11.6二次根式的乘除法（题型专练）数学北京版2024八年级上册

11.6 二次根式的乘除法 题型一 二次根式的乘法运算 1．（22-23九年级上·河南新乡·期中）请写出一个二次根式，使它与的积是有理数，这个二次根式可以是 ． 2．（21-22八年级下·北京西城·期中）如果正方形的一条对角线长为3，那么该正方形的面积为 ． 3．（21-22八年级上·北京石景山·期末）计算：的结果是 ． 4．（21-22八年级下·北京·期中）计算 (1)， (2)； 题型二 二次根式的除法运算 5．（24-25八年级下·北京·期中）计算： ． 6．（24-25八年级上·北京平谷·期末）计算： ； ． 7．（22-23八年级上·上海·期中）若一个长方形的长为，面积为，则它的宽为 cm（保留根式）． 8．（24-25八年级下·北京·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 二次根式乘除法法则成立的条件 9．（20-21八年级下·北京大兴·期中）成立的条件是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级下·全国·课后作业）要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）式子成立的条件是（   ） A． B． C．或 D． 12．（22-23八年级下·山东日照·期中）要使等式成立的的值为 ． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）已知等式成立，化简： ． 题型四 二次根式的乘除混合运算 14．（23-24九年级上·北京丰台·开学考试）化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 15．（24-25八年级下·广东汕头·期末）简化： 16．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 题型五 把根号外的因数(式)移到根号内 18．（24-25八年级下·山东淄博·期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 19．（24-25八年级下·山东淄博·期中）把根号外的因式移到根号内，结果为（    ） A． B． C． D． 20．（22-23九年级上·湖南衡阳·期中）把根号外的因式移入根号内，得（    ） A． B． C． D． 21．（24-25九年级上·四川眉山·期末）把根号外的因式移入根号内，其结果为 ． 22．（24-25八年级下·上海·假期作业）将x移到根号内，不改变原来的式子的值： (1)； (2)． 题型六 判断最简二次根式 23．（24-25八年级下·北京·期末）下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 24．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 25．（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）在二次根式，，，中，最简二次根式共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数中不能含能开得尽方的因数或者因式，即可． 题型七 化为最简二次根式 26．（22-23八年级下·天津津南·期中）把化为最简二次根式，结果是 ． 27．（20-21八年级下·北京·期中）化简：（1）＝ ；（2）﹣＝ ． 28．（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 题型八 根据最简二次根式的概念求值 29．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 30．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 31．（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）若 为非负数，两个最简二次根式与可以合并，则的值是（　　） A． B． C．或 D． 32．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）若最简二次根式和最简二次根式可以合并，则的值为 ． 33（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 题型九 应用二次根式的乘除运算解决实际问题 34．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案．若长方形彩纸的长为，宽为，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，则正方形彩纸的面积为 ． 35．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1） 36．（24-25八年级下·全国·单元测试）有甲、乙两块面积相等的长方形木板，甲的长为，宽为，乙的长为，求乙的宽（结果保留根号）． 37．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，有一块面积为300平方分米的长方形铁皮，已知该长方形铁皮的长、宽之比为． (1)求长方形铁皮的长与宽（结果保留根号）． (2)若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是面积为32平方分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 题型一 比较二次根式的大小 1．（21-22七年级下·北京·期中）阅读材料并回答问题 肖博睿同学发现如下正确结论： 材料一： 若，则；若，则；若，则； 材料二： 完全平方公式：（1）；（2）． (1)比较大小：___________； (2)___________； (3)试比较与的大小（写出相应的解答过程）． 2．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即：； 例如：比较与2的大小． ∵   又∵   则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． (3)已知，试用“比差法”比较与的大小． 题型二 分母有理化及其应用 1．（2024八年级下·北京·专题练习）如果，那么a与b的关系是（　　） A．且互为相反数 B．且互为相反数 C． D． 2．（21-22八年级下·河北保定·期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·北京门头沟·期末）分母有理化： （其中）． 4．（20-21八年级下·北京·期中）阅读材料，然后作答： 在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：，，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化： 例如： 请仿照上述方法解决下面问题： （1）分母有理化的结果是 ． （2）分母有理化的结果是 ． （3）分母有理化的结果是 ． 题型三 次根式乘除法中的新情境题 1．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； 2．（22-23八年级上·陕西西安·期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在中，，，．    (1)求的面积； (2)过点A作，垂足为D、求线段的长． 3．（23-24八年级下·河南洛阳·阶段练习）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离 例如，如图1，，，则 【直接应用】 (1)已知，，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断与的位置关系形状，并说明理由． 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）对于线段与点（点不在线段上）给出如下定义：为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“近距”，记作（点，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“远距”，记作（点，线段）．如图，中，，，． (1)（点，线段）=_____，（点，线段）=_____； (2)点关于直线的对称点为，连接．若点在线段上，且（点，线段）是（点，线段）的2倍，直接写出线段的长度； (3)过点作．若点在直线上，（点，线段），直接写出（点，线段）的取值范围． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则___________； (2)化简：___________；___________； (3)计算： 4．（24-25八年级下·上海·假期作业）将下列式子化成最简二次根式： (1)； (2)的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11.6 二次根式的乘除法 题型一 二次根式的乘法运算 1．（22-23九年级上·河南新乡·期中）请写出一个二次根式，使它与的积是有理数，这个二次根式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理化因式的定义：两个根式相乘的积不含根号即可判断． 【详解】解：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是二次根式，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 2．（21-22八年级下·北京西城·期中）如果正方形的一条对角线长为3，那么该正方形的面积为 ． 【答案】9 【分析】把正方形的面积转化为等腰三角形的面积，利用三角形面积公式：，计算即可． 【详解】解：因为正方形的两条对角线相等，且长为3， 所以正方形的面积． 故答案为：9． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，二次根式乘法法则，三角形面积公式，理解相关知识是解答关键． 3．（21-22八年级上·北京石景山·期末）计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】套用平方差公式，依据二次根式的性质进一步计算可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质与运算顺序、平方差公式． 4．（21-22八年级下·北京·期中）计算 (1)， (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法进行计算即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解： （2） 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题关键． 题型二 二次根式的除法运算 5．（24-25八年级下·北京·期中）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，利用二次根式的除法运算法则计算即可，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：． 6．（24-25八年级上·北京平谷·期末）计算： ； ． 【答案】 2 【分析】本题考查了二次根式的除法，二次根式的性质化简，根据二次根式的除法法则进行运算，则，再结合二次根式的性质进行化简，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ， 故答案为：2，． 7．（22-23八年级上·上海·期中）若一个长方形的长为，面积为，则它的宽为 cm（保留根式）． 【答案】 【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽，利用二次根式的除法运算. 【详解】解：由题意可得：长方形宽， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的除法的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键. 8．（24-25八年级下·北京·开学考试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解题的关键； （1）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （2）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （3）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解； （4）根据二次根式的除法运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 （3）解：原式； （4）解：原式 ． 题型三 二次根式乘除法法则成立的条件 9．（20-21八年级下·北京大兴·期中）成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用二次根式有意义的条件，进而分析得出答案． 【详解】解：成立， ， 解得：． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除法，正确得出的不等式组是解题关键． 10．（24-25八年级下·全国·课后作业）要使等式成立，实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，解一元一次不等式组即可求得的取值范围． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故选：C． 11．（24-25八年级下·全国·课后作业）式子成立的条件是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式乘法成立的条件：被开方数非负；据此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：； 故选：B． 12．（22-23八年级下·山东日照·期中）要使等式成立的的值为 ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质以及二次根式有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：二次根式有意义需满足：且，解得： 要使等式成立，则或，解得：或， 综上，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键． 13．（2024八年级上·全国·专题练习）已知等式成立，化简： ． 【答案】4 题型四 二次根式的乘除混合运算 14．（23-24九年级上·北京丰台·开学考试）化简： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据二次根式的性质，进行化简即可； （2）根据二次根式的性质，进行化简即可； （3）根据二次根式的性质，进行化简即可； （4）根据二次根式的性质，进行化简即可； （5）利用二次根式的乘除法则，进行计算即可； （6）根据二次根式的乘法法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【点睛】本题考查二次根式的性质，以及二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则，是解题的关键． 15．（24-25八年级下·广东汕头·期末）简化： 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先利用二次根式性质化简，再变除法为乘法，约分化简即可． 【详解】解：原式 ． 16．（24-25八年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的乘法和除法法则，是解题的关键： （1）利用除法法则进行计算即可； （2）利用乘除法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 17．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)6 (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，正确运用运算法则是解答本题的关键． （1）根据二次根式乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式除法法则进行计算即可； （3）原式先计算二次根式的乘法，再计算除法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型五 把根号外的因数(式)移到根号内 18．（24-25八年级下·山东淄博·期中）把中根号外面的因式移到根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据可得，所以移入括号内为进行计算即可． 【详解】解：根据根式的性质可得可得， 因此． 故选：C． 19．（24-25八年级下·山东淄博·期中）把根号外的因式移到根号内，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义得出，再根据二次根式的性质化简即可． 本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， 故选：A． 20．（22-23九年级上·湖南衡阳·期中）把根号外的因式移入根号内，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质直接化简得出即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，正确确定二次根式的符号是解题关键． 21．（24-25九年级上·四川眉山·期末）把根号外的因式移入根号内，其结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ， ，即 ， 故答案为：． 22．（24-25八年级下·上海·假期作业）将x移到根号内，不改变原来的式子的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． （）根据二次根式性质即可求解； （）根据二次根式性质即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六 判断最简二次根式 23．（24-25八年级下·北京·期末）下列式子是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，二次根式的化简，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，根据最简二次根式的定义：①被开方数的因数不含能开得尽方的数或式子；②被开方数不含分母．逐一分析各选项是否满足条件即可． 【详解】解：选项A：，不满足条件①，故排除． 选项B： ，不满足条件②，故排除． 选项C：，不满足条件①，故排除． 选项D：． 被开方数无平方因子，且不含分母，满足最简二次根式的两个条件，故为正确答案． 故选：D． 24．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列各式：①，②，③，④，⑤中，最简二次根式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据最简二次根式需要满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方开的尽因式或因数，进行判断即可． 【详解】解：①，②，③，④，⑤中，是二次根式的是，，共2个； 故选B． 25．（22-23八年级下·山东德州·阶段练习）在二次根式，，，中，最简二次根式共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】 根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，被开方数中不能含能开得尽方的因数或者因式，即可． 【详解】，被开方数含分母，不是最简二次根式； ，是最简二次根式； ，被开方数中能含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； ，是最简二次根式． ∴最简二次根式为：，． 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 题型七 化为最简二次根式 26．（22-23八年级下·天津津南·期中）把化为最简二次根式，结果是 ． 【答案】 【分析】利用商的算术平方根法则化简即可得到结果． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式商的算术平方根法则是解本题的关键． 27．（20-21八年级下·北京·期中）化简：（1）＝ ；（2）﹣＝ ． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义解答． 【详解】解：=，， 故答案为：，． 【点睛】此题考查了二次根式的化简，掌握最简二次根式的定义：不含分母，不含能再开方的因式或因数，是解题的关键． 28．（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可． （2）根据二次根式的性质化简即可． （3）根据二次根式的性质化简即可． （4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 题型八 根据最简二次根式的概念求值 29．（24-25八年级上·陕西渭南·阶段练习）已知是最简二次根式，且与可以合并，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，利用平方根解方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 由是最简二次根式且与可以合并，得出，然后利用平方根解方程即可． 【详解】解：∵是最简二次根式且与可以合并， ∴，解得：， 故选：． 30．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． ． 31．（22-23八年级上·广东梅州·阶段练习）若 为非负数，两个最简二次根式与可以合并，则的值是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的加减和最简二次根式的定义列式求解即可． 【详解】解：∵两个最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴， 解得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的加减和最简二次根式的定义，熟知两个最简二次根式可以合并，那么它们是同类二次根式是解题的关键． 32．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）若最简二次根式和最简二次根式可以合并，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，最简二次根式和是同类二次根式，可得，即可求出的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 的值为4． 故答案为：4 33（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题考查最简二次根式，平方根和立方根，化简求值： （1）根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可； （2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可； （3）求出的值，将转化为，再代值计算即可． 【详解】（1）解：，由题意，得：， ∴， ∵b是27的立方根， ∴； （2）解：当，时， ， ∴的平方根； （3）， ∴ ． 题型九 应用二次根式的乘除运算解决实际问题 34．（24-25八年级下·山西大同·阶段练习）山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一，被誉为流淌在刀尖上的舞蹈．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．张萌现用一张长方形彩纸和一张正方形彩纸各剪了一个图案．若长方形彩纸的长为，宽为，且长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，则正方形彩纸的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算的应用，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解决此题的关键．先算出长方形彩纸的面积，再由长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍，进行计算即可得解． 【详解】解：∵长方形彩纸的长为，宽为， ∴长方形彩纸的面积为， ∵长方形彩纸的面积是正方形彩纸面积的倍， ∴正方形彩纸的面积为． 故答案为： ． 35．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1） 【答案】(1)米 (2)1350.7元 【分析】本题考查了二次根式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长进行列式计算，即可作答． （2）先算出其余区域的面积为平方米，再结合所铺红毯的售价为10元/平方米，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（米）． 答：该长方形闲置区域的周长为米 （2）解： （平方米）． ∴其余的面积为平方米， （元）． 答：购买红毯大约需要花费1350.7元． 36．（24-25八年级下·全国·单元测试）有甲、乙两块面积相等的长方形木板，甲的长为，宽为，乙的长为，求乙的宽（结果保留根号）． 【答案】乙的宽为 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据长方形面积计算公式求出甲的面积，即可得到乙的面积，再用乙的面积除以乙的长即可求出乙的宽． 【详解】解： ， ∴乙的宽为． 37．（24-25八年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，有一块面积为300平方分米的长方形铁皮，已知该长方形铁皮的长、宽之比为． (1)求长方形铁皮的长与宽（结果保留根号）． (2)若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是面积为32平方分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 【答案】(1)长方形铁皮的长为分米，宽为分米 (2)长方体铁皮盒子的体积为立方分米 【分析】本题考查利用平方根解方程，二次根式混合计算等． （1）根据题意设长方形铁皮的长为分米，则宽为分米，再列式计算后即可求出本题答案； （2）先求出正方形的边长为分米，再利用长方体体积公式计算即可求出本题答案． 【详解】（1）解：设长方形铁皮的长为分米，则宽为分米． 根据题意可得． 即． ， ， ． 长方形铁皮的长为分米，宽为分米； （2）解：正方形的面积为32平方分米， 正方形的边长为分米． ∴长方体体积， ， ， 答：长方体铁皮盒子的体积为立方分米． 题型一 比较二次根式的大小 1．（21-22七年级下·北京·期中）阅读材料并回答问题 肖博睿同学发现如下正确结论： 材料一： 若，则；若，则；若，则； 材料二： 完全平方公式：（1）；（2）． (1)比较大小：___________； (2)___________； (3)试比较与的大小（写出相应的解答过程）． 【答案】(1) (2)， (3)，过程见解析 【分析】（1）根据作差法，判定的符号，结合材料一中的规则即可得到答案； （2）根据所给式子，结合完全平方式的结构特征即可得到； （3）根据作差法，判定的符号，根据材料二完全平方公式变形，根据平方的非负性确定符号，再结合材料一中的规则即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 又，即， ，即； （2）解：根据题意，； （3）解： ， 又， ，即． 【点睛】本题考查利用作差法解代数式比较大小，涉及二次根式加减运算、去括号法则、整式混合运算、合并同类项、完全平方公式因式分解、平方式的非负性等知识，读懂材料，掌握作差法比较代数式大小的方法是解决问题的关键． 2．（22-23七年级下·湖北武汉·期中）“比差法”是数学中常用的比较两个数大小的方法， 即：； 例如：比较与2的大小． ∵   又∵   则 ∴，∴． 请根据上述方法解答以下问题： (1)的整数部分是________，的小数部分是_______； (2)比较与的大小． (3)已知，试用“比差法”比较与的大小． 【答案】(1)5； (2)； (3)． 【分析】（1）首先估算出，得到的整数部分是5；推出，得到，据此即可求解； （2）根据“比差法”比较两个数大小即可； （3）根据“比差法”比较得再得到，根据，化简比较即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴的整数部分是5； ∴， ∴， ∴的整数部分是1，则的小数部分是， 故答案为：5；； （2）解：， ∴； （3）解： ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了无理数大小的比较，弄清题中的“作差比较法”是解本题的关键． 题型二 分母有理化及其应用 1．（2024八年级下·北京·专题练习）如果，那么a与b的关系是（　　） A．且互为相反数 B．且互为相反数 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分母有理化．根据平方差公式，可对b分母有理化，根据相反数的定义、有理数的大小比较，可得答案． 【详解】∵， ∴与互为相反数， 答案：B 2．（21-22八年级下·河北保定·期中）化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分子分母同时乘以，将分母有理化，即可得到答案． 【详解】原式== 故选：A． 【点睛】本题考查分母有理化，正确计算是解题的关键． 3．（22-23八年级上·北京门头沟·期末）分母有理化： （其中）． 【答案】 【分析】首先把分式中的分子与分母同时乘以，然后再根据二次根式的性质，计算即可得出答案． 【详解】解： ． 故答案为： 【点睛】本题考查了分母有理化、二次根式的性质，解本题的关键在熟练掌握分母有理化的方法． 4．（20-21八年级下·北京·期中）阅读材料，然后作答： 在化简二次根式时，有时会碰到形如，这一类式子，通常进行这样的化简：，，这种把分母中的根号化去叫做分母有理化．还有一种方法也可以将进行分母有理化： 例如： 请仿照上述方法解决下面问题： （1）分母有理化的结果是 ． （2）分母有理化的结果是 ． （3）分母有理化的结果是 ． 【答案】 / / / 【分析】（1）根据题意分子分母乘以有理化因式即可； （2）根据题意分子分母乘以有理化因式即可； （3）根据题意分子分母乘以有理化因式即可； 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 【点睛】本题考查了分母有理化，找到有理化因式是解题的关键． 题型三 次根式乘除法中的新情境题 1．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）阅读材料：小明在学习了二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如，善于思考的小明进行了以下探索，若设（其中a，b，m，n均为整数），则有，，这样小明就找到一种把式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： (1)若，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得：______，______； (2)若，当a，m，n均为正整数时，求a的值； 【答案】(1)，； (2)13或7 ． 【分析】本题考查二次根式的计算，完全平方公式，读懂阅读材料中的方法是解题的关键． （1）仿照例题计算即可得； （2）仿照例题计算，得出，，根据m，n均为正整数确定m和n的值，代入即可求解； 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：，； （2）解：， ，， ， m，n均为正整数， ，，或，， 当，时，， 当，时，， 综上可知，a的值为13或7； 2．（22-23八年级上·陕西西安·期中）阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式，中国秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦-秦九韶公式”．完成下列问题：如图，在中，，，．    (1)求的面积； (2)过点A作，垂足为D、求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把，，代入公式进行计算即可； （2）由的面积，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴的面积； （2）∵的面积， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是二次根式的应用，化为最简二次根式，熟练的代入计算是解本题的关键． 3．（23-24八年级下·河南洛阳·阶段练习）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，，则由勾股定理可得，这两点间的距离 例如，如图1，，，则 【直接应用】 (1)已知，，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，，，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断与的位置关系形状，并说明理由． 【答案】(1)P、Q两点间的距离为 (2)①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，二次根式的乘法运算，准确计算并熟练掌握勾股定理及逆定理是解题关键； （1）根据题意，把两点坐标代入到公式中计算即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得出，即可得到最终结果；②根据题意，计算出的长，从而得出，即可得到最终结论． 【详解】（1）解：∵，， ； （2）解：①过点作轴于点，    ∵与x轴正半轴的夹角是45度， ， ∵ ∴， ∴， ②，理由见解析： ∵， ，， ∴，， ∵， ， ∴． 1．（24-25八年级上·北京石景山·期末）对于线段与点（点不在线段上）给出如下定义：为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为点与线段的“近距”，记作（点，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为点与线段的“远距”，记作（点，线段）．如图，中，，，． (1)（点，线段）=_____，（点，线段）=_____； (2)点关于直线的对称点为，连接．若点在线段上，且（点，线段）是（点，线段）的2倍，直接写出线段的长度； (3)过点作．若点在直线上，（点，线段），直接写出（点，线段）的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3)点P，线段． 【分析】（1）过点C作于点D，根据“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”可得，运用勾股定理可得，再运用勾股定理即可求得答案； （2）过点P作于点D，连接，，设，则，利用勾股定理可得，再由，建立方程求解即可； （3）作，垂足为H，分三种情况：当点H为的中点时，当点H在线段的延长线上且时，当点H在线段的延长线上且时，分别求得点P，线段的值，即可求得答案． 【详解】（1）解：如图1，过点C作于点D， 则， ，， ， ∵垂线段最短， ∴（点C，线段）； 在中，， ， ， 在中，， ∴（点C，线段）； （2）解：过点P作于点D，连接，，如图2， 点B关于直线的对称点为， ，，， ， 由题意知：点P，线段是点P，线段的2倍， 即， ， 在中，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得：， 线段的长度为； （3）解：如图3，作，垂足为H，当点H为的中点时， 则，， ， 当点H在线段的延长线上且时，如图4， ∵， ∴， ∴， ， 当点H在线段的延长线上且时， 同理可得， 综上所述，点P，线段． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，点P与线段的“近距”和“远距”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）观察下列一组等式，然后解答后面的问题： ； ； ； (1)观察以上规律，请写出第5个等式：______； (2)观察以上规律，请写出第个等式：______（为正整数）； (3)请利用上面的规律，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，分母有理数，二次根式的大小比较，根据已知等式得出规律是解题关键． （1）观察已知等式规律作答即可； （2）观察已知等式规律作答即可； （3）根据上述规律，得到两个数的倒数，然后通过比较两个倒数的大小，即可比较这两个数的大小． 【详解】（1）解：观察以上规律，第5个等式为：， 故答案为： （2）解：观察以上规律，第个等式为：， 故答案为：； （3）解：， ， ， ，即， ． 3．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则___________； (2)化简：___________；___________； (3)计算： 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（）根据阅读材料的方法进行求解即可； （）分母有理化即可得答案； （）将每个加数分母有理化后相加，再进行乘法运算即可； 本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，运用“对偶式”进行分母有理化． 【详解】（1）解：因为， 所以， 故答案为：； （2）解：； ； 故答案为：；； （3）解：原式 ． 4．（24-25八年级下·上海·假期作业）将下列式子化成最简二次根式： (1)； (2)的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题综合性较强，主要考查利用二次根式的性质进行化简，注意被开方数的各因式的符号． （1）利用二次根式的性质化简求解； （2）利用二次根式的性质化简求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． ∵， ∴． ∴原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$