学易金卷：八年级数学上学期第三次月考（新教材北京版，范围八上第10～12章）

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版八上第十章~第十二章（第10章20%，第11章40%，第3章40%）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．七巧板是一种传统智力游戏，是中国古代劳动人民的发明，用七块板可拼出许多有趣的图形．在下面这些用七巧板拼成的图形中，可以看作轴对称图形的（不考虑拼接线）有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（   ） A．值不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的25倍 D．缩小为原来的 4．如果，那么代数式的值为（    ） A．2 B． C． D． 5．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点； （2）作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定，得，其中判定的依据是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点在的延长线上，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．4 7．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 8．如图，在等边中，D、E分别是上的点，连结交于点P，若，下列说法：①；②；③；④．其中结论正确的为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．计算： ． 10．已知，则 ． 11．已知一个等腰三角形的两边长分别为4和6，则该等腰三角形的周长为 ． 12．如图，在和中，，是中线，若，，则的周长比的周长为 ． 13．用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 根据以上规律，若，，则 ． 14．如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么 ． 15．如图，在中，，D是中点，P是上一动点，当最短时，的度数为 ． 16．如图，在中，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）解方程： (1) (2) 18．（5分）计算： 19．（6分）先化简，再求值：，其中． 20．（6分）如图，在中，，．在线段上求作一点D，使得．小明发现作的垂直平分线交于点D，交于点E，点D即为所求． (1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵，，∴． ∵垂直平分， ∴______．（                ）（填推理依据） ∴______．（                ）（填推理依据） ∴， 在中，∴______．∴． 21．（6分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．（8分）在一家手工作坊里，木工师傅正在为客户定制一批小型收纳盒，他们选用了一块长方形木板作为原材料．为了满足设计需求，需要对这块木板进行改造．木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为________cm； (2)求长方形木板的周长和面积． 23．（8分）如图，，，于点，交的延长线于点． (1)求证：平分． (2)若，，求的长．（用含，的代数式表示） 24．（8分）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】教材P24页指出三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）在中，由于点是边中点，那么与___________的面积相等，同理可得与___________的面积相等；与___________的面积相等 （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的___________，同理的而积是的面积的___________，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与___________的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等． （3）由的面积是的面积的2倍，可得___________；同理可得:___________ 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E，若，，，直接利用上面的结论，求的面积． 25．（10分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）：     ． (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________，________． (3)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的整数的值． 26．（10分）已知，等腰中，是直角，点是边上一动点（不与点，重合），过点作，使得点和点落在两侧，且，连接、，、交于点． (1)当点是边中点时，则的度数是________． (2)若点在边上移动到其它位置（不与点，重合），的度数是否变化？________（填“变”或“不变”），并给以证明． (3)若点的位置满足，依题意补全图，用等式表示线段、的数量关系，并证明． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版八上第十章~第十二章（第10章20%，第11章40%，第3章40%）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．七巧板是一种传统智力游戏，是中国古代劳动人民的发明，用七块板可拼出许多有趣的图形．在下面这些用七巧板拼成的图形中，可以看作轴对称图形的（不考虑拼接线）有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 2．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（   ） A．值不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的25倍 D．缩小为原来的 4．如果，那么代数式的值为（    ） A．2 B． C． D． 5．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点； （2）作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定，得，其中判定的依据是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点在的延长线上，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．4 7．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 8．如图，在等边中，D、E分别是上的点，连结交于点P，若，下列说法：①；②；③；④．其中结论正确的为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．计算： ． 10．已知，则 ． 11．已知一个等腰三角形的两边长分别为4和6，则该等腰三角形的周长为 ． 12．如图，在和中，，是中线，若，，则的周长比的周长为 ． 13．用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 根据以上规律，若，，则 ． 14．如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么 ． 15．如图，在中，，D是中点，P是上一动点，当最短时，的度数为 ． 16．如图，在中，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）解方程： (1) (2) 18．（5分）计算： 19．（6分）先化简，再求值：，其中． 20．（6分）如图，在中，，．在线段上求作一点D，使得．小明发现作的垂直平分线交于点D，交于点E，点D即为所求． (1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵，，∴． ∵垂直平分， ∴______．（                ）（填推理依据） ∴______．（                ）（填推理依据） ∴， 在中，∴______．∴． 21．（6分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．（8分）在一家手工作坊里，木工师傅正在为客户定制一批小型收纳盒，他们选用了一块长方形木板作为原材料．为了满足设计需求，需要对这块木板进行改造．木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为________cm； (2)求长方形木板的周长和面积． 23．（8分）如图，，，于点，交的延长线于点． (1)求证：平分． (2)若，，求的长．（用含，的代数式表示） 24．（8分）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】教材P24页指出三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）在中，由于点是边中点，那么与___________的面积相等，同理可得与___________的面积相等；与___________的面积相等 （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的___________，同理的而积是的面积的___________，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与___________的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等． （3）由的面积是的面积的2倍，可得___________；同理可得:___________ 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E，若，，，直接利用上面的结论，求的面积． 25．（10分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）：     ． (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________，________． (3)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的整数的值． 26．（10分）已知，等腰中，是直角，点是边上一动点（不与点，重合），过点作，使得点和点落在两侧，且，连接、，、交于点． (1)当点是边中点时，则的度数是________． (2)若点在边上移动到其它位置（不与点，重合），的度数是否变化？________（填“变”或“不变”），并给以证明． (3)若点的位置满足，依题意补全图，用等式表示线段、的数量关系，并证明． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材北京版八上第十章~第十二章（第10章20%，第11章40%，第3章40%）。 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．七巧板是一种传统智力游戏，是中国古代劳动人民的发明，用七块板可拼出许多有趣的图形．在下面这些用七巧板拼成的图形中，可以看作轴对称图形的（不考虑拼接线）有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解． 【详解】第一个图形不是轴对称图形， 第二个图形是轴对称图形， 第三个图形是轴对称图形， 第四个图形不是轴对称图形， 第五个图形是轴对称图形， 第六个图形是轴对称图形， 综上所述，是轴对称图形的有4个． 故选B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，本题要注意不考虑拼接线． 2．下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质和变形，熟记分式相关性质是解决问题的关键． 根据分式的性质，检查每个选项的等式是否成立，通过化简或代入值验证即可得到答案． 【详解】解：A：右边左边，分式变形错误，不符合题意； B：右边左边，除非或，分式变形错误，不符合题意； C：右边左边，除非，分式变形错误，不符合题意； D：，分式变形正确，符合题意； 故选：D． 3．如果把分式中的x，y都扩大到原来的5倍，那么分式的值（   ） A．值不变 B．扩大到原来的5倍 C．扩大到原来的25倍 D．缩小为原来的 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质．把x与y都扩大5倍，确定出分式的值，比较即可． 【详解】解：根据题意得：， ∴x，y都扩大到原来的5倍，分式的值不变． 故选：A． 4．如果，那么代数式的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．先化简代数式，再代入的值计算． 【详解】解： ， 代入，原式， 故选：D． 5．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点； （2）作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定，得，其中判定的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答的关键．根据作图痕迹，结合全等三角形的判定是解答的关键． 【详解】解：由作图痕迹，得，，， ∴， 故选：C． 6．如图，在正方形中，点在的延长线上，连接，若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了正方形性质和勾股定理，根据正方形性质可得，进而在中利用勾股定理求出. 【详解】解：∵在正方形中， ∴，， ∴ ∴， 故选：D. 7．若关于的分式方程无解，则的值是（   ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，把分式方程去分母整理得，再分和两种情况解答即可，理解分式方程无解的意义并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 整理得，， 当，即时，，此时方程无解； 当时，解得， ∵分式方程无解， ∴， 即， 解得； 综上，的值是或， 故选：． 8．如图，在等边中，D、E分别是上的点，连结交于点P，若，下列说法：①；②；③；④．其中结论正确的为（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，先证明，再根据全等三角形的性质和大角对大边进行判断． 【详解】解：①为等边三角形， ，． ， ， ， 无法判断，故①说法不正确； ②， ， 故②说法正确； ③，， ， 即， 故③说法正确； ④，， ， ． 综上所述，说法正确的为②③④， 故选：D． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再根据分式的乘法法则计算． 【详解】解：原式 ． 10．已知，则 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质，算术平方根和绝对值都非负，它们的和为零，则每个部分必须为零； 本题考查了代数式求值，算术平方根和绝对值的非负性，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴ 且 ， ∴且， 解得，， 则． 故答案为：． 11．已知一个等腰三角形的两边长分别为4和6，则该等腰三角形的周长为 ． 【答案】14或16/16或14 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件．分4为腰长，6为腰长结合三角形三边的关系进行求解即可 【详解】解：当腰为4时，三边为4、4、6，， ∴4、4、6能组成三角形， 该三角形的周长； 当腰为6时，三边为4、6、6，， ∴4、6、6能组成三角形， 该三角形的周长． 故答案为：14或16． 12．如图，在和中，，是中线，若，，则的周长比的周长长 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的中线的概念．根据三角形的中线的概念得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵在和中，，是中线， ∴， 的周长的周长 故答案为：． 13．用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： 根据以上规律，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根，读懂题意，理解表格数据的规律是解题的关键．根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位，据此即可得到答案． 【详解】解：由表格可以发现：被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应的向相同方向移动一位， ∵, ∴， 故答案为：． 14．如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键． 连接，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：，，最后根据平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图，连接， 由勾股定理得：，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．如图，在中，，D是中点，P是上一动点，当最短时，的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查轴对称-最短路径问题、轴对称的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识， 作点C关于的对称点E，连接交于F，则，连接交于P，则此时最短，连接，根据直角三角形的性质得到，得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：作点C关于的对称点E，连接交于F， 则， 连接交于P，则此时最短， 连接， ∵D是中点，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16．如图，在中，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质得，再证是等腰直角三角形，得出，由勾股定理求出，然后由面积法求出，由勾股定理求出，则，即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键； （1）根据分式方程的解法可进行求解； （2）根据分式方程的解法可进行求解． 【详解】（1）解： 解得：； 经检验：当时，， ∴原分式方程解为； （2）解： ， 解得：； 经检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 18．（5分）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式化简，立方根，绝对值，0指数幂，二次根式的加减等知识，先根据二次根式性质，立方根，绝对值，0指数幂进行化简，再进行计算即可求解﹒ 【详解】解：原式=﹒ 19．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值、分母有理化．，先根据分式的乘除运算法则，结合因式分解化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20．（6分）如图，在中，，．在线段上求作一点D，使得．小明发现作的垂直平分线交于点D，交于点E，点D即为所求． (1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点D（保留作图痕迹）； (2)完成下面的证明． 证明：∵，，∴． ∵垂直平分， ∴______．（                ）（填推理依据） ∴______．（                ）（填推理依据） ∴， 在中，∴______．∴． 【答案】(1)见解析 (2)，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，，等边对等角， 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及直角三角形的性质，运用逻辑推理思想，通过线段垂直平分线得到等腰三角形，结合角度推导，利用直角三角形角的性质解题；解题关键是利用线段垂直平分线得到，进而推导角度关系；易错点是对线段垂直平分线性质、等腰三角形性质的应用混淆． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）∵，，∴． ∵垂直平分， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）（填推理依据） ∴．（等边对等角）（填推理依据） ∴， 在中，∴． ∴， 故答案为：；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；． 21．（6分）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等，得到，选择适当的判定定理证明即可； （2）根据三角形全等的性质，结合线段的和差计算即可． 本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握平行线的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明： ． 在和中， 由, ． （2）解：， ， ， ， ， ． 22．（8分）在一家手工作坊里，木工师傅正在为客户定制一批小型收纳盒，他们选用了一块长方形木板作为原材料．为了满足设计需求，需要对这块木板进行改造．木工甲采用如图的方式，将木板的长增加，宽增加，得到一个面积为的正方形． (1)正方形的边长为________cm； (2)求长方形木板的周长和面积． 【答案】(1) (2)周长为，面积为 【分析】本题考查二次根式的应用、算术平方根等知识点，根据图形运用相关知识是解题的关键． （1）根据正方形的边长等于面积的算术平方根求解即可； （2）根据（1）中结论求出矩形的长和宽，然后再求长方形木板的周长和面积即可． 【详解】（1）解：正方形的边长为， 故答案为：． （2）解：由题意知，，， 则长方形木板的周长为， 面积为． 23．（8分）如图，，，于点，交的延长线于点． (1)求证：平分． (2)若，，求的长．（用含，的代数式表示） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）通过证明，再根据全等三角形性质得出，再根据角平分线的判定进行证明； （2）先证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 平分； （2）由（1）知平分， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知， ， ． 24．（8分）综合与实践 【探究课题】三角形重心性质的探究 【课本重现】教材P24页指出三角形三边中线的交点叫做这个三角形的重心．如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． 【提出问题】探究图1中，的值是多少？ 我校二班熊老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下的探究思路，请同学们通过跟随老师的思路，逐步完成问题解决以上提出的问题． 【解决问题】 （1）在中，由于点是边中点，那么与___________的面积相等，同理可得与___________的面积相等；与___________的面积相等 （2）在中，由于点D是边中点，那么的面积是的面积的___________，同理的而积是的面积的___________，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与___________的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等． （3）由的面积是的面积的2倍，可得___________；同理可得:___________ 【拓展应用】 （4）如图2，在中，点是的重心．连接，并延长分别交，于点D，E，若，，，直接利用上面的结论，求的面积． 【答案】（1），，；（2），，；（3），；（4）48 【分析】本题考查了重心定义、利用三角形中线求面积，同底等高三角形，根据已知解题思路求出的值是解题关键． （1）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （2）根据三角形中线将三角形分为面积相等的两部分作答即可； （3）由上述解析得到6个小三角形面积相等，进而得到的面积是的面积的2倍，再根据同高三角形面积之比等于底边之比求解即可； （4）由上面的结论可知，，进而求出，，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）在中，由于点是边中点，那么与的面积相等， 同理可得与的面积相等；与的面积相等， 故答案为：，，； （2）在中，由于点是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等， 故答案为：，，； （3）由的面积是的面积的2倍，可得；同理可得：， 故答案为：，； （4）由上面的结论可知，， ∵，， ，， ∵， ∴的面积为． 25．（10分）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如， ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）：     ． (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________，________． (3)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的整数的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了分式的化简，分式有意义的条件． （1）根据“和谐分式”的定义可判定求解； （2）根据分式的性质，进行化简求解； （3）将原式进行化简，根据题意可得，根据分式有意义的条件进行检验，即可得符合条件的整数的值． 【详解】（1）解： ，是和谐分式， ，不是和谐分式， ，是和谐分式． 故答案为：． （2）解：， ． 故答案为：，． （3）解：， ∵的值为整数，且为整数， ∴为整数，为整数， 设（为整数）， 则， ∵为整数， ∴为整数， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， 经检验，当或时，分母均不为零，符合题意． ∴符合条件的整数的值为或． 26．（10分）已知，等腰中，是直角，点是边上一动点（不与点，重合），过点作，使得点和点落在两侧，且，连接、，、交于点． (1)当点是边中点时，则的度数是________． (2)若点在边上移动到其它位置（不与点，重合），的度数是否变化？________（填“变”或“不变”），并给以证明． (3)若点的位置满足，依题意补全图，用等式表示线段、的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)不变，理由见解析． (3)见解析． 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．解题关键是通过证明三角形全等，结合等腰直角三角形的角度和边的关系来推导结论． （1）由等腰三角形性质得，由证，进而得． （2）同（1）的方法证，进而得． （3）由，由，得进而算出，由得算出，从而得证得． 【详解】（1）解： 在等腰中，， ，， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， ． （2）不变，理由如下如图： 在等腰中，， ，， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， ． （3）如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （由(1)得）， ， ， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） LAJ[BJ[C][D] 5[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4A][B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 9 10 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 三、（本大题共10个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(5分) 18.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) 20.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 22.(8分) -E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) E BF 24.(8分) E 0 -≥C B D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 26.(10分) 的在在 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 2[A1[B1[CI[D] 6.A][B][CJ[D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 4.A][B1[CI[D] 8.[A][B][C][D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共24分） 11 12 13 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共10个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(5分) 18.(5分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) 20.(6分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(6分) 22.(8分) D A B 111111111111 G F 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(8分) D C A 24.(8分) D E D 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(10分) 26.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年八年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B D A D C D B D 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10． 11．14或16/16或14 12． 13． 14． 15．/45度 16． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【详解】（1）解： 解得：；·································1分 经检验：当时，， ∴原分式方程解为；································2分 （2）解： ， 解得：；································3分 经检验：当时，， ∴原分式方程的解为．································5分 18．（5分） 【详解】解：原式=﹒································5分 19．（6分） 【详解】解： ，································3分 当时，原式．································6分 20．（6分） 【详解】（1）解：如图，点即为所求， ································1分 （2）∵，，∴． ∵垂直平分， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）（填推理依据）································3分 ∴．（等边对等角）（填推理依据）································5分 ∴， 在中，∴． ∴， 故答案为：；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；；．··························6分 21．（6分） 【详解】（1）证明： ． 在和中， 由, ．································3分 （2）解：， ， ， ， ， ．································6分 22．（8分） 【详解】（1）解：正方形的边长为， 故答案为：．································3分 （2）解：由题意知，，， 则长方形木板的周长为， 面积为．································8分 23．（8分） 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 平分；································3分 （2）由（1）知平分， ， 在和中， ， ， ，································5分 由（1）知， ， ．································8分 24．（8分） 【详解】解：（1）在中，由于点是边中点，那么与的面积相等， 同理可得与的面积相等；与的面积相等， 故答案为：，，；································3分 （2）在中，由于点是边中点，那么的面积是的面积的，同理的面积是的面积的，这样的面积与的面积相等，减去公共部分可得的面积与的面积相等，同样可得的面积与的面积相等，从而可得6个小三角形面积相等， 故答案为：，，；································分 （3）由的面积是的面积的2倍，可得；同理可得：， 故答案为：，； （4）由上面的结论可知，， ∵，， ，， ∵， ∴的面积为．································8分 25．（10分） 【详解】（1）解： ，是和谐分式， ，不是和谐分式， ，是和谐分式． 故答案为：．································2分 （2）解：， ． 故答案为：，．································6分 （3）解：， ∵的值为整数，且为整数， ∴为整数，为整数， 设（为整数）， 则， ∵为整数， ∴为整数， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， 经检验，当或时，分母均不为零，符合题意． ∴符合条件的整数的值为或．································10分 26．（10分） 【详解】（1）解： 在等腰中，， ，， ， ， ， ， ， 在与中 ， ， ．································3分 （2）不变，理由如下如图： 在等腰中，， ，， ，， ， ， ， 在与中， ，， ．································6分 （3）如图所示： ，，， ，， ， ， ， ， ， ， （由(1)得）， ， ， ， ．································10分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $