专题01数与式（实数）2026年九年级中考数学复习

该初中数学中考复习讲义聚焦实数核心考点，覆盖分类、相关概念、数轴、大小比较、运算及科学记数法等中考必查内容，按“定义-性质-应用”逻辑架构知识体系，通过考点梳理（如平方根与立方根对比）、方法指导（无理数比较的平方转化法）、真题训练（2025年多地模拟题），帮助学生突破绝对值化简、平方根辨析等难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于数形结合教学（如用数轴分析绝对值几何意义）和分层实战设计，如通过“数轴上点的运动规律”实例培养几何直观与抽象能力，设置基础填空、中档解答、综合探究三级练习，配合真题限时训练，确保学生高效掌握实数考点，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应试能力。

一轮复习 实数 考点一、实数的分类 1.按定义分类： 2.按性质符号分类： 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 考点二、实数的相关概念 1.相反数 （1）代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2）几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3）互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0. 2.绝对值 （1）代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 可用式子表示为： （2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数． 用式子表示：若a是实数，则|a|≥0． 3.倒数 （1）实数的倒数是；0没有倒数； （2）乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数. 4.平方根 （1）如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作． （2）一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作． 5.立方根 如果x3=a，那么x叫做a的立方根． 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0． 要点诠释： 若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离. 考点三、实数与数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可． 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释： （1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的. 考点四、实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小. 3.对于实数a、b， 若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b. 4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c. 5.无理数的比较大小： 利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a2>b2a>b； 或利用倒数转化：如比较与. 要点诠释： 实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大. 考点五、实数的运算 1.加法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b）+c=a+(b+c）． 2.减法 减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab）c=a(bc）；（3）乘法对加法的分配律a(b+c）=ab+ac． 4.除法 （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数． （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方 （1）求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a所表示的意义是n个a相乘. 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2）正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3）零指数与负指数 要点诠释： （1）加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算． （2）实数的运算律 　 　加法交换律：a+b=b+a 　　 加法结合律：(a+b）+c=a+(b+c） 　　 乘法交换律：ab=ba 　　 乘法结合律：(ab）c=a(bc） 　　 乘法分配律：(a+b）c=ac+bc 考点六、有效数字和科学记数法 1.近似数 　　一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字. 2.有效数字 　　一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字． 3.科学记数法 把一个数用±a×10（其中1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法． 要点诠释： （1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1； （2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 【随堂练习】 一、正负数 1．（2025•广东）某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g±0.02g，如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作+0.02g，那么低于标准质量0.02g记作（　　） A．﹣0.02g B．+0.02g C．﹣0.04g D．+0.04g 2．（2025•江西）在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如表所示，则熔点最高的是（　　） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：℃） ﹣259 ﹣218 ﹣210 ﹣117 A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 3．（2024•威海）一批食品，标准质量为每袋454g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（　　） A．+7 B．﹣5 C．﹣3 D．10 4．（2025•连云港校级二模）一袋面包包装上印有“总质量（200±3）g”的字样．小明拿去称了一下，发现质量为198g，则该面包厂家 　 　 （填“有”或“没有”）欺诈行为． 5．（2025•洪山区模拟）一袋小麦标准质量是50kg，若一袋小麦质量比标准质量多0.6kg记作+0.6kg，则某袋小麦质量为49.5kg记作 　 　 kg． 二、有理数、无理数 6．（2025•新昌县一模）在，，，0，3.1415926，30%，1.010010001⋯（两个“1”之间依次多一个“0”）中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024•长沙模拟）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B．π0 C． D．3.33333… 8．（2025秋•酒泉校级月考）把下列各数分别填入相应的集合里． 3，﹣7，，，0，，15， （1）分数集合：{　 　 …}； （2）负数集合：{　 　 …}； （3）整数集合：{　 　 …}； （4）非负数集合：{　 　 …}． 9．（2025秋•朝阳区校级月考）把下列各数填在相应的集合内，﹣5，+3，﹣0.2，，0，，﹣11，2.4，72． 负有理数集合：{　 　 }； 非负整数集合：{　 　 }． 10．（2025秋•武清区校级月考）把下列各数填入相应的集合内： ﹣11，8.6，﹣9，，0，+12，﹣6.4，﹣4%． 负有理数集合：{ 　 　 …}； 非负整数集合：{ 　 　 …}； 正有理数集合：{ 　 　 …}． 11．（2025秋•万宁校级月考）把下列各数填入表示它所在的数集的括号里： ﹣4，3，，0，0.02，，﹣9.6，，30%，2020． 正数集合{ 　 　 …}； 负数集合{ 　 　 …}； 整数集合{ 　 　 …}； 分数集合{ 　 　 …}； 非负有理数集合{ 　 　 …}． 三、数轴 12．（2025秋•太湖县期中）如图，数轴上的点A、B分别表示数a、b，a+b＝﹣2，若AB＝6，则点A表示的数为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 13．（2025秋•五河县期中）如图，数轴上到原点距离最大的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 14．（2025秋•武威期中）下列各图中，是数轴的是（　　） A．B． C．D． 15．（2025秋•宿迁校级期中）下列各图中，所画出的数轴正确的是（　　） A．B．C．D． 16．（2025秋•游仙区期中）在数轴上到表示﹣1的点的距离等于1的数是（　　） A．1 B．0 C．﹣2或0 D．﹣2或1 17．（2025•宝丰县一模）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣1.5 D．﹣2.5 18．（2025秋•城关区校级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a+c＜0 C．b+c＜0 D．﹣b+c＞0 19．（2025秋•市中区校级月考）有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列结论中正确的有（　　） ①ab＞0；②b﹣a＜0；③a+b＜0；④|a|﹣|b|＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2025•沛县二模）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣2 B．ab＞0 C．﹣a＜b D．|a|＞|b| 21．（2025秋•崂山区校级月考）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图，下列结论：①a+b＜0；②a＜b；③﹣a＜b；④a﹣（﹣b）＞0；⑤﹣a+b＜0；正确的有　 　 ． 22．（2025秋•开封期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数﹣2024将与圆周上的哪个数字重合（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 23．（2025秋•宿迁校级月考）如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为A、B、C、D，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上2025的点是（　　） A．A B．B C．C D．D 24．（2024秋•金水区校级期末）正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形ABCDEF绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数2025所对应的顶点是　 　 ． 25．（2019秋•双流区校级期中）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为 　 　 ，这样移动2019次后该点到原点的距离为 　 　 ． 26．（2025秋•沙坪坝区校级月考）如图，等边三角形ABC的边长为1，先让等边三角形的顶点A，C分别与数轴上的数﹣2和﹣3重合，再让等边三角形ABC沿着数轴按顺时针方向滚动，则数轴上的数2025与等边三角形上重合的字母为　 　 ． 四、倒数、相反数 27．（2025秋•齐齐哈尔期中）的相反数的倒数是（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 28．（2025秋•东城区校级期中）下列各组数中，互为倒数的是（　　） A．﹣2和2 B．﹣2和 C．﹣2和 D．2和 29．（2025秋•怀宁县期中）下列各组数中，互为相反数的有（　　） ①﹣2与+（﹣2）；②+（+1）与﹣1；③﹣（﹣1）与+（﹣1）；④+[﹣（﹣2）]与﹣[+（+2）]． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 30．（2025秋•宜春月考）已知a，b互为相反数，m，n互为倒数，c是绝对值最小的有理数，则的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2 31．（2025秋•海淀区校级期中）若x+3的相反数是﹣8，则x＝　 　． 32．（2025秋•武清区校级月考）若a与b互为相反数，b与c互为相反数，则a与c的关系是 　 　． 33．（2025秋•砚山县期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的绝对值是2，则a+b﹣2cd+e的值为 　 　． 34．（2025秋•荣县校级期中）有理数中，相反数是它本身的数是　 　，倒数是它本身的数是　 　． 35．（2025秋•大兴安岭期中）已知有理数a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝4，则2a﹣7cd﹣m+2b的值为　 　． 36．（2025秋•齐齐哈尔期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m为最大的负整数，n的绝对值为2，则　 　． 五、绝对值化简 37．（2025春•丽江期末）若x为任意有理数，则﹣|﹣x|一定是（　　） A．负数或零 B．负数 C．正数或零 D．正数 38．（2025秋•太湖县期中）若|a﹣3|与|b﹣5|互为相反数，则a+b的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8 39．（2025秋•游仙区期中）若|a﹣1|+|b﹣2|＝0，则a+b的相反数是（　　） A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣2 40．（2025秋•皇姑区校级期中）若|a﹣2|与|b+3|互为相反数，则﹣ba的值为 　 　 ． 41．（2025秋•闵行区期中）已知x≤3，化简：|x﹣3|+2＝ 　 　 ． 42．（2025秋•昆都仑区校级期中）如图数轴上有a，b，c三点，化简：|c﹣b|﹣|c+a|+|a﹣1|＝　 　． 43．（2025秋•游仙区期中）若a＜0，b＞0，|a|＞|b|，则|a+b|的化简结果是 　 　．（用含有a、b的代数式表示） 44．（2024秋•城关区校级期末）已知a，b，c的位置如图，化简：|2a﹣b|+|b+c|﹣|a﹣c|＝　 　． 45．（2025秋•闵行区期中）若a+b+c＞0，abc＜0，则　 　． 46．（2025秋•和平区校级月考）若|x|＜2，则整数x可以是　 　． 47．（2025秋•汝南县期中）||+||+…+||＝　 　． 48．（2025秋•海淀区校级期中）已知abc＜0，a+b+c＝0，若，则x的最大值与最小值的乘积为 　 　． 49．（2025秋•开封期中）当a＞0、b＜0时，化简|6﹣5b|+|8b﹣1|﹣|3a﹣2b|的结果是 　 　． 50．（2025秋•北碚区校级月考）化简：|a﹣b|+|c﹣b|＝　 　． 51．（2025秋•普陀期中）已知abc＜0，a+b+c＞0，且，求x＝　 　． 六、绝对值最值 52．（2025秋•江油市期中）若|x+1|+|x﹣a|的最小值是7，则a的值是　 　． 53．（2025秋•锡林郭勒盟期中）如果x是有理数，那么的最小值为　 　． 54．（2025秋•北川县期中）已知m是有理数，则|m+2|+|m﹣4|+|m﹣6|+|m﹣8|的最小值是 　 　． 55．（2025秋•天津校级月考）在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． （1）当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 　 　，最小值是 　 　． （2）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是　 ，最小值是 　 　． 56．（2025秋•深圳月考）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为|AB|＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是　 　 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　 　 ． ②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是　 　 ，如果|AB|＝2，那么x为　 　 ． （2）探索规律： ①当|x﹣1|+|x﹣2|有最小值是　 　 ． ②当|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|有最小值是　 　 ． ③当|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值是　 　 ． （3）规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ 七、绝对值非负性 57．（2025秋•广州校级月考）若|a﹣1|+|3﹣b|＝0，则a+b＝　 　 ． 58．（2025秋•中原区校级月考）已知|x﹣2|+|2y﹣x|＝0，求2020x﹣2019y＝　 　 ． 59．（2024秋•济南期末）已知（a﹣3）2+|b﹣2|＝0，求ba的值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．6 60．（2025春•芦淞区期末）已知|a+5|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（　　） A．25 B．﹣25 C．10 D．﹣10 八、乘方与科学计数法 61．（2025•歙县模拟）舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（　　） A．4.995×1011 B．49.95×1010 C．0.4995×1011 D．4.995×1010 62．（2025秋•闵行区期中）下列各组数中，数值相等的是（　　） A．32和23 B．﹣32和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．（﹣2）3和﹣23 63．（2025秋•浙江期中）下列各式中，结果最小的是（　　） A．（﹣3）2 B．（﹣3）3 C．（﹣3） 4 D．﹣34 64．（2025秋•陇南期中）和（﹣2）6相等的是（　　） A．﹣26 B．﹣62 C．26 D．12 65．（2025秋•齐齐哈尔期中）2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达20.6万亿元．其中数据20.6万亿用科学记数法表示为　 　 ． 66．（2025秋•秦州区校级期中）在﹣76中，底数是　 　 ． 67．（2025秋•七里河区校级期中）﹣（﹣2）3的底数是　 　 ，结果是　 　 ． 68．（2025秋•府谷县期中）计算：　 　 ． 69．（2024秋•莱州市期末）据预测，我国2024年全社会用电量达9800000000000度．将数据9800000000000用科学记数法表示为　 　 ． 70．（2025秋•鼓楼区校级月考）已知k是一个正整数，那么（﹣1）2k﹣1＝ 　 　 ． 71．（2025秋•宝山区校级月考）3.102×108有　 　 个整数位． 72．（2025•朝阳区校级模拟）（﹣2）3的底数是 　 　 ． 九、平方根与立方根 73．（2025•定西三模）4的算术平方根是（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D． 74．（2025春•潮阳区期中）若实数x、y满足（x+3）2+|y+12|＝0，则xy的算术平方根是（　　） A．36 B．±6 C．6 D．± 75．（2025•垦利区三模）3的平方根是（　　） A． B． C． D．3 76．（2025春•炎陵县期末）若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（　　） A．3 B．﹣3 C．16 D．9 77．（2025秋•渠县校级期中）的平方根是（　　） A．±2 B．4 C．±2 D．±8 78．（2025秋•城关区校级期中）若2x﹣4与1﹣3x是同一个正数的平方根，则x的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．±1 79．（2025秋•西安月考）已知，则的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 80．（2025秋•南湖区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．2的平方根是 B．的平方根是±9 C．1的立方根是±1 D．﹣8没有算术平方根 81．（2025秋•白银区校级月考）已知，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 82．（2025秋•青羊区校级期中）下列结论正确的是（　　） A． B．立方根等于本身的数只有0 C．4的立方根是±2 D．9的平方根是±3 83．（2025秋•唐山期中）下列选项正确的是（　　） A．4的平方根是2 B． C．的立方根是 D．（﹣1）2的立方根是﹣1 84．（2025秋•涉县期中）若，则x的值为（　　） A．﹣6 B．﹣1 C． D．3 85．（2025秋•秦淮区校级月考）下列说法：①任何数都有平方根；②±2是的立方根；③；④（﹣4）3的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 86．（2025•高青县一模）的算术平方根是 　 　 ． 87．（2024秋•临沧校级期末）若8xmy与6x3yn是同类项，则（m+n）3的平方根为　 　 ． 88．（2025秋•城关区校级期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 　 　 ． 89．（2025春•通辽期末）若，，则　 　 ． 90．（2025秋•宿迁校级月考）的立方根是　 　 ． 91．（2025秋•浙江期中）若，则　 　 ． 92．（2025秋•江阴市校级月考）9的平方根是　 　 ；　 　 ． 93．（2025秋•秦淮月考）一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是　 　． 94．（2025秋•龙华区校级月考）已知一个正数的两个平方根分别是2a﹣7和a﹣8，b﹣12的立方根为﹣2，则9a+b的算术平方根是　 　 ． 95．（2025秋•涉县期中）已知数A＝6﹣2x有平方根． （1）求x的取值范围； （2）数A的两个不同的平方根是a+1和2a﹣7，求A的值． 96．（2025秋•梁溪区校级月考）已知：2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的平方根． 97．（2025秋•江阴市校级月考）若，求的平方根． 98．（2025春•东城区校级期中）如图是一个数值转换器（|x|＜25）． （1）当输入的x为﹣14时．输出的y值是　 　 ； （2）若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为　 　 ； （3）若输出的y是，求x的负整数值． 99．（2025秋•大东区校级月考）先填写表，通过观察后再回答问题． a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 x 2 20 y … （1）表格中x＝ 　 　 ，y＝ 　 　 ； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则 　 　 ； ②已知，，用含m的代数式表示n，则n＝ 　 　 ． 100．（2025秋•闵行区校级月考）观察下表： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 （1）由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：　 ； （2）根据你发现的规律填空：已知． 则　 　，　 　； 若，则x≈　 　； （3）拓展提升： ①已知，则　 ； ②已知，则　 ． 101．（2025秋•闵行区校级月考）已知和互为相反数，且x﹣5的平方根是它本身，求x+y的平方根． 102．（2025秋•沈阳月考）已知一个正数的两个平方根分别是2x+1和x﹣4，且x和y满足． （1）求x，y的值； （2）求2xy+28的立方根． 103．（2025秋•鲁山县校级月考）观察下列式子： ①2+（﹣2）＝0； ②1+（﹣1）＝0； ③； ④． 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：　 　 ； （2）由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若 　 　 ＝0，则0，反之也成立； （3）根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的立方根． 十、实数范围、比大小 104．（2025•三明二模）估计的值在（　　） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 105．（2025春•大通区期末）已知，且a，b为两个连续的整数，则a+2b＝（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 106．（2025秋•绥化期中）如图，数轴上点A所表示的实数是（　　） A． B．﹣1 C． D． 107．（2025秋•唐山期中）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（　　） A．3.2 B．1 C．1 D． 108．（2025秋•包头期中）m、n为两个连续的整数，且，则m+n＝　 　 ． 109．（2025秋•开原市期中）如图，直角三角形ABO在数轴上，∠ABO＝90°，AB＝3，OB＝2，点O在数轴上的O处，以点O为圆心，以OA为半径画弧，交数轴于点C，则点C对应的数是　 　． 110．（2025春•安康期末）比较大小： 　 　 （填“＞、＜或＝”）． 111．（2025春•连江县期末）请你写出一个无理数a，使得2＜a＜3，则a可以是　 　（写出一个满足条件的a即可）． 112．（2025秋•东坡区期中）已知m是的整数部分，n是的小数部分，则m﹣n＝ 　 ． 113．（2025秋•浦东新区校级月考）如果，那么整数a＝ 　 　 ． 十一、近似数 114．（2025秋•武安市期中）用四舍五入法取近似值为3.30，那么这个数精确到 　 　 位． 115．（2025秋•天河区校级期中）用四舍五入法取近似数：1.8965（精确到0.01）为　 　 ． 116．（2025秋•榆林期中）利用四舍五入法将有理数1.835精确到百分位得到的近似数为　 　 ． 117．（2025秋•宁江区期中）用四舍五入法将1.689精确到十分位，得到的结果是 　 　 ． 118．（2025秋•南湖区校级期中）祖冲之是我国杰出的数学家，他首次将圈周率π精算到小数第七位，即3.1415926＜π＜3.1415927，π取近似值3.14是精确到 　 　 位． 119．（2025秋•安吉县期中）用四舍五入法，将6.35精确到0.1的近似值为　 　 ． 120．（2025秋•富锦市期中）近似数9.63的准确值a的取值范围是 　 　 ． 121．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 122．【阅读理解】我国著名数学家华罗庚曾经用诗句“数形结合百般好，割裂分家万事非”表达了数形结合的重要性．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． 【理解应用】如图1，已知数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c，其中b是最大的负整数，且a，b，c满足（a﹣4b）2+|c﹣11|＝0． （1）请你直接写出a，b，c的值，a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）若D为数轴上的一个动点，且DC＝3DB，求点D在数轴上表示的数． 【拓展延伸】（3）若点P，R，Q分别从点A，B，C同时出发在数轴上运动，点P以每秒4个单位的速度向左运动，点Q以每秒5个单位的速度向右运动，点R以每秒3个单位的速度朝某个方向运动，若PQ+nRQ的值不随时间t的变化而变化，请求出n的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $一轮复习 实数 考点一、实数的分类 1.按定义分类： 2.按性质符号分类： 有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数． 无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 考点二、实数的相关概念 1.相反数 （1）代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2）几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3）互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0. 2.绝对值 （1）代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0． 可用式子表示为： （2）几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数． 用式子表示：若a是实数，则|a|≥0． 3.倒数 （1）实数的倒数是；0没有倒数； （2）乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数. 4.平方根 （1）如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作． （2）一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作． 5.立方根 如果x3=a，那么x叫做a的立方根． 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0． 要点诠释： 若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离. 考点三、实数与数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可． 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释： （1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的. 考点四、实数大小的比较 1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大. 2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小. 3.对于实数a、b， 若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b. 4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c. 5.无理数的比较大小： 利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a2>b2a>b； 或利用倒数转化：如比较与. 要点诠释： 实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大. 考点五、实数的运算 1.加法 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b）+c=a+(b+c）． 2.减法 减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘. 几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab）c=a(bc）；（3）乘法对加法的分配律a(b+c）=ab+ac． 4.除法 （1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数． （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方 （1）求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a所表示的意义是n个a相乘. 正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2）正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3）零指数与负指数 要点诠释： （1）加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算． （2）实数的运算律 　 　加法交换律：a+b=b+a 　　 加法结合律：(a+b）+c=a+(b+c） 　　 乘法交换律：ab=ba 　　 乘法结合律：(ab）c=a(bc） 　　 乘法分配律：(a+b）c=ac+bc 考点六、有效数字和科学记数法 1.近似数 　　一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字. 2.有效数字 　　一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字． 3.科学记数法 把一个数用±a×10（其中1≤＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法． 要点诠释： （1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1； （2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤＜10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）. 【随堂练习】 一、正负数 1．（2025•广东）某品牌乒乓球产品质量参数是2.74g±0.02g，如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作+0.02g，那么低于标准质量0.02g记作（　　） A．﹣0.02g B．+0.02g C．﹣0.04g D．+0.04g 【分析】用正负数表示两种具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【解答】解：如果一只乒乓球的质量高于标准质量0.02g记作+0.02g， 那么低于标准质量0.02g记﹣0.02g， 故选：A． 【点评】本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 2．（2025•江西）在1个标准大气压下，四种晶体的熔点如表所示，则熔点最高的是（　　） 晶体 固态氢 固态氧 固态氮 固态酒精 熔点（单位：℃） ﹣259 ﹣218 ﹣210 ﹣117 A．固态氢 B．固态氧 C．固态氮 D．固态酒精 【分析】根据正数和负数的实际意义比较各数的大小即可． 【解答】解：∵﹣259＜﹣218＜﹣210＜﹣117， ∴熔点最高的是固态酒精， 故选：D． 【点评】本题考查正数和负数，理解其实际意义是解题的关键． 3．（2024•威海）一批食品，标准质量为每袋454g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（　　） A．+7 B．﹣5 C．﹣3 D．10 【分析】根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值后比较大小即可． 【解答】解：各数的绝对值分别为7，5，3，10， ∵3＜5＜7＜10， ∴最接近标准质量的是﹣3， 故选：C． 【点评】本题考查正数和负数，理解其实际意义是解题的关键． 4．（2025•连云港校级二模）一袋面包包装上印有“总质量（200±3）g”的字样．小明拿去称了一下，发现质量为198g，则该面包厂家 　没有　 （填“有”或“没有”）欺诈行为． 【分析】理解字样的含义，食品的质量在（200±3）g，即食品在（200+3）g与（200﹣3）g之间都合格． 【解答】解：∵总质量（200±3）g， ∴质量在（200+3）g与（200﹣3）g之间都合格， 而产品有198g在范围内，故合格， ∴厂家没有欺诈行为． 故答案为：没有． 【点评】本题考查的是正数与负数，解题关键是理解正和负的相对性，判别净含量（200±3）g的意义． 5．（2025•洪山区模拟）一袋小麦标准质量是50kg，若一袋小麦质量比标准质量多0.6kg记作+0.6kg，则某袋小麦质量为49.5kg记作 　﹣0.5　 kg． 【分析】根据正数和负数的意义进行解答即可． 【解答】解：由正数和负数的意义可知，袋小麦标准质量是50kg，若一袋小麦质量比标准质量多0.6kg记作+0.6kg，则某袋小麦质量为49.5kg记作﹣0.5kg， 故答案为：﹣0.5． 【点评】本题考查正数和负数，理解正数、负数的意义是正确解答的关键． 二、有理数、无理数 6．（2025•新昌县一模）在，，，0，3.1415926，30%，1.010010001⋯（两个“1”之间依次多一个“0”）中，无理数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的有些数，结合所给数据进行判断即可． 【解答】解：是有理数； 是有理数； 是无理数，符合题意； 0是有理数； 3.1415926是有理数； 30%是有理数； 1.010010001⋯（两个“1”之间依次多一个“0”）是无理数，符合题意； 故无理数共有2个， 故选：B． 【点评】本题考查了无理数的定义，解题的关键是掌握无理数的几种形式． 7．（2024•长沙模拟）下列各数中，是无理数的是（　　） A． B．π0 C． D．3.33333… 【分析】根据无理数的定义解答即可． 【解答】解：根据无理数概念逐项分析判断如下： A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．π0＝1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是无理数，故本选项符合题意； D．3.33333…是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键． 8．（2025秋•酒泉校级月考）把下列各数分别填入相应的集合里． 3，﹣7，，，0，，15， （1）分数集合：{　，，　 …}； （2）负数集合：{　　 …}； （3）整数集合：{　3，﹣7，0，15　 …}； （4）非负数集合：{　3，，0，15，　 …}． 【分析】（1）根据分数的定义即可解决问题； （2）根据负数的定义即可解决问题； （3）根据整数的定义即可解决问题； （4）根据非负数的定义即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 所给各数中的分数有：，，， 故答案为：，，，； （2）给各数中的负数有：， 故答案为：﹣7，，； （3）给各数中的整数有：3，﹣7，0，15， 故答案为：3，﹣7，0，15； （4）给各数中的非负数有：3，，0，15，， 故答案为：3，，0，15，． 【点评】本题主要考查了有理数，熟知有理数的分类是解题的关键． 9．（2025秋•朝阳区校级月考）把下列各数填在相应的集合内，﹣5，+3，﹣0.2，，0，，﹣11，2.4，72． 负有理数集合：{　﹣5，﹣0.2，，﹣11　 }； 非负整数集合：{　+3，0，72　 }． 【分析】根据有理数的分类方法进行解答即可． 【解答】解：﹣5，+3，﹣0.2，，0，，﹣11，2.4，72． 负有理数集合：{﹣5，﹣0.2，，﹣11…}， 非负整数集合：{+3，0，72…}， 故答案为：﹣5，﹣0.2，，﹣11； +3，0，72． 【点评】此题考查了有理数，掌握有理数的分类是解答本题的关键． 10．（2025秋•武清区校级月考）把下列各数填入相应的集合内： ﹣11，8.6，﹣9，，0，+12，﹣6.4，﹣4%． 负有理数集合：{ 　﹣11，﹣9，，﹣6.4，﹣4%　 …}； 非负整数集合：{ 　0，+12　 …}； 正有理数集合：{ 　8.6，+12　 …}． 【分析】根据负数，非负整数，正有理数的定义，可得答案． 【解答】解：负数集合{﹣11，﹣9，，﹣6.4，﹣4%…}； 非负整数集合{0，+12…}； 正有理数集合{8.6，+12…}． 故答案为：﹣11，﹣9，，﹣6.4，﹣4%；0，+12；8.6，+12． 【点评】本题考查了有理数，利用有理数的分类是解题关键． 11．（2025秋•万宁校级月考）把下列各数填入表示它所在的数集的括号里： ﹣4，3，，0，0.02，，﹣9.6，，30%，2020． 正数集合{ 　3，0.02，，，30%，2020；　 …}； 负数集合{ 　﹣4，，﹣9.6；　 …}； 整数集合{ 　﹣4，3，0，2020；　 …}； 分数集合{ 　，0.02，，﹣9.6，，30%；　 …}； 非负有理数集合{ 　3，0，0.02，，，30%，2020　 …}． 【分析】根据有理数分为正数、负数和零进而确定正数、负数集合即可；根据整数分为零和正整数、负整数进而确定整数集合即可；有限小数和无限循环小数是分数来确定分数集合，正有理数和零是非负有理数确定非负有理数集合即可． 【解答】解：正数集合{3，0.02，，，30%，2020，…}； 负数集合{﹣4，，﹣9.6，…}； 整数集合{﹣4，3，0，2020，…}； 分数集合{，0.02，，﹣9.6，，30%，…}； 非负有理数集合{3，0，0.02，，，30%，2020，…}． 故答案为：3，0.02，，，30%，2020； ﹣4，，﹣9.6； ﹣4，3，0，2020； ，0.02，，﹣9.6，，30%； 3，0，0.02，，，30%，2020． 【点评】本题主要考查了有理数的分类，解决本题的关键是掌握整数、分数、整数、负数、非负有理数的概念． 三、数轴 12．（2025秋•太湖县期中）如图，数轴上的点A、B分别表示数a、b，a+b＝﹣2，若AB＝6，则点A表示的数为（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1 【分析】根据数轴，由AB＝6可得b﹣a＝6，结合a+b＝﹣2算出a值即可． 【解答】解：∵在数轴上，AB＝6， ∴b﹣a＝6， 即b＝a+6， ∵a+b＝﹣2， ∴a+a+6＝﹣2， ∴a＝﹣4， 故选：A． 【点评】本题主要考查数轴上点表示的数，将b﹣a＝6转化为b＝a+6，再将b＝a+6代入a+b＝﹣2中，从而求出a的方法将其称为待定系数法． 13．（2025秋•五河县期中）如图，数轴上到原点距离最大的点是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D 【分析】根据点的位置即可作出判断． 【解答】解：点D离原点最远， ∴到原点距离最大的点是点D， 故选：D． 【点评】本题考查数轴上两点间的距离，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 14．（2025秋•武威期中）下列各图中，是数轴的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据数轴的定义即可解答． 【解答】解：A、没有正方向，不符合题意； B、不是直线，不符合题意； C、不是直线，不符合题意； D、符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了数轴，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 15．（2025秋•宿迁校级期中）下列各图中，所画出的数轴正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】通过观察数轴上的原点，单位长度，正方向即可进行判断，从而选出答案． 【解答】解：A、没有单位长度，故该选项不符合题意； B、没有正方向，故该选项不符合题意； C、有原点，正方向，单位长度，故该选项符合题意； D、没有原点，故该选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查数轴相关概念，熟练掌握数轴上原点，单位长度，正方向三要素是解题关键． 16．（2025秋•游仙区期中）在数轴上到表示﹣1的点的距离等于1的数是（　　） A．1 B．0 C．﹣2或0 D．﹣2或1 【分析】利用绝对值的几何意义解答即可． 【解答】解：∵在数轴上到表示﹣1的点到表示0的点的距离等于1，在数轴上到表示﹣1的点到表示﹣2的点的距离等于1， ∴在数轴上到表示﹣1的点的距离等于1的数是﹣2或0． 故选：C． 【点评】本题主要考查了绝对值的应用，熟练掌握绝对值的几何意义是解题的关键． 17．（2025•宝丰县一模）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　） A．0.5 B．﹣0.5 C．﹣1.5 D．﹣2.5 【分析】设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0，再根据每个选项中实数的范围进行判断即可． 【解答】解：设小手盖住的点表示的数为x，则﹣1＜x＜0， 则表示的数可能是﹣0.5． 故选：B． 【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键． 18．（2025秋•城关区校级期中）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列说法不正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a+c＜0 C．b+c＜0 D．﹣b+c＞0 【分析】根据数轴知，﹣1＜a＜0，﹣3＜b＜﹣2，1＜c＜2，再根据有理数的加减法则判断各代数式的正误便可． 【解答】解：A．由数轴知，a＜0，b＜0，则a+b＜0，选项A正确，不符合题意； B．由数轴知，﹣1＜a＜0，1＜c＜2，则a+c＞0，选项B不正确，符合题意； C．由数轴知，﹣3＜b＜﹣2，1＜c＜2，则b+c＜0，选项C正确，不符合题意； D．由数轴知，﹣3＜b＜﹣2，1＜c＜2，则2＜﹣b＜3，所以﹣b+c＞0，选项D正确，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了有理数加法、数轴的知识，熟练掌握有理数加法，根据法则及数轴上点的位置来确定符号是解题关键． 19．（2025秋•市中区校级月考）有理数a，b在数轴上对应的点如图所示，则下列结论中正确的有（　　） ①ab＞0；②b﹣a＜0；③a+b＜0；④|a|﹣|b|＞0． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据数轴知b＜0，a＞0，且|a|＜|b|，再利用有理数的乘法、加法、减法及绝对值性质等知识点逐一判断可得． 【解答】解：由数轴知b＜0，a＞0，且|a|＜|b|， 则①ab＜0，故错误； ②b﹣a＜0，正确； ③a+b＜0，正确； ④|a|﹣|b|＜0，故错误； 所以结论中正确的有2个． 故选：B． 【点评】本题考查的是数轴，熟知数轴上右边的数总比左边的大及有理数的混合运算法则是解答此题的关键． 20．（2025•沛县二模）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣2 B．ab＞0 C．﹣a＜b D．|a|＞|b| 【分析】根据有理数a、b在数轴上对应点的位置进行判断即可． 【解答】解：由数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2， ∴ab＜0，﹣a＞b，|a|＞|b|， ∴选项ABC是错误的，只有选项D是正确的． 故选：D． 【点评】本题主要考查了数轴，能够根据有理数a、b在数轴上对应点的位置进行判断是解题的关键． 21．（2025秋•崂山区校级月考）有理数a、b在数轴上的对应点的位置如图，下列结论：①a+b＜0；②a＜b；③﹣a＜b；④a﹣（﹣b）＞0；⑤﹣a+b＜0；正确的有　②③④　 ． 【分析】由数轴可知：a＜0＜﹣a＜b，且|b|＞|a|，然后根据有理数的加减运算可进行求解． 【解答】解：由数轴可知：a+b＞0，a﹣（﹣b）＝a+b＞0，﹣a+b＞0， 所以正确的有②③④； 故答案为：②③④． 【点评】本题主要考查数轴上有理数的表示、绝对值及有理数的加减运算，熟练掌握数轴上有理数的表示、绝对值及有理数的加减运算是解题的关键． 22．（2025秋•开封期中）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3，先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合，再让圆沿着数轴按顺时针方向滚动，那么数轴上的数﹣2024将与圆周上的哪个数字重合（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【分析】根据数轴表示的方法以及所呈现的规律进行解答即可． 【解答】解：起始时，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣2所对应的点重合， 顺时针旋转1周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣6所对应的点重合，即﹣2﹣4＝﹣6， 顺时针旋转2周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣10所对应的点重合，即﹣2﹣4﹣4＝﹣10， 顺时针旋转3周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣14所对应的点重合，即﹣2﹣4﹣4﹣4＝﹣14， 顺时针旋转4周，圆周上数字0所对应的点与数轴上的数﹣18所对应的点重合，即﹣2﹣4﹣4﹣4﹣4＝﹣18， …… 由于﹣2﹣4×505﹣2＝﹣2024， 所以数轴上的数﹣2024将与圆周上的2数字重合， 故选：B． 【点评】本题考查数轴，理解数轴表示数的方法以及圆周上数字与数轴上的数的对应关系是正确解答的关键． 23．（2025秋•宿迁校级月考）如图所示，圆的周长为4个单位长度，圆上的四等分点分别为A、B、C、D，点A落在2的位置，将圆在数轴上沿正方向滚动，那么落在数轴上2025的点是（　　） A．A B．B C．C D．D 【分析】根据圆的周长为4个单位长度，且A、B、C、D为圆的四等分点，可得A、B、C、D四点依次循环出现，求得2025到2的距离，然后计算即可． 【解答】解：圆的周长为4个单位长度，且A、B、C、D为圆的四等分点，可得A、B、C、D四点依次循环出现， ∴（2025﹣2）÷4＝505⋯3， ∴落在数轴上2025的点是B， 故选：B． 【点评】本题考查了数轴和周期规律，正确理解数轴的相关知识是解题关键． 24．（2024秋•金水区校级期末）正六边形ABCDEF在数轴上的位置如图所示，点A，F对应的数分别为1和0，若正六边形ABCDEF绕顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为2；按此规律继续翻转下去，数轴上数2025所对应的顶点是C ． 【分析】读懂题意，发现变化规律，利用数轴知识和发现的规律解答． 【解答】解：由题意可知A、B、C、D、E、F、A、B、C、D、E......对应的数分别为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11......， 6个数为一循环， 2025÷6＝337余数为3， ∴数轴上数2025所对应的顶点是C． 故答案为：C． 【点评】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识． 25．（2019秋•双流区校级期中）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，…以此类推，移动5次后该点对应的数为 　7　 ，这样移动2019次后该点到原点的距离为 　3028　 ． 【分析】根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律，写出表达式就可解决问题． 【解答】解：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，移动1个单位长度，即1＝3×（1﹣1）+1； 第2次从B点向左移动4个单位长度至C点，移动4＝3×（2﹣1）+1个单位长度； 第3次从C点向右移动7个单位长度至D点，移动7＝3×（3﹣1）+1个单位长度； 第4次从D点向左移动10个单位长度至E点，…以此类推， 移动5次后该点对应的数为1﹣4+7﹣10+13＝7； 由规律可知第n次移动（3n﹣2）个单位长度， n为奇数时向右移动，n为偶数时向左移动， 第2019次向右移3×2019﹣2＝6055个单位长度，（2019﹣1）÷2＝2018÷2＝1009， 即前2018次移动后该点表示的数1009×（﹣3）＝﹣3027，﹣3027+6055＝3028， 所以这样移动2019次后该点表示的数为3028，距离原点的距离为3028． 故答案为：7，3028． 【点评】本题考查了数轴，以及用正负数可以表示具有相反意义的量，还考查了数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键． 26．（2025秋•沙坪坝区校级月考）如图，等边三角形ABC的边长为1，先让等边三角形的顶点A，C分别与数轴上的数﹣2和﹣3重合，再让等边三角形ABC沿着数轴按顺时针方向滚动，则数轴上的数2025与等边三角形上重合的字母为C ． 【分析】根据题意先计算出点﹣2到数2025间距离为2027，再根据等边△ABC可知每转动一周经过数轴上3个单位长度，继而得到本题答案． 【解答】解：由条件可知△ABC每滚动一周经过数轴上3个单位长度， 数轴上数﹣2与数2025表示的点的距离为：2025﹣（﹣2）＝2027， 2027÷3＝675……2， ∵开始时顶点A与数轴上的数﹣2重合，等边三角形ABC沿着数轴按顺时针方向滚动， ∴数轴上的数2025与等边三角形上重合的字母为C． 故答案为：C． 【点评】本题考查数轴上两点间距离，整数计算规律问题等．熟练掌握以上知识点是关键． 四、倒数、相反数 27．（2025秋•齐齐哈尔期中）的相反数的倒数是（　　） A．﹣3 B．3 C． D． 【分析】根据相反数、倒数的定义解答即可求得答案． 【解答】解：， 的相反数是， 的倒数是﹣3， 则的相反数的倒数是﹣3． 故选：A． 【点评】本题考查了相反数、倒数，掌握相反数、倒数的定义是解答此题的关键． 28．（2025秋•东城区校级期中）下列各组数中，互为倒数的是（　　） A．﹣2和2 B．﹣2和 C．﹣2和 D．2和 【分析】根据倒数的定义可知，乘积是1的两个数互为倒数． 【解答】解：A．∵﹣2×2≠1，∴﹣2和2不互为倒数，故不符合题意； B．∵﹣21，∴﹣2和不互为倒数，故不符合题意； C．∵﹣2×（）＝1，∴﹣2和互为倒数，故符合题意； D．∵2×（）≠1，∴2和不互为倒数，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．注意0没有倒数． 29．（2025秋•怀宁县期中）下列各组数中，互为相反数的有（　　） ①﹣2与+（﹣2）；②+（+1）与﹣1；③﹣（﹣1）与+（﹣1）；④+[﹣（﹣2）]与﹣[+（+2）]． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【分析】根据多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正化简各数，然后根据相反数的定义判断即可． 【解答】解：①﹣2与﹣2，不是相反数； ②1与﹣1，互为相反数； ③1与﹣1，互为相反数； ④2与﹣2，互为相反数； 故选：C． 【点评】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解题的关键，只有符号不同的两个数互为相反数． 30．（2025秋•宜春校级月考）已知a，b互为相反数，m，n互为倒数，c是绝对值最小的有理数，则的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．0 D．2 【分析】根据a，b互为相反数，m，n互为倒数，c是绝对值最小的有理数，可以得到a+b＝0，mn＝1，c＝0，然后代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵a，b互为相反数， ∴a+b＝0， ∵m，n互为倒数， ∴mn＝1， ∵c是绝对值最小的有理数， ∴c＝0， ∴ 0+1 ＝0+0+1＝1， 故选：B． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 31．（2025秋•海淀区校级期中）若x+3的相反数是﹣8，则x＝　5　 ． 【分析】根据相反数的意义求解即可． 【解答】解：由题意，得 x+3+（﹣8）＝0， 解得x＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了相反数，利用相反数的和为零得出方程是解题关键． 32．（2025秋•武清区校级月考）若a与b互为相反数，b与c互为相反数，则a与c的关系是 a＝c ． 【分析】根据相反数的定义可得a＝﹣b，b＝﹣c，进而求得a＝c． 【解答】解：由条件可知：a＝﹣b，b＝﹣c． ∴a＝﹣b＝﹣（﹣c）＝c． ∴a与c的关系是：a＝c． 故答案为：a＝c． 【点评】本题考查了相反数的定义，深刻理解相反数的定义是解题的关键． 33．（2025秋•砚山县期中）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，e的绝对值是2，则a+b﹣2cd+e的值为 　0或﹣4　 ． 【分析】根据相反数的性质可得a+b的值，根据倒数的定义得cd的值，再由绝对值的性质可求得e的值，再将它们代入求解即可，注意e的值有两个，所以需分类讨论． 【解答】解：由条件可知a+b＝0，cd＝1， ∵e的绝对值是2， ∴e＝2或﹣2， ∴当e＝2时，a+b﹣2cd+e＝0﹣2×1+2＝0， 当e＝﹣2时，a+b﹣2cd+e＝0﹣2×1+（﹣2）＝﹣4， ∴a+b﹣2cd+e的值为0或﹣4． 故答案为：0或﹣4． 【点评】本题考查了相反数的性质、倒数的定义和绝对值的性质，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． 34．（2025秋•荣县校级期中）有理数中，相反数是它本身的数是　0　 ，倒数是它本身的数是　±1　 ． 【分析】根据相反数和倒数的定义解答即可． 【解答】解：倒数是它本身的数是±1，相反数是它本身的数是0， 故答案为：0，±1． 【点评】本题考查了相反数的定义，倒数的定义，解题的关键是熟记相关概念． 35．（2025秋•大兴安岭期中）已知有理数a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝4，则2a﹣7cd﹣m+2b的值为　﹣11或﹣3　 ． 【分析】已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝4，可得a+b＝0，cd＝1，m＝±4，再代入求解即可． 【解答】解：已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，|m|＝4， 可得a+b＝0，cd＝1，m＝±4， 分别代入可得2a﹣7cd﹣m+2b＝2（a+b）﹣7cd﹣m＝﹣7cd﹣m＝﹣7﹣m， 当m＝4时，原式＝﹣7﹣4＝﹣11， 当m＝﹣4时，原式＝﹣7+4＝﹣3， 故答案为：﹣11或﹣3． 【点评】本题考查代数式求值，正确进行计算是解题关键． 36．（2025秋•齐齐哈尔期中）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，m为最大的负整数，n的绝对值为2，则　4　 ． 【分析】根据a、b互为相反数，c、d互为倒数，m为最大的负整数，n的绝对值为2，可以得到a+b＝0，cd＝1，m＝﹣1，n2＝4，然后代入所求式子计算即可． 【解答】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，m为最大的负整数，n的绝对值为2， ∴a+b＝0，cd＝1，m＝﹣1，n2＝4， ∴ ＝1﹣1+0+4 ＝4， 故答案为：4． 【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 五、绝对值化简 37．（2025春•丽江期末）若x为任意有理数，则﹣|﹣x|一定是（　　） A．负数或零 B．负数 C．正数或零 D．正数 【分析】根据绝对值的定义即可解决问题； 【解答】解：﹣|﹣x|一定是负数或零， 故选：A． 【点评】本题考查绝对值的定义以及性质，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常见题． 38．（2025秋•太湖县期中）若|a﹣3|与|b﹣5|互为相反数，则a+b的值为（　　） A．8 B．﹣8 C．0 D．8或﹣8 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a﹣3|和|b﹣5|互为相反数， ∴|a﹣3|+|b﹣5|＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣5＝0， ∴a＝3，b＝5， ∴a+b＝3+5＝8． 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 39．（2025秋•游仙区期中）若|a﹣1|+|b﹣2|＝0，则a+b的相反数是（　　） A．1 B．3 C．﹣3 D．﹣2 【分析】利用绝对值的性质得出a，b的值，再利用相反数的定义得出答案． 【解答】解：∵|a﹣1|+|b﹣2|＝0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0， ∴a＝1，b＝2， ∴a+b＝1+2＝3， ∴a+b的相反数是﹣3． 故选：C． 【点评】此题主要考查了非负数的性质以及相反数，正确得出a，b的值是解题的关键． 40．（2025秋•皇姑区校级期中）若|a﹣2|与|b+3|互为相反数，则﹣ba的值为 　﹣9　 ． 【分析】根据绝对值的非负性解决此题． 【解答】解：由题意得，|a﹣2|+|b+3|＝0． ∵|a﹣2|≥0，|b+3|≥0， ∴a﹣2＝0，b+3＝0． ∴a＝2，b＝﹣3． ∴﹣ba＝﹣（﹣3）2＝﹣9． 故答案为：﹣9． 【点评】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的非负性是解决本题的关键． 41．（2025秋•闵行区期中）已知x≤3，化简：|x﹣3|+2＝ 　5﹣x ． 【分析】先根据绝对值的意义得到|x﹣3|＝3﹣x，然后合并即可． 【解答】解：∵x≤3， ∴|x﹣3|＝﹣（x﹣3）＝3﹣x， ∴原式＝3﹣x+2＝5﹣x． 故答案为：5﹣x． 【点评】本题考查了绝对值：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a． 42．（2025秋•昆都仑区校级期中）如图数轴上有a，b，c三点，化简：|c﹣b|﹣|c+a|+|a﹣1|＝b﹣1　 ． 【分析】根据数轴先判断出c＜0＜1＜a＜b，c﹣b＜0，c﹣a＜0，a﹣1＞0，再由绝对值的代数意义计算即可求． 【解答】解：根据题意，得c＜0＜1＜a＜b， ∴c﹣b＜0，c﹣a＜0，a﹣1＞0， ∴原式＝﹣（c﹣b）+（c﹣a）+（a﹣1）＝﹣c+b+c﹣a+a﹣1＝b﹣1． 故答案为：b﹣1． 【点评】本题主要考查了数轴，绝对值的性质，整式的加减等知识，关键在于确定绝对值内代数式的正负． 43．（2025秋•游仙区期中）若a＜0，b＞0，|a|＞|b|，则|a+b|的化简结果是 　﹣a﹣b ．（用含有a、b的代数式表示） 【分析】根据有理数加法的计算方法确定a+b的符号，再根据绝对值的定义进行计算即可． 【解答】解：∵a＜0，b＞0，|a|＞|b|， ∴a+b＜0， ∴|a+b|＝﹣（a+b）＝﹣a﹣b， 即|a+b|的化简结果是﹣a﹣b， 故答案为：﹣a﹣b． 【点评】本题考查绝对值，有理数的加法，掌握有理数加法的计算方法以及绝对值的定义是正确解答的关键． 44．（2024秋•城关区校级期末）已知a，b，c的位置如图，化简：|2a﹣b|+|b+c|﹣|a﹣c|＝　﹣a﹣2c ． 【分析】结合数轴可得，a＜c，b+c＜0，2a﹣b＜0，从而可去掉绝对值计算． 【解答】解：∵a＜c，b+c＜0，2a﹣b＜0， ∴|2a﹣b|+|b+c|﹣|a﹣c| ＝﹣2a+b﹣b﹣c+a﹣c ＝﹣a﹣2c． 故答案为：﹣a﹣2c． 【点评】本题考查了整式的加减及数轴的知识，关键是判断出绝对值符号里面的式子的正负． 45．（2025秋•闵行区期中）若a+b+c＞0，abc＜0，则 　1　 ． 【分析】根据有理数的性质确定a、b、c有2个正数，1个负数，然后根据绝对值的意义计算． 【解答】解：∵a+b+c＞0， ∴a、b、c中一定有正数， ∵abc＜0， ∴a、b、c中一定有1个或3个负数， ∴a、b、c有2个正数，1个负数， ∴原式＝1+1﹣1 ＝1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了绝对值：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a． 46．（2025秋•和平区校级月考）若|x|＜2，则整数x可以是　﹣1，0，1　 ． 【分析】根据绝对值的定义进行计算即可． 【解答】解：∵|x|＜2， ∴﹣2＜x＜2， 又∵x为整数， ∴x的值可以为﹣1，0，1． 故答案为：﹣1，0，1． 【点评】本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的关键． 47．（2025秋•汝南县期中）||+||+…+||＝　　 ． 【分析】先计算绝对值，再抵消计算即可求解． 【解答】解：||+||+…+|| ． 故答案为：． 【点评】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 48．（2025秋•海淀区校级期中）已知abc＜0，a+b+c＝0，若，则x的最大值与最小值的乘积为 　﹣24　 ． 【分析】先化简x的表达式，再利用a，b，c中负因数的个数为奇数个分别求出最大值与最小值即可求解． 【解答】解：根据题意可知，b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c， ∴， ∵abc＜0， ∴a，b，c中负因数的个数为奇数个 ∴当a＞0，b＞0，c＜0时，x的最大值为：x＝1+2+3＝6， 当a＞0，b＜0，c＞0时，x的最小值为：x＝1﹣2﹣3＝﹣4， ∴乘积为：6×（﹣4）＝﹣24． 故答案为：﹣24． 【点评】本题考查了绝对值，掌握绝对值的定义是解题的关键． 49．（2025秋•开封期中）当a＞0、b＜0时，化简|6﹣5b|+|8b﹣1|﹣|3a﹣2b|的结果是 　﹣11b﹣3a+7　 ． 【分析】利用绝对值的定义解答． 【解答】解：∵a＞0、b＜0， ∴|6﹣5b|+|8b﹣1|﹣|3a﹣2b| ＝6﹣5b+[﹣（8b﹣1）]﹣（3a﹣2b） ＝6﹣5b﹣8b+1﹣3a+2b ＝﹣11b﹣3a+7， 故答案为：﹣11b﹣3a+7． 【点评】本题考查了绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义． 50．（2025秋•北碚区校级月考）化简：|a﹣b|+|c﹣b|＝a﹣c ． 【分析】根据数轴可知c＜b＜0＜a，|c|＞|b|＞|a|，进而可得出a﹣b＞0，c﹣b＜0，进而化简绝对值即可． 【解答】解：∵c＜b＜0＜a，|c|＞|b|＞|a|， ∴a﹣b＞0，c﹣b＜0， ∴原式＝a﹣b﹣（c﹣b）＝a﹣b﹣c+b＝a﹣c， 故答案为：a﹣c． 【点评】本题主要考查了根据数轴化简绝对值， 51．（2025秋•普陀区校级期中）已知abc＜0，a+b+c＞0，且，求x＝　0　 ． 【分析】由已知条件确定a，b，c的正负，然后利用绝对值的性质计算即可． 【解答】解：∵abc＜0，a+b+c＞0， ∴a，b，c中必然是一负两正， 不妨设a＜0，b＞0，c＞0， 原式 ＝﹣1+1+1﹣1﹣1+1 ＝0， 故答案为：0． 【点评】本题考查绝对值，由已知条件确定a，b，c的正负是解题的关键． 六、绝对值最值 52．（2025秋•江油市期中）若|x+1|+|x﹣a|的最小值是7，则a的值是　6或﹣8　 ． 【分析】由|x+1|+|x﹣a|表示数x在数轴上对应的点到数﹣1和a表示的点的距离之和，则当x在数﹣1和a之间时，数x在数轴上对应的点到数﹣1和a的距离之和最小，最小值为|a+1|，即|a+1|＝7，然后求出a的值即可， 【解答】解：∵|x+1|+|x﹣a|表示数x在数轴上对应的点到数﹣1和a表示的点的距离之和， ∴当x在数﹣1和a之间时，数x在数轴上对应的点到数﹣1和a的距离之和最小，最小值为|a+1|， ∵|x+1|+|x﹣a|的最小值是7， ∴|a+1|＝7， 即a+1＝7或a+1＝﹣7， 解得a＝6或﹣8， 故答案为：6或﹣8． 【点评】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键． 53．（2025秋•锡林郭勒盟期中）如果x是有理数，那么的最小值为　　 ． 【分析】根据|x+1|表示x与﹣1所对应的两点之间的距离，表示x与2所对应的两点之间距离的倍，再结合x位于不同范围求得其对应的代数式，综合即可求得其最小值． 【解答】解：当x＜﹣1，原式 ∵ ∴随x的增大而减小，的最小值趋于； 当﹣1≤x≤2，原式 ∵ ∴随x的增大而增大， 当x＝﹣1时，取得最小值为； 当x≥2，原式 ∵ ∴随x的增大而增大，当x＝2时，取得最小值为3； 则的最小值为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查绝对值的几何意义，属于中档题． 54．（2025秋•北川县期中）已知m是有理数，则|m+2|+|m﹣4|+|m﹣6|+|m﹣8|的最小值是 　12　 ． 【分析】根据绝对值最小的数是0，分别令四个绝对值为0，从而求得m的四个值，分别将这四个值代入代数式求值，比较得不难求得其最小值． 【解答】解：∵绝对值最小的数是0， ∴分别当|m+2|，|m﹣4|，|m﹣6|，|m﹣8|等于0时，有最小值． ∴m的值分别为：﹣2，4，6，8． ∵①当m＝﹣2时，原式＝|﹣2+2|+|﹣2﹣4|+|﹣2﹣6|+|﹣2﹣8|＝24； ②当m＝4时，原式＝|4+2|+|4﹣4|+|4﹣6|+|4﹣8|＝12； ③当m＝6时，原式＝|6+2|+|6﹣4|+|6﹣6|+|6﹣8|＝12； ④当m＝8时，原式＝|8+2|+|8﹣4|+|8﹣6|+|8﹣8|＝16； ∴|m+2|+|m﹣4|+|m﹣6|+|m﹣8|的最小值是12． 故答案为：12． 【点评】此题主要考查了绝对值，掌握绝对值的定义是关键． 55．（2025秋•天津校级月考）在中学数学中，体现运用数形结合思想解决问题的内容较多．例如，在与绝对值化简有关的有理数运算中，利用数轴这一体现数形结合思想的有力工具，可使一些复杂问题变得容易解决． （1）当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 　﹣1≤x≤2　 ，最小值是 　3　 ． （2）当式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|取最小值时，相应的x的取值范围是 　4≤x≤6　 ，最小值是 　8　 ． 【分析】（1）由题意得，|x+1|+|x﹣2|表示的是数轴上表示数x的点到表示数“﹣1”和“2”的点的距离之和，当﹣1≤x≤1时，|x+1|+|x﹣2|取最小值，据此求解即可； （2）同（1）可知式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|表示x到数2、4、6、8的距离之和最小，据此求解即可． 【解答】解：（1）|x+1|表示在数轴上代表x的点到数字“﹣1”的距离， |x﹣2|表示在数轴上代表x的点到数字“2”的距离， 则|x+1|+|x﹣2|表示在数轴上代表x的点到数字“﹣1”和“2”的距离之和， 所以，当代表x的点在数字“﹣1”和“2”之间， 即﹣1≤x≤2时，此距离之和最小，且最小值为3； 故答案为：﹣1≤x≤2，3； （2）∵|x﹣a|看成数轴上数x到数a的距离， ∴式子|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|表示x到数2、4、6、8的距离之和最小， ∴当4≤x≤6时，原式有最小值8， 故答案为：4≤x≤6，8． 【点评】本题主要考查了绝对值的几何应用，数轴上两点距离计算，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 56．（2025秋•深圳月考）我们知道，|a|可以理解为|a﹣0|，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为|AB|＝|a﹣b|，反过来，式子|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离． （1）利用此结论，回答以下问题： ①数轴上表示2和5的两点之间的距离是　3　 ，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是　4　 ． ②数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离是　|x+1|　 ，如果|AB|＝2，那么x为　1或﹣3　 ． （2）探索规律： ①当|x﹣1|+|x﹣2|有最小值是　1　 ． ②当|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|有最小值是　2　 ． ③当|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值是　4　 ． （3）规律应用 工厂加工车间工作流水线上依次间隔2米排着9个工作台A、B、C、D、E、F、G、H、I，一只配件箱应该放在哪个工作台处，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短？最短路程是多少米？ 【分析】（1）①理解并掌握|AB|＝|a﹣b|及其几何意义，即可求解；②理解并掌握|AB|＝|a﹣b|及其几何意义，即可求解； （2）①理解并掌握|AB|＝|a﹣b|及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解；②理解并掌握|AB|＝|a﹣b|及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解；③理解并掌握|AB|＝|a﹣b|及其几何意义和“两点之间，线段最短”，然后即可求解； （3）根据（2）可知当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，然后即可求解； 【解答】解：（1）①|2﹣5|＝3； |1﹣（﹣3）|＝4， 故答案为：3；4． ②|x﹣（﹣1）|＝|x+1|， 当|AB|＝2，则|x+1|＝2， ∴x+1＝2或x+1＝﹣2， 由x+1＝2解得：x＝1， 由x+1＝﹣2解得：x＝﹣3， ∴x的值为：1或﹣3， 故答案为：|x+1|；1或﹣3． （2）①∵|x﹣1|的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离； |x﹣2|的几何意义是：在数轴上表示数x、2两点间的距离； ∴|x﹣1|+|x﹣2|的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离与数轴上表示数x、2两点间的距离之和， ∴当表示数x的点在数轴上表示数1，2两点构成的线段上时，|x﹣1|+|x﹣2|为最小，最小值为数轴上表示数1，2两点之间的距离，即为|2﹣1|＝1， 故答案为：1． ②∵|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离、数轴上表示数x、2两点间的距离、数轴上表示数x、3两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当数轴上表示数x的点与表示2的点重合时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|为最小，最小值为数轴上表示数1，3两点之间的距离，即为|3﹣1|＝2， 即|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|有最小值是2， 故答案为：2； ③∵|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|的几何意义是：在数轴上表示数x、1两点间的距离、数轴上表示数x、2两点间的距离、数轴上表示数x、3两点间的距离、数轴上表示数x、4两点间的距离之和， 根据“两点之间，线段最短”可知： 当表示数x的点在数轴上表示数2，3两点构成的线段上时， |x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|的值为最小值，最小值为数轴上表示数1，4两点之间的距离与数轴上表示数2，3两点之间的距离之和，即为|4﹣1|+|3﹣2|＝4， 即|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|有最小值是4． 故答案为：4． （3）由（2）可知：当配件箱放在工作台E处时，能使工作台上的工作人员取配件所走的路程最短，最短路程为：2×8+2×6+2×4+2×2＝40（米）． 【点评】此题主要考查了数轴上两点之间的距离，理解数轴上点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，则|AB|＝|a﹣b|及其几何意义，以及“两点之间，线段最短”是解答此题的关键，分类讨论是解答此题的易错点． 七、绝对值非负性 57．（2025秋•广州校级月考）若|a﹣1|+|3﹣b|＝0，则a+b＝　4　 ． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a﹣1|+|3﹣b|＝0， ∴a﹣1＝0，3﹣b＝0， ∴a＝1，b＝3， ∴a+b＝1+3＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 58．（2025秋•中原区校级月考）已知|x﹣2|+|2y﹣x|＝0，求2020x﹣2019y＝　2021　 ． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|x﹣2|+|2y﹣x|＝0， ∴x﹣2＝0，2y﹣x＝0， ∴x＝2，y＝1， ∴2020x﹣2019y＝2020×2﹣2019×1＝2021． 故答案为：2021． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 59．（2024秋•济南期末）已知（a﹣3）2+|b﹣2|＝0，求ba的值是（　　） A．2 B．3 C．8 D．6 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣2|＝0， ∴a﹣3＝0，b﹣2＝0， ∴a＝3，b＝2， ∴ba＝23＝8． 故选：C． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 60．（2025春•芦淞区期末）已知|a+5|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（　　） A．25 B．﹣25 C．10 D．﹣10 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵|a+5|+（b﹣2）2＝0， ∴a+5＝0，b﹣2＝0， ∴a＝﹣5，b＝2， ∴ab＝（﹣5）2＝25． 故选：A． 【点评】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 八、乘方与科学计数法 61．（2025•歙县模拟）舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，这个数用科学记数法应表示为（　　） A．4.995×1011 B．49.95×1010 C．0.4995×1011 D．4.995×1010 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：将499.5亿用科学记数法表示为：4.995×1010． 故选：D． 【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 62．（2025秋•闵行区期中）下列各组数中，数值相等的是（　　） A．32和23 B．﹣32和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．（﹣2）3和﹣23 【分析】根据乘方的定义即可解决此题． 【解答】解：A．根据乘方的定义，32＝9，23＝8，故A不符合题意； B．根据乘方的定义，﹣32＝﹣9，﹣23＝﹣8，故B不符合题意； C．根据乘方的定义，﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故C不符合题意． D．根据乘方的定义，（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的定义是解决本题的关键． 63．（2025秋•浙江期中）下列各式中，结果最小的是（　　） A．（﹣3）2 B．（﹣3）3 C．（﹣3） 4 D．﹣34 【分析】根据有理数的乘方法则进行计算，再根据有理数大小比较法则便可得出结果． 【解答】解：∵（﹣3）2＝9，（﹣3）3＝﹣27，（﹣3）4＝81，﹣34＝﹣81， 又∵﹣81＜﹣27＜9＜81， ∴结果最小的是﹣34， 故选：D． 【点评】本题考查了有理数的乘方，有理数大小比较，熟记乘方法则和有理数大小比较法则是解题的关键． 64．（2025秋•陇南期中）和（﹣2）6相等的是（　　） A．﹣26 B．﹣62 C．26 D．12 【分析】先计算原式（﹣2）6＝26，再分别判断即可． 【解答】解：根据题意可知，（﹣2）6＝26， A、﹣26≠26，不符合题意； B、﹣62≠26，不符合题意； C、（﹣2）6＝26，符合题意； D、12≠26，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了有理数的乘方，掌握有理数的乘方的运算法则是关键． 65．（2025秋•齐齐哈尔期中）2020﹣2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达20.6万亿元．其中数据20.6万亿用科学记数法表示为　2.06×1013 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：20.6万亿＝20600000000000＝2.06×1013． 故答案为：2.06×1013． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 66．（2025秋•秦州区校级期中）在﹣76中，底数是　7　 ． 【分析】根据幂的相关知识点进行作答即可． 【解答】解：在﹣76中，底数是7． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握其知识点是解题的关键． 67．（2025秋•七里河区校级期中）﹣（﹣2）3的底数是　﹣2　 ，结果是　8　 ． 【分析】对于a2，其中a是底数，2是指数，表示两个a相乘，利用这个定义即可求出结果． 【解答】解：﹣（﹣2）3的底数是﹣2，结果是8． 【点评】此题主要考查了幂的定义，是基础题，比较简单，利用幂的定义即可解决问题． 68．（2025秋•府谷县期中）计算：　　 ． 【分析】根据有理数的乘方运算法则求解即可． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握有理数的乘方运算法则是解题的关键． 69．（2024秋•莱州市期末）据预测，我国2024年全社会用电量达9800000000000度．将数据9800000000000用科学记数法表示为　9.8×1012 ． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：9800000000000＝9.8×1012． 故答案为：9.8×1012． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 70．（2025秋•鼓楼区校级月考）已知k是一个正整数，那么（﹣1）2k﹣1＝ 　﹣1　 ． 【分析】先结合k是一个正整数，得出2k﹣1是一个奇数，根据负数的奇数次幂是负数，则（﹣1）2k﹣1＝﹣1，即可作答． 【解答】解：由条件可知2k是一个偶数，2k﹣1是一个奇数， ∴（﹣1）2k﹣1＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了乘方运算，熟练掌握该知识点是关键． 71．（2025秋•宝山区校级月考）3.102×108有　9　 个整数位． 【分析】将3.102×108还原成310200000，即可求解． 【解答】解：根据图意可知，3.102×108有9个整数位． 故答案为：9． 【点评】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是关键． 72．（2025•朝阳区校级模拟）（﹣2）3的底数是 　﹣2　 ． 【分析】根据有理数乘方的定义进行解答即可． 【解答】解：（﹣2）3的底数是﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查的是有理数的乘方，熟知乘方的结果叫做幂，在an中，a叫做底数，n叫做指数是解答此题的关键． 九、平方根与立方根 73．（2025•定西三模）4的算术平方根是（　　） A．±2 B．﹣2 C．2 D． 【分析】根据算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为，求出4的算术平方根即可． 【解答】解：4的算术平方根是：， 故选：C． 【点评】本题考查了算术平方根的性质和应用，熟练掌握算术平方根的含义是解题的关键． 74．（2025春•潮阳区期中）若实数x、y满足（x+3）2+|y+12|＝0，则xy的算术平方根是（　　） A．36 B．±6 C．6 D．± 【分析】根据绝对值及偶次幂的非负性求得x，y的值，然后求得xy的值，再根据算术平方根的定义即可求得答案． 【解答】解：∵（x+3）2+|y+12|＝0， ∴x+3＝0，y+12＝0， 解得：x＝﹣3，y＝﹣12， 则xy＝﹣3×（﹣12）＝36， 那么xy的算术平方根为6， 故选：C． 【点评】本题考查绝对值及偶次幂的非负性，算术平方根的定义，结合已知条件求得x，y的值是解题的关键． 75．（2025•垦利区三模）3的平方根是（　　） A． B． C． D．3 【分析】根据平方根的定义进行求解即可． 【解答】解：∵， ∴3的平方根是， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平方根，熟知平方根的定义是解题的关键：对于两个实数a、b，若满足a2＝b，那么a就叫做b的平方根． 76．（2025春•炎陵县期末）若2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根，则这个数是（　　） A．3 B．﹣3 C．16 D．9 【分析】根据平方根的定义可得出关于m的方程，据此可求出m，进而可求出这个数． 【解答】解：因为2m﹣5与3m﹣15是同一个数的两个不相等的平方根， 所以2m﹣5+3m﹣15＝0， 解得m＝4， 所以2m﹣5＝3，3m﹣15＝﹣3， 所以这个数是9． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平方根，熟知正数的平方根有两个，且它们互为相反数是解题的关键． 77．（2025秋•渠县校级期中）的平方根是（　　） A．±2 B．4 C．±2 D．±8 【分析】利用平方根与算术平方根的意义解答即可． 【解答】解：∵8，8的平方根为±2， ∴的平方根是±2， 故选：C． 【点评】本题主要考查了平方根与算术平方根的意义，正确利用平方根与算术平方根的意义解答是解题的关键． 78．（2025秋•城关区校级期中）若2x﹣4与1﹣3x是同一个正数的平方根，则x的值为（　　） A．1 B．﹣3 C．1或﹣3 D．±1 【分析】根据同一个正数的平方根有两个，它们相等或互为相反数，据此可列出方程求解． 【解答】解：由条件可知（2x﹣4）+（1﹣3x）＝0或2x﹣4＝1﹣3x， 解得：x＝﹣3或x＝1， 故选：C． 【点评】本题考查了平方根，熟练掌握该知识点是关键． 79．（2025秋•西安月考）已知，则的值为（　　） A．0 B．1 C． D． 【分析】根据算术平方根的非负性求出a＝6，进而代入计算即可． 【解答】解：由题意得6﹣a＝a﹣6＝0， 解得：a＝6， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了算术平方根，代数式求值，解题的关键是掌握算术平方根的定义． 80．（2025秋•南湖区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．2的平方根是 B．的平方根是±9 C．1的立方根是±1 D．﹣8没有算术平方根 【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义逐项分析即可． 【解答】解：A、2的平方根是，故此选项不符合题意； B、，9的平方根是±3，故此选项不符合题意； C、1的立方根是1，故此选项不符合题意； D、﹣8没有算术平方根，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 81．（2025秋•白银区校级月考）已知，则x的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．1或2或3 【分析】根据题意可得x﹣2的立方根是它本身，则x﹣2＝±1或x﹣2＝0，据此求出x的值即可． 【解答】解：∵， ∴x﹣2＝±1或x﹣2＝0， ∴x＝3或x＝1或x＝2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了根据立方根求原数，熟练掌握立方根的意义是解题的关键． 82．（2025秋•青羊区校级期中）下列结论正确的是（　　） A． B．立方根等于本身的数只有0 C．4的立方根是±2 D．9的平方根是±3 【分析】根据平方根和立方根的定义逐一判断各选项． 【解答】解：A、，故A错误； B、立方根等于本身的数有0、1和﹣1，故B错误； C、4的立方根是，不是±2，故C错误； D、32＝9（﹣3）^{2}＝9$则9的平方根是±3，故D正确． 故选：D． 【点评】本题考查平方根和立方根的概念，掌握平方根和立方根的概念是解题的关键． 83．（2025秋•唐山期中）下列选项正确的是（　　） A．4的平方根是2 B． C．的立方根是 D．（﹣1）2的立方根是﹣1 【分析】对于两个实数a、b，若满足a2＝b，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足a3＝b，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可． 【解答】解：根据一个数的立方根，算术平方根和平方根性质逐项分析判断如下： A、4的平方根是±2，原说法错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、的立方根是，原说法错误，不符合题意； D、（﹣1）2＝1的立方根是1，原说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题主要考查了求一个数的立方根，算术平方根和平方根，熟练掌握以上知识点是关键． 84．（2025秋•涉县期中）若，则x的值为（　　） A．﹣6 B．﹣1 C． D．3 【分析】根据互为相反数的两个数的和为0，结合立方根的性质，得到3x﹣1和x+5互为相反数，进行求解即可． 【解答】解：∵若， ∴3x﹣1和x+5互为相反数， ∴3x﹣1+x+5＝0， 解得x＝﹣1． 故选：B． 【点评】本题考查了立方根，掌握立方根的定义是关键． 85．（2025秋•秦淮区校级月考）下列说法：①任何数都有平方根；②±2是的立方根；③；④（﹣4）3的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行判断即可． 【解答】解：①非负数有平方根，原说法“任何数都有平方根”错误； ②8，2是的立方根，原说法错误； ③，原说法错误； ④（﹣4）3的立方根是﹣4，原说法错误； ⑤算术平方根不可能是负数，正确； 所以不正确的有4个． 故选：C． 【点评】本题主要是考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，熟练地掌握概念是解题的关键． 86．（2025•高青县一模）的算术平方根是 　3　 ． 【分析】如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为，由此即可得到答案． 【解答】解：∵9， ∴的算术平方根是3． 故答案为：3． 【点评】本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义． 87．（2024秋•临沧校级期末）若8xmy与6x3yn是同类项，则（m+n）3的平方根为　±8　 ． 【分析】先根据同类项的定义求出m、n的值，再计算（m+n）3的值，然后根据平方根的定义计算即可． 【解答】解：∵8xmy与6x3yn是同类项， ∴m＝3，n＝1， ∴（m+n）3＝43＝64， ∵64的平方根是±8， ∴（m+n）3的平方根为±8， 故答案为：±8． 【点评】本题考查了平方根，同类项，正确计算是解题的关键． 88．（2025秋•城关区校级期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是 a ． 【分析】根据图示，可得：b＜0＜a，且|a|＜|b|，再进行化简即可． 【解答】解：根据图示，可得：b＜0＜a，且|a|＜|b|， ∴b﹣a＜0， ∴ ＝﹣（b﹣a）﹣|b| ＝﹣b+a﹣（﹣b） ＝﹣b+a+b ＝a． 故答案为：a． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键． 89．（2025春•通辽期末）若，，则　503.6　 ． 【分析】看所求被开方数相对于前面的哪个被开方数移动了偶数位，算术平方根的小数点规律移动即可． 【解答】解：∵253600相对于25.36向右移动了4位， ∴算术平方根的小数点要向右移动2位， ∴503.6． 故答案为503.6． 【点评】考查算术平方根的相关知识；用到的知识点为：被开方数的小数点向右移动4位，则算术平方根的小数点要向右移动2位． 90．（2025秋•宿迁校级月考）的立方根是　　 ． 【分析】根据算术平方根和立方根的定义求解即可． 【解答】解：， 所以的立方根即为15的立方根， ∴的立方根为， 故答案为：． 【点评】本题考查算术平方根和立方根的定义，掌握定义是解题关键． 91．（2025秋•浙江期中）若，则　12　 ． 【分析】被开立方数的小数点每向左（或向右）移动三位，其立方根的小数点向左（或向右）移动一位，据此即可求得答案． 【解答】解：若， 则12， 故答案为：12． 【点评】本题考查立方根，熟练掌握其性质是解题的关键． 92．（2025秋•江阴市校级月考）9的平方根是　±3　 ；　﹣4　 ． 【分析】根据平方根的定义和立方根的定义即可得到答案． 【解答】解：根据平方根的定义和立方根的定义可得： 9的平方根是±3，， 故答案为：±3，﹣4． 【点评】本题考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 93．（2025秋•秦淮区校级月考）一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 　0或64　 ． 【分析】设这个数为x，根据已知条件即可列出关于x的方程，先在方程的两边同时6次方，去掉根号后，再解方程即可． 【解答】解：设这个数为x， 则， ∴， ∴， x2（x﹣64）＝0⇒x1＝x2＝0或x3＝64． 故填0或64． 【点评】此题主要考查了立方根、算术平方根的定义，比较难，要想同时去掉二次根号和三次根号，必须在方程的两边同时6次方，即2和3的最小公倍数．在运算过程中要细心，防止在去根号时把指数弄错． 94．（2025秋•龙华区校级月考）已知一个正数的两个平方根分别是2a﹣7和a﹣8，b﹣12的立方根为﹣2，则9a+b的算术平方根是　7　 ． 【分析】根据平方根的性质求出a的值，根据立方根的定义求出b的值，再计算9a+b，最后根据算术平方根的定义计算即可． 【解答】解：根据题意得2a﹣7+a﹣8＝0， 解得a＝5， ∵b﹣12的立方根为﹣2， ∴b﹣12＝﹣8， ∴b＝4， ∴9a+b＝9×5+4＝49， ∵49的算术平方根是7， ∴9a+b的算术平方根是7， 故答案为：7． 【点评】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键． 95．（2025秋•涉县期中）已知数A＝6﹣2x有平方根． （1）求x的取值范围； （2）数A的两个不同的平方根是a+1和2a﹣7，求A的值． 【分析】（1）利用平方根的非负性列不等式求解； （2）依据一个正数的两个平方根互为相反数列方程求出a，再求A． 【解答】解：（1）根据题意可知，6﹣2x≥0， 解得：x≤3； （2）根据题意可知，（a+1）+（2a﹣7）＝0， a+1+2a﹣7＝0， 解得：a＝2， 将a＝2代入a+1，得其中一个平方根为2+1＝3， 因为A是这个平方根的平方，所以A＝32＝9． 【点评】本题考查了平方根，掌握平方根的非负性以及一个正数的两个平方根互为相反数是关键． 96．（2025秋•梁溪区校级月考）已知：2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的平方根． 【分析】根据平方根的定义列出关于m，n的方程，求出m，n的值，再利用平方根的定义即可求解． 【解答】解：∵2m+2的平方根是±4， ∴2m+2＝16， 解得m＝7， ∵3m+n+1的平方根是±5， ∴3m+n+1＝25，即21+n+1＝25， 解得n＝3， ∴m+2n＝13， ∴m+2n的平方根是． 【点评】本题考查了平方根的定义、解一元一次方程，理解平方根的定义是解题的关键． 97．（2025秋•江阴市校级月考）若，求的平方根． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可． 【解答】解：∵， ∴a﹣3＝0，b﹣4a﹣1＝0， 解得：a＝3，b＝4a+1＝4×3+1＝12+1＝13， ∴， ∴的平方根是±2． 【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，准确熟练地进行计算是解题的关键． 98．（2025春•东城区校级期中）如图是一个数值转换器（|x|＜25）． （1）当输入的x为﹣14时．输出的y值是　　 ； （2）若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为　1，2，3　 ； （3）若输出的y是，求x的负整数值． 【分析】（1）利用框图中的算法，直接计算求值即可； （2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定|x﹣2|的值，进而求得x的值即可； （3）由y是逆推|x﹣2|的值，进而求得x的值即可． 【解答】解：（1）当x＝﹣14时，|x﹣2|＝|﹣14﹣2|＝16，4，2，是无理数， ∴当输入的x为﹣14时．输出的y值是． 故答案为：； （2）∵0和1的算术平方根是它本身， ∴|x﹣2|＝0， 解得x＝2， |x﹣2|＝1， 解得x＝3或x＝1， ∴所有满足要求的x的值为1，2，3． 故答案为：1，2，3； （3）若第1次运算是， ∵5， ∴|x﹣2|＝5， 解得x＝7或x＝﹣3， ∵x为负整数， ∴输入的x值为﹣3； 若第2次运算是， ∵5，52＝25， ∴|x﹣2|＝25， 解得x＝27或x＝﹣23， ∵x为负整数， ∴输入的x值为﹣23， ∵|x|＜25， ∴x的负整数值为﹣3或﹣23． 【点评】本题考查了算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 99．（2025秋•大东区校级月考）先填写表，通过观察后再回答问题． a … 0.0004 0.04 4 400 40000 … … 0.02 x 2 20 y … （1）表格中x＝ 　0.2　 ，y＝ 　200　 ； （2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，，则 　26.5　 ； ②已知，，用含m的代数式表示n，则n＝ 　　 ． 【分析】（1）填写表格，通过计算，即可得到答案； （2）观察规律，从表格中可发现当a的值扩大到原来100倍时，的值扩大到原来10倍， ①从到被开方数扩大到原来100倍，结果扩大到原来10倍，即可得到答案； ②根据题意可得：，可得到，进而得到答案． 【解答】解：（1）根据题意可知，， ∵a＝40000，， ． 故答案为：0.2；200； （2）①根据题意可知，到被开方数扩大到原来100倍， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①26.5；②． 【点评】本题考查了算术平方根，数字的变化类，掌握算术平方根的定义是关键． 100．（2025秋•闵行区校级月考）观察下表： a 0.0001 0.01 1 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 （1）由上表你发现了什么规律？请用语言叙述这个规律：　被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位　 ； （2）根据你发现的规律填空：已知． 则　0.2284　 ，　﹣228.4　 ； 若，则x≈　0.0005217　 ； （3）拓展提升： ①已知，则　﹣7.697　 ； ②已知，则　14.42　 ． 【分析】（1）由于被开方数的小数点每移动两位，相应的算术平方根的小数点相应移动一位，由此即可解决问题； （2）利用（1）中发现的规律进而分别得出各数据答案； （3）①、②被开方数每移动三位，立方根就相应移动一位．利用此规律即可求解． 【解答】解：（1）由表格可以发现：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位， 故答案为：被开方数的小数点向左或向右移动两位，它的算术平方根的小数点就向左或向右移动一位； （2）∵． ∴，； 若，则x≈0.0005217， 故答案为：0.2284，﹣228.4，0.0005217； （3）①∵知， ∴， 故答案为：﹣7.697； ②∵， ∴， 故答案为：14.42． 【点评】本题考查算术平方根、立方根定义和性质，掌握其性质是解题的关键． 101．（2025秋•闵行区校级月考）已知和互为相反数，且x﹣5的平方根是它本身，求x+y的平方根． 【分析】根据题意可得y﹣1＝﹣（3﹣2y）和x﹣5＝0，分别求出x、y，将其代入进行计算即可． 【解答】解：∵和互为相反数， ∴y﹣1+（3﹣2y）＝0， 解得y＝2， ∵x﹣5的平方根是它本身， ∴x﹣5＝0， ∴x＝5， ∴x+y＝5+2＝7， ∴x+y的平方根为． 【点评】本题考查了相反数、平方根、解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出方程． 102．（2025秋•沈阳月考）已知一个正数的两个平方根分别是2x+1和x﹣4，且x和y满足． （1）求x，y的值； （2）求2xy+28的立方根． 【分析】（1）由题知（2x+1）+（x﹣4）＝0，解得x＝1，再代入求出y即可； （2）由（1）知x＝1，y＝18，再代入计算立方根即可． 【解答】解：（1）∵一个正数的两个平方根分别是2x+1和x﹣4， ∴（2x+1）+（x﹣4）＝0， 3x﹣3＝0， 3x＝3， 解得：x＝1， ∵， ∴， ∴1+y+6＝25， 解得：y＝18； （2）当x＝1，y＝18时，． 【点评】本题主要考查了平方根的性质和立方根的计算，理解性质及准确计算是解题的关键． 103．（2025秋•鲁山县校级月考）观察下列式子： ①2+（﹣2）＝0； ②1+（﹣1）＝0； ③； ④． 根据上述等式反映的规律，回答下列问题： （1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：　（答案不唯一）　 ； （2）由等式①②③④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若 a+b ＝0，则0，反之也成立； （3）根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求x的立方根． 【分析】（1）观察题干的过程，即可作答． （2）观察等式①②③④，再总结式子所反映的规律，即可作答． 【解答】解：（1）依题意，（答案不唯一）； （2）归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数a，b，若a+b＝0，则反之也成立； 故答案为：a+b， （3）∵与的值互为相反数， ∴（6﹣2x）+（x+1）＝0， 解得x＝7， ∴x的立方根是． 【点评】本题考查了与立方根有关的规律探索，相反数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 十、实数范围、比大小 104．（2025•三明二模）估计的值在（　　） A．6和7之间 B．5和6之间 C．4和5之间 D．3和4之间 【分析】直接利用估算无理数的方法得出接近无理数的整数进而得出答案． 【解答】解：∵， ∴56， ∴的值在5与6之间． 故选：B． 【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，思维方法：用有理数逼近无理数． 105．（2025春•大通区期末）已知，且a，b为两个连续的整数，则a+2b＝（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【分析】先根据，即可得出，然后再代入a+2b计算即可． 【解答】解：∵， ∵a，b为两个连续的整数， ∴a＝4，b＝5， ∴a+2b＝4+2×5＝14， 故选：C． 【点评】本题主要考查了无理数的大小估算，以及代数式求值，掌握以上知识是解题的关键． 106．（2025秋•绥化期中）如图，数轴上点A所表示的实数是（　　） A． B．﹣1 C． D． 【分析】先勾股定理可得：正方形的对角线为：，从而可得A表示的数． 【解答】解：由勾股定理可得：正方形的对角线为：， ∴A点表示的数为：； 故选：C． 【点评】本题考查的是勾股定理的应用，实数与数轴，熟练的确定数轴上表示的数是解本题的关键． 107．（2025秋•唐山期中）如图，已知正方形ABCD的面积为5，点A在数轴上，且表示的数为1．现以A为圆心，AB为半径画圆，和数轴交于点E（E在A的右侧），则点E表示的数为（　　） A．3.2 B．1 C．1 D． 【分析】根据正方形的边长是面积的算术平方根得AD＝AE，结合A点所表示的数及AE间距离可得点E所表示的数． 【解答】解：∵正方形ABCD的面积为5，且AD＝AE， ∴AD＝AE， ∵点A表示的数是1，且点E在点A的右侧， ∴点E表示的数为1． 故选：C． 【点评】本题主要考查实数与数轴及两点间距离，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键． 108．（2025秋•包头期中）m、n为两个连续的整数，且，则m+n＝　17　 ． 【分析】先估算出的取值范围，得出m、n的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵， ∴m＝8，n＝9， ∴m+n＝8+9＝17． 故答案为：17． 【点评】本题考查的是估算无理数的大小，解题的关键是先根据题意算出的取值范围． 109．（2025秋•开原市期中）如图，直角三角形ABO在数轴上，∠ABO＝90°，AB＝3，OB＝2，点O在数轴上的O处，以点O为圆心，以OA为半径画弧，交数轴于点C，则点C对应的数是　　 ． 【分析】根据题意，在Rt△AOB中，由勾股定理求出OA的长，由圆的半径相等可得OC的长，即可得出答案． 【解答】解：在Rt△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，OB＝2， 由勾股定理，得OA2＝AB2+OB2， ∴， ∴OC＝OA， ∵点C在原点的左侧， ∴点C对应的数是． 故答案为：． 【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 110．（2025春•安康期末）比较大小： 　＞　 （填“＞、＜或＝”）． 【分析】根据算术平方根定义及实数大小比较方法求解即可． 【解答】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：＞． 【点评】本题考查了算术平方根，实数的大小比较，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键． 111．（2025春•连江县期末）请你写出一个无理数a，使得2＜a＜3，则a可以是　（答案不唯一）　 （写出一个满足条件的a即可）． 【分析】利用夹逼法估算a2的范围，从而确定符合题意的a的值即可． 【解答】解：∵2＜a＜3， ∴4＜a2＜9， ∴无理数a可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键． 112．（2025秋•东坡区期中）已知m是的整数部分，n是的小数部分，则m﹣n＝ 　　 ． 【分析】先估算出与的大小然后得出m、n的值计算即可． 【解答】解：∵32＜15＜42， ∴， ∴m＝3， ∵32＜10＜42， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，关键是得到m、n的值． 113．（2025秋•浦东新区校级月考）如果，那么整数a＝ 　3　 ． 【分析】根据9＜13＜16得，据此即可得出a的值.. 【解答】解：∵9＜13＜16， ∴， 即， ∴， ∴a＝3． 故答案为：3． 【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小的方法与技巧是解决问题的关键． 十一、近似数 114．（2025秋•武安市期中）用四舍五入法取近似值为3.30，那么这个数精确到 　百分　 位． 【分析】根据题意，0位于到百分位上，所以可得3.30精确到百分位． 【解答】解：用四舍五入法取近似值为3.30，那么这个数值精确到百分位， 故答案为：百分． 【点评】本题考查了近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有精确到哪一位，保留几个有效数字等说法． 115．（2025秋•天河区校级期中）用四舍五入法取近似数：1.8965（精确到0.01）为　1.90　 ． 【分析】对千分位数字四舍五入即可． 【解答】解：用四舍五入法取近似数：1.8965（精确到0.01）为1.90， 故答案为：1.90． 【点评】本题主要考查近似数，解题的关键是掌握近似数的概念． 116．（2025秋•榆林期中）利用四舍五入法将有理数1.835精确到百分位得到的近似数为　1.84　 ． 【分析】根据四舍五入法，精确到百分位需把千分位四舍五入． 【解答】解：有理数1.835精确到百分位时，千分位数字为5，因此向百分位进1，百分位数字3变为4，故得到的近似数为1.84， 故答案为：1.84． 【点评】本题主要考查了近似数，解题的关键是掌握近似数的法则． 117．（2025秋•宁江区期中）用四舍五入法将1.689精确到十分位，得到的结果是 　1.7　 ． 【分析】要将1.689精确到十分位，需看百分位上的数字，根据四舍五入规则进行取舍． 【解答】解：在1.689中，百分位上的数字是8，8＞5，所以向十分位进1， 十分位上的6加1后变为7，因此1.689精确到十分位的结果是1.7． 故答案为：1.7． 【点评】本题考查了四舍五入法取近似数，解题的关键是明确精确到十分位的含义及四舍五入的规则． 118．（2025秋•南湖区校级期中）祖冲之是我国杰出的数学家，他首次将圈周率π精算到小数第七位，即3.1415926＜π＜3.1415927，π取近似值3.14是精确到 　百分　 位． 【分析】根据近似数的精确度求解． 【解答】解：π取近似值3.14是精确到百分位． 故答案为：百分． 【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是精确度的常用的表示形式． 119．（2025秋•安吉县期中）用四舍五入法，将6.35精确到0.1的近似值为　6.4　 ． 【分析】对百分位数字四舍五入即可． 【解答】解：用四舍五入法，将6.35精确到0.1的近似值为6.4， 故答案为：6.4． 【点评】本题主要考查近似数，解题的关键是掌握近似数的概念． 120．（2025秋•富锦市期中）近似数9.63的准确值a的取值范围是 　9.625≤a＜9.635　 ． 【分析】根据近似数的精确度求解． 【解答】解：近似数9.63的准确值a的取值范围是9.625≤a＜9.635． 故答案为9.625≤a＜9.635． 【点评】本题考查了近似数：“精确到第几位”是近似数的精确度的常用的表示形式． 121．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒． （1）数轴上点B表示的数是 　 　 ，点P表示的数是 　 　 （用含t的代数式表示）； （2）动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【分析】（1）由已知得OA＝6，则OB＝AB−OA＝4，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为t（t＞0）秒，所以运动的单位长度为6t,因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是6−6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q，由于点P要多运动10个单位才能追上点Q，则6t＝10＋4t,然后解方程得到t＝5； ②分两种情况：当点P运动a秒时，不超过Q，则10＋4a−6a＝8；超过Q，则10＋4a＋8＝6a；由此求得答案解即可． 【解答】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6， ∴OA＝6， 则OB＝AB−OA＝4， 点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为−4； 点P运动t秒的长度为6t, ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴P所表示的数为：6−6t； （2）①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得6t＝10＋4t, 解得t＝5， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②设当点P运动a秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度， 当P不超过Q，则10＋4a−6a＝8，解得a＝1； 当P超过Q，则10＋4a＋8＝6a,解得a＝9； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【点评】此题考查的知识点是两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系是解题关键． 122．【阅读理解】我国著名数学家华罗庚曾经用诗句“数形结合百般好，割裂分家万事非”表达了数形结合的重要性．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|． 【理解应用】如图1，已知数轴上的点A，B，C分别表示有理数a，b，c，其中b是最大的负整数，且a，b，c满足（a﹣4b）2+|c﹣11|＝0． （1）请你直接写出a，b，c的值，a＝　 　 ，b＝　 　 ，c＝　 　 ． （2）若D为数轴上的一个动点，且DC＝3DB，求点D在数轴上表示的数． 【拓展延伸】（3）若点P，R，Q分别从点A，B，C同时出发在数轴上运动，点P以每秒4个单位的速度向左运动，点Q以每秒5个单位的速度向右运动，点R以每秒3个单位的速度朝某个方向运动，若PQ+nRQ的值不随时间t的变化而变化，请求出n的值． 【分析】（1）依据题意，由非负数的性质，求出b＝−1，a−4b＝0，c−11＝0，进而计算可以得解； （2）依据题意，分点D在线段BC上和点D在线段CB的延长线上两种情况列方程，解方程可得答案； （3）分R向左或向右两种情况分别用t表示点P、Q、R表示的数，然后根据PQ＋nRQ为定值计算即可． 【解答】解：（1）∵b是最大的负整数， ∴b＝−1． ∵（a−4b）2＋|c−11|＝0， ∴a−4b＝0，c−11＝0． ∴a＝−4，c＝11． 故答案为：−4，−1，11． （2）设D表示的数d, 当点D在线段BC上时，则CD＝11−d,DB＝d＋1． ∵DC＝3DB， ∴11−d＝3（d＋1）． 解得d＝2； 当点D在线段CB的延长线上时，则CD＝11−d,DB＝−1−d. ∵DC＝3DB， ∴11−d＝3（−1−d）． ∴d＝−7． 综上，点D表示的数是2或−7． （3）当R以每秒3个单位的速度向左运动时， 点P表示的数为−4−4t,点Q表示的数为11＋5t,点R表示的数为−1−3t, ∴PQ＝11＋5t−（−4−4t）＝9t＋15，RQ＝11＋5t−（−1−3t）＝8t＋12． ∴PQ＋nRQ＝9t＋15＋n（8t＋12）＝（9＋8n）t＋（15＋12n）． 又∵PQ＋nRQ的值不随时间t的变化而变化， ∴9＋8n＝0． ∴n＝− ． 当R以每秒3个单位的速度向右运动时， 点P表示的数为−4−4t,点Q表示的数为11＋5t,点R表示的数为−1＋3t, ∴PQ＝11＋5t−（−4−4t）＝9t＋15，RQ＝11＋5t−（−1＋3t）＝2t＋12． ∴PQ＋nRQ＝9t＋15＋n（2t＋12）＝（9＋2n）t＋（15＋12n）． 又∵PQ＋nRQ的值不随时间t的变化而变化， ∴9＋2n＝0． ∴n＝− ． ∴n＝− 或n＝− ． 【点评】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点间的距离，解一元一次方程方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $