重难点 面积法和对称型全等在角平分线中的应用（专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

重难点 面积法和对称型全等在角平分线中的应用 目录 题型一、角平分线与面积法 1 题型二、角平分线与作垂线对称型全等问题 6 题型三、角平分线与延长垂线对称型全等问题 17 题型四、角平分线与截长补短对称型全等问题 26 类型 面积比与边长比 内心向三边作垂线 旁心向边或延长线作垂线 图形 条件 是三角形三条角平分线的交点(内心) 是 一个内角的平分线O P和一个外角平分线A P的交点（旁心） 方法 过点 作 ， 过点 向三边作垂线 过点 作 结论 B P平分 题型一、角平分线与面积法 例1如图，在△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 7，AC = 25，BC = 24，三条角平分线相交相交于点P，求点P到AB的距离． 【变式1-1】如图，在四边形中，，且，．若，则的度数为 ． 【变式1-2】如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大2，则的面积是（　　） A．8 B．9 C．10 D．28 【变式1-3】【探究】 (1)如图，在中，是它的角平分线     ①求证：； ②另一方面，我们进一步探索，可以证明． 请你选择上述两结论中的其中一个进行证明； (2)由（1）的探索我们可以得到关于的角平分线的一个性质，请你总结这个性质（结合图1表述）； (3)运用你所得到的结论完成下列证明：如图2，是的平分线，交的延长线于点．求证：． 题型二、角平分线与作垂线对称型全等问题 例2如图，在四边形中，过点作于点，并且，．    (1)求证：平分． (2)若，求的长． (3)若和的面积分别为和，求的面积． 【变式2-1】如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 【变式2-2】如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝4．若△ABC的周长是17，求△ABC的面积. 【变式2-3】如图，在四边形中，是四边形的对角线，，，且． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，延长、相交于点E，再过点E作射线交的延长线于点F．若，求证：． 【变式2-4】如图①，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点，且于，于． (1)求证：； (2)请你判断并与之间的数量关系，并证明； (3)如图②，在中，如果不是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【变式2-5】如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F． （1）请你判断并写出FE与FD之间的数量关系（不需证明）； （2）如图②，如果∠ACB不是直角，其他条件不变，那么在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 题型三、角平分线与延长垂线对称型全等问题 例3如图，在中，是的平分线，，垂足为点．若，则的度数为 ． 【变式3-1】如图，在中，是角平分线，交的延长线于点．求证：． 【变式3-2】如图，在中，，，是的角平分线，交的延长线与点． (1)求证：． (2)连接，若，，，求三角形的面积． 【变式3-3】如图，在中，，，是的角平分线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求三角形的面积． 【变式3-4】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A 为 上一点，过点A作,  垂足为C，延 长交于点B，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图②，在中，平分，于点E，若，， 通过上述构造全等的办法，求∠的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点A作交于点D． 已知 米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 题型四、角平分线与截长补短对称型全等问题 例4如图，在中，，，是的平分线，延长至E，使，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，则∠ECA的度数为 ．    【变式4-2】如图，在中，，，是的平分线，延长至，使，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【变式4-3】如图，在中，已知，是的平分线，延长到点E，使得，求的度数． 【变式4-4】如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O， （1）求∠AOC的度数； （2）求证：OE=OD；   （3）猜测AE，CD，AC三者的数量关系，并证明. 【变式4-5】如图，在中，． (1)如图1，若，D，E分别是，上的点，且．求证：； (2)如图2，若，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）的条件下，、相交于点G，，垂足为点F，，求的度数． 2 / 35 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点 面积法和对称型全等在角平分线中的应用 目录 题型一、角平分线与面积法 1 题型二、角平分线与作垂线对称型全等问题 6 题型三、角平分线与延长垂线对称型全等问题 17 题型四、角平分线与截长补短对称型全等问题 26 类型 面积比与边长比 内心向三边作垂线 旁心向边或延长线作垂线 图形 条件 是三角形三条角平分线的交点(内心) 是 一个内角的平分线O P和一个外角平分线A P的交点（旁心） 方法 过点 作 ， 过点 向三边作垂线 过点 作 结论 B P平分 题型一、角平分线与面积法 例1如图，在△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 7，AC = 25，BC = 24，三条角平分线相交相交于点P，求点P到AB的距离． 【答案】3. 【详解】试题分析： 用两种方式表示△ABC的面积，S△ABC=AB×BC；因为点P是三条角平分线的交点，所以点P到三角形的三边的距离相等，设点P到三边的距离为h，则S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP，列方程求解. 试题解析： ∵∠ABC=90°，∴S△ABC=AB×BC=×7×24=84. ∵三条角平分线相交相交于点P，∴点P到三角形的三边的距离相等. 设点P到三边的距离为h， 则S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP =h×AB+h×BC+h×AC =h（AB+BC+AC）=h（7+24+25）=28h. ∴28h=84，解得h=3. 【变式1-1】如图，在四边形中，，且，．若，则的度数为 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，角平分线的性质与判定，分别延长，，过点作交于，交于，交于，然后证明、、是内角或外角的角平分线，再根据三角形的外角的性质和角平分线的性质进行解答即可． 【详解】解：分别延长，，过点作交于，交于，交于， ，， ，即平分， ∵，， ， ∵，， ∴， ∴，， ∴平分， ∵，， ， ， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】如图，在中，为的中点，平分，，与相交于点，若的面积比的面积大2，则的面积是（　　） A．8 B．9 C．10 D．28 【答案】D 【分析】作于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式得到，根据题意列式计算得到答案． 【详解】解：作于，于， 平分，，， ， ， 设的面积为，则，， 的面积比的面积大2， 的面积比的面积大2， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【变式1-3】【探究】 (1)如图，在中，是它的角平分线     ①求证：； ②另一方面，我们进一步探索，可以证明． 请你选择上述两结论中的其中一个进行证明； (2)由（1）的探索我们可以得到关于的角平分线的一个性质，请你总结这个性质（结合图1表述）； (3)运用你所得到的结论完成下列证明：如图2，是的平分线，交的延长线于点．求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例（答案不唯一，合理即可）； (3)证明见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形面积公式等知识点，掌握等高（同高）的两个三角形的面积比等于底边之比是解题的关键． （1）①由角平分线的性质得，再根据三角形的面积公式即可解答；② 直接根据三角形的等面积法即可解答； （2）直接根据（1）总结归纳性质即可； （3）先根据角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定可得，再根据（1）的结论即可解答． 【详解】（1）①证明：过D作, ∵是角平分线，, ∴,           ∵， ∴；           ②证明：过A作于点H ，    ∵， ∴ ． （2）解：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例（答案不唯一，合理即可）． （3）证明:∵是的平分线, ∴,           ∵, ∴, ∴, ∴,           ∵是的角平分线， ∴， ∴． 题型二、角平分线与作垂线对称型全等问题 例2如图，在四边形中，过点作于点，并且，．    (1)求证：平分． (2)若，求的长． (3)若和的面积分别为和，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，证明，得出，即可证明是的角平分线，即可得证； （2）证明得出，进而根据，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，得出，得出，根据，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作于点，      ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的角平分线，即平分； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式2-1】如图，在四边形中，过点C作于点E，并且，．    (1)求证：平分； (2)若，，求的长； (3)若和的面积分别为28和16，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）过点作于点，证明，得出，即可证明是的角平分线，即可得证； （2）证明得出，进而根据，即可求解； （3）根据全等三角形的性质，得出，，则可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，过点作于点，    ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是的角平分线，即平分； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 【变式2-2】如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC于点D，且OD＝4．若△ABC的周长是17，求△ABC的面积. 【答案】34. 【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，如图，根据角平分线的性质得OE=OF=OD=4，然后根据三角形面积公式和S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO进行计算即可． 【详解】解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，如图， ∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点， ∴OE=OD，OF=OD， 即OE=OF=OD=4， ∴S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO=AB•OE+BC•OD+AC•OF=×4×（AB+BC+AC）=×4×17 =34． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积公式． 【变式2-3】如图，在四边形中，是四边形的对角线，，，且． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，延长、相交于点E，再过点E作射线交的延长线于点F．若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）过点C作，交的延长线于E，于点F，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出结论； （2）延长，使，证明，由全等三角形的性质得出，证明是等边三角形，得出； （3）证出，在上截取，连接，证明，得出，，证明，得出，则可得出结论． 【详解】（1）证明：过点C作，交的延长线于E，于点F ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴平分； （2）解：延长，使， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （3）证明：由（1）可知，平分， ∵， ∴平分， ∴， 在上截取，连接， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，等边三角形的判定与性质，补角的性质，解本题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形． 【变式2-4】如图①，在中，是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点，且于，于． (1)求证：； (2)请你判断并与之间的数量关系，并证明； (3)如图②，在中，如果不是直角，，、分别是、的平分线，、相交于点．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)成立，证明见解析 【分析】（1）角平分线结合三角形的外角的性质，推出，即可得证； （2）连接，易得是的角平分线，进而得到，证明，即可得证； （3）连接，过点作，得到是的角平分线，进而得到，根据三角形的内角和定理以及角平分线的定义，推出，四边形的内角和得到，推出，证明，即可得证． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵、分别是、的平分线， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 连接， ∵、分别是、的平分线，、相交于点， ∴是的角平分线， ∵于，于， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴； （3）成立，证明如下： 连接，过点作，则：， ∵、分别是、的平分线，、相交于点， ∴是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，三角形的外角，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形． 【变式2-5】如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F． （1）请你判断并写出FE与FD之间的数量关系（不需证明）； （2）如图②，如果∠ACB不是直角，其他条件不变，那么在（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）FE=FD   （2）答案见解析 【分析】（1）先在AC上截取AG=AE，连结FG，利用SAS判定△AEF≌△AGF，得出∠AFE=∠AFG，FE=FG，再利用ASA判定△CFG≌△CFD，得到FG=FD，进而得出FE=FD； （2）先过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，则∠FGE=∠FHD=90°，根据已知条件得到∠GEF=∠HDF，进而判定△EGF≌△DHF（AAS），即可得出FE=FD．也可以过点F作FG⊥AB于G，作FH⊥BC于H，作FK⊥AC于K，再判定△EFG≌△DFH（ASA），进而得出FE=FD． 【详解】（1）FE与FD之间的数量关系为：FE=FD． 理由：如图，在AC上截取AG=AE，连结FG， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1=∠2， 在△AEF与△AGF中 ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴∠AFE=∠AFG，FE=FG， ∵∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线， ∴2∠2+2∠3+∠B=180°， ∴∠2+∠3=60°， 又∵∠AFE为△AFC的外角， ∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°， ∴∠CFG=180°-60°-60°=60°， ∴∠GFC=∠DFC， 在△CFG与△CFD中， ， ∴△CFG≌△CFD（ASA）， ∴FG=FD， ∴FE=FD； （2）结论FE=FD仍然成立． 如图，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，则∠FGE=∠FHD=90°， ∵∠B=60°，且AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线， ∴∠2+∠3=60°，F是△ABC的内心， ∴∠GEF=∠BAC+∠3=∠1+∠2+∠3=60°+∠1， ∵F是△ABC的内心，即F在∠ABC的角平分线上， ∴FG=FH， 又∵∠HDF=∠B+∠1=60°+∠1， ∴∠GEF=∠HDF， 在△EGF与△DHF中， ， ∴△EGF≌△DHF（AAS）， ∴FE=FD． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，角平分线的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导． 题型三、角平分线与延长垂线对称型全等问题 例3如图，在中，是的平分线，，垂足为点．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定； 根据角平分线的性质可得，再根据证明，根据其性质进而即可求解． 【详解】解：延长交于点F， ∵是的平分线，，垂足为点E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数是． 故答案为：． 【变式3-1】如图，在中，是角平分线，交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，延长，相交于点Q，根据证明，得到，再根据角平分线的定义以及证明从而得到进而得到结论． 【详解】证明：延长，相交于点Q，如图． ， ，， ． 在和中， , ， ， 平分，， ， ． 在和中， ， ． 【变式3-2】如图，在中，，，是的角平分线，交的延长线与点． (1)求证：． (2)连接，若，，，求三角形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）如图，延长，交于点，证明，，从而可得结论； （2）如图，过作于，结合全等三角形的性质求解，从而可得答案． 【详解】（1）证明：如图，延长，交于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过作于， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】如图，在中，，，是的角平分线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)连接，若，，求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】延长、交于点，由是的角平分线，交的延长线于点，得，而，即可证明，得，推导出，而，可证明，则； 作于点，由，得，所以，由三角形中位线定理得，所以． 【详解】（1）证明：延长、交于点， 是的角平分线，交的延长线于点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （2）解：作于点， ， ， ， 点是的中点，点是的中点， ， ， 三角形的面积为． 【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【变式3-4】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A 为 上一点，过点A作,  垂足为C，延 长交于点B，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图②，在中，平分，于点E，若，， 通过上述构造全等的办法，求∠的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点A作交于点D． 已知 米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（） 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）解：如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （）解：，证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）解：如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质、角平分线定义以及三角形面积等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 题型四、角平分线与截长补短对称型全等问题 例4如图，在中，，，是的平分线，延长至E，使，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在上截取，连，可得，得出对应边、对应角相等，进而又得出，即可求解． 【详解】解：在上截取，连，    ∵是的平分线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，   在和中， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及三角形内角和定理，题中两次运用了全等，借助全等得到对应边，对应角的相等，利用角度之间的转换得出答案． 【变式4-1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD，则∠ECA的度数为 ．    【答案】40° 【分析】在BC上截取BF=AB，连接DF，由题意易得∠ABC=∠ACB=40°，∠ABD=∠FBD=20°，则有△ABD≌△FBD，∠ADB=∠FDB=60°，进而可得∠EDC=∠FDC=60°，然后可证△EDC≌△FDC，则根据三角形全等的性质可求解． 【详解】解：在BC上截取BF=AB，连接DF，如图所示：    ∵AB=AC，∠ABC=40°， ∴∠ABC=∠ACB=40°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠FBD=20°， ∴∠ADB=∠DBC+∠ACB=60°， ∵BD=BD， ∴△ABD≌△FBD， ∴AD=FD，∠ADB=∠FDB=60°， ∴∠FDC=180°-2∠ADB=60°， ∵∠ADB=∠EDC=60°， ∴∠EDC=∠FDC=60°， ∵DE=AD， ∴FD=ED， ∵DC=DC， ∴△EDC≌△FDC， ∴∠ACB=∠ECA=40°； 故答案为40°． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式4-2】如图，在中，，，是的平分线，延长至，使，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在BC上截取BF＝AB，连DF，可得△ABD≌△FBD，得出对应边、对应角相等，进而又得出△DCE≌△DCF，即可求解． 【详解】解：在BC上截取BF＝AB，连DF， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠FBD， 在△ABD和△FBD中， 则有△ABD≌△FBD（SAS）， ∴DF＝DA＝DE， 又∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝40°， ∴∠BAC＝180°−∠ACB−∠ABC＝100°， ∴∠DFC＝180°−∠DFB＝180°−∠BAC＝80°， ∴∠FDC＝180°−∠ACB−∠DFC＝60°， ∵∠EDC＝∠ADB＝180°−∠ABD−∠BAC＝180°−20°−100°＝60°， ∴∠FDC＝∠EDC， 在△DCE和△DCF中， ∴△DCE≌△DCF（SAS）， ∴∠ECA＝∠DCB＝40°． 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及三角形内角和定理，题中两次运用了全等，借助全等得到对应边，对应角的相等，利用角度之间的转换得出答案． 【变式4-3】如图，在中，已知，是的平分线，延长到点E，使得，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是全等三角形的判定定理．在上截取，连接，易证，根据全等三角形的性质可得，；接下来联系等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，的度数，则可得,结合上步结论及图形，根据“”证明，进而由全等三角形的对应角相等即可得到答案． 【详解】解：在上截取，连接，如图， ∵是的平分线, ∴, 在和中， ， ​∴, ∴, 又 ∵, ∴, ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ​， ∴， ∴． 【变式4-4】如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE相交于点O， （1）求∠AOC的度数； （2）求证：OE=OD；   （3）．猜测AE，CD，AC三者的数量关系，并证明. 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）AE+CD=AC. 【分析】（1）根据△ABC中，∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°．因为AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，可求出∠AOC＝120°； （2）求出∠AOE＝60度．在AC上截取AF＝AE，连接OF，易证△AOE≌△AOF，得OE＝OF，∠AOE＝∠AOF＝60°，可证△COD≌△COF，得OD＝OF，即可得证； （3）根据全等得出AE＝AF，CD＝CF，所以AC＝AF＋CF＝AE＋CD，即AE＋CD＝AC． 【详解】（1）在△ABC中，∠B＝60°， ∴∠BAC＋∠BCA＝180°−∠B＝180°−60°＝120°． ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴∠OAC＝∠OAB＝∠BAC，∠OCD＝∠OCA＝∠ACB， 在△OAC中，∠AOC＝180°−（∠OAC＋∠OCA） ＝180°−（∠BAC＋∠ACB）＝180°−×120°＝120°； （2）∵∠AOC＝120°， ∴∠AOE＝∠DOC＝180°−∠AOC＝180°−120°＝60°， 在AC上截取AF＝AE，连接OF，如图， 在△AOE和△AOF中， ∴△AOE≌△AOF（SAS）， ∴OE=OF， ∴∠AOE＝∠AOF， ∴∠AOF＝60°， ∴∠COF＝∠AOC−∠AOF＝120°−60°＝60°， 又∠COD＝60°， ∴∠COD＝∠COF， 在△COD和△COF中， ， ∴△COD≌△COF（ASA）， ∴OD＝OF， ∴OE=OD； （3）∵△AOE≌△AOF，△COD≌△COF， ∴AE＝AF，CF＝CD， 又∵AF＝AE， ∴AC＝AF＋CF＝AE＋CD， 即AE＋CD＝AC. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；解答此题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，把相关的线段划到同一个三角形中找关系． 【变式4-5】如图，在中，． (1)如图1，若，D，E分别是，上的点，且．求证：； (2)如图2，若，点D是上的点，过点B作于点E．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（1）的条件下，、相交于点G，，垂足为点F，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）通过证明，即可求证； （2）过点F作，延长线交延长线与点F，通过证明，得出，设，，则，推出，，根据勾股定理得出，即可得出结论； （3）连接，过点F作，根据（1）中的结论推出，通过证明，得出，进而得出，则，再证明，得出，则，最后根据即可解答． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：过点A作，延长线交延长线与点F， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 设，， ∵，， ∴， 根据勾股定理可得：， 整理得：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∴． （3）解：连接，过点F作， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 设， ∴，， 即， 整理得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2 / 35 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $