精品解析：河南省三门峡市渑池县第二高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

渑池二高 2025—2026 学年上学期期中考试试题 高二数学 一、单选题（本题共8个小题，每个小题5分，共40分） 1. 经过两点，的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点坐标可得直线斜率，由斜率与倾斜角关系可得结果. 【详解】，，， 设直线的倾斜角为，则，. 故选：D. 2. 在空间直角坐标系中，已知三点共线，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 由题意， 解得. 故. 故选：D. 3. 圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】确定两圆的圆心与半径，确定圆与圆的位置关系，从而确定公切线的条数. 【详解】，圆心，半径为2，圆，圆心，半径为3， 两圆的圆心距为，大于两圆的半径之和，故两圆相离， 则两圆的公切线有4条. 故选：A. 4. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程以及点在圆外，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为点在圆外，则，解得. 故选：B. 5. 已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，应用向量法求点到平面的距离即可. 【详解】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：B 6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图及空间向量加法可得，后由题意及模长公式可得答案. 【详解】设，因为六面体是平行六面体， 所以，因为， 代入计算可得： ， 故有：，所以， 所以，因为，所以. 故选：B 7. 若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆的方程为：，结合条件列出方程组，求出半径即可求解. 【详解】设圆的方程为：， 所以，解得：， 所以圆的面积为； 故选：B 8. 在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由、的方程可得它们都过定点，，然后可得四边形OMPN为矩形，且，然后可求出答案. 【详解】将直线的方程变形得， 由，得，则直线过定点，同理可知，直线过定点， 所以，直线和直线的交点P的坐标为，易知，直线，如图所示， 易知，四边形OMPN为矩形，且， 设，，则， 四边形OMPN的面积为， 当且仅当，即当时，等号成立， 因此，四边形OMPN面积的最大值为， 故选：D 二、多选题（本题共3个小题，每个小题5分，共15分） 9. 设复数对应的向量分别为， (O为坐标原点)，则（ ）． A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的模的计算求得，判断A；根据向量共线的坐标表示可判断B；利用向量垂直的坐标表示可得，化简，根据其结果判断C；确定的几何意义是表示圆，利用的几何意义求得其最大值，判断D． 【详解】因为，所以，A正确； 由题意可知，， 若，则，B正确； 若，则，即， 故， 即仅当时，，时，，C错误； ，故，即， 则表示圆上的点到原点的距离， 故的最大值为，D正确， 故选：ABD． 10. 已知点，圆，则（ ） A. 点在直线上 B. 点可能在圆上 C. 圆上至少有2个点与点的距离为1 D. 过点作圆的切线，则切点弦过点 【答案】AD 【解析】 【分析】对选项A将点代入验证即可；对于选项B则求圆心到直线的距离可知直线与圆外离，即可得结果；对于C点P到圆上一点的最小值为1；对于D根据选项构造以线段为直径的圆，求出圆和圆的公共弦方程进而求解. 【详解】对A,点，代入直线方程得，故点在直线上．故A正确； 对B，圆心到直线的距离为（为圆的半径），故直线与圆相离，因此点不可能在圆上．故B错误； 对C，因为，所以圆上只有1个点与点的距离为1．故C错误； 对D,构造以线段为直径的圆，则线段为圆和圆的公共弦． 圆的直径式方程为， 整理得 ①． 圆方程化为一般式为，与①作差变形得的方程为．整理得，令解得即直线经过点．故D正确 故选：AD 11. 已知椭圆为椭圆的左焦点，点为坐标原点，点满足，经过的直线与椭圆的一个交点为是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由是直角时、是直角时、是直角三种情况讨论求解即可. 【详解】设，则，若是等腰直角三角形，则均有可能是直角. （1）当是直角时（如图1）： 因为的中点坐标为，即为右焦点. 又因为是等腰直角三角形，所以，所以，解得：，所以C正确； （2）当是直角时（如图2）： 因为是等腰直角三角形，所以，即，解得：，所以D正确； （3）当是直角时（如图3）： 因为是等腰直角三角形， 所以，所以， 因为点在椭圆上，所以，解得，所以B正确. 故选：BCD. 三、填空题（本题共3个小题，每个小题5分，共15分） 12. 已知点为坐标原点，，点在线段上移动，则直线与直线所成角的大小为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的夹角直接计算可得. 【详解】， 因为点在线段上移动，设，, ，， 因为，所以， 所以直线与直线所成角的大小为. 故答案为：. 13. 在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点为线段的中点，则周长的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设G关于平面对称的点为，的周长，再通过建系以及转化思想转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况，由此可得结果. 【详解】 设G关于平面对称的点为，连接，则， ，的周长， 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则,，， 设，则，所以 即点到与距离和的最小值， 设关于x轴对称的点为， 则 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中到定点和到动点的距离和的最值问题的求解，解题关键是转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况. 14. 在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得点到直线距离的最小值. 【详解】因为四边形为正方形，底面，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，则、、， ，， 故点到直线距离为 令， 因为函数在上单调递增， 故当时，即当时，取最小值，即. 故答案为：. 四、解答题 15. 在中，角、、的对边分别为、、.已知. （1）求； （2）若，，点在边上，且，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的正切公式结合诱导公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由余弦定理可得出关于的等式，结合可得出的值，根据题意可得出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长. 【小问1详解】 由两角和的正切公式可得， 即，故， 因为，故. 【小问2详解】 由余弦定理可得，即，即， 因为，解得， 因为点在边上，且，故， 在中，，，， 由余弦定理可得， 故. 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化简已知条件得，然后利用余弦定理求得，根据的范围求解即可； （2）先利用面积公式得，然后利用余弦定理及完全平方公式得，即可求解周长. 【小问1详解】 在中，由得： ，即， 所以，所以，所以， 所以，又，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 又，所以， 所以，故， 所以的周长为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1） 由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图： 则，，，，，， ，，， ∵∴， ∵，∴， ∵,且平面，∴平面. （法二）证明：由题平面，底面为矩形，以为原点，直线，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系如图： 则，，，，，， 设是平面的一个法向量. ，. 取，有 ∴，， 则，. ∴平面. （法三）证明：连接 ∵平面，平面,∴. 在中，，. ∵，∴，且， ∴平面， 又∵平面，∴. ∵，又∵， ∴，∴. 且，且平面，∴平面. （2）. 【解析】 【分析】(1)利用坐标法或几何法利用线面垂直的判定定理证明；(2)利用空间向量计算面面角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （接向量法）由（1）可知平面的法向量为（也可为）. 平面的一个法向量为. . ∴平面PAM与平面PDC的夹角的余弦值为. （法二）延长AM，DC，交于点N，连接PN. ∵，∴平面，∵，∴平面. ∴平面平面. 过D做于，连接. ∵平面，∴. 又，， ∴平面，又平面，∴. 又∵，，平面, ∴平面，∴， ∴为二面角的平面角. 在中，， ∴. ∴平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作. （1）若，，求的斜60°坐标； （2）在平行六面体中，，，，如图，，，分别为与，，同方向的单位向量，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜60°坐标； ②若，且，求. 【答案】（1） （2）①；②2 【解析】 【分析】（1）通过“空间斜60°坐标系”的定义，化简为，，再计算的斜60°坐标. （2）设分别为与同方向的单位向量，则，，，①中，通过平行六面体得到，从而得到求向量的斜坐标；②中，通过平行六面体得到，由，得到，并结合题目中的，从而计算出值，并得到的值. 【小问1详解】 ， 的斜坐标为． 【小问2详解】 设分别为与同方向的单位向量， 则，， ① ； ②由题， 由，知， 由， ， ，解得， 则． 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求的方程. （2）过点的直线（不与轴重合）与交于M，N两点，是的右焦点. （i）证明：； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）设直线，，，， 联立，消去，整理得， ，得， ，， 所以直线的斜率，直线的斜率， ， 又 ， 所以，即. （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题意建立的方程组，求出，得解； （2）（i）设直线，与椭圆联立方程组得，通过验证证明； （ii）由，得，利用根与系数关系化简得，令，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 由题，可得，解得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由， 由于，则， ， 令，则， ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渑池二高 2025—2026 学年上学期期中考试试题 高二数学 一、单选题（本题共8个小题，每个小题5分，共40分） 1. 经过两点，的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，已知三点共线，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 圆与圆的公切线的条数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 如图，在平行六面体中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 若圆经过，圆心在直线上，则圆的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 二、多选题（本题共3个小题，每个小题5分，共15分） 9. 设复数对应的向量分别为， (O为坐标原点)，则（ ）． A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则的最大值为 10. 已知点，圆，则（ ） A. 点在直线上 B. 点可能在圆上 C. 圆上至少有2个点与点的距离为1 D. 过点作圆的切线，则切点弦过点 11. 已知椭圆为椭圆的左焦点，点为坐标原点，点满足，经过的直线与椭圆的一个交点为是等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3个小题，每个小题5分，共15分） 12. 已知点为坐标原点，，点在线段上移动，则直线与直线所成角的大小为__________. 13. 在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点为线段的中点，则周长的最小值为___________. 14. 在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为_____. 四、解答题 15. 在中，角、、的对边分别为、、.已知. （1）求； （2）若，，点在边上，且，求 16. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长. 17. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，点在上，且. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：，，分别为“斜60°坐标系”下三条数轴（x轴、y轴、z轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜60°坐标为，记作. （1）若，，求的斜60°坐标； （2）在平行六面体中，，，，如图，，，分别为与，，同方向的单位向量，以为基底建立“空间斜60°坐标系”. ①若，求向量的斜60°坐标； ②若，且，求. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求的方程. （2）过点的直线（不与轴重合）与交于M，N两点，是的右焦点. （i）证明：； （ii）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $