期区间为，直接通过选取五个关键点，完成基础图像的绘制。 解题步骤：1. 确定在内的五个关键点的横坐标：；2. 代入函数解析式计算对应的纵坐标，列出表格；3. 在平面直角坐标系中描出五个点，用光滑曲线依次连接。 例题1 利用五点法作出函数在区间上的图像。 举一反三1-1 利用五点法作出函数在区间上的图像。 举一反三1-2 利用五点法补全函数在区间上的图像，已知其中三点坐标为、、。 举一反三1-3 已知函数的图像上有四个点：、、、，求和的值。 题型2：利用五点法判断图像关键点的正误 题型特征：给出图像的部分关键点或绘制的草图，要求判断点的坐标是否正确，或修正错误的点。 解题步骤：1. 回忆五点法的标准关键点坐标；2. 对比题目给出的点的横、纵坐标，找出与标准坐标不符的点；3. 计算出正确的坐标并修正。 例题2 小亮利用五点法绘制在上的图像，列出的五个点坐标为、、、、，请指出其中的错误并改正。 举一反三2-1 判断下列点中，哪些是在上的五点法关键点：、、、、。 举一反三2-2 小敏绘制的在上的图像中，有一个点坐标为，请判断该点是否正确，若错误请说明理由并改正。 举一反三2-3 已知的图像经过点，且，求的值。 题型3：利用五点法图像解决简单取值范围问题 题型特征：结合的五点法图像，判断在某一区间内函数值的正负或取值范围。 解题步骤：1. 画出的五点法图像；2. 观察图像在目标区间内的位置（轴上方、下方或与轴交点）；3. 确定函数值的取值范围或正负情况。 例题3 根据在上的五点法图像，指出当时，的取值范围。 举一反三3-1 根据的五点法图像，指出当时，的符号变化情况。 举一反三3-2 已知，当且时，求的取值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 利用五点法作在上的图像，下列点中不是关键点的是（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 关于的五点法作图，下列说法正确的有（ ） A．五个关键点包含一个周期内的最大值点和最小值点 B．连线时可以用直线连接五个点 C．也可以作为五点法作图的周期区间 D．五个关键点的纵坐标只有三种情况 3. 填空题 函数在区间上的五个关键点中，最大值点的坐标为__________。 4. 解答题 (1) 利用五点法作出函数在区间上的图像（只需列出关键点坐标并描述作图步骤）。 (2) 已知函数的图像经过点，且，求的值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 利用五点法作在上的图像，若其中一个关键点为，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 关于的五点法图像，下列结论正确的有（ ） A．图像关于轴成轴对称 B．图像关于点成中心对称 C．在上，函数值随的增大而减小 D．五个关键点中，与轴的交点有2个 3. 填空题 若在区间上的最大值为，最小值为，则的一个可能值为__________。 4. 解答题 (1) 利用五点法作出函数在区间上的图像，并根据图像指出函数的奇偶性。 (2) 根据的五点法图像，求不等式在上的解集。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 38.余弦函数（y=cos x）的图像绘制（五点法）（基础）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】余弦函数的五点法作图 ￮定义表述：五点法是绘制余弦函数一个周期内图像的简便方法，通过选取一个周期内三个平衡点和两个极值点这五个关键的点，描点连线得到函数的大致图像。 ￮数学符号/表达式：对于，，五个关键点为、、、、 ￮关键特征：五个点包含了函数一个周期内的最大值、最小值和与轴的两个交点，能精准反映函数的基本走势。 ￮跨章节关联：适用于三角函数的图像绘制，与函数的周期性、奇偶性、单调性等性质紧密相关。 2. 【概念2】余弦函数的周期区间 ￮定义表述：余弦函数是周期为的周期函数，其图像在上的形状完全相同，选取任意一个长度为的区间均可作为五点法作图的周期区间。 ￮数学符号/表达式：的周期，常见周期区间有、等 ￮关键特征：不同周期区间内的五个关键点，横坐标相差周期的整数倍，纵坐标保持不变。 ￮跨章节关联：与周期函数的定义和性质相关，是拓展绘制复杂余弦型函数图像的基础。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 五点的选取规则 五点法作图时，必须选取一个周期内的起点、与轴交点、最小值点、与轴交点、终点，坐标需严格对应的函数值 1. 混淆与的关键点坐标；2. 记错关键点的纵、横坐标，如将写成 类比绘制二次函数图像时，错选的顶点坐标 连线的规范要求 五个点确定后，需用光滑的曲线依次连接，不能画成折线或线段 将五个关键点用直线直接连接，破坏了余弦函数图像的平滑性 类比绘制反比例函数图像时，错将两支曲线用直线连接 周期区间的拓展 绘制在上的图像时，只需将上的五个关键点横坐标加，纵坐标不变 拓展周期区间时，错误地改变关键点的纵坐标，或横坐标加减的不是周期的整数倍 类比绘制图像时，错将的顶点横坐标减写成加 三、题型分类与例题精析 题型1：利用五点法绘制在上的图像 题型特征：指定周期区间为，直接通过选取五个关键点，完成基础图像的绘制。 解题步骤：1. 确定在内的五个关键点的横坐标：；2. 代入函数解析式计算对应的纵坐标，列出表格；3. 在平面直角坐标系中描出五个点，用光滑曲线依次连接。 例题1 利用五点法作出函数在区间上的图像。 解析： 第一步，确定五个关键点的横坐标并计算纵坐标，列出表格： 第二步，建立平面直角坐标系，横轴为轴（标注刻度），纵轴为轴（标注刻度）； 第三步，在坐标系中描出五个点：、、、、； 第四步，用光滑的曲线将五个点从左到右依次连接，得到在上的图像。 答案：图像为上的余弦曲线，经过上述五个关键点，呈平滑的波浪状。 举一反三1-1 利用五点法作出函数在区间上的图像。 解析： 第一步，确定是的一个周期区间，计算五个关键点的横坐标：； 第二步，计算对应纵坐标，列出表格： 第三步，描点、、、、，用光滑曲线连接。 答案：图像为上的余弦曲线，经过上述五个关键点，关于轴对称。 举一反三1-2 利用五点法补全函数在区间上的图像，已知其中三点坐标为、、。 解析： 第一步，确定内五个关键点的横坐标：； 第二步，计算缺失两点的纵坐标：当时，；当时，； 第三步，描出缺失的两点、，结合已知三点，用光滑曲线连接。 答案：补全的关键点为、，图像为上的余弦曲线。 举一反三1-3 已知函数的图像上有四个点：、、、，求和的值。 解析： 第一步，根据五点法关键点坐标，当时，，故； 第二步，当且在内，除外，还有，故。 答案：， 题型2：利用五点法判断图像关键点的正误 题型特征：给出图像的部分关键点或绘制的草图，要求判断点的坐标是否正确，或修正错误的点。 解题步骤：1. 回忆五点法的标准关键点坐标；2. 对比题目给出的点的横、纵坐标，找出与标准坐标不符的点；3. 计算出正确的坐标并修正。 例题2 小亮利用五点法绘制在上的图像，列出的五个点坐标为、、、、，请指出其中的错误并改正。 解析： 第一步，对照在上的标准关键点坐标：、、、、； 第二步，对比发现错误点：纵坐标错误，应为；纵坐标错误，应为；纵坐标错误，应为； 第三步，改正错误的点坐标为、、。 答案：错误点为、、；改正后为、、。 举一反三2-1 判断下列点中，哪些是在上的五点法关键点：、、、、。 解析： 对照标准关键点坐标，、、符合要求；纵坐标错误，应为；纵坐标错误，应为。 答案：关键点为、、。 举一反三2-2 小敏绘制的在上的图像中，有一个点坐标为，请判断该点是否正确，若错误请说明理由并改正。 解析： 第一步，在上的关键点包括； 第二步，计算时，，因此该点坐标错误； 第三步，改正后的坐标为。 答案：该点错误，理由是时；改正后为。 举一反三2-3 已知的图像经过点，且，求的值。 解析： 第一步，根据余弦函数的性质，时，； 第二步，结合的范围，解得。 答案： 题型3：利用五点法图像解决简单取值范围问题 题型特征：结合的五点法图像，判断在某一区间内函数值的正负或取值范围。 解题步骤：1. 画出的五点法图像；2. 观察图像在目标区间内的位置（轴上方、下方或与轴交点）；3. 确定函数值的取值范围或正负情况。 例题3 根据在上的五点法图像，指出当时，的取值范围。 解析： 第一步，回忆在上的图像，在内，函数图像从下降到，再下降到； 第二步，观察图像可知，在时，函数值的最大值小于，最小值为； 第三步，确定取值范围是。 答案：的取值范围是。 举一反三3-1 根据的五点法图像，指出当时，的符号变化情况。 解析： 观察在上的图像，时，图像位于轴下方，函数值为负；时，图像位于轴上方，函数值为正；时，函数值为。 答案：时，；时，；时，。 举一反三3-2 已知，当且时，求的取值。 解析： 结合在上的五点法图像，与轴的交点横坐标为，因此当时，或。 答案：或 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 利用五点法作在上的图像，下列点中不是关键点的是（ ） A． B． C． D． 解析：在上的关键点为、、、、，不是关键点，故选C。 答案：C 2. 多选题 关于的五点法作图，下列说法正确的有（ ） A．五个关键点包含一个周期内的最大值点和最小值点 B．连线时可以用直线连接五个点 C．也可以作为五点法作图的周期区间 D．五个关键点的纵坐标只有三种情况 解析：五点法关键点包含最大值点和最小值点，A正确；连线需用光滑曲线，B错误；长度为，可作为周期区间，C正确；关键点纵坐标为，D正确。故选ACD。 答案：ACD 3. 填空题 函数在区间上的五个关键点中，最大值点的坐标为__________。 解析：内的关键点横坐标为，最大值点为。 答案： 4. 解答题 (1) 利用五点法作出函数在区间上的图像（只需列出关键点坐标并描述作图步骤）。 解析： 第一步，列出关键点坐标：、、、、； 第二步，建立平面直角坐标系，标注轴刻度和轴刻度； 第三步，描出五个关键点，用光滑曲线依次连接。 答案：关键点坐标为、、、、；作图步骤见解析。 (2) 已知函数的图像经过点，且，求的值。 解析： 当时，在内对应的值为，因此。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 利用五点法作在上的图像，若其中一个关键点为，则的值可以是（ ） A． B． C． D． 解析：最大值点的横坐标为，当时，满足（），此时是关键点，符合要求，故选C。 答案：C 2. 多选题 关于的五点法图像，下列结论正确的有（ ） A．图像关于轴成轴对称 B．图像关于点成中心对称 C．在上，函数值随的增大而减小 D．五个关键点中，与轴的交点有2个 解析：是偶函数，图像关于轴对称，A正确；图像关于中心对称，B正确；在上函数单调递减，C正确；一个周期内五个关键点与轴交于2点，D正确。故选ABCD。 答案：ABCD 3. 填空题 若在区间上的最大值为，最小值为，则的一个可能值为__________。 解析：要使区间包含最大值点和最小值点，可取，此时区间为，包含和。 答案：（答案不唯一） 4. 解答题 (1) 利用五点法作出函数在区间上的图像，并根据图像指出函数的奇偶性。 解析： 第一步，列出内关键点坐标：、、、、； 第二步，描点并用光滑曲线连接得到图像； 第三步，观察图像关于轴对称，因此函数是偶函数。 答案：图像见解析；函数为偶函数。 (2) 根据的五点法图像，求不等式在上的解集。 解析： 观察在上的图像，当和时，图像位于轴上方或与轴相交，函数值，因此解集为。 答案：解集为 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $