4.4.3利用两个一次函数的图象解决问题 课件- 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“利用两个一次函数的图象解决问题”，通过公司销售收入与成本关系图、乌鸦喝水故事量化问题导入，衔接一次函数性质（k、b意义），搭建从性质到图象应用的学习支架。 其亮点在于结合销售盈利、边防追及等现实案例，以图象分析培养抽象能力与几何直观，通过规范解题步骤强化推理意识，助力学生用数学语言解决实际问题，提升应用能力，也为教师提供丰富实例与清晰教学思路。

北师大（2024）版数学8年级上册 第四章 一次函数 4.4.3利用两个一次函数的图象解决问题 想一想一次函数具有什么性质? 在一次函数 中: 当 时，y随x的增大而增大， 当 时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当 时，直线交y轴于负半轴，必过一、三、四象限. 当 时，y随x的增大而减小， 当 时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、四象限； 当 时，直线交y轴于负半轴，必过二、三、四象限. 情景导入 一级标题：黑体， 2 情境导入 如图， l₁反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，l₂反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图意填空： (1)当销售量为2吨时，销售收入= _______元，销售成本= _____元； (2)当销售量为6吨时，销售收入= _____元，销售成本= _____元； (3)当销售量为_____时，销售收入等于销售成本； (4)当销售量_____ 时，该公司赢利；当销售量____ 时， 该公司亏损. (5)l₁对应的函数表达式是_____； l₂对应的函数表达式是_____ . 第 1 页：封面 标题：4.4.3 利用两个一次函数的图象解决问题 副标题：人教版初中数学七年级下册 制作者：XXX 背景图：平面直角坐标系中，两条相交的直线（标注为 l₁：甲方案费用，l₂：乙方案费用，交点标注 “(10,50)”，旁附情境：“两种收费方案的费用与使用时长的关系”） 第 2 页：复习回顾与情境导入 复习旧知： 单个一次函数图象的解读：坐标轴意义、特殊点（起点、交点）、k 的实际意义； 核心方法：由图象读信息，或先求表达式再计算。 情境设问： 如图是 A、B 两种健身卡的费用 y（元）与使用次数 x（次）的函数图象，从图象中你能看出哪种卡适合短期使用？哪种适合长期使用？ 两条直线的交点代表什么意义？如何利用交点和图象高低解决 “选哪种更划算” 的问题？ 课题引入：今天我们升级技能，学习 “利用两个一次函数的图象解决问题”，破解多方案对比、相遇追击等综合问题！ 第 3 页：探究一：两个一次函数图象交点的核心意义 交点的数学本质（加粗）： 设两个一次函数分别为 y₁=k₁x+b₁（k₁≠0）和 y₂=k₂x+b₂（k₂≠0），它们的图象交点坐标 (x₀,y₀)，是方程组\(\begin{cases}y=kâ��x+bâ��\\y=kâ��x+bâ��\end{cases}\)的解，即当 x=x₀时，y₁=y₂=y₀。 交点的实际意义（结合实例）： 实例 1（费用问题）：y₁=A 卡费用，y₂=B 卡费用，交点 (x₀,y₀)→使用 x₀次时，两种卡费用均为 y₀元（费用相等的临界次数）； 实例 2（行程问题）：y₁= 甲车路程，y₂= 乙车路程，交点 (x₀,y₀)→出发 x₀小时后，两车行驶路程均为 y₀千米（相遇时刻与地点）； 结论：交点是两个函数 “数值相等” 的临界状态，是后续比较决策的关键依据。 第 4 页：探究二：利用图象区间高低解决 “比较与决策” 问题 区间高低的实际意义（加粗）： 当 x < x₀（交点横坐标）时，若 y₁图象在 y₂下方→y₁ < y₂（方案 1 更优）； 当 x > x₀时，若 y₁图象在 y₂上方→y₁ > y₂（方案 2 更优）； 当 x = x₀时，y₁ = y₂（两方案等价）。 实例演示（费用问题）： 图象：l₁（A 卡）过 (0,20) 和 (10,50)；l₂（B 卡）过 (0,0) 和 (10,50)（x：使用次数，y：费用 / 元）； 解读： 交点 (10,50)→使用 10 次时，两卡费用均为 50 元； x < 10（短期使用）：l₂在 l₁下方→B 卡更便宜（如使用 5 次，A 卡 35 元，B 卡 25 元）； x > 10（长期使用）：l₁在 l₂下方→A 卡更便宜（如使用 15 次，A 卡 65 元，B 卡 75 元）。 解题步骤： 第一步：找交点（确定临界值 x₀）； 第二步：分区间（x <x₀、x = x₀、x> x₀）； 第三步：比高低（判断哪个函数值更小 / 更大，对应方案更优）。 第 5 页：探究三：分类应用 —— 行程问题（相遇、追击） 常见模型：两车同地不同时出发、同时不同地出发、相向而行、同向追击等。 核心思路： 设 x 为时间（小时），y 为路程（千米），建立两车的路程函数 y₁、y₂； 交点意义：相遇（路程相等时刻）； 图象高低：判断某一时刻哪辆车在前（路程更长）。 实例演示（同向追击问题）： 情境：甲车从 A 地出发，速度 40km/h；乙车晚 1 小时从 A 地出发，速度 60km/h，两车同向行驶。 函数表达式： 甲车：y₁=40x（x≥0）； 乙车：y₂=60 (x-1)（x≥1）； 图象分析： 交点求解：40x=60 (x-1)→x=3，y=120→乙车出发 2 小时后追上甲车（总时间 3 小时）； x <3 时：y₁> y₂→甲车在前； x > 3 时：y₂ > y₁→乙车在前。 图示：坐标系中画出两条直线，标注起点、交点，注明各区间车辆位置关系。 第 6 页：探究四：分类应用 —— 费用问题（方案对比） 常见模型：两种套餐、两种购物方案、两种计费方式等。 核心思路： 设 x 为使用量（时长、数量等），y 为总费用（元），建立两方案的费用函数 y₁、y₂； 交点意义：费用相等的临界使用量； 图象高低：判断不同使用量下的最优方案。 实例演示（通信套餐问题）： 情境：套餐 A：月租 30 元，通话费 0.1 元 / 分钟；套餐 B：无月租，通话费 0.2 元 / 分钟。 函数表达式： 套餐 A：y₁=0.1x+30（x≥0）； 套餐 B：y₂=0.2x（x≥0）； 图象分析： 交点求解：0.1x+30=0.2x→x=300，y=60→月通话 300 分钟时，两套餐费用均为 60 元； x < 300 分钟：y₂ < y₁→套餐 B 更优； x > 300 分钟：y₁ < y₂→套餐 A 更优。 图示：标注两直线与 y 轴交点（套餐 A 起点 (0,30)，套餐 B 起点 (0,0)）、交点 (300,60)，区分区间优劣。 第 7 页：例题讲解 例 1：如图是甲、乙两车从相距 100 千米的 A、B 两地相向而行的路程 y（千米）与时间 x（小时）的函数图象，回答下列问题： （1）甲、乙两车的速度分别是多少？ （2）出发后几小时两车相遇？相遇时距离 A 地多少千米？ （3）出发 1.5 小时后，两车相距多少千米？ 解： （1）甲车：过 (0,0) 和 (2.5,100)→速度 k₁=100/2.5=40km/h； 乙车：过 (0,100) 和 (2.5,0)→速度 k₂=(0-100)/(2.5-0)=-40km/h（负号表示方向相反），实际速度 40km/h； （2）交点横坐标即为相遇时间，由图象得 x=1.25 小时，相遇时距离 A 地 y=50 千米（或联立方程 40x + 40x=100→x=1.25）； （3）x=1.5 时，甲车路程 y₁=60km，乙车路程 y₂=100-60=40km，相距 60+40-100=0？（修正：相向而行，1.5 小时后已相遇，相距 | 60 - (100-60)|=20 千米）。 例 2：某公司准备购买一批办公设备，有两种租赁方案： 方案一：先付押金 500 元，每月租金 200 元； 方案二：无押金，每月租金 300 元。 （1）分别写出两种方案的费用 y（元）与租赁月数 x 的函数表达式； （2）画出函数图象，找出费用相等的租赁月数； （3）若租赁 10 个月，选择哪种方案更省钱？ 解： （1）方案一：y₁=200x+500；方案二：y₂=300x； （2）图象：方案一过 (0,500) 和 (5,1500)，方案二过 (0,0) 和 (5,1500)，交点 (5,1500)→租赁 5 个月时费用相等； （3）x=10 时，y₁=2500 元，y₂=3000 元→选方案一。 第 8 页：课堂练习 基础题： 如图是两种化肥的销售单价 y（元）与购买数量 x（千克）的函数图象（l₁：甲化肥，l₂：乙化肥），l₁过 (0,0) 和 (5,15)，l₂过 (0,8) 和 (5,15)，则： 甲化肥单价______元 / 千克，乙化肥单价______元 / 千克； 购买______千克时，两种化肥价格相等； 购买 8 千克时，选______化肥更省钱。 提升题： 甲、乙两人从同一地点出发，甲骑自行车以 12km/h 的速度匀速前进，半小时后，乙骑摩托车以 30km/h 的速度追赶甲，设 x 为甲出发后的时间（小时），y 为行驶路程（千米）。 分别写出甲、乙的路程函数表达式； 画出函数图象，求乙追上甲时甲行驶的时间和路程； 出发 1 小时后，谁在前面？相距多少千米？ 第 9 页：课堂小结 核心知识点： 交点意义：数学上是方程组的解，实际中是两方案 / 两车 “相等” 的临界状态； 区间决策：根据交点分区间，通过图象高低判断最优方案或位置关系； 常见模型：行程问题（相遇、追击）、费用问题（方案对比）。 核心解题步骤： 第一步：建模型（设变量，写两个函数表达式）； 第二步：画图象（或求交点）； 第三步：分区间（按交点横坐标分类）； 第四步：作决策（结合图象高低或计算判断）。 数学思想： 数形结合（图象→交点→区间→结论）； 建模思想（实际问题→函数模型→数学求解→实际答案）； 分类讨论（按 x 与交点横坐标的大小关系分类）。 易错点提醒： 忽略自变量的取值范围（如乙车出发时间晚，x≥1）； 混淆速度、路程、时间的关系（行程问题中单位统一）； 解读图象时误将 “图象高” 当作 “费用低”（需结合实际意义判断）。 第 10 页：布置作业 教材习题 4.4 第 6、8、9 题 实践题： 调查本地两家快递公司的收费标准（如 A 快递：首重 1kg 内 10 元，续重每 kg2 元；B 快递：首重 1kg 内 12 元，续重每 kg1.5 元），设快递重量为 x（kg，x≥1），费用为 y（元），完成： 写出两家公司的费用函数表达式； 画出函数图象，找出费用相等的重量； 若快递 3kg，选择哪家更省钱？ 思考题： 若两个一次函数的图象平行（k₁=k₂），说明什么？此时是否存在交点？实际问题中代表什么情况（如两方案永远不会费用相等）？ 情景导入 一级标题：黑体， 3 乌鸦喝水，是《伊索寓言》中一个有趣的寓言故事.故事梗概为:"一只口渴的乌鸦看到窄口瓶内有半瓶水，于是将小石子投入瓶中，使水面升高，从而喝到了水."告诉人们遇到困难要积极想解决办法，认真思考才能让问题迎刃而解的道理.数学问题也一样哦. 探究新知 10 cm 9 cm 如果将乌鸦喝水的故事进行量化，你能判断乌鸦丢进多少颗石子，水能刚好在瓶口？说说你的做法！ 导入新知 探究新知 如图，l1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系， l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象填空： （1）当销售量为2吨时，销售收入=　　元，销售成本=____元, 2000 x/ 吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 3000 l2 l1 探究新知 知识点 两个一次函数图象解答实际问题 探究新知 6 （2）当销售量为6吨时，销售收入=　　　元，销售成本＝　　元； 6000 5000 （3）当销售量为　　时，销售收入等于销售成本； 4吨 x/ 吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l2 l1 探究新知 探究新知 7 （4）当销售量　 　　　时，该公司盈利（收入大于成本）；当销售量　 　　时，该公司亏损（收入小于成本） ； 大于4吨 小于4吨 x/ 吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l2 l1 探究新知 探究新知 8 （5）l1对应的函数表达式是　　　　　　　　， 　　 l2对应的函数表达式是　　　　　　　　． 探究新知 x/ 吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l2 l1 探究新知 9 分析：这样的给图解关系式题，尤其是两个图一定分析清楚，看图知道l1的图过原点，关系式设为y=kx,解这个关系式只需要一个点的坐标.因为只有一个未知系数k.而l2的图不过原点，关系式设为y=k1x+b,解这个关系式需要两个点的坐标.因为有两个未知系数k1,b.k为什么带下标,因为同一个题出现两个.从图上可知所需点的坐标. 探究新知 探究新知 10 x/ 吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l2 l1 （2，2000） 解：设l1关系式是y=kx由图可知，图像过（2，2000）得 2000=2k, 解得k=1000，所以表达式y=1000x. 这里不能出现k，如果出现就代错值. 探究新知 探究新知 11 x/ 吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l2 l1 （2，3000） （0，2000） 设l2关系式是y=k1x+b由图可知，图像过（0，2000）（2，3000）得 2000=b 3000=2k1+b 解得b=2000，k1=500所以表达式y=500x+2000. 这里不能出现k1，b两个字母，如果出现就代错值. 探究新知 探究新知 12 （5）l1对应的函数表达式是　　　　　　　　， 　　 l2对应的函数表达式是　　　　　　　　． y=1000x y=500x+2000 x/ 吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 l2 l1 探究新知 探究新知 13 x/吨 y/元 O 1 2 3 4 5 6 1000 4000 5000 2000 3000 6000 销售成本 销售收入 l1 ：y=1000x和l2 ：y=500x+2000中的k和b的实际意义各是什么？ l2 l1 k的实际意义是表示销售每吨产品可收入或增加成本的量； b的实际意义是表示变化的起始值. 如k1表示销售每吨产 品可收入1000元, b2表示销售成本从 2000元开始逐步增加. b1表示收入从零到有. 如k2表示销售每吨产 品成本为500元, 探究新知 探究新知 我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶（如图）. 海 岸 公 海 B A 探究新知 例 探究新知 15 下图中 l1 ，l2 分别表示两船相对于海岸的距离s与追赶时间t之间的关系.根据图象回答下列问题: （1） l1 ，l2哪条直线表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系？ 解：观察图象，得当t＝0时，B距海岸0海里，即s＝0，故 l1 表示B到海岸的距离与追赶时间之间的关系. 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 探究新知 探究新知 （2）A、B 哪个速度快？ 解： t从0增加到10时，l2的纵坐标增加了2，而l1的纵坐标增加了5. 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 即10分钟内，A行驶了2海里，B行驶了5海里，所以B的速度快. 7 5 探究新知 探究新知 解：当t＝15时，l1上对应点在l2上对应点的下方, 这表明，15分钟时 B尚未追上A. 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 12 14 （3）15分钟内B能否追上 A？ 15 探究新知 探究新知 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 12 14 （4）如果一直追下去，那么B能否追上 A？ 　　解：如图延伸l1 、l2 相交于点P. 因此，如果一直追下去，那么B一定能追上A. P 探究新知 探究新知 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 12 14 P （5）照此速度，A逃到离海岸12海里前,B能否追上A？ 解：从图中可以看出，l1与l2交点P的纵坐标小于12. 这说明在A逃到离海岸12海里前，我边防快艇 B能够追上A. 10 探究新知 探究新知 解： k1表示快艇B的速度，k2表示可疑船只A的速度.可疑船只A的速度是0.2海里/分，快艇B的速度是0.5海里/分. 2 4 6 8 10 O 2 4 6 8 t /分 s /海里 l1 l2 B A 12 14 （6）l1与l2对应的两个一次函数y=k1x +b1与y=k2x+b2中，k1，k2的实际意义各是什么？可疑船只A与快艇B的速度各是多少？ 探究新知 探究新知 解析：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意得1600+100a=1400+100b, 1600+300a=1400+200b, 解得a=2,b=4. 故这次越野跑的全程为1600+300×2=220米． 一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米． 2200 巩固练习 探究新知 知识点 两个一次函数图象的应用 （第1题） 1.如图， 反映了某产品的销售收入与销 售量之间的关系， 反映了该产品的销售 成本与销售量之间的关系，根据图中信 息判断两个函数图象的交点表示的实际 意义为______________________。 销售收入等于销售成本 返回 考试考法 23 2.某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，甲、乙两卡所需费用 （元），（元）与入园次数（次）的函数关系如图所示。当 满足 ________时， 。 （第2题） 返回 考试考法 24 3.［教材习题 变式］ 一艘轮船和一艘快艇沿 相同路线从甲港出发到乙港，行驶路程随时间变化 的图象如图所示，下列结论错误的是( ) C A.轮船的速度为 B.轮船比快艇先出发 C.快艇的速度为 D.快艇比轮船早到 返回 考试考法 25 4.［教材 问题变式］某手工作坊生产并销售某种 食品，假设销售量与产量相等，如图所示的线段 ，分别表示每天生产成本（元）、收入 （元）与产量 之间的函数关系。 （1）分别求出,关于 的函数表达式； 解：设，将代入，得，再将 代 入，易得，所以。设 ，把 代入，得，解得，所以 。 考试考法 26 （2）若该手工作坊每天工作，每小时生产 食品，则一天可获 利润为多少元？ 解：设一天可获利润为 元， 则 。由题意得 ，所以 ， 所以一天可获利润为1 040元。 返回 考试考法 27 （第5题） 5.［2024济南中考］某公司生产了， 两款新 能源电动汽车。如图，,分别表示款， 款 新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量 与汽车行驶路程 的关系。当两 款新能源电动汽车的行驶路程都是 时， 款新能源电动汽车电池的剩余电量比 款新能 源电动汽车电池的剩余电量多____ 。 12 返回 考试考法 28 两个一次函数的应用 两个一次函数的交点问题 实际生活中的问题 课堂小结 谢谢观看！ $