专练 二次函数性质综合题-【一战成名新中考】2026安徽中考数学·一轮复习·分层作业本（练册）

-b+k-1=k-b=-1<0,排除D选项，故选A 解法2：由题图可知(1，k)在y=1上方，.k>1.联立 40当a=1时，纵坐标有最大值，最大值为2. 命题点12二次函数图象与性质的应用 y= x’得x2-bx+k=0,由题图可知方程的解为x=1 1.(1)x1=1,x2=3,1<x<3;(2)k<2:(3)-16<t≤2 Ay=-x+6, 2.(1)-1,1:(2)-1≤x≤3：(3)-5<y1≤4：(4)x<0或x>3 或x=b-1,可看作函数y=x2-bx+k的图象与x轴的交 3.B变式3-1a>2变式3-2-2或4变式3-3四 点横坐标，如解图，函数y=x2-bx+k-1的图象可由函 数y=x2-bx+k的图象向下平移1个单位长度得到，：k >1,抛物线y=x2-bx+k-1交y轴于正半轴，且在0<x 专练 二次函数性质综合题 <1与x轴有交点，故选A. y=x-bx+h 1解：(1)：抛物线y=-+c的顶点横坐标为子=-+ 2x的顶点横坐标为1， x-bx+k-1 b 六21=1,6=4 (2).点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上， y1=-x+2x1, 第16题解图 点B(x,+t,y,+h)在抛物线y=-x2+4x上， 17.(1)1:(2)6【解析】(1)由题意知，抛物线对称轴为直 .y1+h=-(x1+t)2+4(x1+t), 线x=m,:t=h,A,B两点关于直线x=m对称， .-x+21+h=-(x1+t)2+4(x1tt), s+2-s 2=m,即m=1:(2):对称轴为直线x=m,且抛物线 .h=-t2-2x1t+2x1+4t, (i).:h=3t,∴.3t=-t2-2x1t+2x1+4t,∴.t(t+2x1)=t+2x1, 开口向上，当s=m-2时，t=(m-2)2-2m(m-2)=-m2 .1≥0，t>0.∴.t+2x1>0..t=1,.h=3: +4,2-s=2-(m-2)=4-m,h=(4-m)2-2m(4-m)=3m2 (i)将x,=t-1代人h=-t2-2x,t+2x,+4t,得h=-3t2+8t-2 16m+16,又：当m-2<s<m+1时，总有h≥t,.h-t= (3m2-16m+16)-(-m2+4)=4m2-16m+12≥0，即(m-1) 3 -3<0, +:（六-u）-=,u-uS.`￡≤w年【≥u·`0<(￡-w） 4 -1<0，.抛物线开口向下当m=3时，5m-m 25 当1专即石=时A取得最大值，最大值为9 2.解：(1)由题意得，将点(4,0)代人y=ax2+bx得，16a+4b 有最大值，最大值为6. 0,即b=-4a, 命题点11二次函数表达式的确定 b =2,∴.抛物线的对称轴为直线x=2: 及图象的变换 2a 1.(1)y=-(x-1)2+4:(2)y=x2-2x-3:(3)y=x2+x-3: (2)0由1)可知，稳物线的解折式为)=宁-2江 (4y=7(x24:(5)y=+2-3:(6y=-+4 又=心为=(-2，)-(3-2)=(-24，)- 2.y=(x-3)2+2 3.解：设平移后的二次函数解析式为y=3x2+px+q,其函数图 12 (2好-2，)=2好 象的预点坐标为(-名合，与)轴交点的飘坐标为， 1 :抛物线)=2-2x过原点，且点A与原点不重合， 将(-卫。p2 名台》代入=1得品名1， 六名0，六2>0为>0，即y>% 1 121 (i)由题意知，y1=ax-4ax1,y2=x号-2x2, 解法12-后-2 y x a(x-4x) .抛物线开口向上， ,两条抛物线均过原点，且A,B与原点都不重合、 当=-1时，q有最小值，最小值为-1 .x1≠0，x2≠0 12 x2-2 a(x1-4) =1,即=a(x1-4)+2, 心平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最小值是 x2a(x1-4)+22-4a 4.解：(1)将点(-1，m)代入抛物线y=x2+(a+1)x+a, 得(-1)+(a+1)×(-1)+a=m,解得m=0: (2)将抛物线y=x2+(a+1)x+a向上平移2个单位长度， ~三是一个与与无关的定值2-4=0.解得a=弓 可得新抛物线的表达式为y=x2+(a+1)x+a+2, 经检验，当口=2时，是-个与无关的定值，符 x12 4 (a-1)2+2, 合题意 新抛物线顶点的纵坐标为-4（a-1)+2, 1 六a=2,6=-4a=-2. 10 参考答案与重难题解析·安徽数学 一战成名新中考 解法2：设2==k, T(1,-2), :点P的横坐标为t, ·两条抛物线均过原点，且A,B与原点都不重合 1,出少1,2均不为0， PALAT.M.子. 3 k≠0，y=1x1=k 3 -+2= y:=ky,=kaxi-4alx=k 1 -4a2 PH=1-t,TH= 2 2 22(1)3, y2=x-2x2, PF1-)2=2 2(1) a 1,解得 6.解：(1)当x=0时，y=-3,∴.C(0,-3), :点C向右平移2个单位长度，得到点D,.D(2,-3) 4a=2 抛物线y=ax2+bx-3过点A(-1,0),D(2,-3), .b=-4a=-2. a-b-3=0, 3.解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x-2)2-1, (4a+2b-3=-3 解得a1, (b=-2 把B(0,3)代人，得3=a(0-2)2-1, .抛物线的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4, ∴.4a=4,∴.a=1, .抛物线的顶点E的坐标为(1，-4)： 抛物线的表达式为y=(x-2)2-1=x2-4x+3: (2)当点O,M,F三点共线时，OM+FM=OF为最小值 (2)抛物线平移后的表达式为y=(x-2-m)2-1, 当y=0时，x2-2x-3=0,解得x1=-1,x2=3,B(3,0), .新的抛物线的对称轴为直线x=2+m. 设过点B(3,0),C(0,-3)的直线的表达式为y=x+c, 当-1<x<3时，y随x的增大而减小； 当4<x<5时，y随x的增大而增大， {他0第用 c=-3, ∴，3≤2+m≤4，解得1≤m≤2： 直线BC的表达式为y=x-3, (3)当n≥2时，图象G的最低点为顶点，纵坐标为-1， C(0,-3),.CF=C0=3, ∴.3-n=-1,解得n=4: 点F在射线CD上，F(3,-3), 当n<2时，图象G的最低点为P,把x=n代入y=x2-4x+ .直线OF的表达式为y=-x. 3,得y=n2-4n+3. :点M在BC上，O,M,F三点共线， n2-4n+3=3-n,.n2-3n=0, 3 解得n=0或n=3(舍去).， y=3,得 =2’ 综上，n=0或n=4. (y=-x, 3 Y= 4.解：(1)将B(1,m)代入y=x+1,得m=1+1=2: 2 (2)将点A(2,1),B(1,2)代入y=ax2+bx+1, 当OM+FM的值最小时，点M的坐标为(2,2)， 33 得代2 (b=2, 7(12:(216:(3):4(-2.-6:() 3 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+1=-(x-1)2+2, .抛物线的顶点坐标为(1,2)， 9a+3b=3. 当x=1时，y=1+1=2, 8.解：(1)依题意得 b 、2a =2, 抛物线的顶点在直线y=x+1上； (3)设平移后的抛物线的解析式为y=-x2+px+g= (2)(i)由(1)得，抛物线的解析式为y=-x2+4x, -号 设直线OA的解析式为y=x(k≠0)， A(3,3),3=3k,解得k=1, 北顶点坐标为（号子+》。 直线OA的解析式为y=x, 如解图①，连接OB,AC,依题意，B(t,-t2+4t),C(t+1, 山题意可知，分g公19= -(t+1)2+4(t+1)),则D(t,t),E(t+1,t+1), .0<t<2,.BD=-t2+3t,CE=-t2+t+2, :抛物线y=一x+px+g与y轴的交点的纵坐标为q, 2BD·+7CE·(3-t-1)=2: 42 4 “子0扼物线开日向下。 当p=1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标有最 大情，盘大饭为子 3 4 8解：（1)把4(-1,0代人y=7-c,得 +1+c=0, 图① 图② 第8题解图 1 (2)(1)可知y=2- 31 22(x-1)2-2, 5 (i)存在。点B的横坐标=之 理由如下： 参考答案与重难题解析·安徽数学 11 抛物线的对称轴为直线x=2 当点B在对称轴右侧时，t>2,CE=t2-t-2, (2)S=y=x(-6 +之4—x十24x、 5(x-10) 如解图②，当2<t<3时，BD=-t+3t. +120, 1 5gmcs=2-t+3+f-2)x1=-1, 16 当 +24>0，时，解得0x<20。 1=解得 5 0<x≤30 ,对称轴为直线x=10,函数图象开口向下， 如解图③，当t>3时，BD=2-3t,CE=t2-t-2, .当x=10时，S有最大值，最大值为120 六5e=(d-3r-2)x1=f-24-1. 6.B 21 7解：山)范物线乙的函数表达式为y=六+4： 解得2+（舍去）或-2（舍去）. (2)由(1)得，抛物线，的函数表达式为y= 2 2 5 3 综上所述，点B的横坐标=2 5 .NO= m,抛物线L的函数表达式为y=6x-4), 0w64[64]-克 整理得x2-3(x-4)2=24, 解得x1=x,=6, .MN=2x6=12(m) 8.解：(1)由题意得，抛物线的顶点坐标为(6,8)， 设抛物线的函数解析式为y=a(x-6)2+8(a≠0)， 代人点(12,0)，得a(12-6)2+8=0,解得a=-2 第8题解图③ 命题点13二次函数的实际应用 :抱物线的函数解析式为y=号(-6)48(0≤≤12： (2)能安全通过，理由如下： 1.0=-2x2+280x-8000.70.1800 2.解：(1)0A=(30+x)(120-3x)=-3x2+30x+3600 由题意得x=6-1-3=2,将x=2代入y=- (x-6)2+8. 2 0g=(20+x)(160-4x)=-4x2+80x+3200. 9x(2-6)2+8=40 2 (2)设A种礼盒的价格提高m元，则B种礼盒的价格提 得y=- 9 高(8-m)元，由题意得， W=0A+20B : 93.5=17 =18>0.5,能安全通过 =-3m2+30m+3600+[-4(8-m)2+80(8-m)+3200] 9.A =-7m2+14m+7184 =-7(m-1)2+7191」 10:(2)当4= 10.解：(1) 当m=1时，w的值最大 10,h=20时， 答：当A种礼盒的价格提高1元时，这两种水果礼盒每天 售出的利润之和最大 5x合4品-20.解得，=2负值配合去. 3.解：(1)y与x之间的函数关系式为y=-10x+1200: .小球被发射时的速度是20m/s; (2)由题意得(-10x+1200)(x-20)=24000, (3)小明的说法不正确， 整理得，(x-60)(x-80)=0. 理由：由(2)得，h=-5t2+20t 解得x1=60,x2=80: 当h=15时，15=-52+20t,解得t1=1,t2=3, 答：该空气净化器的售价是60元/台或80元/台； .3-1=2(s), (3)设所获利润为心元， ·.这两次间隔的时间为2s,小明的说法不正确 w=(-10x+1200)(x-20) 回归教材，母题迁移一3.二次函数纯性质 =-10x2+200x+1200x-24000 解：(1)由题意可设函数表达式为y=a(x-2)2-3, =-10(x-70)2+25000, :点C(0,1)在抛物线上，1=a(0-2)2-3,解得a=1, :某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台， .函数表达式为y=(x-2)2-3=x2-4x+1; .-10x+1200≥300，解得x≤90， .当x=70时，0有最大值，最大值为25000. (2)点M(m,y1),N(m+2,y2)都在抛物线上， 答：该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是 y1-y2=(m2-4m+1)-[(m+2)2-4(m+2)+1]=4-4m, 25000元 当4-4m>0,即m<1时，y1>y2; 4.A 当4-4m=0,即m=1时，y1=y2; 5.解：(1)四块矩形花雨的面积相等， 当4-4m<0,即m>1时，1<y2: wy.AM=MB,HG=AM=AB 2 变式1解：(1)解法1：由题意可知 -1，解得 2a :篱笆的总长为60m,2AB+3BC+HG=60, a-b+3=0. 1 即2y+3x+2y=60,整理可得y= 5t+24: {a=ly=-+2x+3; (b=2. 12 参考答案与重难题解析·安徽数学专练二次函数性质综合题 类型1与函数性质有关的问题（含最值）(2025.23,202423,2021.22) 1.[2024安徽23题14分]已知抛物线y=-x2+bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y=-x2+2x的顶点 横坐标大1. (1)求b的值； (2)点A(x1,y1)在抛物线y=-x2+2x上，点B(x1+t,y1+h)在抛物线y=-x2+bx上. (i)若h=3t,且x1≥0，t>0,求h的值； (i)若x1=t-1,求h的最大值. 思路分析：(1)分别求出两个抛物线的顶点横坐标，根据题意列方程，即可求出b的值； (2)(i)将点A,B分别代入抛物线，求出h关于t的解析式，根据h=31,,≥0，>0，即可求解； ()将x=t-1代入h关于（的解析式，将解析式配方化为顶点式即可求解. 2.多解法[2025安徽23题14分]已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点(4,0). (1)求该抛物线的对称轴； (2)点A(x1,y1)和B(x2,y2)分别在抛物线y=ax2+bx和y=x2-2x上(A,B与原点都不重合). ()若a=且x=,比较，与，的大小： (i)当=时，若是一个与，无关的定值，求a与6的值 思路分析：(1)利用对称轴公式即可求解； (2)()根据题意得出函数的解析式，将点A,B分别代入对应的解析式中，结合=x2,计算y2-y即可得出函数值的大小； (i),用，表示，解法1：整理2=可得。=(，4+2，再利用三是一个与1无关的定值，即可求解： y1 x1 21 解法2：设兰专，可得=出专将代入为中，对比=好2的系数即可来解 Y x 38 分层作业本·安徽数学 一战成名新中考 类型2与图象变换有关的问题（含最值）(2021.14,2020.22) 3.已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A(2,-1),且抛物线过点B(0,3). (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线y=ax2+bx+c向右平移m个单位长度，得到一个新抛物线，使得新抛物线上，当-1< x<3时，y随x的增大而减小；当4<x<5时，y随x的增大而增大.求m的取值范围； (3)点P是抛物线上任意一点，其横坐标为n,设抛物线上点P左侧的部分为图象G(含点P).若 图象G的最低点的纵坐标为3-n,求n的值 思路分析：(1)将抛物线表达式设为顶点式，将点B坐标代入即可求解； (2)根据平移方式确定新抛物线的表达式，可知新拋物线的对称轴，根据增减性确定m的取值范围； (3)根据对称轴的位置，结合二次函数的增减性，确定最值，列出方程即可求解 4.[2020安徽22题改编]已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A(2,1)且与直线y=x+1的一个交点为B(1,m). (1)求m的值； (2)判断抛物线y=ax2+bx+1的顶点是否在直线y=x+1上； (3)平移抛物线y=ax2+bx+1,使其顶点在直线y=x+1上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标 的最大值 思路分析：(1)将B(1,m)代入y=x+1即可求解； (2)把A(2,1),B(1,2)代入y=a2+bx+1,求出二次函数解析式化为顶点式，将项点坐标代入y=x+1即可判断； (3)设平移后的抛物线的解析式为y=-x+px+q,化为顶点式，将顶，点坐标代入y=x+1可得p关于g的解析式，再利用二次函 数的最值即可求解 分层作业本·安徽数学 39 类型3线段问题（含最值）(2021.22,2019.22) 解题技巧：平面直角坐标系中的线段有如下三种位置关系： B 若ABx轴，则 若AB轴，则 若AB不平行于x轴、y轴，则 AB=IX8-XA AB=lya-Yal AB=V(xB-)2+(y8-yA)2 1 5.[2025湖北改编]如图，抛物线y=。x2-x+c与x轴相交于点A(-1,0)和点B,与y轴相交于点C,T 是抛物线的顶点，P是抛物线上一动点，设点P的横坐标为. (1)求c的值： (2)若点P在对称轴左侧，过点P作对称轴的垂线，垂足为H,用含t的代数式表示线段PH,TH的 长，并求活的位 B 第5题图 6.[2025威海节选]如图①，已知抛物线y=ax2+bx-3交x轴于点A(-1,0),点B,交y轴于点C.点C 向右平移2个单位长度，得到点D,点D在抛物线y=ax2+bx-3上.点E为抛物线的顶点. (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标； (2)如图②，连接BC,点M是线段BC上一动点，连接OM,作射线CD.在射线CD上取一点F,使 CF=CO,连接FM.当OM+FM的值最小时，求点M的坐标 4 图① 图② 第6题图 40 分层作业本·安徽数学 一战成名新中考 类型4面积问题（含最值）(2023.23,2016.22) 解题技巧：函数中常见的几种求面积方法： 方法一 方法二 方法三 方法四 m SAABC=S△ABD+S&ACD SAABC=S△BD-S AARD SAABC=S△CD-SAACD S△Ac=S矩彩DBFE 2m·AD 2m·BD 2m·CD S△HBD-SAEc-SABFC 7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-6(a≠0)与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y 轴交于点C,点E为第三象限抛物线上一点，点E的横坐标为t.连接AC,BC,BE,OE,AE,CE. (1)△ABC的面积为： (2)△ABE面积的最大值为 (3)△AEC面积的最大值为 (4)若SAEOC=2SAoc,则点E的坐标为 A的最大值为 第7题图 (5)若AC与OE相交于点D,则 8.[2023安徽23题14分]在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(3, 3),对称轴为直线x=2. (1)求a,b的值； (2)已知点B,C在抛物线上，点B的横坐标为t,点C的横坐标为t+1.过点B作x轴的垂线交直线 OA于点D,过点C作x轴的垂线交直线OA于点E. (i)当0<t<2时，求△OBD与△ACE的面积之和： ()在抛物线对称轴右侧，是否存在点B,使得以B,C,D,E为顶点的四边形的面积为？若 存在，请求出点B的横坐标t的值；若不存在，请说明理由 温馨提园 更多二次函数图象与性质的应用见《专项分类提升练》P51 分层作业本·安微数学 41