精品解析：山东省聊城市高唐县2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2025—2026学年第一学期期中检测 九年级数学试题 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列方程中，关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点D，E分别在边，上，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 圆内接四边形对角互补 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 三点确定一个圆 5. 以原点O为位似中心，作的位似图形，与的相似比为．若点C的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 2025年苏超联赛取得巨大成功，受其影响我市准备组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一艘渔船以的速度向正北方向航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向，一个小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北偏东方向．若渔船继续向正北方向航行到灯塔S的正西方向的C处，此时灯塔S与渔船的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D．若，则的半径为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 4 9. 如图，在矩形中，，，E为边上一点，将沿翻折到处，分别延长，，交，边于点G，H．连接交于点M．若，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 10. 如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 某水坝的坡度，坡长10米，则水坝的高度为_______米． 12. 用配方法解方程时，若配方后可得的形式，则的值为_______． 13. 如图，在中，，点D在边上，连接．若，，，则线段的长为_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．当时，_______秒． 15. 如图，六边形是正六边形，曲线叫作“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为，，，，，，…．当时，_______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 18. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径．如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请找出截面的圆心O；（要求：尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） （2）若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为3cm，求这个圆形截面的半径． 19. 定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． （1）一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； （2）已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 20. 如图，，平分． （1）求证：； （2）如图，过点B作交于点M，连接交于点N．若，，求的长． 21. 随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图1是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的夹角为，小臂与大臂的张角为，其中，（图中点与线在同一个平面内）．设抓手D到直线的水平距离为r米． （1）当，时，求r的值？ （2）当时，r的最大值为多少米？（结果保留两位小数，参考数据：，，，，，） 22. 如图，已知是的直径，点C，D在上，且，过点O作交于点F，垂足为E． （1）求证：平分； （2）求的长； （3）求阴影部分的面积． 23. 在直角边长为4的等腰直角三角形中，，点D，E分别是边，的中点，连接．将绕点A逆时针方向旋转，旋转角为α． （1）如图1，求出的长； （2）如图2，当点D在内时，试求出的值； （3）当绕点A逆时针旋转至C，D，E三点在同一条直线上时，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中检测 九年级数学试题 本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考场号、座号、考号填写在试卷和答题卡指定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 下列方程中，关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程定义，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 一元二次方程需满足：只含一个未知数、未知数最高次数为2、且为整式方程，选项A是标准形式，缺少，当时，不符合一元二次方程定义；选项B含未知数，不是一元方程；选项C符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；选项D为分式方程，不是整式方程，从而得到答案． 【详解】解：A：，当时，不符合一元二次方程定义，不符合题意； B：，含未知数，不是一元方程，不符合题意； C：，含有一个未知数，最高次数2，且为整式，是一元二次方程，符合题意； D：，不是整式方程，是分式方程，不符合题意； 故选：C． 2. 在中，，若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查同角的三角函数关系；根据正切定义设边长，利用勾股定理求斜边，再根据余弦定义求解即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴设， ∴， ∴． 故选：A． 3. 如图，在中，点D，E分别在边，上，．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．由已知条件可得，，进而证明，得到，设，，从而求得． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∴． 故选：C． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 圆内接四边形对角互补 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 三点确定一个圆 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括圆内接四边形性质、垂径定理、等弧定义和确定圆的条件。需根据圆的相关定理和性质，逐一分析每个选项的正确性，判断命题是否成立即可． 【详解】解：∵圆内接四边形的对角互补，这是圆的基本性质， ∴A正确； ∵平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，如果弦是直径，则不一定垂直， ∴B错误； ∵等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，仅长度相等不一定等弧， ∴C错误； ∵不在同一直线上的三点确定一个圆，三点共线时不能确定圆， ∴D错误． 故选：A． 5. 以原点O为位似中心，作的位似图形，与的相似比为．若点C的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查坐标系与位似图形；根据以原点为位似中心，位似比为k时，位似图形对应点的坐标的比为k或．据此计算即可． 【详解】解：∵相似比为，位似中心为原点O，点C的坐标为， ∴点的坐标为即或即， ∴点的坐标为或， 故选：D． 6. 2025年苏超联赛取得巨大成功，受其影响我市准备组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，具体涉及到组合问题，先计算出总的比赛场数，再根据单循环赛制的比赛场次公式列出关于x的方程，最后与选项对比得出答案． 【详解】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛， 根据题意得：， 即． 故选：C． 7. 如图，一艘渔船以的速度向正北方向航行，在A处看到灯塔S在渔船的北偏东30°方向，一个小时后航行到B处，看到灯塔S在渔船的北偏东方向．若渔船继续向正北方向航行到灯塔S的正西方向的C处，此时灯塔S与渔船的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据三角形的外角性质得到，再根据等腰三角形的判定定理得到，最后再利用正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：由题意知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴． 故选：C． 8. 如图，是等腰三角形，O是底边的中点，腰与相切于点D．若，则的半径为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】该题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质和判定等知识点，连接，根据是等腰三角形，O是底边的中点，得出，根据腰与相切于点D，得出，证明，得出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，O是底边的中点， ∴， ∵腰与相切于点D， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为3， 故选：C． 9. 如图，在矩形中，，，E为边上一点，将沿翻折到处，分别延长，，交，边于点G，H．连接交于点M．若，则的长度为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理及相似三角形的判定与性质．先设，由矩形和折叠的性质得出，从而得出，，由勾股定理得，解得，从而得出的值及的值，再由已知条件可证得，得出，进而求得的值． 【详解】解：由题意知，设， ∵， ∴，， 又∵，， ∴由勾股定理得，， ∴，解得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 10. 如图，在的内接四边形中，，C为上一动点，且，的半径为2，有如下说法：①平分；②三角形是等边三角形；③；④；⑤四边形最大面积是．其中正确说法的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据角平分线的性质和圆周角定理可证；根据圆内接四边形对角互补可知，根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，可知是等边三角形；连接、，过点作，根据等边三角形的性质可知，利用勾股定理即可求出，可得的长；在上截取，连接，可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证，从而可证；根据等边三角形的性质可以求出的面积为，根据点在上运动，可知当点在的中点时的面积最大，可知的最大面积是，所以可得四边形的最大面积是． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即平分，故①正确； ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴三角形是等边三角形，故②正确； 如图，连接、，过点作， 则， ∵的半径为2， ， ∴， ∴，故正确； 如图，在上截取，连接， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ， ，故正确； 如图，连接，并延长交于点M， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， ， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 当点在的中点时，的面积最大， 的半径为， 点到线段的最大距离是， 的最大面积是， 四边形的最大面积是，故⑤正确； 综上所述，正确的是①②③④⑤，共5个． 故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据圆内接四边形找角之间的关系，根据等边三角形的性质和全等三角形的性质找边之间的关系． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 某水坝的坡度，坡长10米，则水坝的高度为_______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用及坡度问题，根据坡度定义，坡度表示高度与水平距离的比为，设高度为h米，则水平距离为米，坡长为斜边，利用勾股定理求解． 【详解】解：∵水坝的坡度， ∴设水坝的高度为h米，则水平距离为米， 由勾股定理得：， 解得：， 则水坝的高度为米， 故答案为：． 12. 用配方法解方程时，若配方后可得的形式，则的值为_______． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，通过配方法将一元二次方程转化为完全平方形式，从而确定参数m和n的值． 【详解】解：将配方得， ∴，， ∴． 故答案为：9． 13. 如图，在中，，点D在边上，连接．若，，，则线段的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，解直角三角形；设，根据勾股定理求出，得到，结合题意求出，解得，代入计算即可． 【详解】解：在中，，， ∴设， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 解得：， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为，现有两动点P，Q，点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发向终点B运动，连接，，．设运动时间为t秒．当时，_______秒． 【答案】##2.5 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标表示，矩形的性质及相似三角形的判定与性质．先根据矩形的性质和点求得，，， 再由利用三角形内角和定理得出，从而证明，设，，，利用相似三角形的性质得出，进而求得t的值． 【详解】解：∵四边形为矩形，点， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由题意知，设，，， ∴，即，解得， 即t的值为． 故答案为：． 15. 如图，六边形是正六边形，曲线叫作“正六边形的渐开线”，其中，，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，其弧长分别记为，，，，，，…．当时，_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，弧长公式及找规律，先根据题意可知正六边形的内角和为，每个内角为，在此题中曲线是“正六边形的渐开线”， ，，，，，，…的圆心依次按点A，B，C，D，E，F循环，所以每条弧所对的圆心角均为，则；根据已知的并通过弧长公式，分别计算，，，，，，…的值，最后通过观察上述计算结果，可发现弧长与n的关系为，将代入的公式即可求得． 【详解】解：根据题意可知，，，，，… ，，，… 依此规律可知，， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）+ 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根式的化简，绝对值及零指数幂的混合运算． （1）先代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先分别计算最简根式，绝对值，特殊角的三角函数值及零指数幂，再从左往右依次计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了公式法、因式分解法解一元二次方程． （1）利用公式法先求出的值，再利用公式求出x的值，从而得到和的值； （2）先将方程展开化简整理得：，再通过因式分解法得到，此时或，从而求得x的值． 【小问1详解】 解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：． ， ， ， 则或， ∴，． 18. 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径．如图，是水平放置的破裂管道有水部分的截面． （1）请找出截面的圆心O；（要求：尺规作图，不写画法，保留作图痕迹） （2）若这个输水管道有水部分的水面宽，水面最深的地方为3cm，求这个圆形截面的半径． 【答案】（1） 如图，点O即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-垂直平分线和圆心的作法，垂径定理及勾股定理． （1）任取一条弦，分别作，的垂直平分线交点即为圆心，根据尺规作图的步骤和方法做出图即可； （2）连接，设于点E，交弧于点D，利用垂径定理求出，设半径为，则，再根据勾股定理列方程计算即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：如图，连接，设于点E，交弧于点D， ∴， 由题意，得， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得， ∴这个圆形截面的半径． 19. 定义：若关于x的一元二次方程满足，则称这样的方程为“归零方程”． （1）一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”；一元二次方程_______（填“是”或“不是”）“归零方程”； （2）已知关于x的一元二次方程是“归零方程”，且m是这个“归零方程”的一个根，求m的值． 【答案】（1）是，不是 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了“归零方程”的定义，一元二次方程的根及代数式的代入与化简． （1）根据“归零方程”给出的定义，判断题中的两个一元二次方程即可； （2）由是“归零方程”得出，整理得，再将代入原方程后根据m是这个“归零方程”的一个根，将m的值代入，得到一个新的一元二次方程，此时解这个一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：由题意知，在中， ，，， ∴， ∴是“归零方程”， 在中， ，，， ∴， ∴不是“归零方程”，． 故答案为：是，不是． 【小问2详解】 解：∵是“归零方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是这个“归零方程”的一个根， ∴， 解得或． 20. 如图，，平分． （1）求证：； （2）如图，过点B作交于点M，连接交于点N．若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，再由证明出，得到，从而证明出； （2）先由勾股定理求出的长度，再由得到的长，根据平行线的性质和角平分线的性质得出，从而证明出，再根据三角形内角和定理得出，从而得到，求得的长度，由，，证明出，得到，随即利用线段之间的和差关系求出的长度． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：在中，由勾股定理，得， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质及勾股定理． 21. 随着科技的进步，人工智能得到了巨大的发展．如图1是一款机械臂机器人，基座与地面垂直，基座米，大臂米，小臂米，大臂与水平线的夹角为，小臂与大臂的张角为，其中，（图中点与线在同一个平面内）．设抓手D到直线的水平距离为r米． （1）当，时，求r的值？ （2）当时，r的最大值为多少米？（结果保留两位小数，参考数据：，，，，，） 【答案】（1）米 （2）2.00米 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用； （1）过点C作交延长线于点E，过点D作交延长线于点F，根据题意求出的长度，再结合计算即可． （2）过点D作交延长线于点E，设交于点H．当点E和点H重合，且最小时，有最大值，当时，有最大值，即此时有，再结合，即可求出． 【小问1详解】 解：如图，过点C作交延长线于点E，过点D作交延长线于点F，则． 由题意，得， ∴． 在中，米，， ∴（米）． ∵， ∴． 在中，米，， ∴（米）， ∴（米）， ∴米． 【小问2详解】 解：如图，过点D作交延长线于点E，设交于点H． ∵， ∴当点E和点H重合，且最小时，有最大值， ∴当时，有最大值，即此时有， ∴此时，∠， ∴， ∴， ∴r的最大值为2.00． 22. 如图，已知是的直径，点C，D在上，且，过点O作交于点F，垂足为E． （1）求证：平分； （2）求的长； （3）求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质． （1）由圆周角定理得到，，进而得到，根据等边对等角得到，即可证明平分； （2）由，得到，由直角三角形的性质得到，最后根据计算即可； （3）由，得到阴影部分的面积扇形的面积，求出扇形的面积即可． 【小问1详解】 证明：∵是的直径， ∴． ∵，， ∴， ∴， ． 又∵， ， 平分； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴ ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接． 由（2）知． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ∴， ∴， ∴ 阴影部分的面积为 23. 在直角边长为4的等腰直角三角形中，，点D，E分别是边，的中点，连接．将绕点A逆时针方向旋转，旋转角为α． （1）如图1，求出的长； （2）如图2，当点D在内时，试求出的值； （3）当绕点A逆时针旋转至C，D，E三点在同一条直线上时，求线段的长． 【答案】（1） （2）2 （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据等腰直角三角形直角边为4，利用勾股定理算出斜边的长度，再依据点E是中点，得到，进而求出的值； （2）由点D，E分别是边，上的中点，得出，变形得到，因为，通过等式性质推出，根据相似三角形判定定理，证明，最后根据相似三角形的性质，得到，代入与的值算出结果，紧接着计算即为的值； （3）先根据中点性质和三角形中位线性质，得出、的值以及，分两种情况讨论：①点D在C，E之间时，此时，利用勾股定理的长度，再根据求出；②点E在C，D之间时，此时，同样用勾股定理算出的长度，然后根据求出． 【小问1详解】 解：∵为直角边长为4的等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵点D，E分别是边，上的中点， ∴． 【小问2详解】 解：∵点D，E分别是边，上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：根据题意可知，为直角边长为4的等腰直角三角形，，点D，E分别是边，上的中点， 则，，， ∴， 若绕点A逆时针旋转至C，D、E三点在同一条直线上，可分两种情况讨论： ①当点D在C，E之间时，如下图， 此时， ∴， ∴； ②当点E在C，D之间时，如下图， 此时， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形中位线定理，相似三角形的判定与性质，旋转的性质及等腰直角三角形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $