精品解析：山东省济南市历下区山东师范大学附属中学2025-2026学年高三上学期期中数学试题

2025年11月山东师大附中高三期中检测试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.8 D. 0.6 4. 若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 5. 在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的零点个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 16 D. 8 8. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组正实数样本数据，满足，则（ ） A. 若，则样本数据的第60百分位数为 B. 去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数 D. 将组中的每个数据变为原来的3倍，则所得的新样本数据的方差变为原数据方差的3倍 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象 D. 函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 11. 已知函数，，则下列说法正确的（ ） A. 函数与函数有相同的极小值 B. 若方程有唯一实根，则的取值范围为 C. 若方程有两个不同的实根，则 D. 当时，若，则成立 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是________（用数字作答） 13. 已知，则________. 14. 设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝____________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若的面积为，，求边上的高. 16. 某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销售量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，如表是该超市连续五天的日销售情况： 温度 温度变量 1 2 3 4 5 销售量/万份 0.3 0.3 0.5 0.9 1 其中，温度变量对应的销售量为. （1）建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在区间时该饮品的日销售量. （2）为了了解消费群体中男､女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了列联表为： 喜欢 一般 合计 女 90 20 110 男 70 40 110 合计 160 60 220 依据小概率值的独立性检验，分析对饮品的喜欢程度是否与性别有关联？ （3）超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成，，，，（单位：千份）五组，并绘制了如图的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性. 18. 甲､乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. （1）时，若两人共进行5局比赛.设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； （2）时，若两人共进行局比赛.记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”.事件表示“甲最终获胜”.请写出的值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为证明：时，. 19. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数 ，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数 称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在 使的极值差比系数为？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年11月山东师大附中高三期中检测试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合，利用交集的定义得解. 【详解】，或， ，. 故选：B. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数乘法、除法运算法则，化简整理，即可得答案. 【详解】由题意，所以， 整理得. 故选：A 3. 已知随机变量，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.5 C. 0.8 D. 0.6 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据正态分布的公式，可知符合正态分布，由对称性可求得 ，最终可求的值. 【详解】由题意得：随机变量符合正态分布，且对称轴为； 由正态分布的对称性可得：； 所以； 故选：. 4. 若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的数量积的计算公式，结合，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，是夹角为，且，为单位向量， 可得，且， 因为与垂直，可得， 即，解得. 故选：A. 5. 在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式直接计算可得. 【详解】当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品， 所以第二次抽到次品的概率为. 故选：B. 6. 设函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，，由复合函数法可知内层函数在上为增函数，对任意的，恒成立，结合二次函数的单调性与参变量分离法可得出实数的取值范围. 【详解】令，， 因为函数在区间上单调递增， 外层函数在上为增函数，所以内层函数在上为增函数， 所以，可得， 且对任意的，恒成立，可得，故， 综上所述，. 故选：C. 7. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则函数的零点个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 16 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用换元法结合题意求解零点个数，再利用偶函数性质排除掉其他区间的零点即可. 【详解】令，由题意得欲求的零点个数， 则求的零点个数，即求的零点个数， 故求与的交点个数即可，如图，作出符合题意的图象， 由图象可得共4个交点，但，故， 当时，此时求的零点个数即可， 当时，令，无解， 当时，， 令，解得（负根舍去）， 当时，， 令，解得， 当时，由偶函数性质可得的零点为和， 得到共有4个零点， 当时，此时求的零点个数即可， 当时，令，无解， 当时，， 令，无解， 当时，， 令，解得（负根舍去）， 当时，，且， 令，解得（负根舍去）， 当时，由偶函数性质可得的零点为和， 得到共有4个零点， 则当时，结合题意归纳得，无解， 由偶函数性质得当时，结合题意归纳得，无解， 则函数的零点个数为8，故D正确. 故选：D 8. 已知，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将转化为，由此构造函数，利用导数判断其单调性结合对数运算，即可得出答案. 【详解】由题意可知， 于是构造函数，则， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 而， 又，故， 故选：B 【点睛】关键点睛：解答数的比较大小问题，关键是将数的形式转化为结构一致的形式，从而确定变量，可构造函数，利用导数判断其单调性，进而比较大小. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组正实数样本数据，满足，则（ ） A. 若，则样本数据的第60百分位数为 B. 去掉样本的一个数据，样本数据的极差可能不变 C. 若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”（如图所示），则样本数据的平均数大于中位数 D. 将组中的每个数据变为原来的3倍，则所得的新样本数据的方差变为原数据方差的3倍 【答案】BC 【解析】 【分析】根据百分位数的求法，可判断A的正误；根据极差的概念，分析可判断B的正误；根据中位数、平均数的性质，结合图象，可判断C的正误；根据方差的求法，化简整理，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，为整数， 所以第60百分位数为，故A错误； 选项B：极差为最大值与最小值之差， 若去掉样本为中间数据，则最大值与最小值不变，此时极差不变，故B正确； 选项C：右边“拖尾”，则最高峰偏左，中位数靠近高峰处， 右边“拖尾”，说明数据中存在较大的值，这些较大值会拉高平均值，使平均值靠右， 所以样本数据的平均数大于中位数，故C正确； 选项D：设原数据平均数为，方差为，则， 新数据为，则平均数为，新方差， 所以新样本数据的方差变为原数据方差的9倍，故D错误. 故选：BC 10. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象 D. 函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合图像得到，利用周期公式得到，从图像中可知是一个下零点，得到即可求解判断选项A；将代入不成立即可判断选项B；利用伸缩变换求出解析式即可判断C；利用平移变换得到解析式即可判断选项D. 【详解】选项A，，，，，， ，是一个下零点， ，，所以， ，故选项A正确； 选项B，因为， 所以点是函数图象的一个对称中心，故选项B错误； 选项C，将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象，与相同，故选项C正确； 选项D，的图象向左平移个单位长度，得到， 图象关于轴对称，故选项D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，，则下列说法正确的（ ） A. 函数与函数有相同的极小值 B. 若方程有唯一实根，则的取值范围为 C. 若方程有两个不同的实根，则 D. 当时，若，则成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数分别求出两个函数极小值判断A；根据条件求出的范围判断B；利用方程根的意义，变形构造函数，利用导数借助单调性推理判断C；利用同构方法进行转化求解判断D. 【详解】对于A，函数定义域，求导得，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值； 函数定义域，求导得，当时，， 当时，，函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，A正确； 对于B，由选项A知，，则当时，也有唯一实根，B错误； 对于C，因为当趋近于0时，趋近于0， 所以，由方程有两个不同的实根，得，不妨令， 由，得，则， 消去得，则，令， 于是，， 令，求导得，令， 求导得，函数在上单调递减，， 函数在上单调递增，，因此，即，C正确； 对于D，，由，得， 所以，则， ，于是，而函数在上单调递增，则， 因此成立，D正确. 故选：ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是________（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】由，写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】因为， 又展开式的通项为，， 所以的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数是. 故答案为： 13. 已知，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式和余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】因为，所以 由 ， 故答案为： 14. 设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝____________. 【答案】 【解析】 【分析】由f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，可得，，再结合已知的解析式可得，然后结合已知可求出，从而可得当时，，进而是结合前面的式子可求得答案 【详解】因为f(x＋1)为奇函数，所以的图象关于点对称， 所以，且 因为f(x＋2)为偶函数， 所以的图象关于直线对称，， 所以，即， 所以，即， 当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，则 ， 因为，所以，得， 因为，所以， 所以当时，， 所以， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且. （1）求角； （2）若的面积为，，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，结合三角形的性质即可求出角； （2）利用余弦定理结合三角形的面积即可求出边上的高. 【小问1详解】 由正弦定理得：， 在三角形中， 即， 即， 因为，所以，即，而， 所以，所以，所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，即，所以. 由余弦定理得， 得，所以，又，所以， 故边上的高为. 16. 某超市正在销售一种饮品，销售人员发现日销售量与当日的气温有关，随着气温的升高，销售量也有明显的增加，如表是该超市连续五天的日销售情况： 温度 温度变量 1 2 3 4 5 销售量/万份 0.3 0.3 0.5 0.9 1 其中，温度变量对应的销售量为. （1）建立销售量关于温度变量的一元线性回归模型，并估计温度在区间时该饮品的日销售量. （2）为了了解消费群体中男､女对该饮品的喜欢程度，销售人员随机采访了220名消费者，将他们的意见进行统计，得到了列联表为： 喜欢 一般 合计 女 90 20 110 男 70 40 110 合计 160 60 220 依据小概率值的独立性检验，分析对饮品的喜欢程度是否与性别有关联？ （3）超市销售该饮品一个阶段后，统计了100天的日销售量，将100个样本数据分成，，，，（单位：千份）五组，并绘制了如图的频率分布直方图.根据频率分布直方图估计这100天的日均销售量（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）. 附：. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），1.2万份； （2）认为对饮品的喜欢程度与性别有关； （3）6300份. 【解析】 【分析】（1）求出，，，代入得到，求出，销售量关于温度变量的线性回归方程，代入，求出，从而得到温度在区间时的该饮品的日销售量. （2）先进行零假设为：对饮品的喜欢程度与性别相互独立，即对饮品的喜欢程度与性别无关联，利用公式求出，进行比较得到结论； （3）设这100天的日均销售量为，求出，从而得到这100天的日均销售量. 【小问1详解】 ， ， ，所以， ，销售量关于温度变量的线性回归方程为， 当. 所以温度在区间时的该饮品的日销售量估计为1.2万份. 【小问2详解】 零假设为：对饮品的喜欢程度与性别相互独立，即对饮品的喜欢程度与性别无关联. . 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对饮品的喜欢程度与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01. 【小问3详解】 设这100天的日均销售量为， 则，所以这100天的日均销售量为6300份. 17. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）讨论的单调性. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分，，，四种情况进行讨论. 【小问1详解】 ，， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 定义域为. 令，得. 当时， - 0 + 单调递减 单调递增 所以，在上单调递减，在上单调递增. 当时， + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 当时，恒成立但不恒为零，在上单调递增. 当时， + 0 - 0 + 单调递增 单调递减 单调递增 所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 18. 甲､乙两人比赛，比赛规则为：共进行奇数局比赛，全部比完后，所赢局数多者获胜.假设每局比赛甲赢的概率都是，各局比赛之间的结果互不影响，且没有平局. （1）时，若两人共进行5局比赛.设两人所赢局数之差的绝对值为，求的分布列和数学期望； （2）时，若两人共进行局比赛.记事件表示“在前局比赛中甲赢了局”.事件表示“甲最终获胜”.请写出的值（直接写出结果即可）； （3）若两人共进行了局比赛，甲获胜的概率记为证明：时，. 【答案】（1）分布列见解析，； （2）； （3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）确定的可能取值，利用二项分布计算各取值得概率，列出分布列，根据分布列计算期望； （2）分析前2n-1局甲赢k局后，剩余2局甲需赢多少局才能获胜；根据k的不同范围，判断剩余两局的胜负可能性，当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，求出其概率；当时，需要赢剩余2局，求出其概率；当时，需要赢至少1局，求出其概率；当时，已满足获胜条件，概率为1. （3）利用全概率公式求得，求出，求出，利用基本不等式得证. 【小问1详解】 （1）解：的可能取值为. ； . 的分布列为 1 3 5 . 【小问2详解】 当时，剩余2局最多赢2局，总赢局数，无法获胜，其概率为； 当时，需要赢剩余2局，其概率为； 当时，需要赢至少1局，其概率； 当时，已满足获胜条件，概率为. 故. 【小问3详解】 （3）证明：由全概率公式得 . 所以. 当时，. . 因为，所以，即. 19. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数 ，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数 称为该函数的极值差比系数.已知函数. （1）当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由； （2）是否存在 使的极值差比系数为？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由； （3）若，求的极值差比系数的取值范围. 【答案】（1）是，理由： 当时，（）， 则 当时， ，当，， 所以在和上严格递增，在上严格递减， 所以的极大值为，极小值为， 所以，所以是极值差比函数. （2）不存在，理由： 的定义域为，， 假设存在 使的极值差比系数为， 则，是方程的两个不相等的正实数根， 则，解得，不妨设，则， 因为 ， 所以，从而，得（*） 令（ ），， 所以在上是严格增函数，所以， 因此（*）无解，所以不存在 使的极值差比系数为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的导函数求出单调区间，由此得出极大值与极小值，由“极值可差比函数”的定义，求出极值差比系数 的值，这样的值存在即可判断. （2）反证法，假设存在这样的 ，由“极值可差比函数”的定义列出等量关系，证明无解即可. （3）由（2）得到参数 与极值点的关系式，对关系式进行转化，得出相应函数，利用导函数求出单调性，即可得出函数取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知极值差比系数为，即， 不妨设，令，，极值差比系数可化为， ，又，解得， 令（），， 设（），， 所以在上单调递减，当时，， 从而，所以在上单调递增，所以， 即， 所以的极值差比系数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：研究复杂函数的性质，直接构造或者简单拆分函数依然复杂，这时候需要依赖对函数的等价变换，通过恒等变形发现简单函数结构，再进行构造研究. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $