微专题 角平分线的4种夹角模型（专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

微专题 角平分线的4种夹角模型 目录 题型一、双内角平分线 1 题型二、双外角平分线 6 题型三、内外角平分线展示 15 题型四、角平分线与垂线 19 题型一、双内角平分线 模型展示 条件：平分内角平分内角 结论： 例1如图，在四边形中，，分别平分和，与相交于点，延长，交于点．    (1)已知，求的度数； (2)若，，，试探究，，三者之间的等量失系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形外角的性质得出，根据角平分线的性质得出，，求出，根据三角形内角和得出； （2）根据角平分线的性质得出，，根据，，，得出，求出，，得出，根据三角形内角和得出，整理可以得出结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴． （2）解：，，三者之间的等量关系是． ∵，分别平分和，    ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 【变式1-1】在中，的平分线与的平分线交于点D．    (1)如图1，过点D作直线，分别交和于点M和N，求的度数（用含的式子表示）． (2)如图2，当过点D的直线与的交点仍在线段上，而与的交点在的延长线上时，，，三者之间存在怎样的数量关系？说明你的理由． (3)如图3，当过点D的直线与的交点在线段的延长线上，而与的交点在线段上时，（2）中，，三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出，，三者之间的数量关系，并说明你的理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)不成立，，见解析 【分析】（1）由和，即可求解； （2）由，，即可求解； （3）由，，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：．理由如下： ∵， ， ∴， ∴． （3）解：（2）中，，三者之间的数量关系不成立． ．理由如下： ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查三角形内角和定理及角平分线定义、角的和差计算，根据角与角之间的关键得出、、是解题的关键． 【变式1-2】如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P． (1)如果∠A＝80°，求∠BPC＝_____． (2)如图②，过点P作直线MNBC，分别交AB和AC于点M和N，试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示)______． (3)将直线MN绕点P旋转． （i）当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由． （ii）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（i）中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由． 【答案】(1)130°； (2)； (3)（i）∠MPB+∠NPC=90°﹣∠A，理由见解析； （ii）不成立，有结论∠MPB﹣∠NPC=90°﹣∠A，理由见解析． 【分析】:（1）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线定义得到，再利用三角形内角和定理得，然后把∠A的度数代入计算； （2）根据平角定义得，然后根据（1）的求解； （3）（i）与（2）的说理一样；（ⅱ）由于三个角之和不再是180°，因此结论不成立，可以利用得出结论：． 【详解】（1）解：∵△ABC的角平分线BD，CE相交于点P， ∴， ∴ 又∵∠A＝80°， ∴． 故答案为：． （2）由（1）得：=， ∴． 故答案为：． （3）（i），理由如下： 由（1）得：=， ∴． （ii）不成立，有结论．理由如下： 由题图④可知， ∴． 由（1）知：=， ∴． 【点睛】本题考查三角形的内角和与角平分线的综合问题，灵活运用结论=是解题的关键． 题型二、双外角平分线 模型展示 条件：平分外角平分外角 结论： 例2（1）如图1，已知，平分外角，平分外角．直接写出和的数量关系，不必证明； （2）如图2，已知，和三等分外角，和三等分外角．试确定和的数量关系，并证明你的猜想；（不写证明依据） （3）如图3，已知，、和四等分外角，、和四等分外角．试确定和的数量关系，并证明你的猜想；（不写证明依据） （4）如图4，已知，将外角进行分，是临近边的等分线，将外角进行等分，是临近边的等分线，请直接写出和的数量关系，不必证明．    【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】（1）由平分外角，平分外角，结合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可得到结论； （2）由和三等分外角，和三等分外角，结合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可得到结论； （3）由、和四等分外角，、和四等分外角，结合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可得到结论； （4）由外角进行分，是临近边的等分线，将外角进行等分，是临近边的等分线，合三角形外角的性质与三角形内角和定理，即可得到结论； 【详解】（1），理由如下： ∵平分外角，平分外角， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2），理由如下： 由已知得：，， ∵，， ∴， ； （3），理由如下： 由已知得：，， ∵，， ∴， ， （4），理由如下： 由已知得：，， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质与三角形内角和定理，掌握三角形外角的性质与三角形内角和定理是解题的关键． 【变式2-1】（分类讨论思想）的两外角平分线交于点．    (1)如图1，若，则的度数为__________． (2)如图2，过点作直线，分别交射线于点，若设，，则与的数量关系是__________． (3)在（2）的条件下，将直线绕点转动． ①如图3，当直线与线段没有交点时，试探索与，之间的数量关系，并说明理由． ②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)①，见解析；②不成立，或 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，从而可得，再由角平分线的定义可得，最后由三角形内角和定理可得，进行计算即可； （2）由（1）可得由（1）可得，再由代入进行计算即可； （3）①根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案；②分两种情况进行讨论：根据（1）中的结论，以及平角的定义，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ，， ， 和分别是和的平分线， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：， 由（1）可得， ， ， 即． （3）解：①当直线与线段没有交点时，， 理由如下： ∵，， ∴， 即； ②当直线与线段有交点时，①中与，之间的数量关系不成立，需分两种情况讨论： a．如图1，当在线段上，在射线上时，， ， ∵，， ∴， 即， b．如图2，当在射线上，在线段上时，， ， ∵，， ∴， 即． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平角的定义等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 【变式2-2】如图中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则∠的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查角平分线的定义和三角形内角与外角的性质，难度适中．利用角平分线的定义和三角形内角与外角的性质得到，再根据此规律计算即可． 【详解】解：∵与的平分线相交于点， ∴，， 根据三角形的外角的性质得，，， ∴， ∵， ∴， 同理：，，， 故选：A． 【变式2-3】【问题】（1）如图①，在中，平分，平分，若，则 ；若，则 ． 【探究】 （2）如图②，在中，，三等分，，三等分．若，则 ； （3）如图③，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； （4）如图④，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 【答案】（1）130°，；（2）；（3），理由见解析；（4） 【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出，再利用角平分线的定义求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解；将的度数换成，然后求解即可； （2）利用三角形的内角和等于求出，再利用三等分角求出，然后根据三角形的内角和等于列式计算即可得解； （3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出和，再根据角平分线的定义可得，然后整理即可得解； （4）根据平角的定义以及角平分线的定义表示出和，然后根据三角形的内角和定理列式表示出，然后整理即可得解． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ， ； 由三角形的内角和定理得，， 平分，平分， ，， ， ； 故答案为：，； （2）由三角形的内角和定理得，， ，三等分，，三等分， ，， ， ； 故答案为：； （3）． 理由如下：由三角形的外角性质得，， ， 是与外角的平分线和的交点， ，， ， ， ； （4）是外角与外角的平分线和的交点， ，， 在中， ， 由三角形的内角和定理得，， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． 题型三、内外角平分线展示 模型展示 条件：平分内角平分外角 结论： 例3如图，是的平分线，是的外角的平分线． (1)若，求的度数； (2)结合（1）的结论，猜想与的数量关系__________（不证明）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合角平分线的定义，得出，，再根据，故，又因为是的外角的平分线，得，再代入数值到进行计算，即可作答． （2）结合角平分线的定义以及三角形外角性质进行分析，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∵是的外角的平分线． ∴， ∵， ∴； （2）解：，过程如下： 设， ∵是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角的平分线． ∴， ∵， ∴； ∴． 【变式3-1】如图，已知在中，是外角的平分线，是的平分线． （1）求证：． （2）若，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的外角性质即可求证； （2）由∠A=2∠E，∠A=∠ABC，∠ABC=2∠ABE得∠ABE=∠E，从而AB∥CE． 【详解】证明：（1）∵是的一个外角，是的一个外角， ∴，， ∴，． ∵是外角的平分线，是的平分线， ∴，， ∴ ． （2）由（1）可知． ∵，， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的综合问题，涉及平行线的判定，三角形的外角性质，角平分线的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 【变式3-2】已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．    (1)如图1，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点． ①若，则______°． ②在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． (2)如图2，已知点在的延长线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点，．在中，如果有一个角的度数是另一个角的倍，请求出的度数． 【答案】(1)①；②不变，； (2)或． 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，垂直的定义等知识，解题的关键是掌握相关的知识． （1）①由垂直的定义得，结合，可得，根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的外角性质即可求解；②设，则，根据角平分线的定义可得，，最后根据三角形的外角性质即可求解； （2）根据角平分线的定义可得，，，进而得到，推出，根据三角形外角性质可推出，然后分两种情况讨论：①当时，②当时． 【详解】（1）①直线与互相垂直，垂足为， ， ， ， 平分交于点，平分， ，， ， 故答案为：； ②不变，． 直线与互相垂直，垂足为， ， 是的外角，设， ， 平分交于点，平分， ， ， ， 的值不变，且； （2）平分，平分，平分， ，，， ， 在中， 是的外角，是的外角， ；， ，即， 一个角是另一角的倍， 由图可知，可分两种情况讨论： ①当时， ， ， ； ②当时， 即， ， ； 综上所述，等于或． 题型四、角平分线与垂线 模型展示 基本图形 条件 是直角，高C D与角平分线A E相交于点 结论 例4（1）如图①，在中，，，是的角平分线．试写出，，的数量关系，并证明你的结论． （2）如图②，若把（1）中的条件“”变成“为延长线上一点，”，其他条件不变，试写出与，之间的数量关系，并证明你的结论．        【答案】（1），证明见详解（2），证明见详解 【分析】（1）首先根据垂直的性质可得，然后根据三角形内角和定理可得，再结合三角形角平分线的定义以及三角形内角和定理可得，，然后结合即可获得答案； （2）过点作于，由（1）可得，再证明，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可获得答案． 【详解】解：（1），证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴； （2），证明如下： 如下图，过点作于，    由（1）可得， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的高、三角形的角平分线、三角形内角和定理以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 【变式4-1】已知如图，中，为上一点，连接．平分，分别交、于点、． (1)如图1：若，，为边上的高，求的度数； (2)如图2：若且．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的高的定义，熟知相关知识是解题的关键。 （1）先由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，根据三角形的高的定义得到的度数，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）根据，得出，再由角平分线的定义和，得出，最后根据，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴ （2）证明：， ， 平分， ， ， ， ， 又， ， ． 【变式4-2】如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，．    (1)求的度数． (2)试写出与关系式，并证明． (3)如图，F为AE的延长线上的一点，于D，这时与的关系式是否变化，说明理由．    【答案】(1) (2) (3)不变，理由见解析 【分析】（1）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义得到，根据高线的性质得到，从而求出，继而根据角的和差得到结果； （2）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和求出，根据角的和差得到结果； （3）过作于，结合（2）知，证明，得到，即可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是高， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）， 证明如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3） 不变，理由是： 如图，过作于， 由（2）可知：，    ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键． 【变式4-3】如图，，点、分别在、上运动(不与点重合)，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．试问:随着点、的运动，的大小会变吗?如果不会，求的度数；如果会，请说明理由． 【答案】不会， 【分析】本题考查了三角形内角和，三角形外角，角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形外角和角平分线的定义．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，根据等量代换即可求解． 【详解】解：的大小不变，理由如下： 是的平分线，平分， ，， ， ， ， ， 即， ，故∠D的大小不变． 【变式4-4】如图，是的角平分线，，P为线段上一点，交的延长线于点E．    (1)，，求的度数； (2)试猜想与、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析． 【分析】（1）根据三角形内角和定理得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，进而根据三角形内角和定理即可求解； （2）设，，则根据角平分线的定义得出，进而根据（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， 又∵， ； （2）解：． 设，， 平分， ， ， ，， ， ， ， ， °， ．   ． 【点睛】本题考查了三角形角平分线的定义，三角形内角和定理和外角性质，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题 角平分线的4种夹角模型 目录 题型一、双内角平分线 1 题型二、双外角平分线 6 题型三、内外角平分线展示 15 题型四、角平分线与垂线 19 题型一、双内角平分线 模型展示 条件：平分内角平分内角 结论： 例1如图，在四边形中，，分别平分和，与相交于点，延长，交于点．    (1)已知，求的度数； (2)若，，，试探究，，三者之间的等量失系． 【变式1-1】在中，的平分线与的平分线交于点D．    (1)如图1，过点D作直线，分别交和于点M和N，求的度数（用含的式子表示）． (2)如图2，当过点D的直线与的交点仍在线段上，而与的交点在的延长线上时，，，三者之间存在怎样的数量关系？说明你的理由． (3)如图3，当过点D的直线与的交点在线段的延长线上，而与的交点在线段上时，（2）中，，三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出，，三者之间的数量关系，并说明你的理由． 【变式1-2】如图①，△ABC的角平分线BD，CE相交于点P． (1)如果∠A＝80°，求∠BPC＝_____． (2)如图②，过点P作直线MNBC，分别交AB和AC于点M和N，试求∠MPB+∠NPC的度数(用含∠A的代数式表示)______． (3)将直线MN绕点P旋转． （i）当直线MN与AB，AC的交点仍分别在线段AB和AC上时，如图③，试探索∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由． （ii）当直线MN与AB的交点仍在线段AB上，而与AC的交点在AC的延长线上时，如图④，试问（i）中∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明你的理由；若不成立，请给出∠MPB，∠NPC，∠A三者之间的数量关系，并说明你的理由． 题型二、双外角平分线 模型展示 条件：平分外角平分外角 结论： 例2（1）如图1，已知，平分外角，平分外角．直接写出和的数量关系，不必证明； （2）如图2，已知，和三等分外角，和三等分外角．试确定和的数量关系，并证明你的猜想；（不写证明依据） （3）如图3，已知，、和四等分外角，、和四等分外角．试确定和的数量关系，并证明你的猜想；（不写证明依据） （4）如图4，已知，将外角进行分，是临近边的等分线，将外角进行等分，是临近边的等分线，请直接写出和的数量关系，不必证明．    【变式2-1】（分类讨论思想）的两外角平分线交于点．    (1)如图1，若，则的度数为__________． (2)如图2，过点作直线，分别交射线于点，若设，，则与的数量关系是__________． (3)在（2）的条件下，将直线绕点转动． ①如图3，当直线与线段没有交点时，试探索与，之间的数量关系，并说明理由． ②当直线与线段有交点时，试问①中与，之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系． 【变式2-2】如图中，，延长到D，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，依此类推，与的平分线相交于点，则∠的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】【问题】（1）如图①，在中，平分，平分，若，则 ；若，则 ． 【探究】 （2）如图②，在中，，三等分，，三等分．若，则 ； （3）如图③，是与外角的平分线和的交点，试分析和有怎样的关系？请说明理由； （4）如图④，是外角与外角的平分线和的交点，则与有怎样的关系？（只写结论，不需证明） 题型三、内外角平分线展示 模型展示 条件：平分内角平分外角 结论： 例3如图，是的平分线，是的外角的平分线． (1)若，求的度数； (2)结合（1）的结论，猜想与的数量关系__________（不证明）． 【变式3-1】如图，已知在中，是外角的平分线，是的平分线． （1）求证：． （2）若，求证：． 【变式3-2】已知直线与互相垂直，垂足为，点在射线上运动，点在射线上运动，点，均不与点重合．    (1)如图1，平分交于点，平分，的反向延长线交的延长线于点． ①若，则______°． ②在点，的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． (2) 如图2，已知点在的延长线上，的平分线，的平分线与的平分线所在的直线分别相交于点，．在中，如果有一个角的度数是另一个角的倍，请求出的度数． 题型四、角平分线与垂线 模型展示 基本图形 条件 是直角，高C D与角平分线A E相交于点 结论 例4（1）如图①，在中，，，是的角平分线．试写出，，的数量关系，并证明你的结论． （2）如图②，若把（1）中的条件“”变成“为延长线上一点，”，其他条件不变，试写出与，之间的数量关系，并证明你的结论．        【变式4-1】已知如图，中，为上一点，连接．平分，分别交、于点、． (1)如图1：若，，为边上的高，求的度数； (2)如图2：若且．求证：． 【变式4-2】如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，．    (1)求的度数． (2)试写出与关系式，并证明． (3)如图，F为AE的延长线上的一点，于D，这时与的关系式是否变化，说明理由．    【变式4-3】如图，，点、分别在、上运动(不与点重合)，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．试问:随着点、的运动，的大小会变吗?如果不会，求的度数；如果会，请说明理由． 【变式4-4】如图，是的角平分线，，P为线段上一点，交的延长线于点E．    (1)，，求的度数； (2)试猜想与、之间的数量关系，并证明你的结论． 2 / 26 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $