4.4.2利用一个一次函数的图象解决问题 课件-2025-2026学年 北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数图象的应用及与一元一次方程的关系，通过水库蓄水量、机器人行走试验（含视频）等现实情境导入，引导学生从图象读取信息过渡到方程求解，构建“形”到“数”的学习支架。 其亮点是以真实问题为载体，通过数形结合培养数学眼光（如从水库图象发现蓄水量与时间的关系）、思维（将图象问题转化为方程求解）和语言（归纳“读坐标—找关系—解方程”步骤）。如摩托车油量问题让学生用函数语言表达剩余油量与路程关系，资料含中考题，助力学生提升应用能力，教师教学更高效。

北师大（2024）版数学8年级上册 第四章 一次函数 4.4.2利用一个一次函数的图象解决问题 由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．蓄水量 V (万米3)与干旱持续时间t (天)的关系如下图所示，回答下列问题： (1)水库干旱前的蓄水量是多少？ (2)干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？ (3)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报．干旱多少天后将发出严重干旱警报？ (4)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？ 第 1 页：封面 标题：4.4.2 利用一次函数的图象解决问题 副标题：人教版初中数学七年级下册 制作者：XXX 背景图：平面直角坐标系中，反映 “路程 - 时间” 的一次函数图象（标注起点、终点、交点，旁附实际情境描述：“甲、乙两车从 A 地出发前往 B 地，图象反映了两车行驶路程与时间的关系”） 第 2 页：复习回顾与情境导入 复习旧知： 一次函数的图象：过两点的直线，图象上点的坐标 (x,y) 对应变量的一组取值。 图象与坐标轴交点的意义：与 x 轴交点（y=0）对应自变量的某个临界值，与 y 轴交点（x=0）对应自变量为 0 时的函数值。 情境设问： 如图是某手机套餐的月费 y（元）与通话时长 x（分钟）的函数图象，从图象中你能读出哪些信息？（如套餐费、超出部分单价等） 如何利用图象解决 “通话 100 分钟的月费是多少”“月费 50 元可通话多久” 这类问题？ 课题引入：今天我们学习 “利用一次函数的图象解决问题”，让图象成为解决实际问题的 “工具”！ 第 3 页：探究一：解读一次函数图象的关键信息 图象的核心要素解读（结合 “月费 - 通话时长” 图象）： 坐标轴含义：明确 x 轴（自变量）、y 轴（因变量）代表的实际意义及单位； 起点（与 y 轴交点）：x=0 时的函数值（如通话 0 分钟时的月费，即套餐费）； 变化趋势：由 k 的符号判断（k>0 时，y 随 x 增大而增大，如超出套餐后，通话时长越长，月费越高）； 特殊点：与 x 轴交点（y=0 时的自变量值，如免费通话时长）、整点（便于读取具体数值）； 斜率 k 的实际意义：k 表示自变量每增加 1 个单位，函数值的变化量（如超出套餐后，每分钟的通话费用）。 实例解读： 图象：过点 (0,20) 和 (50,30) 的直线（x：通话时长 / 分钟，y：月费 / 元）； 解读结果： 套餐费 20 元（x=0 时，y=20）； 超出套餐后，每分钟收费 0.2 元（k=(30-20)/(50-0)=0.2）； 通话 50 分钟时，月费 30 元。 第 4 页：探究二：利用图象解决 “已知自变量求函数值” 或 “已知函数值求自变量” 问题 两类基础问题的解题思路： 已知 x 求 y（如 “通话 100 分钟的月费”）： 方法：在 x 轴上找到对应 x 值，作 x 轴垂线交图象于一点，该点的纵坐标即为 y 值； 已知 y 求 x（如 “月费 50 元可通话多久”）： 方法：在 y 轴上找到对应 y 值，作 y 轴垂线交图象于一点，该点的横坐标即为 x 值。 实例演示（结合 “路程 - 时间” 图象，x：时间 / 小时，y：路程 / 千米）： 问题 1：行驶 2 小时的路程是多少？ 解答：x=2 时，垂线交图象于 (2,120)→路程 120 千米； 问题 2：路程达到 180 千米需要行驶多久？ 解答：y=180 时，垂线交图象于 (3,180)→时间 3 小时。 关键提醒：若图象是分段函数（如套餐未超出、超出两个阶段），需先判断 x 或 y 所在的区间，再对应到相应线段上求解。 第 5 页：探究三：利用图象解决实际应用中的比较、决策问题 常见应用场景：行程问题（两车速度、相遇时间）、费用问题（不同套餐性价比）、生产问题（产量与成本）等。 解题核心：抓住图象的 “交点” 和 “区间特征”： 交点意义：两个函数图象的交点坐标，对应两个变量取值相同时的情况（如两车相遇时的时间和路程、两种套餐月费相同时的通话时长）； 区间比较：交点两侧，哪个函数的图象更高（如通话时长小于交点横坐标时，A 套餐更便宜；大于时，B 套餐更便宜）。 实例演示（行程问题）： 图象：直线 l₁（甲车）过 (0,0) 和 (4,200)；直线 l₂（乙车）过 (1,0) 和 (4,180)（x：时间 / 小时，y：路程 / 千米）； 问题 1：甲、乙两车的速度分别是多少？ 解答：甲车速度 k₁=200/4=50km/h；乙车速度 k₂=180/(4-1)=60km/h； 问题 2：乙车出发后多久追上甲车？ 解答：求 l₁与 l₂的交点，设 l₁：y=50x，l₂：y=60 (x-1)，联立得 50x=60x-60→x=6，乙车出发时间 = 6-1=5 小时； 问题 3：出发 3 小时后，哪辆车在前？ 解答：x=3 时，l₁：y=150，l₂：y=60×2=120→甲车在前。 第 6 页：例题讲解 例 1：如图是某出租车的车费 y（元）与行驶路程 x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题： （1）出租车的起步价是多少元？（x=0 到 x=3 的部分） （2）行驶 5 千米的车费是多少元？ （3）若车费为 16 元，行驶了多少千米？ 解： （1）由图象与 y 轴交点 (0,8) 可知，起步价 8 元（3 千米内收费 8 元）； （2）图象过 (3,8) 和 (6,14)，k=(14-8)/(6-3)=2 元 / 千米，表达式为 y=2 (x-3)+8=2x+2（x≥3）； 当 x=5 时，y=2×5+2=12 元； （3）当 y=16 时，16=2x+2→x=7 千米。 例 2：甲、乙两家超市出售同一种商品，其价格 y（元）与购买数量 x（千克）的函数图象如图所示（甲超市：直线过 (0,0) 和 (5,10)；乙超市：直线过 (0,3) 和 (5,10)），回答下列问题： （1）甲、乙超市该商品的单价分别是多少？ （2）购买多少千克时，两家超市的价格相同？ （3）若购买 8 千克，选择哪家超市更省钱？ 解： （1）甲超市单价：k₁=10/5=2 元 / 千克；乙超市单价：k₂=(10-3)/5=1.4 元 / 千克； （2）甲：y=2x，乙：y=1.4x+3，联立得 2x=1.4x+3→x=5 千克（与图象交点一致）； （3）x=8 时，甲：y=16 元，乙：y=1.4×8+3=14.2 元→选乙超市。 第 7 页：课堂练习 基础题： 如图是某水库的蓄水量 y（万立方米）与来水时间 x（天）的函数图象（过 (0,100) 和 (5,300)），则： 来水前水库的蓄水量是______万立方米； 每天的来水量是______万立方米； 来水 8 天后，水库的蓄水量是______万立方米。 提升题： 某公司推出 A、B 两种办公软件的收费方案，A 方案：每月固定费 30 元，另按使用时长每小时收 2 元；B 方案：无固定费，按使用时长每小时收 5 元。 分别画出两种方案的费用 y（元）与使用时长 x（小时）的函数图象； 利用图象判断：每月使用时长超过多少小时，A 方案更划算？ 第 8 页：课堂小结 核心解题步骤： 第一步：解读图象（明确坐标轴意义、特殊点、变化趋势）； 第二步：转化问题（将实际问题转化为 “求 x”“求 y”“比较大小” 等数学问题）； 第三步：图象求解（利用垂线法、交点法、区间法得出答案）； 第四步：验证回归（将数学答案转化为实际问题的结论，验证合理性）。 关键技巧： 熟练读取特殊点（起点、交点、与坐标轴交点）的实际意义； 当图象信息不足时，可先根据图象确定函数表达式，再代入计算。 数学思想： 数形结合（将实际问题→图象→数学结论→实际答案）； 建模思想（将实际情境转化为一次函数模型）。 易错点提醒： 忽略坐标轴的单位（如 x 轴是 “小时” 还是 “分钟”）； 读取数值时误差过大（建议结合表达式计算验证）； 混淆 “自变量” 和 “因变量” 的对应关系（如误将 y 轴数值当作 x 值）。 第 9 页：布置作业 教材习题 4.4 第 4、5、7 题 实践题： 调查本地两种共享单车的收费标准（如 A 车：起步价 1 元 / 15 分钟，超时后 0.5 元 / 15 分钟；B 车：2 元 / 30 分钟），画出费用 y 与骑行时间 x 的函数图象，比较骑行 40 分钟时哪种车更便宜。 思考题： 若一次函数图象是分段直线（如超过一定范围后 k 值变化），如何解决这类复杂的实际问题？（为后续分段函数应用铺垫） 情景导入 一级标题：黑体， 2 视频导入 情景导入 一级标题：黑体， 3 由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量V(万m3)与干旱持续时间 t(天)的关系如图所示, 交流探究 探究新知 4 0 10 20 30 40 50 t/天 V/ 根据 图像 回答 下列 问题: (2)干旱持续10天,蓄水量为多少? 连续干旱23天呢? 1000 (1)水库干旱前的蓄水量是多少? 1200 1200 1000 800 600 400 200 (23,？) 探究新知 探究新知 0 10 20 30 40 50 t/天 V/ (3)蓄水量小于400时,将发生严重的干旱警报.干旱多少天后将发出干旱警报? 40天 (4)按照这个规律,预计持续干旱多少天水库将干涸? 60天 1200 100 800 600 400 200 探究新知 根据 图像 回答 下列 问题: 探究新知 某种摩托车加满油后，油箱中的剩余油量y(升)与摩托车行驶路程x(千米)之间的关系如图所示： 0 100 200 300 400 500 x/千米 y/升 10 8 6 4 2 探究新知 例 探究新知 0 100 200 300 400 500 x/千米 y/升 10 8 6 4 2 (1)油箱最多可储油多少升？ 解:当x=0时，y=10.因此，油箱最多可储油10L. 探究新知 根据 图像 回答 下列 问题: 探究新知 0 100 200 300 400 500 x/千米 y/升 10 8 6 4 2 (2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？ 解:当y=0时,x=500,因此一箱汽油可供摩托车行驶500km. 探究新知 根据 图像 回答 下列 问题: 探究新知 0 100 200 300 400 500 x/千米 y/升 10 8 6 4 2 (3)摩托车每行驶100千米消耗多少升汽油? 解: x从100增加到200时,y从8减少到6,减少了2,因此摩托车每行驶100千米消耗2升汽油. 探究新知 根据 图像 回答 下列 问题: 探究新知 0 100 200 300 400 500 x/千米 y/升 10 8 6 4 2 (4)油箱中的剩余油量小于1升时将自动报警.行驶多少千米后,摩托车将自动报警? 解:当y=1时,x=450,因此行驶了450千米后,摩托车将自动报警. 探究新知 根据 图像 回答 下列 问题: 探究新知 1.理解横纵坐标分别表示的实际意义； 3.利用数形结合的思想： 将“数”转化为“形” 由“形”定“数” 2.分析已知条件，通过作x轴或y轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值； 探究新知 归纳小结 探究新知 9 6 3 12 15 18 21 24 y/cm l 2 4 6 8 10 12 14 t/天 某植物t天后的高度为ycm,图中的l反映了y与t之间的关系，根据图象回答下列问题： （1）植物刚栽的时候多高？ （2）3天后该植物多高？ （3）几天后该植物高度可达21cm？ 9cm 12cm 12天 （3，12） （12，21） 巩固练习 0 探究新知 我们先来看下面两个问题： （1）解方程0.5x+1=0. （2）当自变量x为何值时函数y=0.5x+1的值为0？ 思考 1.对于0.5x+1=0 和y=0.5x+1，从形式上看，有什么相同和不同？ 2.从问题本质上看，（1）和（2）有什么关系？ 探究新知 知识点 2 一次函数与一元一次方程 探究新知 思考 函数图象哪一个点的坐标表示函数值为0? 与x轴的交点(-2,0) 即当x=-2时，函数y=0.5x+1的值为0，这说明方程0.5x+1=0的解是x=-2.方程的解是函数与x轴的交点的横坐标. 1 -2 0 x y 问题(1)解方程0.5x+1=0， 得x=-2. 所对应的（ ）为何值？ 实质上这可以通过解方程0.5x+1=0,得出x=-2.因此，这两个问题实际上是同一个问题. 问题(2)就是要考虑当函数y=0.5x+1的值为（ ）时 自变量x 0 作出函数y=0.5x+1的图象. 从图象上看： 探究新知 探究新知 思考 由上面两个问题的关系，能进一步得到解方程ax+b=0（a， b为常数）与求自变量x为何值时，一次函数y=ax+b的值为0有什么关系？ 探究新知 探究新知 由上面问题可以得到,一元一次方程的求解与解相应的一次函数问题相一致. 由于任何一个一元一次方程都可转化ax+b=0(a,b为常数,a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数值y为0时，求相应的自变量x的值.从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点的横坐标的值. 探究新知 探究新知 求ax+b=0(a, b是 常数，a≠0)的解 x为何值y= ax+b 的值为0 求ax+b=0(a, b是 常数，a≠0)的解 确定直线y= ax+b 与x轴交点的横坐标 从数的角度看 从形的角度看 探究新知 一次函数与一元一次方程的关系 探究新知 以下的一元一次方程与一次函数问题是同一问题 序号 一元一次方程问题 一次函数问题 1 解方程3x－2=0 当x为何值时, y=3x－2的值为0 2 解方程8x+3=0 3 当x为何值时, y= -7x+2的值为0 4 解方程 3x-2=8x+3 当x为何值时,y=8x+3的值为0 解方程-7x+2=0 当x为何值时, y=-5x-5的值为0 巩固练习 探究新知 例 一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答) 解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒， 由题意得2x+5=17, 解得 x=6. 答：再过6秒它的速度为17米/秒. 探究新知 素养考点 1 利用一次函数、方程及图象解答问题 探究新知 解法2：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5, 由2x+5=17 得 2x－12=0, 由右图看出直线y=2x－12与x轴的交点为（6，0），得x=6. O x y 6 －12 y=2x－12 探究新知 探究新知 解法3：速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数y=2x+5, 由右图可以看出当y =17时，x=6. y=2x+5 x y O 6 17 5 －2.5 探究新知 探究新知 1.当自变量x的取值满足什么条件时，函数y=2x+8的值满足下列条件？(1)y=0；(2)y=-8. 2.已知方程ax+b=0的解是-2，下列图象一定不是直线y=ax+b的是( ) 0 x y 0 x y 0 x y 0 x y -2 -2 -2 -2 -2 A B C D B x=-4； x=-8. 巩固练习 解: 变式训练 探究新知 知识点1 单个一次函数图象的应用 （第1题） 1.如图，某公司市场营销部的个人收入与其 每月的销售量成一次函数关系。由图中给出 的信息，预测营销人员销售2万件时的个人收 入是( ) B A.3 100元 B.13 000元 C.12 900元 D.28 000元 返回 考试考法 24 （第2题） 2.由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下 降。如图所示的是某水库蓄水量 （万立方米） 与干旱时间 （天）之间的关系图，请你根据此图 填空： （1）水库原蓄水量是_______万立方米，持续干 旱10天后，蓄水量为_____万立方米； 1 000 800 （2）水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱预报，则持续 干旱____天后，将发出严重干旱预报。按此规律，持续干旱____天时， 水库的水将干涸。 30 50 返回 考试考法 25 3. ［2024陕西中考］ 我国新能源汽车快速健康发展，续 航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从市前往 市，他驾车 从市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是 ，行驶了 后，从 市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶 的过程中，剩余电量与行驶路程 之间的关系如图所示。 考试考法 26 （1）求与 之间的关系式； 解：设与之间的关系式为，将代入，得 ，再 将代入，解得，所以与 之间的关系式 为 。 （2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从 市这一高 速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少。 解：当时，， 。 答：该车的剩余电量占“满电量”的 。 返回 考试考法 27 知识点2 一次函数与一元一次方程 4.［2025西安铁一中期中］一次函数 ，为常数且 的图象如图所示， 则关于的方程 的解为( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 28 5.一元一次方程的解是,则函数的图象与 轴 的交点坐标是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 29 6.如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象与 轴、轴分别交于点， ，请根据函数图象回答下列问题： （1）点的坐标是______，点 的坐标是______； （2）由函数图象可知，当时， 的值是___； 2 （3）当时，求 的值。 解：当时， , 解得 。 返回 考试考法 30 求一元一次方程 kx+b=0的解． 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数y= kx+b 中y=0时x的值． 从“函数值”看 求一元一次方程 kx+b=0的解． 求直线y= kx+b 与 x 轴交点的横 坐标． 从“函数图象”看 课堂小结 谢谢观看！ Lavf58.29.100 Packed by Bilibili XCoder v2.0.2 $