4.3.2一次函数的图象与性质 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数的图象与性质，涵盖图象画法、与坐标轴交点、平移关系及增减性、象限分布等核心知识点。通过农民卖土豆的情景问题与视频导入，衔接正比例函数知识，以对比探究搭建学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点是以探究活动为主线，通过列表描点连线、对比函数图象（如y=-6x与y=-6x+5）培养数学思维（推理意识、运算能力），结合实际情景发展数学眼光（抽象能力），用函数表达式与图象描述性质体现数学语言（模型意识）。学生能深化理解，教师可借助多样探究与变式训练提升教学效率。

北师大（2024）版数学8年级上册 第四章 一次函数 4.3.2一次函数的图象与性质 一农民带着若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题。 （1）农民自带的零钱是多少？ （2）试求降价前y与x之间的关系。 （3）由表达式你能求出降价前每千克的土豆价格是多少吗？ 第 1 页：封面 标题：4.3.2 一次函数的图象与性质 副标题：人教版初中数学七年级下册 制作者：XXX 背景图：平面直角坐标系中，y=2x、y=2x+3、y=2x-2 三条平行直线（标注截距和象限，突出 “平行” 特征） 第 2 页：复习回顾与情境导入 复习旧知： 正比例函数：y=kx（k≠0），图象是过原点的直线，k 决定象限和增减性。 一次函数定义：y=kx+b（k、b 为常数，k≠0），正比例函数是 b=0 的特殊情况。 情境提问： 一次函数 y=2x+3 的图象还是直线吗？它与正比例函数 y=2x 的图象有什么关系？ b 的值会影响图象的位置吗？k 的值仍决定增减性吗？ 课题引入：今天我们延续探究思路，解锁一次函数的图象与性质！ 第 3 页：探究一：一次函数的图象形状与画法 类比画图（以 y=2x+3 和 y=2x-2 为例）： 步骤 1：列表（选取 x 的若干值，计算 y 值） x -2 -1 0 1 2 y=2x+3 -1 1 3 5 7 y=2x-2 -6 -4 -2 0 2 步骤 2：描点（分别描出两组对应点） 步骤 3：连线（用直线连接，向两端无限延伸） 观察发现（加粗）： 一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线，因此也称为 “线性函数”。 画法优化：两点法（无需多取点），推荐选取：延续正比例函数的探究方法： 当 k>0 时（以 y=2x+3 为例）： 取 x₁=-1，y₁=1；x₂=1，y₂=5（x₁<x₂）→ y₁<y₂； 结论：k>0 时，y 随 x 的增大而增大（图象从左到右上升）。 当 k<0 时（以 y=-x+1 为例）： 取 x₁=-1，y₁=2；x₂=1，y₂=0（x₁<x₂）→ y₁>y₂； 结论：k<0 时，y 随 x 的增大而减小（图象从左到右下降）。 核心性质（加粗）： 一次函数 y=kx+b（k≠0）的增减性仅由 k 的符号决定，与 b 的大小无关： k>0 → 增函数（y 随 x 增大而增大）； k<0 → 减函数（y 随 x 增大而减小）。 拓展：k 的绝对值影响直线倾斜程度（k≠0）： |k | 越大，直线越靠近 y 轴（倾斜越陡）； |k | 越小，直线越靠近 x 轴（倾斜越平缓）。 第 7 页：例题讲解 例 1：已知一次函数 y=(m-1) x+m+2 的图象经过第一、二、四象限，求 m 的取值范围。 解： 图象过第一、二、四象限 → 满足 k<0 且 b>0； k=m-1 < 0 → m<1； b=m+2 > 0 → m>-2； 综上：-2 < m < 1。 答：m 的取值范围是 - 2<m<1。 例 2：已知一次函数 y=-2x+4，回答下列问题： （1）求图象与 x 轴、y 轴的交点坐标； （2）判断 y 随 x 的变化趋势； （3）画出函数图象； （4）当 x 为何值时，y>0？ 解： （1）与 x 轴交点（令 y=0）：-2x+4=0→x=2，交点 (2,0)；与 y 轴交点（令 x=0）：y=4，交点 (0,4)； （2）k=-2<0 → y 随 x 的增大而减小； （3）画图：描点 (2,0) 和 (0,4)，连线（略）； （4）y>0 → -2x+4>0→x<2。 例 3：比较一次函数 y=3x-1 和 y=-x+2 的性质，填空： （1）y=3x-1 的 k=，b=，y 随 x 的增大而______，图象经过第______象限； （2）y=-x+2 的 k=，b=，y 随 x 的增大而______，图象经过第______象限； （3）当 x=2 时，两个函数的函数值分别为______和______，此时______的函数值更大。 第 8 页：课堂练习 基础题： 一次函数 y=-3x+5 的图象经过第______象限，y 随 x 的增大而______，与 y 轴的交点坐标是______。 若一次函数 y=(2k-3) x+1 的 y 随 x 的增大而增大，则 k 的取值范围是______。 提升题： 已知一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象过点 (0, -3)，且当 x=2 时，y=1，求函数关系式，并判断图象经过哪些象限。 已知一次函数 y=mx+n（m≠0），当 x₁=1 时 y₁=3，x₂=3 时 y₂=1，判断 y 随 x 的变化趋势，并求当 x=5 时的 y 值。 第 9 页：课堂小结 核心知识点（表格梳理）： 一次函数 y=kx+b（k≠0） 核心特征 性质总结 图象形状 一条直线 两点法画图（与坐标轴交点） 与正比例函数关系 k 相等则平行，b 决定截距 可由 y=kx 平移得到 象限分布 由 k、b 共同决定 先定 k（倾斜），再定 b（截距） 增减性 仅由 k 决定 k>0→y 随 x 增大而增大；k<0→y 随 x 增大而减小 数学思想： 数形结合（图象→k、b 符号→性质，反之亦然）； 类比思想（由正比例函数迁移到一次函数）； 分类讨论（k>0 与 k<0，b>0、b=0、b<0）。 易错点提醒： 混淆 k、b 的作用（增减性只与 k 有关，与 b 无关）； 画图象时未取与坐标轴的交点，导致误差； 判断象限时遗漏 k 或 b 的符号分析。 第 10 页：布置作业 教材习题 4.3 第 3、5、6、9 题 实践题： 画出一次函数 y=x+1、y=-x+1、y=2x+1、y=-2x+1 的图象，观察它们的交点特征，总结 b 相同的一次函数图象的共性。 思考题： 如何利用一次函数的图象与性质，解决 “两个一次函数图象的交点坐标” 问题？（为后续 “一次函数与方程、不等式” 铺垫） 情景导入 一级标题：黑体， 2 视频导入 情景导入 一级标题：黑体， 3 -3 -2 -1 5 4 3 2 1 0 -2 -3 -4 -5 2 3 4 5 x y 1 y=-2x＋1 描点、 连线 一次函数的图象 是什么？ -1 列表 x –2 –1 0 1 2 y=-2x+1 5 3 1 –1 –3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 画出一次函数y=-2x+1的图象. 例 解： 探究新知 4 一次函数y=kx＋b的图象也称为直线y=kx＋b. 归纳小结 (0, b) ( , 0) y=kx+b 由于两点确定一条直线，画一次函数图象时 我们只需描点(0，b)和点 或 (1，k+b)，连线即可. 与x轴的交点坐标 与y轴的交点坐标 探究新知 画出函数y=-6x与y=-6x+5的图象. x ... -1 0 ... y=-6x ... ... y=-6x+5 ... ... 6 0 11 5 O 2 x y 1 2 3 -2 -1 8 6 4 10 12 列表 描点 连线 探究一 解： 探究新知 观察与比较： 这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 .函数y=-6x的图象经过原点，函数 y=-6x+5的图象与y轴交于点 ，即它可以看作由直线y=-6x向 平移 个单位长度得到. 比较上面两个函数图象的相同点与不同点.填出你的观察结果并与同伴交流. 一条直线 （0,5） 相同 上 5 O 2 x y 1 2 3 -2 -1 8 6 4 10 12 探究新知 2 -2 -4 -6 -2 2 x y O x … -2 1 … y=2x … -4 2 … y=2x-3 … -7 -1 … 描点 连线 列表 画一次函数y=2x与 y =2x-3 的图象． y =2x-3 y =2x 4 探究新知 探究二 解： 探究新知 比较上面两个函数的图象回答下列问题： （2）函数 y=2x 的图象经过 ，函数 y= 2x-3的图像与y轴交于点( )，即它可以看作由直线 y=2x向 平移 个单位长度而得到. （1）这两个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度 . 原点 0 ，-3 下 3 一条直线 相同 (3)在同一直角坐标系中，直线 y =2x -3与 y =2x的位置关系是 . 平行 探究新知 探究新知 探究新知 归纳总结 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点（0，b），可以由正比例函数y=kx的图象平移 个单位长度得到（当b＞0时，向 平移；当b＜0时，向 平移）. 下 上 探究新知 O 例 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象： （1） y=-2x-1；（2） y=0.5x+1 x 0 1 y=-2x-1 y=0.5x+1 -1 -3 1 y=-2x-1 1.5 y=0.5x+1 也可以先画直线 y=-2x与 y=0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=-2x-1与 y=0.5x+1. 素养考点 1 画一次函数的图象 探究新知 解： 探究新知 在同一直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出三个函数的图象有什么关系. y=x-1 y=x y=x+1 解：列表： 描点并连线： x 0 1 y=x-1 y=x y=x+1 -1 0 0 1 1 2 巩固练习 -3 y=x-1 y=x+1 4 2 -2 -4 4 x y O y = x -3 -2 2 1 1 -1 3 3 -1 变式训练 三个函数图像的关系是互相平行 探究新知 画出函数y=x+1， y=-x+1， y=2x+1， y=-2x+1的图象. x 0 1 y=x+1 y=-x+1 y=2x+1 y=-2x+1 1 2 1 0 1 3 1 -1 O 1 x y 1 -1 -1 y=x+1 y=-x+1 y=2x+1 y=-2x+1 探究新知 知识点 2 一次函数的性质 探究新知 观察函数y=x+1， y=-x+1， y=2x+1，y=-2x+1的图象. 一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）中，k的正、负对函数图象有什么影响？ 当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小. O 1 x y 1 -1 -1 y=x+1 y=-x+1 y=2x+1 y=-2x+1 探究新知 探究新知 例 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是一次函数y=-0.5x+3图象上的两点，下列判断中，正确的是( ) A.y1＞y2 C.当x1＜x2时，y1＜y2 B. y1＜y2 D.当x1＜x2时，y1＞y2 D 提示：反过来也成立：y越大，x就越小． 素养考点 1 利用一次函数的性质比较大小 探究新知 探究新知 1.在直线y=3x+6上，对于点A（x1,y1)和B（x2，y2)若x1>x2，则y1 y2.(填写大小关系） 2.下列一次函数中，y随x的增大而减小的是（ ） > B 巩固练习 变式训练 探究新知 k 0，b 0 > > k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 k 0，b 0 > > > < < < < < = = 根据一次函数的图象判断k，b的正负，并说出直线经过的象限： 知识点 3 一次函数经过象限与字母k，b的关系 探究新知 x y O x y O x y O x y O x y O x y O 探究新知 一次函数y=kx＋b中，k，b的正负对函数图象及性质有什么影响？ 当k＞0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐上升，y随x的增大而增大. ① b>0时，直线经过第 一、二、四象限； ② b<0时，直线经过第二、三、四象限. ① b>0时，直线经过第一、二、三象限； ② b<0时，直线经过第一、三、四象限. 探究新知 当k＜0时，直线y=kx＋b由左到右逐渐下降，y随x的增大而减小. 探究新知 例 已知一次函数 y=(1-2m)x+m-1 , 求满足下列条件的m的值： （1）函数值y 随x的增大而增大； （2）函数图象与y 轴的负半轴相交； （3）函数的图象过第二、三、四象限； 解：(1)由题意得1-2m>0，解得 (2)由题意得1-2m≠0且m-1<0，即 (3)由题意得1-2m<0且m-1<0，解得 素养考点 1 利用一次函数的性质求字母的值 探究新知 探究新知 知识点1 一次函数的图象 1.在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是( ) C A. B. C. D. 返回 考试考法 20 2.一次函数 的图象不经过的象限是( ) A A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 返回 考试考法 21 3.［教材复习题 变式］ 如图，一次函数 的图象与轴负半轴交于点，与 轴正半轴 交于点 ，则下列结论正确的是( ) A A., B.， C.， D.， 返回 考试考法 22 4.已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点 。 考试考法 23 （1）在给定的直角坐标系中，画出一次函数 的图象； 解：如图所示。 考试考法 24 （2）求， 两点的坐标。 解：因为,所以当时， ； 当时， 。 所以, 。 返回 考试考法 25 知识点2 一次函数的性质 5.下列一次函数中，随 的增大而减小的是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 26 6.［2025西安碑林区月考］下列关于一次函数 的说法中， 错误的是( ) D A.图象与轴的交点坐标为 B.的值随着 的值的增大而减小 C.图象经过第一、二、四象限 D.当时， 返回 考试考法 27 7.［2024镇江中考］点，在一次函数 的图象 上，则___（用“ ”“”或“ ”填空）。 返回 考试考法 28 8.［2024长春中考］已知直线，是常数经过点，且 随的增大而减小，则 的值可以是_________________。（写出一个即可） 2（答案不唯一） 返回 考试考法 29 一次函数的图象和性质 当k>0时，y的值随x值的增大而增大； 当k<0时，y的值随x值的增大而减小. 与y轴的交点是（0，b）， 与x轴的交点是（ ，0）， 当k>0， b>0时，经过一、二、三象限； 当k>0 ，b<0时，经过一、三、四象限； 当k<0 ，b>0时，经过 一、二、四象限； 当k<0 ，b<0时，经过二、三、四象限. 图象 性质 课堂小结 谢谢观看！ Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $