专题02 角平分线模型的三种考法（压轴题专项训练，四川成都专用）数学新教材北师大版八年级下册

专题02 角平分线模型的三种考法 类型一、角平分线+外垂直 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 例1．如图，平分，于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，首先过点作，交的延长线于点，可证，根据可证，所以可得，等量代换可证结论成立． 【详解】证明：如图所示，过点作，交的延长线于点． 平分，， ， ，， ． 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ． 2．在四边形中，，，过点作垂足为，且，四边形的面积为8，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．过点作交延长线于点，连接，利用证明，推出，，再利用证明，推出，再根据，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：过点作交延长线于点，连接， 则， ， ． ，， ． 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 3．如图，在中，平分，点D是的中点，且，连接，，则的度数为_________．用含的式子表示）    【答案】 【分析】过作于，于，即可得到，得到，再由四边形内角和可得，即可根据求解． 【详解】过作于，于，则    ∵平分， ∴， ∵点D是的中点，且， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形中，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，利用角平分线的性质作辅助线是解题的关键． 4．如图， 在中， ， ， 平分交 于点，点E为上一动点，点是上一动点，连接 ，以 为斜边向上构造等腰 ，延长交于， 连接， 则 _______ 【答案】/ 【分析】过点F作，，垂足分别为M、N，根据角平分线性质可以证明，，从而可得，，进而可得，在上取一点K，使，设，用表示，，，由此即可计算出比值． 【详解】解：过点F作，，垂足分别为M、N， ∵平分，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵在中， ， ， ∴， ∴， ∵在等腰中，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， 在上取一点K，使，设， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理和三角形全等的综合，解题关键是利用角平分线模型构造全等三角形，从而得出，再利用等腰三角形三角形性质和勾股定理求出线段关系． 5．四边形中，，连接． （1）如图1，若平分，求证：． （2）如图2，若，，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，若，，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）过点分别作于点，交的延长线于点，根据角平分线的性质可得，结合已知条件HL证明，继而可得，根据平角的定义以及等量代换即可证明； （2）过点分别作于点，交的延长线于点，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据三线合一，可得，进而可得，根据角平分线的判定定理可推出，进而即可证明； （3）先证明四边形是矩形，证明，进而证明四边形是正方形，设，根据（2）的结论以及三角形内角和定理，求得，进而求得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得，进而在中，勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）如图，过点分别作于点，交的延长线于点， 平分， ， 在与中 （HL） 即 （2）如图，过点作交的延长线于点，过点作， ， 即 （3）如图，过点分别作于点，交的延长线于点， ， 四边形是矩形 在与中 ， 四边形是正方形 设 在中 在中， 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，勾股定理，正方形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 6．已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动， (1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：； (2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论仍成立，理由见解析 【分析】本题考查角了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，作出辅助线构三角形是解题的关键． （1）过作于，于，由为的平分线，利用角平分线定理得到，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到与全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证； （2）同（1）可证明． 【详解】（1）解：过作于，于， ∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴ ， ∴． （2）画出图形，结论仍成立， 理由如下： 过作于，于， ∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴，∴， ∴． 类型二、角平分线+内垂直构造等腰 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 例1．已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长． 【答案】 【分析】延长CG交AB于点E. 根据等腰三角形的判定与性质得CG=EG，AE=AC,再根据三角形中位线的性质得出DG=BE=（AB-AC），从而得出的长． 【详解】解：延长CG交AB于点E． AG平分，于， ，， ， ∵ ，为的中点， ． 故答案为. 【点睛】本题考查 等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理，根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理求解是解题的关键． 2．如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．    该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，   平分， ． ， ． 在和中，， （依据1） （依据2），， ，． …… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．    【答案】任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或），全等三角形的对应边相等；任务二：见解析；应用：12 【分析】任务一：根据全等三角形判定和性质即可得到答案； 任务二：先推出，得出，，进而可得，即可得到答案； 应用：延长、交于点，先推出，得到，进而可得，再推出，即可得出结论． 【详解】解：任务一：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（或角边角或ASA），全等三角形的对应边相等； 任务二：…… ， ， ； 应用：延长、交于点，   平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．如图，在中，，， （1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点． （i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由． （3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程） 【答案】（1）（ⅰ）见解析；（ⅱ）见解析；（2）BD＝2CE，理由见解析；（3）CE＝FD． 【详解】（1）（ⅰ）证明：∵AB＝BF，BD平分∠ABC，∴BE⊥AF，AE＝EF，即BD垂直平分AF； （ⅱ）证明：过点C作CM⊥AF交AF的延长线于点M，如图1， ∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠CAM+∠BAE=90°，∴∠CAM＝∠ABE， 在△ABE和△CAM中，，∴△ABE≌△CAM（AAS），∴AE＝CM， ∵AF⊥BD，AF⊥CM，∴BD∥CM，∴∠FCM＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∴∠FCM＝∠ABD，∴∠FCM＝∠EAD， 在△AED和△CMF中，，∴△AED≌△CMF（ASA），∴AD＝CF； （2）解：BD＝2CE．理由如下：如图2，延长BA、CE相交于点F，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD， 在△BCE和△BFE中，，∴△BCE≌△BFE（ASA），∴CE＝EF， ∵∠BAC＝90°，CE⊥BD，∴∠ACF+∠F＝90°，∠ABD+∠F＝90°，∴∠ABD＝∠ACF， 在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（ASA），∴BD＝CF， ∵CF＝CE+EF＝2CE，∴BD＝2CE． （3）解：CE＝FD．过点F作FG∥BA，交AC于H，交CE的延长线于点G，如图3， ∵FG∥AB，∠EFC＝∠B，∴∠EFC＝∠GFE，又∵CE⊥FE，∴∠CEF＝∠GEF＝90°， 在△CEF和△GEF中，，∴△CEF≌△GEF（ASA），∴CE＝GE，即CE＝CG， ∵FG∥AB，∠A＝90°，AB＝AC，∴∠CHG＝∠DHF＝90°，CH＝FH． 又∵∠GCH＝∠DFH，∴△CGH≌△FDH（ASA），∴CG＝DF．∴CE＝FD． 类型三角平分线+截线段相等 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 例1．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 2．如图，在中，、的角平分线相交于点，①若，则__________，②若，，则___________. 【答案】 110° 70° 【分析】①先根据三角形内角和求出∠BAC+∠BCA=140°，再根据角平分线的定义求出∠IAC+∠ICA的值，然后利用三角形内角和即可求解； ②在BC上取CD=AC，连接BI、DI，利用SAS证明△ACI与△DCI全等，可得AI=DI，∠CAI=∠CDI，再根据BC=AI+AC求出AI=BD，从而可得BD=DI，由三角形外角的性质可得∠CDI=2∠DBI，再根据角平分线的定义即可求出∠CDI=∠ABC，又∠BAC=2∠CAI，代入数据进行计算即可求解； 【详解】①∵， ∴∠BAC+∠BCA=140°， ∵AI、CI分别是、的角平分线， ∴∠IAC+∠ICA=(∠BAC+∠BCA)=70°， ∴∠AIC=180°-70°=110°； ②如图1，在BC上取CD=AC，连接BI、DI， ∵CI平分∠ACB， ∴∠ACI=∠BCI， 在△ACI与△DCI中， ， ∴△ACI≌△DCI（SAS）， ∴AI=DI，∠CAI=∠CDI， ∵BC=AI+AC，∴BD=AI， ∴BD=DI，∴∠IBD=∠BID， ∴∠CDI=∠IBD+∠BID=2∠IBD， 又∵AI、CI分别是∠BAC、∠ACB的平分线，∴BI是∠ABC的平分线， ∴∠ABC=2∠IBD，∠BAC=2∠CAI， ∴∠CDI=∠ABC， ∴∠BAC=2∠CAI=2∠CDI=2∠ABC， ∵∠ABC=35°，∴∠BAC=35°×2=70°． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，利用“截长补短法”作辅助线构造全等三角形以便于利用条件“BC=AI+AC”是解决本题的关键，也是难点． 3．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 【详解】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 4．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为14 【分析】（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义得出，利用证明，从而可得，，再利用三角形外角的性质可得，从而可得，推出，进而得出，即可得证； （2）在上截取，连接，由三角形内角和定理可得，证明得出，再证明得出，求出，即可得解． 【详解】（1）证明：在上截取，使得，连接， 平分， ∴， ， ∴， ，， ∵， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ； （2）解：在上截取，连接， ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长为14． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 5．如图：在△ABC中，∠C＝2∠B．AD平分∠BAC （1）如图①，当∠C＝90°时，则∠CAD的度数为 ． （2）如图②，在第（1）问的条件下，过D作DE⊥AB于点E，已知AB＝6，求△DBE的周长． （3）如图③，当∠C≠90°，证明：AC＋CD＝AB． 【答案】（1）22.5°；（2）6；（3）见解析 【分析】（1）先根据角的数量关系求出∠B的度数，然后根据直角三角形的性质得出∠BAC，再根据角平分线的定义即可得出结论； （2）根据AAS易证△ADE≌△ADC，可得AE＝AC，DE＝CD，然后利用线段间的等量代换即可求出结果； （3））如图③，在AB上取一点F，使AF＝AC，根据SAS可证△DAF≌△DAC，于是可得DF＝CD，∠AFD＝∠C，然后利用已知、三角形的外角性质和等腰三角形的判定可得BF＝DF，进一步即可得出结论． 【详解】解：（1）∵∠C＝2∠B，∠C＝90°， ∴∠B＝45°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝45°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠BAC＝22.5°， 故答案为：22.5°； （2）由（1）知，∠B＝∠BAC， ∴AC＝BC， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°＝∠C， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAE＝∠DAC， 又∵AD=AD， ∴△AED≌△ACD（AAS）， ∴AE＝AC，DE＝CD， ∴△DBE的周长=BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AC+BE＝AE+BE＝AB＝6； （3）如图③，在AB上取一点F，使AF＝AC， ∵∠DAB＝∠DAC，AD=AD， ∴△DAF≌△DAC（SAS）， ∴DF＝CD，∠AFD＝∠C， ∵∠C＝2∠B， ∴∠AFD＝2∠B， ∵∠AFD＝∠B+∠BDF， ∴∠BDF＝∠B， ∴BF＝DF， ∴BF＝CD， ∴AC+CD＝AF+BF＝AB． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键． 6．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD． （3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13 【分析】（1）由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证； （2）在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证； （3）在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理（2）可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG是等边三角形，最后问题可求解． 【详解】证明：（1）∵射线OP平分∠MON， ∴∠AOD=∠BOD， ∵OD=OD，OA＝OB， ∴△AOD≌△BOD（SAS）， ∴AD＝BD． （2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示： ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°， ∵CD=CD， ∴△ACD≌△ECD（SAS）， ∴∠A=∠CED=60°，AD=DE， ∵∠B+∠EDB=∠CED， ∴∠EDB=∠B=30°， ∴DE=BE， ∴AD=BE， ∵BC=CE+BE， ∴BC＝AC+AD． （3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示： 同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE， ∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1， ∵C为BD边中点， ∴BC=CD=CF=CG=3， ∵∠ACE＝120°， ∴∠ACB+∠DCE=60°， ∴∠ACF+∠GCE=60°， ∴∠FCG=60°， ∴△CFG是等边三角形， ∴FG=CF=CG=3， ∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13． 【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等． 7．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明． 【答案】AC+BD=AB，理由见见解析 【分析】在BA上截取BF=BD，连接EF，先证得，可得到∠BFE=∠D，再由AC∥BD，可得∠AFE=∠C，从而证得，可得AF=AC，即可求解． 【详解】解：AC+BD=AB，证明如下： 在BA上截取BF=BD，连接EF，如图所示： ∵AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD， ∴∠EAF=∠EAC，∠EBF=∠EBD， 在△BEF和△BED中， ， ∴（SAS）， ∴∠BFE=∠D， ∵AC∥BD， ∴∠C+∠D=180°， ∵∠AFE+∠BFE=180°， ∴∠AFE+∠D=180°， ∴∠AFE=∠C， 在△AEF和△AEC中， ， ∴（AAS）， ∴AF=AC， ∵AF+BF=AB， ∴AC+BD=AB． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 角平分线模型的三种考法 类型一、角平分线+外垂直 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 例1．如图，平分，于点，．求证：． 2．在四边形中，，，过点作垂足为，且，四边形的面积为8，求的长． 3．如图，在中，平分，点D是的中点，且，连接，，则的度数为_________．用含的式子表示）    4．如图， 在中， ， ， 平分交 于点，点E为上一动点，点是上一动点，连接 ，以 为斜边向上构造等腰 ，延长交于， 连接， 则 _______ 5．四边形中，，连接． （1）如图1，若平分，求证：． （2）如图2，若，，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，若，，求的长度． 6．已知，是的平分线．三角板的直角顶点在射线上移动， (1)在图1中，三角板的两直角边分别与，交于，，求证：； (2)在图2中，三角板的一条直角边与交于点，另一条直角边与的反向延长线交于点，猜想此时（1）中的结论是否成立，画出图形，并说明理由． 类型二、角平分线+内垂直构造等腰 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 例1．已知：中，为的中点，平分于，连结，若，求的长． 2．如图1，是内一点，且平分，，连接，若的面积为10，求的面积．    该问题的解答过程如下： 解：如图2，过点作交延长线于点，、交于点，   平分， ． ， ． 在和中，， （依据1） （依据2），， ，． …… 任务一：上述解答过程中的依据1，依据2分别是___________，___________； 任务二：请将上述解答过程的剩余部分补充完整； 应用：如图3，在中，，，平分交于点，过点作交延长线于点．若，求的长．    3．如图，在中，，， （1）如图1,平分交于点，为上一点，连接交于点． （i）若，求证：垂直平分；（ii）若,求证：．（2）如图2，平分交于点，，垂足在的延长线上，试判断线段和的数量关系，并说明理由． （3） 如图3，为上一点，，，垂足为，与交于点，写出线段和的数量关系．（不要求写出过程） 类型三角平分线+截线段相等 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 例1．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 2．如图，在中，、的角平分线相交于点，①若，则__________，②若，，则___________. 3．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    4．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，从而解决问题．依据上述材料，解答下列问题：如图1，在中，平分，交于点，且，求证：． (1)为了证明结论“”，小亮在上截取，使得，连接，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；（提示：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等） (2)如图2，在四边形中，已知，，，，是的高，，，求的长． 5．如图：在△ABC中，∠C＝2∠B．AD平分∠BAC （1）如图①，当∠C＝90°时，则∠CAD的度数为 ． （2）如图②，在第（1）问的条件下，过D作DE⊥AB于点E，已知AB＝6，求△DBE的周长． （3）如图③，当∠C≠90°，证明：AC＋CD＝AB． 6．（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD． （3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值． 7．已知：如图，AC∥BD，AE、BE分别平分∠CAB和∠ABD，点E在CD上．用等式表示线段AB、AC、BD三者之间的数量关系，并证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $