4.4.1根据一次函数的图象确定表达式 课件- 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“根据一次函数的图象确定表达式”核心知识点，通过情景导入复习正比例函数与一次函数的图象及性质，搭建从特殊（正比例函数）到一般（一次函数）的学习支架，衔接旧知与新知，引导学生逐步掌握待定系数法。 其亮点在于结合斜坡下滑、弹簧长度等生活实例，通过归纳“设、列、解、还原”四步法培养推理意识，用几何面积、门票费用等问题发展模型观念，帮助学生提升数学思维，教师可借助丰富实例和清晰小结提高教学效率。

北师大（2024）版数学8年级上册 第四章 一次函数 4.4.1根据一次函数的图象确定表达式 正比例函数y＝kx的图象是什么形状？正比例函数有什么性质呢？ 2. 一次函数y＝kx＋b的图象是什么形状？一次函数有什么性质呢？ 是过原点的一条直线.性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小 是过点（0，b）和点 的一条直线.性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小 情景导入 第 1 页：封面 标题：4.4.1 根据一次函数的图象确定表达式 副标题：人教版初中数学七年级下册 制作者：XXX 背景图：平面直角坐标系中，一条直线（标注两个已知点坐标 (1,3)、(0,1)），旁附问号 “该直线对应的一次函数表达式是什么？” 第 2 页：复习回顾与情境导入 复习旧知： 一次函数的表达式：y=kx+b（k≠0，k、b 为常数），需确定 k 和 b 两个参数才能确定表达式。 一次函数的图象：过两点的直线，图象上任意一点的坐标 (x,y) 都满足函数表达式。 情境设问： 已知一次函数的图象是一条直线（如图），我们能通过图象上的点求出 k 和 b 的值，进而确定表达式吗？ 确定 k 和 b 需要几个条件？图象上的点能提供什么关键信息？ 课题引入：今天我们学习 “根据一次函数的图象确定表达式”，解锁 “由形求数” 的逆向思维！ 第 3 页：探究一：确定一次函数表达式的核心方法 核心原理（加粗）： 一次函数 y=kx+b（k≠0）有两个未知参数 k 和 b，因此需要两个独立的条件（通常是图象上两个点的坐标），代入表达式建立二元一次方程组，求解即可得到 k 和 b 的值。 方法步骤（以 “已知图象过两点 A (x₁,y₁)、B (x₂,y₂)” 为例）： 步骤 1：设表达式：设所求一次函数的表达式为 y=kx+b（k≠0）； 步骤 2：代坐标：将两点坐标分别代入表达式，得到方程组：\( \begin{cases} yâ�� = kxâ�� + b \\ yâ�� = kxâ�� + b \end{cases} \) 步骤 3：解方程组：求解上述二元一次方程组，得到 k 和 b 的值； 步骤 4：写表达式：将 k 和 b 的值代入 y=kx+b，即为所求函数表达式。 关键提醒： 若图象过原点，则 b=0，表达式简化为 y=kx，只需一个非原点的点即可求 k（正比例函数的特殊情况）。 第 4 页：探究二：由图象上的特殊点确定表达式 特殊点类型及优势： 与坐标轴的交点（(0,b) 和 (-b/k, 0)）：其中 (0,b) 直接给出 b 的值（截距），可简化计算； 整点（横、纵坐标均为整数的点）：计算方程组时更简便，减少误差。 实例演示（图象过 (0,2) 和 (3,8)）： 步骤 1：设表达式 y=kx+b； 步骤 2：代入 (0,2)→2=k×0+b→b=2（直接得出 b 的值）； 步骤 3：代入 (3,8)→8=3k+2→3k=6→k=2； 步骤 4：表达式为 y=2x+2。 结论：优先选取图象上的特殊点（如与 y 轴交点、整点），可简化求解过程。 第 5 页：例题讲解 例 1：已知一次函数的图象经过点 A (1,3) 和 B (-2,-3)，求该函数的表达式。 解： 设一次函数表达式为 y=kx+b（k≠0）； 将 A (1,3)、B (-2,-3) 代入，得方程组：\( \begin{cases} 3 = k + b \\ -3 = -2k + b \end{cases} \) 解方程组：用第一个方程减第二个方程→3 - (-3) = k + b - (-2k + b)→6=3k→k=2； 把 k=2 代入 3=k+b→b=3-2=1； ∴所求表达式为 y=2x+1。 例 2：如图，一次函数的图象与 y 轴交于点 (0,-1)，与 x 轴交于点 (2,0)，求该函数的表达式。 解： 设表达式为 y=kx+b； 由与 y 轴交点 (0,-1) 得 b=-1； 代入 x 轴交点 (2,0)→0=2k -1→k=½； ∴表达式为 y=½x -1。 例 3：已知正比例函数的图象经过点 (-2,4)，求该函数的表达式。 解： 正比例函数表达式为 y=kx（k≠0，b=0）； 代入 (-2,4)→4=-2k→k=-2； ∴表达式为 y=-2x。 第 6 页：例题拓展：结合图象性质确定表达式 例 4：已知一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象经过点 (1,2)，且 y 随 x 的增大而减小，试写出一个符合条件的函数表达式。 解： 代入点 (1,2)→2=k×1+b→b=2 - k； 由 y 随 x 增大而减小→k<0（取 k=-1，答案不唯一）； 当 k=-1 时，b=2 - (-1)=3； ∴符合条件的表达式为 y=-x+3（或 y=-2x+4 等）。 第 7 页：课堂练习 基础题： 一次函数的图象经过点 (2,5) 和 (0,1)，则该函数的表达式为______。 正比例函数的图象经过点 (3,-6)，则 k=，表达式为。 提升题： 已知一次函数的图象过点 (-1,-5) 和 (3,3)，求该函数的表达式，并判断点 (2,2) 是否在该图象上。 一次函数的图象与直线 y=2x 平行（k 相等），且经过点 (0,-3)，求其表达式。（提示：平行则 k 相同） 第 8 页：课堂小结 核心方法： 确定一次函数表达式的 “四步走”：设表达式→代坐标→解方程组→写表达式； 关键：需两个独立条件（通常是两个点的坐标），正比例函数只需一个点（b=0）。 技巧总结： 优先选取特殊点（与坐标轴交点、整点）简化计算； 结合图象性质（如增减性、与已知直线平行）可快速确定 k 的符号或值。 数学思想： 数形结合（图象上的点→坐标→代数方程→表达式）； 方程思想（通过建立方程组求解未知参数 k 和 b）。 易错点提醒： 设表达式时遗漏 k≠0 的条件（虽不影响计算，但概念需明确）； 代入坐标时混淆 x、y 的对应关系（如将 (x₁,y₂) 代入）； 解方程组时计算错误（建议代入原点点验证）。 第 9 页：布置作业 教材习题 4.4 第 1、2、3 题 实践题： 画出一次函数 y=3x-2 的图象，选取图象上两个点，用本节课方法反推表达式，验证是否一致。 思考题： 若只知道一次函数的图象经过一个点，且知道它与另一个一次函数的交点坐标，能否确定表达式？（为后续综合应用铺垫） 情景导入 一级标题：黑体， 3 t/秒 (1)请写出 v 与 t 的关系式； (2) v=7.5 米／秒 （２，５） 某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v （米/秒） 与其下滑时间 t （秒）的关系如右图所示： 解：(1)设v＝kt， 因为(2,5)在图象上， 所以5＝2k， k=2.5，即v=2.5t. (2)下滑3秒时物体的速度是多少？ （2，5） 探究新知 一次函数的图象过点 （2，5）与（0，0），因此这两点的坐标适合一次函数y=kx+b. 知识点 1 待定系数法求一次函数的解析式 探究新知 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米.请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度. 解：设y=kx+b(k≠0) 由题意得：14.5=b,16=3k+b, 解得：b=14.5 ; k=0.5.所以在弹性限度内，y=0.5x+14.5, 当x=4时，y＝0.5×4+14.5=16.5（厘米）. 即物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5厘米. 例 探究新知 探究新知 你能归纳出待定系数法求函数解析式的基本步骤吗？ 函数解析式 解析式中未知的系数 像这样先设出____________ ，再根据条件确定____________________ ，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法. 探究新知 探究新知 探究新知 归纳总结 （1）设：设一次函数的一般形式 求一次函数解析式的步骤: y=kx+b(k≠0) 一次 （2）列：把图象上的点 ， 代入一次 函数的解析式，组成几个_________方程； （3）解：解几个一次方程得k,b； （4）还原：把k,b的值代入一次函数的解析式. 探究新知 函数解析式y=kx+b 满足条件的两定点 一次函数的图象直线 画出 选取 解出 选取 从数到形 从形到数 数学的基本思想方法： 数形结合 整理归纳：从两方面说明： 探究新知 探究新知 例1 一次函数图像经过点(2,0)和点(0,6)，写出函数解析式. 解得： 这个一次函数的解析式为y=-3x+6. 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 把点（2，0）与（0，6）分别代入y=kx+b，得： 探究新知 素养考点 1 已知两点利用待定系数法求一次函数的解析式 探究新知 已知一次函数的图象过点（3，5）与（0，-4），求这个一次函数的解析式． 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 所以这个一次函数的解析式为 把点（3，5）与（0，-4）分别代入，得： y=3x-4. 巩固练习 变式训练 解得 , 探究新知 例2 若一次函数的图象经过点 A(2,0)且与直线y=-x+3平行，求其解析式. 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b. 探究新知 素养考点 2 已知一点利用待定系数法求一次函数的解析式 方法点拨：两直线平行，则一次函数中x的系数相等，即k的值不变. 因为一次函数图象与直线y= -x+3平行，所以k= -1. 又因为直线过点（2，0）， 所以0=-1×2+b, 解得b=2, y=-x+2. 所以解析式为 探究新知 解：设直线l为y=kx+b, 因为l与直线y= -2x平行，所以k= -2. 又因为直线过点（0，2）， 所以2=-2×0+b,解得b=2, 所以直线l的解析式为y=-2x+2. 已知直线l与直线y=-2x平行，且与y轴交于点(0，2)，求直线l的解析式. 巩固练习 变式训练 探究新知 例3 已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式. y x O 2 注意：此题有两种情况. 素养考点 3 探究新知 几何面积和待定系数法求一次函数的解析式 分析：一次函数y=kx+b与y轴的交点是（0，b），与x轴的交点是（ ，0）.由题意可列出关于k，b的方程. 探究新知 解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0), 因为一次函数y=kx+b的图象过点（0，2）， 所以b=2， 因为一次函数的图象与x轴的交点是( ，0)，则 解得k=1或-1. 故此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2. 探究新知 探究新知 正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为(3，4)，并且OB=5. (1)你能求出这两个函数的解析式吗？ (2)△AOB的面积是多少呢？ 分析：由OB=5可知点B的坐标为(0,-5).y=k1x的图象过点A(3，4)，y=k2x+b的图象过点A(3，4)，B(0,-5)，代入解方程(组)即可. 巩固练习 变式训练 探究新知 巩固练习 解：（1）由题意知道，B点的坐标是（0，-5） 因为一次函数y=k2x+b的图象过点（0，-5），（3,4） 代入得， 因此y=3x-5. 因为正比例函数y=k1x的图象过点（3,4）， 得 ， 因此 ， S△AOB=5×4÷2=10. 解得 ， 探究新知 知识点1 确定一次函数表达式 1.已知直线过点，则直线 对应的函数表达式是 ( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 17 2.［教材P随堂练习T变式］ 已知正比例函数 的图象经过点 。 （1）求这个函数的表达式； 解：将点的坐标代入,得 , 解得 , 所以这个函数的表达式为 。 （2）判断点 是否在这个函数的图象上。 解：当时，,所以点 不在这个函数 的图象上。 返回 考试考法 18 3.在平面直角坐标系内，一次函数的图象经过 ， ，三点，求这个一次函数的表达式及 的值。 解：由已知条件得，,,解得 。所以这个一次函数 的表达式为 。 因为一次函数的图象过点 ， 所以。所以 。 返回 考试考法 19 知识点2 借助一次函数表达式解决简单实际问题 4.游学期间，两名老师带领 名学生到展览馆参观，已知老师参观门票 每张40元，学生参观门票每张20元，设参观门票总费用为元，则与 的函数关系为( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 20 5.如图，用绳子围成周长为的长方形，记长方形的一边长为 ， 它的邻边长为，则关于 的函数表达式是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 21 6. 某地随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧 量也随之下降，即含氧量与大气压强 成正比例函数关系。 当时， 。 （1）含氧量与大气压强 之间的关系式是________； （2）当大气压强是时，含氧量是____ 。 87 返回 考试考法 22 7. ［教材 例1变式］物理实验证实：在弹性限度内， 某弹簧长度与所挂物体质量 满足一次函数关系。如表是实 验时，该弹簧长度与所挂物体质量的部分对应关系： 所挂物体质量 0 2 5 弹簧长度 15 19 25 （1）求与 之间的函数关系式； 解：设与之间的关系式为，把， 代入 ，得，再将，代入 ，易得 ，所以与之间的函数关系式为 。 考试考法 23 （2）当弹簧长度为 时，求所挂物体的质量。 解：当弹簧长度为 时， ，解得 ， 所以当弹簧长度为时，所挂物体的质量为 。 返回 考试考法 24 用待定系数法求一次函数的解析式 2. 根据已知条件列出关于k，b的方程； 1. 设所求的一次函数解析式为y=kx+b（k≠0）； 3. 解方程，求出k，b; 4. 把求出的k，b代回解析式即可. 课堂小结 谢谢观看！ Lavf57.71.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $