03整式与因式分解2026年九年级中考数学复习

该初中数学中考复习资料聚焦整式乘除与因式分解核心考点，按“概念-公式-方法-应用”逻辑构建知识体系，涵盖单项式乘除、公式应用及因式分解全题型，通过考点梳理、方法指导、真题训练三环节，帮助学生突破公式变式与分解技巧难点。 资料特色在于“变式探究+分层实战”设计，如平方差公式的六类变式训练培养数学思维，提公因式与公式法综合应用策略强化数学语言表达。设置三级练习与限时测评，助力学生高效掌握中考高频题型，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

整式乘法与因式分解 知识点1：单项式乘单项式 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 知识点2：单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 知识点3：多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 知识点4：单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 知识点5：多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 知识点6：平方差公式 平方差公式： 知识点7：平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 知识点8：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 知识点9：拓展、补充公式 ；； ；. 知识点10 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 知识点11公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 知识点12提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 知识点13公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 知识点14 提公因式与公式法综合 （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 知识点15十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ． 【随堂练习】 一．整式 1．（2024秋•秦安县期末）下列说法正确的是（　　） A．整式就是多项式 B．π是单项式 C．x4+2x3是七次二项式 D．是单项式 【分析】解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念及次数、项次，紧扣概念作出判断． 【解答】解：A、根据整式的概念可知，单项式和多项式统称为整式，故A错误； B、π是单项式，故B正确； C、x4+2x3是四次二项式，故C错误； D、是多项式，故D错误． 故选：B． 【点评】主要考查了整式的相关概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式． 2．（2025秋•郴州期中）在代数式：，2ab，x+5，，﹣4，，a2b﹣a，中，整式有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子，2ab，x+5，﹣4，，a2b﹣a，，符合整式的定义，是整式； 式子分母中含有字母，不是整式． 故整式有7个． 故选：D． 【点评】此题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 3．（2025秋•尚志市期中）下列式子中：，a，abc，x﹣y，8x3﹣7x2+2，整式有　4　 个． 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子a，abc，x﹣y，8x3﹣7x2+2，符合整式的定义，是整式； 式子分母中含有字母，不是整式． 故整式有4个． 故答案为：4． 【点评】此题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 4．（2025秋•株洲校级期中）在代数式中，整式的个数有　5　 个． 【分析】根据整式的定义求解． 【解答】解：式子0，x+y+1，﹣a，﹣3x2y，，符合整式的定义，是整式； 式子分母中含有字母，不是整式． 故整式有5个． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了整式的概念．要能准确的分清什么是整式．整式是有理式的一部分，在有理式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式． 5．（2024秋•清苑区期中）有下列一组式子：，，﹣2024，m，ab2c，s＝ab，，，a﹣b 将上述符合要求的式子分别填入下面的圈中． 【分析】根据单项式是指数字与字母或字母与字母乘积的形式，单独的字母或数字也是单项式．多项式：几个单项式和的形式．据此进行分析，即可作答． 【解答】解：根据单项式和多项式的定义可得： 【点评】本题考查了单项式和多项式的定义，掌握单项式和多项式的定义是解题的关键． 6．（2024秋•浦东新区校级期中）已知A和B为两个整式，且A+B＝3x2﹣2xy+y2﹣1，A﹣B＝x2+xy﹣y2+2，求出整式A和B． 【分析】根据整式的加减运算法则即可得出答案． 【解答】解：设A+B＝3x2﹣2xy+y2﹣1为①，A﹣B＝x2+xy﹣y2+2为②， ①+②，得2A＝4x2﹣xy+1， ∴A＝2x2xy， ①﹣②，得2B＝2x2﹣3xy+2y2﹣3， ∴B＝x2xy+y2． 【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握整式的加减运算法则． 二．单项式乘单项式 7．（2025春•宁明县期末）计算： （1）； （2）． 【分析】（1）根据单项式乘单项式法则计算； （2）根据单项式除以单项式法则计算． 【解答】解：（1）； （2）原式． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键． 8．（2024秋•商水县期末）若（am+1bn﹣2）（a2n﹣1b2n）＝a5b3，则求m+n的值． 【分析】根据单项式乘单项式的计算法则得到am+1+2n﹣1bn﹣2+2n＝a5b3，据此可得，解之即可得到答案． 【解答】解：根据题意可知，am+1+2n﹣1bn﹣2+2n＝a5b3， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式的运算法则是关键． 9．（2025春•邗江区校级月考）计算： （1）a3•a5+（a2）4+（2a4）2； （2）（﹣2a2）3+3a2•a4﹣a8÷a2． 【分析】（1）先根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则进行计算，然后再合并同类项即可． （2）先根据同底数幂的乘法和除法，积的乘方运算法则进行计算，然后再合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式＝a8+a8+4a8 ＝6a8； （2）（﹣2a2）3+3a2•a4﹣a8÷a2 ＝﹣8a6+3a6﹣a6 ＝﹣6a6． 【点评】本题主要考查了整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则是解题的关键． 三．整式的混合运算 10．（2025秋•绿园区校级期中）计算、化简： （1）； （2）； （3）x2•x4+（﹣x3）2﹣x7÷x； （4）（﹣2x2）（4xy3﹣y2）+（2xy）3． 【分析】（1）先算立方根、平方根，然后计算减法、加法； （2）先算乘方，去绝对值，然后计算加法即可； （3）根据同底数幂的乘除法则、幂的乘方法则进行计算； （4）先利用单项式乘多项式法则展开，再计算积的乘方，最后合并同类项． 【解答】解：（1） ＝﹣4﹣3 ＝﹣7 ； （2） ＝﹣1 ； （3）x2•x4+（﹣x3）2﹣x7÷x ＝x6+x6﹣x6 ＝x6； （4）（﹣2x2）（4xy3﹣y2）+（2xy）3 ＝﹣8x3y3+2x2y2+8x3y3 ＝2x2y2． 【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 11．（2025秋•金坛区期中）【阅读】如果一个多项式中只含有一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：1﹣（2x﹣3x2）与1﹣2x+3x2.当x任取一个数时，如x＝0，﹣1，1，⋯，a，这两个多项式的值都是相等的．因此，多项式1﹣（2x﹣3x2）与1﹣2x+3x2是恒等的． 【探究】 （1）若关于x的多项式﹣2x3+bx﹣1与ax3+4x﹣1恒等（其中a，b是常数），则a＝　﹣2　 ，b＝　4　 ； （2）若关于x的多项式（a+2b）x2+cx﹣2与3x2+（2a+4b﹣1）x﹣2恒等（其中a，b，c是常数），求c的值； 【拓展】 （3）若关于x的多项式（a﹣ab+b﹣4）x2﹣2x与（a+ab+b）x+c﹣a﹣b恒等（其中a，b，c是常数），求c的值． 【分析】（1）根据题意，得到恒等式的对应项的系数相等，得到结果； （2）根据题意，得a+2b＝3，2a+4b﹣1＝c，得到结果； （3）得a﹣ab+b﹣4＝0①，a+ab+b＝﹣2②，c﹣a﹣b＝0③，由①②两式求得a+b＝1，整体代入③式中求得c值． 【解答】解：（1）∵关于x的多项式﹣2x3+bx﹣1与ax3+4x﹣1恒等（其中a，b是常数）， ∴﹣2x3+bx﹣1＝ax3+4x﹣1， ∴a＝﹣2，b＝4， 故答案为：﹣2，4； （2）∵关于x的多项式（a+2b）x2+cx﹣2与3x2+（2a+4b﹣1）x﹣2恒等（其中a，b，c是常数）， ∴a+2b＝3，2a+4b﹣1＝c， ∴2（a+2b）﹣1＝c， ∴2×3﹣1＝c， ∴c＝5； （3）∵关于x的多项式（a﹣ab+b﹣4）x2﹣2x与（a+ab+b）x+c﹣a﹣b恒等（其中a，b，c是常数）， ∴a﹣ab+b﹣4＝0①，a+ab+b＝﹣2②，c﹣a﹣b＝0③， 由①得a+b＝ab+4，由②得a+b＝﹣ab﹣2， ∴ab+4＝﹣ab﹣2， ∴ab＝﹣3， ∴a+b＝1， ∵由③得c＝a+b， ∴c＝1． 【点评】本题考查了新定义，整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键． 12．（2025秋•黄陂区期中）有7张相同的小长方形纸片（如图1所示），现将这7张相同的小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，设这两个长方形的面积分别为S1和S2（上方是S2）．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b． （1）当a＝12，b＝5，AD＝40时，求长方形ABCD的面积； （2）当AD＝40时，①用含a，b的代数式表示（S1﹣S2）＝ ab+40a﹣160b （直接写出结果）； ②若a＝3，b＝2，化简求：（S1﹣S2）+3ab﹣10a+100b的值． （3）若保持a，b的值不变，AD变长，将这7张相同的小长方形纸片还是按照同样的方式放在一个新的长方形ABCD内，在AD变化的过程中，满足（S1﹣S2）的值始终保持不变的条件下，求得代数式：2（9a2b+a﹣b）﹣6（3a2b﹣a+b）﹣24b+8的值为 　8　 （直接写出结果）． 【分析】（1）根据图形中AB＝a+4b，长方形ABCD的面积＝AB×AD； （2）利用图形s1＝a（AD﹣3b），s2＝4b（AD﹣a）将数代入； （3）利用（1）（2）得出的关系式，根据题目条件AD长度变，但是s1﹣s2值不变能够得出 式子中AD的系数（a﹣4b）为0，得出a＝4b，于是求出代数式的值是8． 【解答】解：（1）∵长方形ABCD的面积＝AB×AD， AB＝a+4b， ∵a＝12，b＝5，AD＝40， ∴AB＝a+4b＝12+20＝32， ∴长方形ABCD的面积＝32×40＝1280； （2）①∵s1＝a（AD﹣3b），s2＝4b（AD﹣a），AD＝40， ∴s1﹣s2＝40a﹣3ab﹣160b+4ab＝ab+40a﹣160b， 故答案为：ab+40a﹣160b， ②∵原式＝ab+40a﹣160b+3ab﹣10a+100b＝4ab+30a﹣60b， 若a＝3，b＝2， 原式＝4×3×2+30×3﹣60×2＝24+90﹣120＝﹣6； （3）∵a，b的值不变，AD变长， 由（2）s1﹣s2＝AD（a﹣4b）+ab， 当a＝4b时，在AD变化的过程中s1﹣s2的值始终不变， ∴2（9a2b+a﹣b）﹣6（3a2b﹣a+b）﹣24b+8 ＝18a2b+2a﹣2b﹣18a2b+6a﹣6b﹣24b+8 ＝8a﹣32b+8 ＝32b﹣32b+8 ＝8， 故答案为：8． 【点评】此题是四边形的综合题，考查了矩形的性质，整式的加减以及代数式求值问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 四．因式分解的意义 13．（2025秋•绿园区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x﹣3）（x+1）＝x2﹣2x﹣3 B．x2﹣xy＝x（x﹣y） C．ab+bc+d＝b（a+c）+d D．6x2y＝3xy•2x 【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．（x﹣3）（x+1）＝x2﹣2x﹣3，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； B．x2﹣xy＝x（x﹣y），从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意； C．ab+bc+d＝b（a+c）+d，等式的右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D．6x2y＝3xy•2x，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解的定义和方法，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 14．（2025秋•姑苏区校级期中）下列因式分解正确的是（　　） A．4m2﹣n2＝（4m﹣n）（4m+n） B．x2﹣4x﹣5＝x（x﹣4）﹣5 C．m2﹣9＝（m﹣3）（m+3） D．x2+16x+16＝（x+8）2 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【解答】解：4m2﹣n2＝（2m﹣n）（2m+n），则A不符合题意， x（x﹣4）﹣5只是对x2﹣4x﹣5进行了部分变形，并没有化成几个整式乘积的形式，因式分解要求结果是几个整式相乘，则B不符合题意， m2﹣9＝m2﹣32＝（m﹣3）（m+3），则C符合题意， x2+16x+16≠（x+8）2，则D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 15．（2024秋•鄂尔多斯期末）根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）　 ． 【分析】分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【解答】解：四个独立图形的面积和：x2+2x+4x+4×2＝x2+6x+8， 组合图形面积：（x+2）（x+4）， ∴x2+6x+8＝（x+2）（x+4）， 故答案为：x2+6x+8＝（x+2）（x+4）． 【点评】本题考查长方形的面积，因式分解定义，理解因式分解的定义是解题的关键． 16．（2025秋•松江区期中）若整式x2﹣x+m含有一个因式（x+2），则m的值是　﹣6　 ． 【分析】设另一个因式为（x+a），计算（x+2）（x+a）后得到关于a，m的方程，解方程即可． 【解答】解：设另一个因式为（x+a）， 则（x+2）（x+a） ＝x2+（a+2）x+2a ＝x2﹣x+m， 则a+2＝﹣1，m＝2a， 解得：a＝﹣3，m＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【点评】本题考查因式分解的意义，十字相乘法因式分解，熟练掌握其定义及分解因式的方法是解题的关键． 17．（2025秋•徐汇区校级期中）已知整式x2﹣x+k可以因式分解为（x+m）（x﹣5），则m的值为　4　 ． 【分析】将因式分解形式展开后与原多项式比较系数，建立方程求解． 【解答】解：x2﹣x+k＝x2+（m﹣5）x﹣5m， ∴m﹣5＝﹣1， ∴m＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查的是根据因式分解的结果求参数，熟练掌握该知识点是关键． 18．（2025春•渭滨区期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 【分析】根据例题中的已知的两个式子的关系，两个中二次三项式x2﹣4x+m的二次项系数是1，因式是（x+3）的一次项系数也是1，利用待定系数法求出另一个因式．所求的式子2x2+3x﹣k的二次项系数是2，因式是（2x﹣5）的一次项系数是2，则另一个因式的一次项系数一定是1，利用待定系数法，就可以求出另一个因式． 【解答】解：设另一个因式为（x+a），得： 2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）， 则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a ∴． 解得：a＝4，k＝20． 故另一个因式为（x+4），k的值为20． 【点评】正确读懂例题，理解如何利用待定系数法求解是解本题的关键． 19．（2024秋•江阳区校级期末）1637年笛卡尔（R．Descartes，1596﹣1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：x3+x2+3x﹣5． 解：观察可知，当x＝1时，原式＝0． ∴原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积． 设另一个整式为x2+bx+c．则x3+x2+3x﹣5＝（x﹣1）（x2+bx+c）， ∵（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c， ∴x3+x2+3x﹣5＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c ∵等式两边x同次幂的系数相等， 则有：，解得． ∴x3+x2+3x﹣5＝（x﹣1）（x2+2x+5）． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）根据以上材料的方法，分解因式x3+2x2﹣3的过程中，观察可知，当x＝　1　 时，原式＝0，所以原式可分解为 x﹣1　 与另一个整式的积．若设另一个整式为x2+bx+c．则b＝　3　 ，c＝　3　 ． （2）已知多项式x3+ax+1（a为常数）有一个因式是x+1，求另一个因式以及a的值．下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为x2+bx+c，则x3+ax+1＝（x+1）（x2+bx+c）． …… （3）已知二次三项式2x2+3x﹣k（k为常数）有一个因式是x+4，则另一个因式为 　2x﹣5　 ，k的值为 　20　 ． 【分析】（1）仿照题干的例子求解； （2）仿照题干的例子求解； （3）仿照题干的例子求解． 【解答】解：（1）观察可知，当x＝1时，原式＝0． ∴原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积． 设另一个整式为x2+bx+c．则x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+bx+c）， ∵（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c， ∴x3+2x2﹣3＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c ∵等式两边x同次幂的系数相等， 则有：，解得． ∴x3+2x2﹣3＝（x﹣1）（x2+3x+3）． 故答案为：1，x﹣1，3，3； （2）设另一个因式为x2+bx+c，则x3+ax+1＝（x+1）（x2+bx+c）， ∵（x+1）（x2+bx+c）＝x3+（b+1）x2+（c+b）x+c， ∴x3+ax+1＝x3+（b+1）x2+（c+b）x+c， ∴，解得：， ∴a＝0，另一个因式为（x2﹣x+1）； （3）设另一个因式为2x+c，则2x2+3x﹣k＝（x+4）（2x+c）， ∵（x+4）（2x+c）＝2x2+（c+8）x+4c， ∴2x2+3x﹣k＝2x2+（c+8）x+4c， ∴，解得：， ∴k＝20，另一个因式为（2x﹣5）； 故答案为：2x﹣5，20． 【点评】本题考查了因式分解的意义，理解题意是解题的关键． 五．因式分解−提公因式法 20．（2025秋•周村区期中）将多项式6a3b3﹣3a2b2﹣12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．3a2b B．3ab2 C．3a2b2 D．3a3b3 【分析】根据公因式的确定方法解答即可． 【解答】解：6a3b3﹣3a2b2﹣12a2b3＝3a2b2（2ab﹣1﹣4b）， 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 21．（2025春•英德市期末）把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（　　） A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4 【分析】根据提公因式法的分解方法分解即可． 【解答】解：a2﹣4a＝a（a﹣4）． 故选：A． 【点评】本题考查了提公因式法分解因式，熟练掌握分解因式的方法是关键． 22．（2025秋•雁塔区校级月考）（3a+2b）（3x﹣2y）+a（2y﹣3x）因式分解的最终结果是（　　） A．（2a+2b）（2y﹣3x） B．（2a+2b）（3x﹣2y） C．2（a+2b）（3x﹣2y） D．2（a+b）（3x﹣2y） 【分析】因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 【解答】解：原式＝（3a+2b）（3x﹣2y）﹣a（3x﹣2y） ＝（3x﹣2y）[（3a+2b）﹣a] ＝（3x﹣2y）（2a+2b） ＝2（a+b）（3x﹣2y）． 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．熟练掌握该知识点是关键． 23．（2025春•兰溪市期末）把5（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（　　） A．5﹣m B．5+m C．m﹣5 D．﹣m﹣5 【分析】根据提公因式，可得答案． 【解答】解：原式＝5（a﹣b）﹣m（a﹣b）＝（a﹣b）（5﹣m）， 另一个因式是（5﹣m）， 故选：A． 【点评】本题考查了因式分解，利用提公因式是解题关键． 24．（2025秋•姑苏区校级期中）把多项式12ab2﹣8a2bc分解因式的结果是　4ab（3b﹣2ac）　 ． 【分析】先确定公因式，再提取即可． 【解答】解：12ab2﹣8a2bc＝4ab（3b﹣2ac）， 故答案为：4ab（3b﹣2ac）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 25．（2025秋•浦东新区期中）因式分解：6ab2﹣4a2b＝　2ab（3b﹣2a）　 ． 【分析】直接提取公因式2ab即可解答． 【解答】解：原式6ab2﹣4a2b中，系数最大公因数为2，变量部分公因式为a和b，则公因式为2ab． ∴6ab2﹣4a2b＝2ab（3b﹣2a）． 故答案为：2ab（3b﹣2a）． 【点评】本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键． 26．（2025秋•安化县期中）因式分解4x2﹣6x3＝ 　2x2（2﹣3x）　 ． 【分析】先确定公因式，再提取即可． 【解答】解：4x2﹣6x3＝2x2（2﹣3x）， 故答案为：2x2（2﹣3x）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 27．（2024春•西安期中）分解因式： （1）3x﹣12x2； （2）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）． 【分析】（1）原式提取公因式即可； （2）原式提取公因式即可． 【解答】解：（1）原式＝3x（1﹣4x）； （2）原式＝n2（m﹣2）+n（m﹣2） ＝n（m﹣2）（n+1）． 【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 六．因式分解−运用公式法 28．（2025秋•淄川区期中）若多项式p2+1+Δ能直接用完全平方公式进行因式分解，则“Δ”所代表的单项式不可以是（　　） A．2p B．﹣2p C． D． 【分析】把每个选项中的式子代入，看看是否能用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：A、p2+1+2p＝（p+1）2，故此选项不符合题意； B、p2+1﹣2p＝（p﹣1）2，故此选项不符合题意； C、p2+1，故此选项不符合题意； D、p2+1，不能用完全平方公式分解因式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，单项式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 29．（2025秋•莱阳市期中）下列多项式能用公式法因式分解的是（　　） A．a2+（﹣b）2 B．﹣x2﹣9 C． D．5m2﹣20mn 【分析】将各式因式分解后进行判断即可． 【解答】解：a2+（﹣b）2＝a2+b2，无法因式分解，则A不符合题意， ﹣x2﹣9＝﹣（x2+9），则B不符合题意， a2a（a）2，它可以利用完全平方公式因式分解，则C符合题意， 5m2﹣20mn＝5m（m﹣4n），它可以用提公因式法因式分解，则D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 30．（2025秋•南安市期中）已知□x2+1＝（1﹣3x）（1+3x），则“□”处的数为（　　） A．1 B．9 C．﹣9 D．﹣1 【分析】根据平方差公式分解因式即可． 【解答】解：（1﹣3x）（1+3x）＝1﹣9x2， 所以“□”处的数为﹣9， 故选：C． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 31．（2024秋•秦安县期末）下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　） ①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy﹣y2；④﹣x2+4xy﹣4y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【解答】解：①x2+y2，不能用公式法分解因式； ②﹣x2+y2＝y2﹣x2＝（y+x）（y﹣x），能用平方差公式分解因式； ③x2+2xy﹣y2，不能用公式法分解因式； ④﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣2y）2，能用完全平方公式分解因式； 所以能用公式法分解因式的有2个， 故选：B． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征是解题的关键． 32．（2025秋•工业园区校级期中）若x2﹣mx+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为　±6　 ． 【分析】根据完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：x2﹣mx+9＝（x±3）2＝x2±6x+9， ∴﹣m＝±6， ∴m＝±6， 故答案为：±6． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 33．（2025秋•松江区期中）若关于x的整式4x2+3mx+9经过因式分解可以写成某个整式的完全平方，则m＝　±4　 ． 【分析】根据完全平方式的结构特征，将多项式与（ax+b）2的形式进行系数比较，求解m的值． 【解答】解：根据完全平方公式比较可得：±12＝3m， 解得m＝±4． 故答案为：±4． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握该知识点是关键． 34．（2025•杨浦区二模）因式分解：9x2﹣4＝　（3x﹣2）（3x+2）　 ． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可． 【解答】解：9x2﹣4＝（3x﹣2）（3x+2）． 故答案为：（3x﹣2）（3x+2）． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应乘法公式是解题关键． 35．（2025•梅河口市模拟）分解因式：9a2﹣4b2＝ 　（3a+2b）（3a﹣2b）　 ． 【分析】直接根据平方差公式分解因式即可． 【解答】解：根据平方差公式分解得： 原式＝（3a+2b）（3a﹣2b）， 故答案为：（3a+2b）（3a﹣2b）． 【点评】本题主要考查了分解因式，熟练掌握公式法分解因式是关键． 36．（2025春•白银期末）分解因式：8x2﹣18y2． 【分析】先提取公因式2，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：8x2﹣18y2 ＝2（4x2﹣9y2） ＝2（2x+3y）（2x﹣3y）． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 37．（2025秋•徐汇区期中）阅读：分解因式x2+2x﹣3． 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3 ＝（x2+2x+1）﹣4 ＝（x+1）2﹣4 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： （1）4a2+4a﹣15； （2）m4+m2n2+n4． 【分析】（1）根据材料提供的方法利用配方和平方差公式分解因式； （2）根据材料提供的方法利用配方和平方差公式分解因式． 【解答】解：（1）4a2+4a﹣15 ＝4a2+4a+1﹣1﹣15 ＝（4a2+4a+1）﹣16 ＝（2a+1）2﹣16 ＝（2a+1+4）（2a+1﹣4） ＝（2a+5）（2a﹣3）； （2）m4+m2n2+n4 ＝（m4+2m2n2+n4）﹣m2n2 ＝（m2+n2）2﹣m2n2 ＝（m2+n2+mn）（m2+n2﹣mn）． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方式和平方差公式是解题的关键． 38．（2025秋•虹口区校级月考）阅读以下材料，回答问题． 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2，上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你根据“整体思想”的方法因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4． 【分析】按照示例，令a2﹣4a＝A，原式＝（A+4）2，还原得原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4． 【解答】解：令a2﹣4a＝A （a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4 ＝ （A+2）（A+6）+4 ＝A2+8A+12+4 ＝A2+8A+16 ＝（A+4）2， 将“A”还原，得原式＝（a2﹣4a+4）2＝（a﹣2）4． 【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式解决问题． 39．（2024秋•泸县期末）19世纪的法国数学家苏菲•热门给出了一种分解因式x4+4的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式法就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x），人们为了纪念苏菲热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． （1）利用“热门定理”把m4+64分解因式． 热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，可以先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a），像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式：a4+a2+1． 【分析】（1）把式子加上16m2，再减去16m2，再仿照题意分解因式即可； （2）把式子加上2a2，再减去2a2，再仿照题意分解因式即可． 【解答】解：（1）m4+64 ＝m4+64+16m2﹣16m2 ＝m2+16m2+64﹣16m2 ＝（m2+8）2﹣16m2 ＝（m2+8）2﹣（4m）2 ＝（m2+8﹣4m）（m2+8+4m）； （2）a4+a2+1 ＝a4+2a2+1﹣a2 ＝（a2+1）2﹣a2 ＝（a2+a+1）（a2﹣a+1）． 【点评】本题主要考查了分解因式：运用公式法，十字相乘法，灵活运用因式分解的方法是解题的关键． 七．提公因式法与公式法的综合运用 40．（2025秋•沙坪坝区校级期中）因式分解： （1）2a2﹣8； （2）3xy2﹣6xyz+3xz2． 【分析】（1）提公因式后利用平方差公式因式分解即可； （2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝2（a2﹣4） ＝2（a+2）（a﹣2）； （2）原式＝3x（y2﹣2yz+z2） ＝3x（y﹣z）2． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 41．（2025春•卢龙县期末）把下列各式因式分解： （1）4﹣x2y2； （2）a3b﹣2a2b2+ab3． 【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案； （2）直接提取公因式ab，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1）4﹣x2y2＝（2+xy）（2﹣xy）； （2）a3b﹣2a2b2+ab3 ＝ab（a2﹣2ab+b2） ＝ab（a﹣b）2． 【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 42．（2025秋•美兰区期中）因式分解： （1）a3b+2a2b； （2）3x2+6xy+3y2； （3）a3﹣9a； （4）（x2+1）2﹣4x2． 【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先提公因式3，然后利用完全平方公式分解因式即可； （3）先提公因式a，然后利用平方差公式分解因式即可； （4）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【解答】解：（1）a3b+2a2b＝a2b（a+2）； （2）3x2+6xy+3y2 ＝3（x2+2xy+y2） ＝3（x+y）2； （3）a3﹣9a ＝a（a2﹣9） ＝a（a+3）（a﹣3）； （4）（x2+1）2﹣4x2 ＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x） ＝（x+1）2（x﹣1）2． 【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 八．因式分解−分组分解法 43．（2025秋•浦东新区校级期中）因式分解：4x2﹣4xy+y2﹣9． 【分析】先确定公因式，再提取即可． 【解答】解：首先，将前三项分组分解法解决： 4x2﹣4xy+y2﹣9＝（2x﹣y）2﹣9， 再用平方差进行因式分解得： 4x2﹣4xy+y2﹣9＝（2x﹣y）2﹣9 ＝（2x﹣y+3）（2x﹣y﹣3）． 【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键． 44．（2024秋•静安区期末）因式分解：9x2﹣y2+2y﹣1． 【分析】先进行分组，再利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝9x2﹣（y2﹣2y+1） ＝9x2﹣（y﹣1）2 ＝（3x+y﹣1）（3x﹣y+1）． 【点评】本题考查因式分解﹣分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 45．（2024秋•河口区期末）阅读下列材料： 提取公因式法和公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下： x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）． 这种分解因式的方法叫“分组分解法”，利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y； （2）有人说，无论x，y取何实数，代数式x2+y2﹣10x+8y+45的值总是正数，请说明理由． 【分析】（1）前两项和后两项先分组，再分别分解因式，最后提取公因式分解； （2）把45分成25、16、4，x2﹣10x与25、y2+8y与16分别构成完全平方式，再利用非负数的和说明即可． 【解答】解：（1）x2﹣9y2﹣2x+6y ＝（x2﹣9y2）﹣（2x﹣6y） ＝（x+3y）（x﹣3y）﹣2（x﹣3y） ＝（x﹣3y）（x+3y﹣2）； （2）x2+y2﹣10x+8y+45 ＝x2﹣10x+25+y2+8y+16+4 ＝（x﹣5）2+（y+4）2+4． ∵（x﹣5）2≥0，（y+4）2≥0， ∴（x﹣5）2+（y+4）2+4＞0． 即：无论x，y取何实数，代数式x2+y2﹣10x+8y+45的值总是正数． 【点评】本题主要考查了整式的因式分解，理解题例学会合理分组是解决本题的关键． 46．（2024秋•志丹县期末）在学习完“因式分解”后，为了开拓学生的思维，宋老师在黑板上写了题目： 因式分解：x2﹣xy+6x﹣6y．下面是甜甜的解法： 解：x2﹣xy+6x﹣6y ＝（x2﹣xy）+（6x﹣6y）（分组） ＝x（x﹣y）+6（x﹣y）（提公因式） ＝（x﹣y）（x+6）． 请利用上述方法，解答下列各题： （1）因式分解：m2﹣2m+2n﹣mn； （2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状，并说明理由． 【分析】（1）用分组分解法求解即可； （2）利用分组分解法求出（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，可得a﹣b＝0，从而可判断△ABC是等腰三角形． 【解答】解：（1）原式＝（m2﹣2m）+（2n﹣mn） ＝m（m﹣2）+n（2﹣m） ＝（m﹣2）（m﹣n）； （2）△ABC是等腰三角形，理由如下： ∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0， ∴（a﹣b）（a+b﹣c）＝0， ∵a+b﹣c＞0， ∴a﹣b＝0， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰三角形． 【点评】本题考查了分组分解法，等腰三角形的判定，三角形三边的关系．熟练掌握以上知识点是关键． 九．因式分解−十字相乘法等 47．（2025秋•宜阳县期中）把下列多项式分解因式： （1）24a2b﹣18ab2； （2）x2+4y2+4xy﹣1； （3）a3﹣3a2+2a﹣6； （4）2x2﹣7x+3． 【分析】（1）将原式提公因式即可； （2）将原式先分组，然后利用平方差及完全平方公式因式分解即可； （3）将原式先分组，然后提公因式即可； （4）将原式利用十字相乘法因式分解即可． 【解答】解：（1）原式＝6ab•4a﹣6ab•3b ＝6ab（4a﹣3b）； （2）原式＝（x2+4xy+4y2）﹣1 ＝（x+2y）2﹣1 ＝（x+2y+1）（x+2y﹣1）； （3）原式＝（a3﹣3a2）+（2a﹣6） ＝a2（a﹣3）+2（a﹣3） ＝（a﹣3）（a2+2）； （4）原式＝（x﹣3）（2x﹣1）． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 48．（2025秋•闵行区校级月考）阅读：分解因式x2+2x﹣3． 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3 ＝（x2+2x+1）﹣4 ＝（x+1）2﹣4 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： （1）4a2+4a﹣15； （2）2a2+4a﹣6． 【分析】（1）先加上一个适当的数与多项式的前两项配成完全平方式，再利用平方差公式得结论． （2）先把原式提取公因数2，再仿照题意得到2[（a+1）2﹣4]，最后利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：利用配方法整理式子得： 4a2+4a﹣15 ＝4a2+4a+1﹣1﹣15 ＝（2a+1）2﹣16 ＝（2a+1）2﹣42 ＝（2a+1+4）（2a+1﹣4） ＝（2a+5）（2a﹣3）； （2）先提取公因数2得： 2a2+4a﹣6 ＝2（a2+2a﹣3） ＝2[（a2+2a+1）﹣3﹣1] ＝2[（a+1）2﹣4] ＝2（a+1+2）（a+1﹣2） ＝2（a+3）（a﹣1）． 【点评】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 十．因式分解的应用 49．（2025秋•威远县校级月考）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值． 解：m2+2mn+2n2﹣6n+13＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）+4＝（m+n）2+（n﹣3）2+4， ∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0， ∴多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值是4． （1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是　完全平方公式　 ； 当m2+2mn+2n2﹣6n+13取最小值4时，m＝　﹣3　 ，n＝　3　 ． （2）求多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值． 【分析】（1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出m、n的值； （2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最大值． 【解答】解：（1）根据原题中的运算过程可知使用了完全平方公式． 原式化简得：（m+n）2+（n﹣3）2+4， ∵原式取最小值， ∴（m+n）2＝0，（n﹣3）2＝0时，式子取到最小值， 此时，m＝﹣n，n＝3， ∴m＝﹣3； 故答案为：完全平方公式，﹣3，3； （2）化简原式得： ﹣2（x2﹣2xy+y2）﹣（y2+6y+9）+16 ＝﹣2（x﹣y）2﹣（y+3）2+16， ∵﹣（x﹣y）2≤0，﹣（y+3）2≤0， ∴﹣2（x﹣y）2﹣（y+3）2+16≤16， 即所求最大值为16，当且仅当x＝y＝﹣3时取到最大值． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非负性是解题的关键． 50．（2025春•平遥县期末）下面是探究性学习小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲：x2﹣xy+4x﹣4y ＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（提公因式） ＝（x﹣y）（x+4），（提公因式） 乙：a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2（运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： （1）已知a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4，求式子a2﹣ac﹣ab+bc的值； （2）已知a，b，c为等腰△ABC的三边长，且满足a2+b2＝20a+24b﹣244，求等腰△ABC的周长． 【分析】（1）分组，利用提公因式法分解得到（a﹣c）（a﹣b），再求得a﹣c＝﹣8，整体代入求解即可； （2）整理后，利用完全平方公式分解，再利用非负数的性质求得a＝10，b＝12，再根据等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）原式＝（a2﹣ac）﹣（ab﹣bc） ＝a（a﹣c）﹣b（a﹣c） ＝（a﹣c）（a﹣b）， ∵a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4， ∴a﹣c＝﹣1， ∴原式＝﹣1×3＝﹣3； （2）由条件可知a2﹣20a+100+b2﹣24b+144＝0， ∴（a﹣10）2+（b﹣12）2＝0， ∴a﹣10＝0，b﹣12＝0， ∴a＝10，b＝12， 当a＝c＝10，b＝12，10+10＞12，符合三角形的定义， ∴△ABC的周长为10+10+12＝32； 当a＝10，b＝c＝12，10+12＞12，符合三角形的定义， ∴△ABC的周长为10+12+12＝34； ∴等腰△ABC的周长为32或34． 【点评】本题主要考查了因式分解，等边三角形的判定，解题的关键是根据题意进行拆项，将原等式重新分组后进行因式分解． 51．（2024秋•中江县期末）下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小林同学用“换元法”对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣2x＝y． 原式＝（y﹣1）（y+3）+4 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 任务： （1）小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　（x﹣1）4 ． （2）请你用“换元法”对多项式（x2﹣4x+3）（x2﹣4x+5）+1进行因式分解 （3）由平方的非负性可知（x2+6x）（x2+6x+18）+85有最小值，请求出最小值． 【分析】（1）将（x2﹣2x+1）2继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）设x2﹣4x＝y，由（1）同理进行因式分解，即可求解； （3）设x2+6x＝y，进行配方，由平方的非负性，即可求解． 【解答】解：（1）不彻底， 设x2﹣2x＝y． 将（x2﹣2x+1）2继续用完全平方公式进行分解可得： 原式＝（y﹣1）（y+3）+4 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 ＝[（x﹣1）2]2 ＝（x﹣1）4； 故答案为：（x﹣1）4； （2）设x2﹣4x＝y， 原式＝（y+3）（y+5）+1 ＝y2+8y+16 ＝（y+4）2 ＝（x2﹣4x+4）2 ＝（x﹣2）4； （3）设x2+6x＝y， 原式＝y（y+18）+85 ＝y2+18y+85 ＝（y+9）2+4 ＝（x2+6x+9）2+4 ＝（x+3）4+4≥4， ∴最小值为4． 【点评】本题考查了因式分解及其应用；掌握因式分解的方法是解题的关键． 十一．完全平方公式的几何背景 52．（2025秋•西城区校级期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． （1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于m﹣n ． （2）请用两种不同的方法表示图中阴影正方形的面积： 方法1　（m﹣n）2 ；方法2　（m+n）2﹣4mn ． （3）比较（2）中的方法1和方法2，试写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系：　（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn ． （4）若（m+n）2＝27，（m﹣n）2＝3，请利用（3）中的结论，求mn的值． 【分析】（1）根据所给图形，表示出图2中阴影部分的边长即可； （2）根据题意，用2种不同的方法表示出图2的面积即可； （3）结合（2）中所表示的面积，得出等式即可； （4）利用（3）中发现的规律进行计算即可． 【解答】解：（1）由题知， 图2中阴影部分正方形的边长等于m﹣n． 故答案为：m﹣n； （2）图2中阴影部分是一个边长为m﹣n的正方形， 所以阴影部分的面积为（m﹣n）2； 图2中阴影部分的面积可用边长为m+n的正方形面积减去4个长m，宽n的正方形面积， 所以阴影部分的面积为（m+n）2﹣4mn． 故答案为：（m﹣n）2，（m+n）2﹣4mn； （3）由（2）知， （m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn． 故答案为：（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn； （4）由（3）知， mn[（m+n）2﹣（m﹣n）2]， 所以mn6． 【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟知完全平方公式的几何背景是解题的关键． 53．（2024秋•安阳期末）（1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形，请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积． 方法1：　（m+n）2﹣4mn ，方法2：　（m﹣n）2 ； （2）利用等量关系解决下面的问题： ①a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2和a2+b2的值； ②已知，求的值． 【分析】（1）方法1，根据“S阴影＝图②中大正方形的面积﹣图①中长方形的面积”即可得出答案；根据图②中小正方形的边长为（m+n），S阴影＝小长方形的面积即可得出答案； （2）①由（1）中所得的等量关系得（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，将a﹣b＝5，ab＝﹣6，代入即可得（a+b）2的值；再根据（a+b）2＝49，得a2+b2+2ab＝49，据此可得a2+b2的值； ②将配方得，进一步计算即可得出答案． 【解答】解：（1）方法1，∵图②中大正方形的边长为（m+n）， ∴图②中大正方形的面积为：（m+n）2， ∵图①中长方形的长为2m、宽为2n， ∴图①中长方形的面积为：2m•2n＝4mn， 又∵S阴影＝图②中大正方形的面积﹣图①中长方形的面积， ∴， 方法2：由条件可知S阴影＝小长方形的面积＝（m﹣n）2， 故答案为：（m+n）2﹣4mn；（m﹣n）2． （2）由（1）得：（m+n）2﹣4mn＝（m﹣n）2， ①∴（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2， 即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab， ∵a﹣b＝5，ab＝﹣6， ∴（a+b）2＝52+4×（﹣6）＝1， ∴a2+b2﹣2ab＝25， ∴a2+b2＝25+2ab＝25+2×（﹣6）＝13； ②由条件可知， ∴， ∴． 【点评】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． 54．（2025秋•越秀区校级期中）如图，图①是个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形． （1）如图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法1：（a﹣b）2，方法2：　（a+b）2﹣4ab ，由此可以得出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是 　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ； 如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积： 方法1：（a+b）3，方法2：a3 +3a2b+3ab2+b3 ，由此可得恒等式：　（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2 ． （2）若x﹣y＝10，xy＝﹣16，求x+y的值． （3）若m+n＝2，mn＝1，求m3+n3的值． 【分析】（1）分为两种方法，一种依据边长运用面积公式直接求面积，另一种用大正方形的面积减去四个小矩形的面积，再根据两种方法面积相等即可得到数量关系；方法1：根据正方体的体积公式，正方体的棱长的立方就是正方体的体积；方法2：2个正方体和6个长方体的体积和就是大长方体的体积，由此即可得到结论： （2）根据（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab进行求解即可； （3）根据（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2进行求解即可． 【解答】解：（1）方法1：阴影部分面积为（a﹣b）2； 方法2：阴影面积为（a+b）2﹣4ab， ∵两种表示方法的面积相等， ∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab． 方法1：大正方体棱长为a+b， ∴其体积为（a+b）3， 方法2：a3+b3+3a2b+3ab2， ∴（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2． 故答案为：（a+b）2﹣4ab；（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab；a3；b3；（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2． （2）∵x﹣y＝10，xy＝﹣16，（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy， ∴（x+y）2＝102+4×（﹣16）＝100﹣64＝36， ∴x+y＝±6； （3）∵m+n＝2，mn＝1，（m+n）3＝m3+n3+3m2n+3mn2， ∴m3+n3＝（m+n）3﹣（3m2n+3mn2）＝（m+n）3﹣3mn（m+n）＝8﹣6＝2． 【点评】考查完全平方公式以及多项式的乘法与图形面积，从整体和局部两种情况分析并写出面积以及体积的表达式是解题的关键． 55．（2025秋•上海校级月考）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如下用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积． （1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式a2+b2＝　（a+b）2﹣2ab ； （2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的大正方形，用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现的等式可表示为a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2 ； （3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知a+b+c＝5，ab+bc+ac＝2，可得a2+b2+c2的值为　21　 ； （4）如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若m+n＝12，mn＝24，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据大正方形的边长为（a+b），而大正方形由两个边长为a，b的正方形和两个长为b，宽为a的长方形组成即可得出答案； （2）分别表示出大正方形中每一个小正方形的面积及长方形的面积，然后根据这些小正方形的面积及长方形的面积等于大正方形的面积即可得出答案； （3）由（2）得结论可得a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣（2ab+2bc+2ac），然后将a+b+c＝5，ab+bc+ac＝2代入进行计算即可得出结论； （4）分别求出，，，再根据S阴影＝S△BCD+S正方形CEFG﹣S△BEF得，然后由（1）可知：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn，从而得m2+n2﹣mn＝（m+n）2﹣3mn，再将m+n＝12，mn＝24进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）a2+b2＝（a+b）2﹣2ab； 故答案为：（a+b）2﹣2ab； （2）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2； 故答案为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2； （3）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac＝（a+b+c）2， ∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+bc+ac）， ∵a+b+c＝5，ab+bc+ac＝2， ∴a2+b2+c2＝52﹣2×2＝21； 故答案为：21； （4）S阴影＝S△BCD+S正方形CEFG﹣S△BEF ． 当m+n＝12，mn＝24时， 原式． 【点评】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式及其应用，理解题意，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答此题的关键． 56．（2025秋•卧龙区校级月考）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请回答下列问题： 【类比】（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：　（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ； 【应用】（2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为（a+3b）（2a+b）的长方形，则的平方根是　±2　 ． 【拓展】 （3）已知：（2026﹣x）2+（x﹣2025）2＝9，求（2026﹣x）（x﹣2025）的值． 【分析】（1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论； （2）计算多项式乘以单项式，进而求得x、y、z的值，代入再求平方根，即可求解； （3）设2026﹣x＝a；x﹣2025＝b，利用完全平方公式的变形求解即可． 【解答】解：（1）类似图1的数学等式，根据图形2可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， 故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc； （2）（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2， 由题意可知，x＝2；y＝7；z＝3， ∴3x+y+z＝3×2+7+3＝16， ∴4， ∴的平方根是：±2， 故答案为：±2； （3）设2026﹣x＝a①；x﹣2025＝b②， ∴a2+b2＝9， 由①+②得：a+b＝1； ∴， ∴（2026﹣x）（x﹣2025）＝﹣4． 【点评】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，多项式乘多项式与几何图形的面积，求一个数的平方根，完全平方公式的应用． 十二．平方差公式的几何背景 57．（2025秋•蓬莱区期中）【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 （用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　3　 ； （2）计算：20242﹣2025×2023； 【拓展】计算： 1002﹣992+982﹣972+⋯+42﹣32+22﹣12． 【分析】【探究】根据题意，两个图形的面积相等，得到乘法公式； 【应用】（1）根据平方差公式进行计算即可求解．（2）根据平方差公式进行计算即可求解； 【拓展】根据平方差公式进行计算，然后根据有理数的混合运算进行计算即可求解． 【解答】解：【探究】： 观察可得乘法公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2． 故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2； 【应用】： （1）∵4m2＝12+n2， ∴4m2﹣n2＝12． ∵（2m+n）（2m﹣n）＝4m2﹣n2，且2m+n＝4， ∴2m﹣n＝3． 故答案为：3； （2）原式＝20242﹣（2024+1）×（2024﹣1） ＝20242﹣（20242﹣1） ＝20242﹣20242+1 ＝1． 【拓展】 原式＝ （100+99）×（100﹣99）+（98+97）×（98﹣97）+•••+（4+3）×（4﹣3）+（2+1）×（2﹣1） ＝100+99+98+97+…+4+3+2+1 ＝5050． 【点评】本题考查了平方差公式与几何图形，根据平方差公式进行计算，掌握平方差公式是解题的关键． 58．（2025秋•金山区期中）【追本溯源】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习“整式乘法公式”时．通过构造几何图形，用“等积法”直观地验证了平方差公式和完全平方和公式，如图1﹣1和1﹣2：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【初步应用】 （1）请你利用图2中的两个正方形画出一个几何图形来验证完全平方和公式，用字母a、b标注相关边长并简单说明你的验证思路，同时写出该数学等式 　（a+b）2＝a2+2ab+b2 ． 【拓展应用】 （2）请利用上述验证的恒等式解决如下问题：①若（a+b）2＝6、a﹣b＝2，求ab的值； ②正方形ABCD和AEFG如图3所示方式摆放，已知AB＝x，AE＝y，BE＝2，且x2+y2＝52，求图中阴影部分的面积； 【迁移应用】 （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，如图4是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，用它可以验证恒等式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，已知a+b＝3，ab＝1，利用上述恒等式，求a6+b6的值． 【分析】（1）用两种方法表示图2的面积即可； （2）①根据（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab进行计算即可；②由题意得x﹣y＝2，根据（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝4，求出xy＝24，再根据（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy求出x+y的值，由S阴影部分＝x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）代入计算即可； （3）根据（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，求出a3+b3＝18，再根据（a3+b3）2＝a6+b6+2a3b3进行计算即可． 【解答】解：（1）整体上是保持为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，拼成图2的四个部分的面积和为a2+2ab+b2， 所以有（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）①∵a﹣b＝2， ∴（a﹣b）2＝4， 又∵（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝6﹣4＝2， ∴ab＝0.5； ②如图，AB＝x，AE＝y，BE＝2，则x﹣y＝BE＝2， ∵x﹣y＝2， ∴（x﹣y）2＝4， 即x2﹣2xy+y2＝4， ∵x2+y2＝52， ∴52﹣2xy＝4， 解得xy＝24， ∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝4+96＝100， ∵x＞y＞0， ∴x+y＝10， ∴S阴影部分＝x2﹣y2 ＝（x+y）（x﹣y） ＝10×2 ＝20； （3）∵（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，即（a+b）3＝a3+3ab（a+b）+b3，而a+b＝3，ab＝1， ∴27＝a3+3×1×3+b3， ∴a3+b3＝27﹣9＝18， ∵（a3+b3）2＝a6+b6+2a3b3，即182＝a6+b6+2×13， ∴a6+b6＝324﹣2＝322． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 59．（2025春•海州区校级月考）一天，小明和小玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2． （1）图③可以解释为等式：　（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2 ． （2）在虚线框中用图①中的基本图形拼成若干块（每种至少用一次）拼成一个矩形，使拼出的矩形面积为2a2+7ab+3b2，并标出此矩形的长和宽． （3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x＞y），观察图案，指出以下关系式：①；②x+y＝m；③x2﹣y2＝m•n；④x2+y2．其中正确的有几个 D ． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【分析】（1）看图根据等面积即可得出所求的式子； （2）画出的长方形边长分别为（2a+b）和（a+3b）即可； （3）根据图中每个图形的面积之间的关系，结合完全平方公式的变形和平方差公式，即可判断出正确的有几个． 【解答】解：（1）根据题意得：大长方形的长，宽分别为2a+b，2+2b； 大长方形是由2边长为a的正方形，5个小长方形，2个边长为b的正方形组成的， 图③所表示的等式为：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2； 故答案为：（2a+b）（a+2b）＝2a2+5ab+2b2； （2）∵长方形面积为2a2+7ab+3b2，该大长方形可以看作是由2边长为a的正方形，7个小长方形，3个边长为b的正方形组成的， 画出示意图如下： ； （3）根据题意得：m2﹣n2＝4xy， ∴， 故①正确； 观察图形得：x+y＝m， 故②正确； 观察图形得：x+y＝m，x﹣y＝n， ∴（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2＝m•n， 故③正确； 观察图形得：x+y＝m，x﹣y＝n， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝m2，（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝n2， 两式相加得：2（x2+y2）＝m2+n2， ∴， 故④正确； 故正确的有4个， 故答案为：D． 【点评】本题考查了乘法公式的几何应用、因式分解、整式的混合运算的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力． 60．（2025春•姑苏区校级期中）【阅读材料】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．如图1﹣1，边长为x的大正方形切去一个边长为y的小正方形，剩余部分的面积为x2﹣y2，如图1﹣2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为（x﹣y）2，乙的面积为y（x﹣y），丙的面积为y（x﹣y），所以x2﹣y2＝（x﹣y）2+2y（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣y+2y）＝（x﹣y）（x+y）． 【尝试应用】 （1）利用材料中得到的等式计算：992﹣12＝ 　9800　 ； （2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2﹣1，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分的体积按如图2﹣2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的等式为x3﹣y3＝ 　（x﹣y）（x2+xy+y2）　 ； 【拓广探索】 （3）若x﹣y＝2，xy＝1，且x＞0，y＞0，求的值． 【分析】（1）根据平方差公式求解； （2）根据体积不变求解； （3）根据完全平方公式和立方和差公式求解． 【解答】解：（1）992﹣12＝ （99+1）×（99﹣1）＝9800， 故答案为：9800； （2）x3﹣y3＝ x2（x﹣y）+x（x﹣y）y+（x﹣y）y2＝（x﹣y）（x2+xy+y2）， 故答案为：（x﹣y）（x2+xy+y2）； （3）∵x﹣y＝2，xy＝1，且x＞0，y＞0． ∴（x+y）2＝（x﹣y）2+4xy＝8，x2+y2＝（x﹣y）2+2xy＝6， ∴x+y＝2， ∴x3+y3＝（x+y）（x2+y2﹣xy）＝25＝10， x3﹣y3＝（x﹣y）（x2+y2+xy）＝2×7＝14， ∴0.07． 【点评】本题考查了配方法的应用，掌握七五普法公司是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 整式乘法与因式分解 知识点1：单项式乘单项式 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 知识点2：单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 知识点3：多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 知识点4：单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 知识点5：多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 知识点6：平方差公式 平方差公式： 知识点7：平方差公式的特征 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： ① 位置变化，xyyxx2y2 ② 符号变化，xyxyx2y2 x2y2 ③ 指数变化，x2y2x2y2x4y4 ④ 系数变化，2ab2ab4a2b2 ⑤ 换式变化，xyzmxyzmxy2zm2x2y2zmzmx2y2z2zmzmm2x2y2z22zmm2 ⑥ 增项变化，xyzxyzxy2z2xyxyz2x2xyxyy2z2x22xyy2z2 知识点8：完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍 知识点9：拓展、补充公式 ；； ；. 知识点10 因式分解 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 知识点11公因式 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 知识点12提公因式 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 知识点13公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 知识点14 提公因式与公式法综合 （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 知识点15十字相乘法 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ． 【随堂练习】 一．整式 1．（2024秋•秦安县期末）下列说法正确的是（　　） A．整式就是多项式 B．π是单项式 C．x4+2x3是七次二项式 D．是单项式 2．（2025秋•郴州期中）在代数式：，2ab，x+5，，﹣4，，a2b﹣a，中，整式有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 3．（2025秋•尚志市期中）下列式子中：，a，abc，x﹣y，8x3﹣7x2+2，整式有　 　 个． 4．（2025秋•株洲校级期中）在代数式中，整式的个数有　 　 个． 5．（2024秋•清苑区期中）有下列一组式子：，，﹣2024，m，ab2c，s＝ab，，，a﹣b 将上述符合要求的式子分别填入下面的圈中． 6．（2024秋•浦东新区校级期中）已知A和B为两个整式，且A+B＝3x2﹣2xy+y2﹣1，A﹣B＝x2+xy﹣y2+2，求出整式A和B． 二．单项式乘单项式 7．（2025春•宁明县期末）计算： （1）； （2）． 8．（2025春•邗江区校级月考）计算： （1）a3•a5+（a2）4+（2a4）2； （2）（﹣2a2）3+3a2•a4﹣a8÷a2． 9． （2024秋•商水县期末）若（am+1bn﹣2）（a2n﹣1b2n）＝a5b3，则求m+n的值． 三．整式的混合运算 10．（2025秋•绿园区校级期中）计算、化简： （1）； （2）； （3）x2•x4+（﹣x3）2﹣x7÷x； （4）（﹣2x2）（4xy3﹣y2）+（2xy）3． 11．（2025秋•金坛区期中）【阅读】如果一个多项式中只含有一个字母，那么就称它为一元多项式．对于两个含字母x的一元多项式，当x任取一个数时，如果这两个多项式的值都是相等的，那么就称这两个一元多项式是恒等的．例如：1﹣（2x﹣3x2）与1﹣2x+3x2.当x任取一个数时，如x＝0，﹣1，1，⋯，a，这两个多项式的值都是相等的．因此，多项式1﹣（2x﹣3x2）与1﹣2x+3x2是恒等的． 【探究】 （1）若关于x的多项式﹣2x3+bx﹣1与ax3+4x﹣1恒等（其中a，b是常数），则a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）若关于x的多项式（a+2b）x2+cx﹣2与3x2+（2a+4b﹣1）x﹣2恒等（其中a，b，c是常数），求c的值； 【拓展】 （3）若关于x的多项式（a﹣ab+b﹣4）x2﹣2x与（a+ab+b）x+c﹣a﹣b恒等（其中a，b，c是常数），求c的值． 12．（2025秋•黄陂区期中）有7张相同的小长方形纸片（如图1所示），现将这7张相同的小长方形纸片按图2所示的方式不重叠的放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，设这两个长方形的面积分别为S1和S2（上方是S2）．已知小长方形纸片的长为a，宽为b，且a＞b． （1）当a＝12，b＝5，AD＝40时，求长方形ABCD的面积； （2）当AD＝40时，①用含a，b的代数式表示（S1﹣S2）＝ 　 　 （直接写出结果）； ②若a＝3，b＝2，化简求：（S1﹣S2）+3ab﹣10a+100b的值． （3）若保持a，b的值不变，AD变长，将这7张相同的小长方形纸片还是按照同样的方式放在一个新的长方形ABCD内，在AD变化的过程中，满足（S1﹣S2）的值始终保持不变的条件下，求得代数式：2（9a2b+a﹣b）﹣6（3a2b﹣a+b）﹣24b+8的值为 　 　 （直接写出结果）． 四．因式分解的意义 13．（2025秋•绿园区校级期中）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．（x﹣3）（x+1）＝x2﹣2x﹣3 B．x2﹣xy＝x（x﹣y） C．ab+bc+d＝b（a+c）+d D．6x2y＝3xy•2x 14．（2025秋•姑苏区校级期中）下列因式分解正确的是（　　） A．4m2﹣n2＝（4m﹣n）（4m+n） B．x2﹣4x﹣5＝x（x﹣4）﹣5 C．m2﹣9＝（m﹣3）（m+3） D．x2+16x+16＝（x+8）2 15．（2024秋•鄂尔多斯期末）根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　 ． 16．（2025秋•松江区期中）若整式x2﹣x+m含有一个因式（x+2），则m的值是　 　 ． 17．（2025秋•徐汇区校级期中）已知整式x2﹣x+k可以因式分解为（x+m）（x﹣5），则m的值为　 　 ． 18．（2025春•渭滨区期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为（x+n），得 x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n） 则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n ∴． 解得：n＝﹣7，m＝﹣21 ∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21 问题：仿照以上方法解答下面问题： 已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值． 19．（2024秋•江阳区校级期末）1637年笛卡尔（R．Descartes，1596﹣1650）在其《几何学》中，首次应用待定系数法最早给出因式分解定理．关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：x3+x2+3x﹣5． 解：观察可知，当x＝1时，原式＝0． ∴原式可分解为（x﹣1）与另一个整式的积． 设另一个整式为x2+bx+c．则x3+x2+3x﹣5＝（x﹣1）（x2+bx+c）， ∵（x﹣1）（x2+bx+c）＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c， ∴x3+x2+3x﹣5＝x3+（b﹣1）x2+（c﹣b）x﹣c ∵等式两边x同次幂的系数相等， 则有：，解得． ∴x3+x2+3x﹣5＝（x﹣1）（x2+2x+5）． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）根据以上材料的方法，分解因式x3+2x2﹣3的过程中，观察可知，当x＝　 　 时，原式＝0，所以原式可分解为 　 　 与另一个整式的积．若设另一个整式为x2+bx+c．则b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）已知多项式x3+ax+1（a为常数）有一个因式是x+1，求另一个因式以及a的值．下面是小明同学根据以上材料方法，解此题的部分过程，请帮小明完成他的解答过程． 解：设另一个因式为x2+bx+c，则x3+ax+1＝（x+1）（x2+bx+c）． …… （3）已知二次三项式2x2+3x﹣k（k为常数）有一个因式是x+4，则另一个因式为 　 　 ，k的值为 　 　 ． 五．因式分解−提公因式法 20．（2025秋•周村区期中）将多项式6a3b3﹣3a2b2﹣12a2b3分解因式时，应提取的公因式是（　　） A．3a2b B．3ab2 C．3a2b2 D．3a3b3 21．（2025春•英德市期末）把多项式a2﹣4a分解因式的正确结果是（　　） A．a（a﹣4） B．（a+2）（a﹣2） C．a（a+2）（a﹣2） D．（a﹣2）2﹣4 22．（2025秋•雁塔区校级月考）（3a+2b）（3x﹣2y）+a（2y﹣3x）因式分解的最终结果是（　　） A．（2a+2b）（2y﹣3x） B．（2a+2b）（3x﹣2y） C．2（a+2b）（3x﹣2y） D．2（a+b）（3x﹣2y） 23．（2025春•兰溪市期末）把5（a﹣b）+m（b﹣a）提公因式后一个因式是（a﹣b），则另一个因式是（　　） A．5﹣m B．5+m C．m﹣5 D．﹣m﹣5 24．（2025秋•姑苏区校级期中）把多项式12ab2﹣8a2bc分解因式的结果是　 　 ． 25．（2025秋•浦东新区期中）因式分解：6ab2﹣4a2b＝　 　 ． 26．（2025秋•安化县期中）因式分解4x2﹣6x3＝ 　 　 ． 27．（2024春•西安期中）分解因式： （1）3x﹣12x2； （2）n2（m﹣2）﹣n（2﹣m）． 六．因式分解−运用公式法 28．（2025秋•淄川区期中）若多项式p2+1+Δ能直接用完全平方公式进行因式分解，则“Δ”所代表的单项式不可以是（　　） A．2p B．﹣2p C． D． 29．（2025秋•莱阳市期中）下列多项式能用公式法因式分解的是（　　） A．a2+（﹣b）2 B．﹣x2﹣9 C． D．5m2﹣20mn 30．（2025秋•南安市期中）已知□x2+1＝（1﹣3x）（1+3x），则“□”处的数为（　　） A．1 B．9 C．﹣9 D．﹣1 31．（2024秋•秦安县期末）下列多项式，能用公式法分解因式的有（　　） ①x2+y2；②﹣x2+y2；③x2+2xy﹣y2；④﹣x2+4xy﹣4y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（2025秋•工业园区校级期中）若x2﹣mx+9能用完全平方公式进行因式分解，则m的值为　 　 ． 33．（2025秋•松江区期中）若关于x的整式4x2+3mx+9经过因式分解可以写成某个整式的完全平方，则m＝　 　 ． 34．（2025•杨浦区二模）因式分解：9x2﹣4＝　 　 ． 35．（2025•梅河口市模拟）分解因式：9a2﹣4b2＝ 　 　 ． 36．（2025春•白银期末）分解因式：8x2﹣18y2． 37．（2025秋•徐汇区期中）阅读：分解因式x2+2x﹣3． 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3 ＝（x2+2x+1）﹣4 ＝（x+1）2﹣4 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式．请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 因式分解： （1）4a2+4a﹣15； （2）m4+m2n2+n4． 38．（2025秋•虹口区校级月考）阅读以下材料，回答问题． 材料：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1． 解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2，上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法． 请你根据“整体思想”的方法因式分解：（a2﹣4a+2）（a2﹣4a+6）+4． 39．（2024秋•泸县期末）19世纪的法国数学家苏菲•热门给出了一种分解因式x4+4的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和（x2）2+22的形式，要使用公式法就必须添一项4x2，随即将此项4x2减去，即可得x4+4＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2）2﹣（2x）2＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x），人们为了纪念苏菲热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． （1）利用“热门定理”把m4+64分解因式． 热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式x2+2xa﹣3a2，可以先加上一项a2，使它与x2+2xa的和成为一个完全平方式，再减去a2，整个式子的值不变，于是有x2+2xa﹣3a2＝（x2+2xa+a2）﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣4a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+3a）（x﹣a），像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式：a4+a2+1． 七．提公因式法与公式法的综合运用 40．（2025秋•沙坪坝区校级期中）因式分解： （1）2a2﹣8； （2）3xy2﹣6xyz+3xz2． 41．（2025春•卢龙县期末）把下列各式因式分解： （1）4﹣x2y2； （2）a3b﹣2a2b2+ab3． 42．（2025秋•美兰区期中）因式分解： （1）a3b+2a2b； （2）3x2+6xy+3y2； （3）a3﹣9a； （4）（x2+1）2﹣4x2． 八．因式分解−分组分解法 43．（2025秋•浦东新区校级期中）因式分解：4x2﹣4xy+y2﹣9． 44．（2024秋•静安区期末）因式分解：9x2﹣y2+2y﹣1． 45．（2024秋•河口区期末）阅读下列材料： 提取公因式法和公式法是初中阶段最常用分解因式的方法，但有些多项式只单纯用上述方法就无法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解，过程如下： x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2﹣16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）． 这种分解因式的方法叫“分组分解法”，利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：x2﹣9y2﹣2x+6y； （2）有人说，无论x，y取何实数，代数式x2+y2﹣10x+8y+45的值总是正数，请说明理由． 46．（2024秋•志丹县期末）在学习完“因式分解”后，为了开拓学生的思维，宋老师在黑板上写了题目： 因式分解：x2﹣xy+6x﹣6y．下面是甜甜的解法： 解：x2﹣xy+6x﹣6y ＝（x2﹣xy）+（6x﹣6y）（分组） ＝x（x﹣y）+6（x﹣y）（提公因式） ＝（x﹣y）（x+6）． 请利用上述方法，解答下列各题： （1）因式分解：m2﹣2m+2n﹣mn； （2）已知△ABC的三边a，b，c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，判断△ABC的形状，并说明理由． 九．因式分解−十字相乘法等 47．（2025秋•宜阳县期中）把下列多项式分解因式： （1）24a2b﹣18ab2； （2）x2+4y2+4xy﹣1； （3）a3﹣3a2+2a﹣6； （4）2x2﹣7x+3． 48．（2025秋•闵行区校级月考）阅读：分解因式x2+2x﹣3． 解：原式＝x2+2x+1﹣1﹣3 ＝（x2+2x+1）﹣4 ＝（x+1）2﹣4 ＝（x+1+2）（x+1﹣2） ＝（x+3）（x﹣1） 此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为“配方法”，此题为用配方法分解因式． 请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题： 分解因式： （1）4a2+4a﹣15； （2）2a2+4a﹣6． 十．因式分解的应用 49．（2025秋•威远县校级月考）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值． 解：m2+2mn+2n2﹣6n+13＝（m2+2mn+n2）+（n2﹣6n+9）+4＝（m+n）2+（n﹣3）2+4， ∵（m+n）2≥0，（n﹣3）2≥0， ∴多项式m2+2mn+2n2﹣6n+13的最小值是4． （1）请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是　 　 ； 当m2+2mn+2n2﹣6n+13取最小值4时，m＝　 　 ，n＝　 　 ． （2）求多项式﹣2x2+4xy﹣3y2﹣6y+7的最大值． 50．（2025春•平遥县期末）下面是探究性学习小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解： 甲：x2﹣xy+4x﹣4y ＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组） ＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（提公因式） ＝（x﹣y）（x+4），（提公因式） 乙：a2﹣b2﹣c2+2bc ＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组） ＝a2﹣（b﹣c）2（运用公式） ＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）（运用公式） 请你在他们的解法的启发下，解答下面各题： （1）已知a﹣b＝3，b﹣c＝﹣4，求式子a2﹣ac﹣ab+bc的值； （2）已知a，b，c为等腰△ABC的三边长，且满足a2+b2＝20a+24b﹣244，求等腰△ABC的周长． 51．（2024秋•中江县期末）下面是小林同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 在因式分解中，把多项式中的某些部分看作是一个整体，用一个新的字母代替（即“换元”），这样不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小林同学用“换元法”对多项式（x2﹣2x﹣1）（x2﹣2x+3）+4进行因式分解的过程． 解：设x2﹣2x＝y． 原式＝（y﹣1）（y+3）+4 ＝y2+2y+1 ＝（y+1）2 ＝（x2﹣2x+1）2 任务： （1）小林同学因式分解的结果彻底吗？若不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：　 　 ． （2）请你用“换元法”对多项式（x2﹣4x+3）（x2﹣4x+5）+1进行因式分解 （3）由平方的非负性可知（x2+6x）（x2+6x+18）+85有最小值，请求出最小值． 十一．完全平方公式的几何背景 52．（2025秋•西城区校级期中）如图1所示是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的方式拼成一个正方形． （1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于　 　 ． （2）请用两种不同的方法表示图中阴影正方形的面积： 方法1　 　 ；方法2　 　 ． （3）比较（2）中的方法1和方法2，试写出（m+n）2，（m﹣n）2，mn这三个代数式之间的等量关系：　 　 ． （4）若（m+n）2＝27，（m﹣n）2＝3，请利用（3）中的结论，求mn的值． 53．（2024秋•安阳期末）（1）图中的①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后拼成一个如图中的②所示的正方形，请用两种不同的方法求图中②的阴影部分的面积． 方法1：　 　 ，方法2：　 　 ； （2）利用等量关系解决下面的问题： ①a﹣b＝5，ab＝﹣6，求（a+b）2和a2+b2的值； ②已知，求的值． 54．（2025秋•越秀区校级期中）如图，图①是个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图②的形状拼成一个正方形． （1）如图②，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积： 方法1：（a﹣b）2，方法2：　 　 ，由此可以得出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是 　 　 ； 如图③，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积： 方法1：（a+b）3，方法2：　 　 +3a2b+3ab2+　 　 ，由此可得恒等式：　 　 ． （2）若x﹣y＝10，xy＝﹣16，求x+y的值． （3）若m+n＝2，mn＝1，求m3+n3的值． 55．（2025秋•上海校级月考）数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如下用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积． （1）如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式a2+b2＝　 　 ； （2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的大正方形，用不同形式表示这个大正方形的面积，从中你能发现的等式可表示为　 　 ； （3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知a+b+c＝5，ab+bc+ac＝2，可得a2+b2+c2的值为　 　 ； （4）如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接BD、BF，若m+n＝12，mn＝24，请利用（1）中的结论，求图3中阴影部分的面积． 56．（2025秋•卧龙区校级月考）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． 例如图1得到：（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请回答下列问题： 【类比】（1）类似图1的数学等式，写出图2表示的数学等式：　 　 ； 【应用】（2）小南同学用图3中的x张边长为a的正方形，y张边长为a、b的长方形，z张边长为b的正方形，拼出一个面积为（a+3b）（2a+b）的长方形，则的平方根是　 　 ． 【拓展】 （3）已知：（2026﹣x）2+（x﹣2025）2＝9，求（2026﹣x）（x﹣2025）的值． 十二．平方差公式的几何背景 57．（2025秋•蓬莱区期中）【探究】如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　 　 （用含a，b的等式表示）； 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知4m2＝12+n2，2m+n＝4，则2m﹣n的值为　 　 ； （2）计算：20242﹣2025×2023； 【拓展】计算： 1002﹣992+982﹣972+⋯+42﹣32+22﹣12． 58．（2025秋•金山区期中）【追本溯源】“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．利用“数形结合”的思想，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形角度解决代数问题．我们在学习“整式乘法公式”时．通过构造几何图形，用“等积法”直观地验证了平方差公式和完全平方和公式，如图1﹣1和1﹣2：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2． 【初步应用】 （1）请你利用图2中的两个正方形画出一个几何图形来验证完全平方和公式，用字母a、b标注相关边长并简单说明你的验证思路，同时写出该数学等式 　 　 ． 【拓展应用】 （2）请利用上述验证的恒等式解决如下问题：①若（a+b）2＝6、a﹣b＝2，求ab的值； ②正方形ABCD和AEFG如图3所示方式摆放，已知AB＝x，AE＝y，BE＝2，且x2+y2＝52，求图中阴影部分的面积； 【迁移应用】 （3）类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，如图4是由2个正方体和6个长方体拼成的一个大正方体，用它可以验证恒等式：（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，已知a+b＝3，ab＝1，利用上述恒等式，求a6+b6的值． 59．（2025春•海州区校级月考）一天，小明和小玲玩纸片拼图游戏，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2． （1）图③可以解释为等式：　 　 ． （2）在虚线框中用图①中的基本图形拼成若干块（每种至少用一次）拼成一个矩形，使拼出的矩形面积为2a2+7ab+3b2，并标出此矩形的长和宽． （3）如图④，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x＞y），观察图案，指出以下关系式：①；②x+y＝m；③x2﹣y2＝m•n；④x2+y2．其中正确的有几个 　 　 ． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 60．（2025春•姑苏区校级期中）【阅读材料】对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．如图1﹣1，边长为x的大正方形切去一个边长为y的小正方形，剩余部分的面积为x2﹣y2，如图1﹣2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为（x﹣y）2，乙的面积为y（x﹣y），丙的面积为y（x﹣y），所以x2﹣y2＝（x﹣y）2+2y（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣y+2y）＝（x﹣y）（x+y）． 【尝试应用】 （1）利用材料中得到的等式计算：992﹣12＝ 　 　 ； （2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2﹣1，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体，剩余部分的体积按如图2﹣2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的等式为x3﹣y3＝ 　 　 ； 【拓广探索】 （3）若x﹣y＝2，xy＝1，且x＞0，y＞0，求的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $