专题02 二次函数7大高频考点（期末真题汇编，安徽专用）九年级数学上学期人教版

专题02 二次函数（期末真题汇编，安徽专用） 7大高频考点概览 考点01 二次函数的图象与性质 考点02 二次函数图象的几何变换 考点03 二次函数的实际应用 考点04 二次函数的综合运用 考点05 二次函数中的最值问题 考点06二次函数图象中的交点问题 考点07 二次函数的图象与系数之间的关系 地 城 考点01 二次函数的图象与性质 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）下列二次函数的图象开口向下的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 3．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）二次函数的图像如图所示．下列结论：①；②为任意实数，则；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ． 5．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 6．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）此二次函数的对称轴为直线 ； （2）已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是 ； 三、解答题 7．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在二次函数中． (1)若该函数图象的顶点在x轴上，求t的值； (2)若点在该函数图象上，令，求证：． 8．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线． (1)求这条拋物线的对称轴； (2)若抛物线的顶点在x轴上，求其表达式； (3)设点，在抛物线上，若，求m的取值范围． 地 城 考点02 二次函数图象的几何变换 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽·期末）若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得对应抛物线的函数表达式为 ． 三、解答题 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知拋物线． (1)它的顶点坐标是______，当______时，随的增大而减小； (2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求所得新拋物线与轴的交点坐标． 6．（22-23九年级下·安徽安庆·期末）已知一个二次函数的图像如图所示，将该函数图像先向左平移2个单位再向下平移1个单位得到新函数的图像，求出新函数的表达式． 地 城 考点03 二次函数的实际应用 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）某种商品每件进价为元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（米）与经过的时间（秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．不能确定 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，某养殖户用长的篱笆围成一个长方形养殖园，中间的两条篱笆隔离栏将这个长方形养殖园分割成三个较小的长方形，则围成养殖园的最大面积是 ． 5．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于 米． 三、解答题 6．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）兰州牛肉面以其独特的风味火遍全围，是行走的兰州历史文化代表，如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽28cm，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，求碗中汤面的水平宽度为多少？（碗的厚度不计）． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）足球训练中球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行至与球门水平距离3米处时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 8．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C、D在抛物线上，，当时，． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 地 城 考点04 二次函数的综合运用 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，则的值是（    ） A．1 B．4 C． D． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．若抛物线与线段有两个公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，且过点，连接． （1）点A的坐标为 ； （2）若点是直线下方抛物线对称轴上的一点，且，则点的坐标为 ． 三、解答题 4．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知二次函数． (1)若，且函数图像经过，两点，求此二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值． (3)已知，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知抛物线（a，b均为常数，且）与x轴交于，两点． (1)求a，b的值； (2)点C在抛物线L上，且位于第四象限，若的面积等于4，求线段所在直线的函数表达式； (3)点P在线段下方的抛物线上（P不与A，C重合），过P作x，y轴的平行线分别交线段于M，N，求的最大值． 6．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）已知，如图点C在y轴正半轴上，，将线段绕点O顺时针旋转到OB的位置，点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧； (1)求经过A、B、C的抛物线的解析式； (2)在如图抛物线的对称轴l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 地 城 考点05 二次函数中的最值问题 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（   ） A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值 2.（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知，是实数，点在函数的图象上，设，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 3．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论正确的（    ） A． B．当m任意实数时， C．当是等腰直角三角形时，则 D．当是等腰三角形时，a的值有3个 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）若，，且，的最小值为，最大值为． （1）的取值范围是 ； （2）的值为 ． 5．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②③；④（为实数）．其中结论正确的为 ． 三、解答题 6．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)求y的最值． 7．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，求y的最小值． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，的最大值为，求抛物线的函数表达式； (2)当时，（）最大值与最小值的差为，求的值． 地 城 考点06 二次函数图象中的交点问题 一、填空题 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）已知函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围 ． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，则： （1）该拋物线的对称轴为直线 ； （2）已知该抛物线与轴有交点，现有点，若线段与拋物线只有一个公共点，结合函数图像，则的取值范围为 ． 二、解答题 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点． (1)求此二次函数解析式及其图象的顶点坐标； (2)结合图象，填空： ①当时，函数的最大值等于4，则的最大值为_____； ②已知，，连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，则的取值范围是__________． 4．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）已知二次函数． (1)若二次函数的图象经过，两点，求此二次函数的解析式； (2)若二次函数的顶点在x轴上时，求的最小值； (3)在（1）的条件下，直线l经过，两点，且在时，直线l与的图象只有一个交点，求t的取值范围． 地 城 考点07 二次函数的图象与系数之间的关系 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，抛物线经过点，l是其对称轴，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点，均在抛物线上，则；⑤；其中正确的个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图所示，已知抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论错误的是（    ） A． B． C．当时，的取值范围是 D． 4．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图是二次函数（为常数）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②③⑤ D．①④⑤ 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点C，对称轴为直线，直线过点B，C，下列选项正确的是（　　） A． B．若点，在该抛物线上，则 C．一元二次方程的解为， D．若，则 二、填空题 6．二次函数（，a，b，c是常数）图象如图，下列结论： ①；②；③当时，；④． 其中正确的有 ．（填上你认为正确的结论前的序号）． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数（期末真题汇编，安徽专用） 7大高频考点概览 考点01 二次函数的图象与性质 考点02 二次函数图象的几何变换 考点03 二次函数的实际应用 考点04 二次函数的综合运用 考点05 二次函数中的最值问题 考点06二次函数图象中的交点问题 考点07 二次函数的图象与系数之间的关系 地 城 考点01 二次函数的图象与性质 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）下列二次函数的图象开口向下的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．根据二次函数的开口方向由a来决定，当时，二次函数的开口向上；当时，二次函数的开口向下；进而问题可求解． 【详解】解：由选项可知：A、B、D选项中，二次项系数都大于0，开口都是向上的， 只有C选项的二次项系数小于0，开口向下； 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据抛物线顶点式（，a，h，k）的对称轴性质来即可求解． 【详解】解：在抛物线中，，， ∴对称轴为直线． 故选：A． 3．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）二次函数的图像如图所示．下列结论：①；②为任意实数，则；③；④．其中正确结论的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，根据抛物线的开口方向和与轴可得，，根据对称轴可得，即可判断①；由对称轴和开口方向可得，即可判断②；由对称轴可判断③；由时，函数值小于零得，即可判断④，综上即可求解，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上， ∴，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取最大值，， ∴对为任意实数，有， 即，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故③正确； 由函数图像可知，当时，函数值小于零， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上，正确的结论有个， 故选：． 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽六安·期末）若二次函数的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，顶点为，由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线，顶点为， ∴顶点到x轴的距离为2， ∵函数图象有三个点到x轴的距离为m， ∴， 故答案为：2． 5．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查二次函数图象上的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数解析式得到二次函数开口向上，在时取得最小值，再结合二次函数最值情况进行求解，即可解题． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，在时取得最小值， ∵当，函数的最小值为2， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，m的值为或． 6．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，设二次函数，其中． （1）此二次函数的对称轴为直线 ； （2）已知点和在此函数的图象上，若，则的取值范围是 ； 【答案】 /0.5 【分析】（1）根据二次函数，经过和，是对称点，算出对称轴即可； （2）根据对称轴为直线，点和在二次函数的图象上，画出函数图象，点关于对称轴的对称点，分析图象，写出的取值范围即可． 【详解】（1）∵二次函数， 函数经过和，是对称点， 对称轴为直线， 故答案为： （2）∵二次函数， 二次项系数为， 函数图象开口向上， 又和在此函数的图象上，对称轴为直线， 画出图象如下图，点关于对称轴的对称点横坐标， ， 点应在线段下方部分的抛物线上（包括点、）， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，画出图象数形结合是解题的关键． 三、解答题 7．（23-24九年级上·安徽六安·期末）在二次函数中． (1)若该函数图象的顶点在x轴上，求t的值； (2)若点在该函数图象上，令，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）根据顶点在轴上，顶点的纵坐标是0，求出即可； （2）把点代入解析式得到，由得到，根据二次函数的性质即可证得结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得或， ， 的值为； （2）证明：点在抛物线上， ， ， ， ， 有最大值， ． 8．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线． (1)求这条拋物线的对称轴； (2)若抛物线的顶点在x轴上，求其表达式； (3)设点，在抛物线上，若，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)；或． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把解析式化成顶点式，根据顶点式求得对称轴； （2）根据顶点式可得顶点坐标，根据顶点在x轴上得到关于a的方程，解方程求得a的值，即可得出结论； （3）根据二次函数的性质，分两种情况即可求出m的范围． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线． （2）解：∵， ∴抛物线顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在x轴上， ∴， ∴或， ①当时，； ②当时，． （3）解：Q关于对称轴的对称点为， ①当时，∵，∴； ②当时，∵，∴或． 地 城 考点02 二次函数图象的几何变换 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中抛物线的平移，其规律为“左加右减，上加下减”，据此即可求解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，再向下平移6个单位，则平移后的抛物线的函数为，即． 故选：A 2．（24-25九年级上·安徽·期末）若将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的二次函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据二次函数图象平移的规律，逐步分析函数图象平移后的解析式．本题主要考查了二次函数图象的平移规律，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 【详解】解：∵ 二次函数的图象向右平移个单位长度，根据“左加右减”的原则， ∴ 得到； ∵ 再将向上平移个单位长度，根据“上加下减”的原则， ∴ 平移后的二次函数解析式为． 故选：． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则得到平移后的函数解析式，再由顶点式二次函数解析式写出顶点坐标即可解决问题． 【详解】解：由题知， ， 则将抛物线的图象向右平移1个单位后，再将所得抛物线向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为， 此时抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得对应抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数解析式在平移中的变化规律，根据“左加右减，上加下减”的平移规律进行解题即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得对应抛物线的函数表达式为， 故答案：． 三、解答题 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知拋物线． (1)它的顶点坐标是______，当______时，随的增大而减小； (2)将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，求所得新拋物线与轴的交点坐标． 【答案】(1)； (2)坐标为 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． （1）先将二次函数化为顶点式，再根据二次函数的性质解答即可； （2）根据二次函数平移的法则进行解答即可． 【详解】（1）， 故顶点坐标为， 函数的对称轴为，且开口向下， 故当时，随的增大而减小； 故答案为； （2）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度， 平移后的抛物线表达式为， 令，解得， 新拋物线与轴的交点坐标为． 6．（22-23九年级下·安徽安庆·期末）已知一个二次函数的图像如图所示，将该函数图像先向左平移2个单位再向下平移1个单位得到新函数的图像，求出新函数的表达式． 【答案】 【分析】由图像可知该函数为二次函数，对称轴为直线且过点、．设该函数的表达式为，再建立方程组求解解析式，最后利用平移规则可得答案. 【详解】解：由图像可知该函数为二次函数，对称轴为直线且过点、． 设该函数的表达式为， 把、代入得： ，解得：， ∴， 把先向左平移2个单位再向下平移1个单位得， ∴新函数的函数表达式为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数图像的平移，掌握待定系数法是解本题的关键. 地 城 考点03 二次函数的实际应用 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）某种商品每件进价为元，调查表明：在某段时间内若以每件元（，且为整数）出售，可卖出件，要使利润最大，每件的售价应为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】设利润为w根据利润等于利润单价乘以数量列出函数，根据函数性质求解即可得到答案； 【详解】解：设利润为w，由题意可得， ， ∵，， ∴当时w最大， 故选B； 【点睛】本题考查二次函数解决销售利润问题中最值问题，解题的关键是列出函数根据函数性质求解． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）一个球从地面竖直向上弹起，球距离地面的高度（米）与经过的时间（秒）满足函数关系式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的性质，是解题的关键．令，求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴当时，即：，解得：或， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是； 故选：B． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．不能确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用；根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值． 【详解】解：设窗框的长为， ， 根据函数图像，可知当时，窗框的面积最大，最大值为， 即， ； 故选A． 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽滁州·期中）如图，某养殖户用长的篱笆围成一个长方形养殖园，中间的两条篱笆隔离栏将这个长方形养殖园分割成三个较小的长方形，则围成养殖园的最大面积是 ． 【答案】72 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的关系式，会求二次函数的最值．根据题意设养殖园的面积为，平行于隔离栏的边长为，根据题意列出函数关系，根据二次函数的性质结合已知条件求的最大值即可． 【详解】解：设养殖园的面积为，平行于隔离栏的边长为，则垂直于隔离栏的边长为， 根据题意，得 ， ∵， ∴开口向下， ∴当时，S最大，最大值为72． 即围成养殖园的最大面积． 故答案为：72． 5．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面宽米，抛物线最高点C到水面的距离为米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离等于 米． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用,注意利用函数对称的性质来解决问题． 利用待定系数法求得抛物线的解析式．已知抛物线上距水面高为8米的点E，F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把代入抛物线解析式,可求E、F两点的横坐标,根据抛物线的对称性求长． 【详解】解：如图，以所在直线为 x 轴、线段 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系， 由题意知，． 设过点A， B， C 的抛物线方程为， 把点的坐标代入，得 ， 解得： ， 则该抛物线的解析式为：， 把 代入,得 ， 即 ， ∴， 所以两盏警示灯之间的水平距离为： ， 故答案为： 三、解答题 6．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）兰州牛肉面以其独特的风味火遍全围，是行走的兰州历史文化代表，如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽28cm，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，求碗中汤面的水平宽度为多少？（碗的厚度不计）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意，求出抛物线表达式为，进而根据题得出，代入进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意得抛物线经过点， 设抛物线表达式为，代入得， 解得： ∴抛物线表达式为， ∵当满碗汤面的竖直高度下降时， ∴碗中汤面高度为， 当时， 解得：， ∴碗中汤面的水平宽度为， 7．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）足球训练中球员从球门正前方9米的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行至与球门水平距离3米处时，球达到最高点，此时球离地面3米．现以为原点建立如图所示直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)已知球门高为米，通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】(1) (2)球能射进球门 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题解决是关键． （1）根据题意可知抛物线的顶点坐标为，故可设抛物线的函数表达式为，把代入函数表达式即可解答； （2）把代入函数表达式即可求出y的值，然后做出判断即可． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线， 把点代入得：， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）当时，， 球能射进球门． 8．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C、D在抛物线上，，当时，． (1)求抛物线所对应的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ 【答案】(1)抛物线所对应的函数表达式为： (2)时，矩形的周长有最大值，最大值是13 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次根式与特殊四边形的综合、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先确定点C的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）先确定点，则，然后用t表示出矩形的周长，最后根据二次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：设抛物线所对应的函数表达是为： 当时，，则， 将O、C、E三点坐标代入函数表达式得： ，解得：， 故抛物线所对应的函数表达式为： ． （2）解：由（1）得：抛物线表达式为：， 则，，， ∵， ∴，则， 设矩形的周长为C， ∴，化简得： ∵． ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值是13． 地 城 考点04 二次函数的综合运用 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，，则的值是（    ） A．1 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与二次函数交点问题，一元二次方程根与系数的关系，联立一次函数与二次函数解析式，建立方程，根据一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：直线与抛物线交于、两点，，， ，即， ， 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为．若抛物线与线段有两个公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的综合应用，求出直线的解析式，求出抛物线与线段只有一个交点时的值，以及求抛物线过点时的的值，即可得出结果． 【详解】解：∵点坐标为点坐标为． 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴， 如图所示，当抛物线在线段上方，且与只有1个交点时， 联立 ∴，即 ∴ 解得：， 当抛物线经过点时， 解得：； ∴当抛物线与线段有两个公共点时，． 故选C． 二、填空题 3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，且过点，连接． （1）点A的坐标为 ； （2）若点是直线下方抛物线对称轴上的一点，且，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、二次函数与一元二次方程、二次函数与面积的综合等知识点知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先将点代入求得b的值，进而确定函数解析式，再令，求得m的值即可解答； （2）用待定系数法求出直线的解析式，设交y轴于点D，抛物线对称轴交x轴于点E，则可求得点D的坐标，从而求得的面积；设，利用面积关系即可求解即可． 【详解】解：（1）∵抛物线与轴交于点， ∴，解得：， ∴， 令，则， ∴． 故答案为：． （2）∵ ∴，对称轴为， 设直线的解析式为， 把B、A坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为； 设交y轴于点D，抛物线对称轴交x轴于点E； 在中，令，可得，则； ∴， ∴的面积为； ∵， ∴， 如图：设， ∵点P在下方时，， ∴，解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题 4．（24-25九年级上·安徽六安·期末）已知二次函数． (1)若，且函数图像经过，两点，求此二次函数的解析式； (2)在（1）的条件下，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移个单位，平移后的抛物线于x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段的三等分点，求m的值． (3)已知，当，q（p，q是实数，）时，该函数对应的函数值分别为P，Q．若，求证． 【答案】(1) (2)2或8 (3)见解析 【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的解析式，画出函数图像，结合图像可求解； （2）分两种情况：①当C在B的左侧时，先根据三等分点的定义得：，由平移个单位可知：，计算点A和B的坐标可得的长，从而得结论．②当C在B的右侧时，同理可得结论； （3）由，得，得到，利用，即代入对代数式进行化简，并配方得出，最后注意利用条件判断，得证结论． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）当时，， ， ，， ∴，， ∴， ①如图，当C在B的左侧时， ∵B，C是线段的三等分点， ∴， 由题意得：， ∴， ∴， ②同理，当C在B的右侧时，， ∴， 综上，的值为2或8； （3）证明：由，得， 由题意，得，， 所以 ， 由条件，知．所以 ． 【点睛】本题查了二次函数的图像和性质，待定系数法求解析式，二次函数图像上点的坐标特征，抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用配方法判断代数式的取值范围，数形结合的思想的运用是解题的关键． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）已知抛物线（a，b均为常数，且）与x轴交于，两点． (1)求a，b的值； (2)点C在抛物线L上，且位于第四象限，若的面积等于4，求线段所在直线的函数表达式； (3)点P在线段下方的抛物线上（P不与A，C重合），过P作x，y轴的平行线分别交线段于M，N，求的最大值． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】本题考查了二次函数的综合应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据三角形的面积公式求得，再利用待定系数法求解即可； （3）设，根据题意求得，，再求得关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴，； （2）解：由（1）抛物线的解析式为， ∵，， ∴， 由题意得，即， 解得， ∵点C在抛物线L上，且位于第四象限， ∴， 解得或， ∴， 设线段所在直线的函数表达式为， ∴，解得， ∴线段所在直线的函数表达式为； （3）解：设， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， ， ∴ ， ∵点P在线段下方的抛物线上（P不与A，C重合），过P作x，y轴的平行线分别交线段于M，N， ∴， ∵， ∴当时，的值随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为． 6．（23-24九年级上·安徽淮南·期末）已知，如图点C在y轴正半轴上，，将线段绕点O顺时针旋转到OB的位置，点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧； (1)求经过A、B、C的抛物线的解析式； (2)在如图抛物线的对称轴l上是否存在点M，使为直角三角形，若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）先求出，由旋转的性质得到，则，解方程求出，再把解析式设为交点式，利用待定系数法求解即可； （2）求出对称轴为直线，设，则，，，分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点C在y轴正半轴上，， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 解方程得， ∵点A的横坐标为方程的一个解且点A、B在y轴两侧， ∴， 设经过A、B、C的抛物线的解析式为， 把代入得，解得， ∴经过A、B、C的抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴为直线， 设， ∴，，， 当时，则， ∴， 解得或， ∴点M的坐标为或； 当时，则， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想并通过勾股定理建立方程求解是解题的关键． 地 城 考点05 二次函数中的最值问题 一、单选题 1．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（   ） A．最大值5 B．最大值 C．最小值5 D．最小值 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握根据“二次函数的最值：若自变量的取值范围是全体实数，则当时，抛物线开口向上，有最低点，当时，函数取得最小值”求解是解题的关键． 【详解】解：∵对称轴在轴右侧， ∴， 又∵图象经过点， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 即有最小值， 故选D． 2.（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知，是实数，点在函数的图象上，设，则的最大值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数的最值．根据题意得出，根据得出，进而将化为顶点式，即可求解． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴， 当时，或， ∴， ∴ ， ∵， ∴时，的最大值为， 故选：A． 3．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，抛物线交x轴于，，交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论正确的（    ） A． B．当m任意实数时， C．当是等腰直角三角形时，则 D．当是等腰三角形时，a的值有3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．先利用交点式表示抛物线解析式得到，则，，于是可对选项A进行判断；利用配方法得到，则当时，y有最小值，所以，于是可对B进行判断；过D点作于E点，如图，利用等腰直角三角形得到，即，则可对C进行判断；利用勾股定理得到，，，根据等腰三角形的性质，当时，，当时，，然后分别解方程求出a的值，从而可对D进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 即， ∵， ∴，所以选项A不正确； ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，y有最小值， ∴， 即，所以选项B不正确； 过D点作于E点，如图， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 即， 解得，所以选项C正确； ∵，，， ∴，，， 当时，，解得，（舍去）， 当时，，解得，（舍去）， 综上所述，a的值为或，所以选项D不正确． 故答案为：①③④． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）若，，且，的最小值为，最大值为． （1）的取值范围是 ； （2）的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的最值，解一元一次不等式，解答本题的关键是能够根据自变量的取值范围确定函数的最值． （1）根据，可得，再根据，即可求得的取值范围； （2）根据，可得，根据的取值范围和二次函数的性质即可求得和的值，从而求得的值． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， 又， ， 故答案为：； （2）， ， ， 当时，有最小值， 当时，有最大值， ，， ， 故答案为：． 5．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②③；④（为实数）．其中结论正确的为 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象判断式子的符号，根据开口方向，对称轴，与轴的交点位置，判断①，特殊点结合对称轴判断②，特殊点结合平方差公式判断③，最值判断④即可． 【详解】解：由图象可知：， ∴， ∴；故①错误， 当时，， ∴；故②正确； ∵时，函数有最小值，且由图象可知最小值为：， ∴，故③正确； ， ∴；故④正确； 故答案为：②③④ 三、解答题 6．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)求y的最值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的解析式，掌握待定系数法以及二次函数的一般式化成顶点式是解答本题的关键. （1）根据与坐标轴的两个交点，使用待定系数法进行解答即可； （2）将（1）求得的解析式，化成顶点式即可完成解答； 【详解】（1）解：由题意得，， ​​​​​​​解得， ∴抛物线的解析式； （2），， ∴当时，y取最小值为． 7．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，求y的最小值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为； (2)当时，y的最小值是． 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，函数最值问题，熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式是解题的关键． （1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）二次函数的顶点式得抛物线开口向下，分别计算端点值和对称轴出的值，然后比较即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 当时，， ∵当时，， 当时，， ∵， ∴当时，y的最小值是． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知抛物线． (1)若点在抛物线上． ①求抛物线的对称轴； ②当时，的最大值为，求抛物线的函数表达式； (2)当时，（）最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)①直线；② (2)或 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、解一元二次方程，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）①将点代入函数表达式得到，再利用二次函数的性质求解即可；②根据二次函数的开口方向和对称轴方程可得函数的最大值为，进而求得c值即可； （2）先得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，则当时，该函数的最小值为，然后分当时和当时两种情况，分别利用二次函数的性质得到最大值，再根据已知列方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵点在抛物线上， ∴，解得， ∴， ∴该抛物线的对称轴为直线； ②∵该抛物线的开口向上，对称轴为直线， 又∵时， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∵当时，的最大值为， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：由得抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵，， ∴当时，该函数的最小值为， 当时，当时，该函数取得最大值， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）； 当时，当时，该函数取得最大值c， ∵最大值与最小值的差为， ∴，即， 解得或（不合题意，舍去）， 综上，符合题意的b值为或． 地 城 考点06 二次函数图象中的交点问题 一、填空题 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期末）已知函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数与x轴的交点问题是解题的关键；因此此题可分当时，则函数为一次函数，与x轴必有交点，当时，则可根据“当时，二次函数与x轴有两个交点；当时，二次函数与x轴有一个交点；当时，二次函数与x轴没有交点”进行求解即可． 【详解】解：由题意得：当时，即，则函数为，与x轴必有交点，故符合题意； 当时，即时，则函数为二次函数， ∴， 解得：且； 综上所述：； 故答案为． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线，则： （1）该拋物线的对称轴为直线 ； （2）已知该抛物线与轴有交点，现有点，若线段与拋物线只有一个公共点，结合函数图像，则的取值范围为 ． 【答案】 1 或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴交点，数形结合思想； （1）把解析式配方即可求解； （2）首先由抛物线与x轴有交点可确定m的取值范围为；分及两种情况讨论，结合图象即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴拋物线的对称轴为直线； 故答案为：1； （2）∵抛物线与x轴有交点， ∴， 即； 当时，，即抛物线与y轴的交点C的坐标为， ∵点Q的纵坐标也为m， ∴抛物线与y轴的交点与点Q在同一直线上，即轴； ①当分时，如图， 则或时，线段与抛物线只有一个公共点； 解得：或； ∴； 故答案为：1； ②当时，如图， 则或时，线段与抛物线只有一个公共点； 解得：或； ∴； 综上，满足条件的m取值范围为：或． 故答案为：或． 二、解答题 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点． (1)求此二次函数解析式及其图象的顶点坐标； (2)结合图象，填空： ①当时，函数的最大值等于4，则的最大值为_____； ②已知，，连接，若二次函数的图象向上平移个单位时，与线段有一个公共点，则的取值范围是__________． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2)①2；②或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、求函数解析式、二次函数的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入和，利用待定系数法求出函数解析式，再将解析式化为顶点式求出顶点坐标即可； （2）①根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合对称轴及y的最大值即可求解； ②先求出平移后的二次函数解析式，再分别求出平移后的二次函数顶点在上，恰好经过点，时对应的值，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：代入和，得， 解得：， 二次函数的解析式为， ， 顶点坐标为， 综上所述，二次函数解析式为，其图象的顶点坐标为． （2）解：①由（1）得，的顶点坐标为，且抛物线开口向下， 当时，有最大值为4， 又∵当时，函数的最大值等于4， ， 解得：， 的最大值为2． 故答案为：2． ②∵二次函数的图象向上平移个单位， 平移后的二次函数解析式为， 此时图象的顶点坐标为， 当线段经过点时，此时，解得； 当平移后的二次函数恰好经过点，代入得，， 解得：； 当平移后的二次函数恰好经过点，代入得，， 解得：； ∵平移后的二次函数与线段有一个公共点， 结合图象得，的取值范围是或． 故答案为：或． 4．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）已知二次函数． (1)若二次函数的图象经过，两点，求此二次函数的解析式； (2)若二次函数的顶点在x轴上时，求的最小值； (3)在（1）的条件下，直线l经过，两点，且在时，直线l与的图象只有一个交点，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法，二次函数的图象及性质，直线与抛物线的交点． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的的顶点在x轴上得到，从而，根据二次函数的性质即可求解； （3）根据题意求出由直线l与函数的图象在点和之间（包含这两个端点）有一个交点，作出图象，分别求出直线l过点或时t的值，或者直线l过二次函数图象顶点时t的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：二次函数的顶点为，即， ∵该顶点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最小值． （3）解：由（1）得，， ∵， 当时，， 当时，， ∴函数的图象在点和之间（包含这两个端点）， 设直线l的解析式为， 当直线l经过点时， 把点，代入函数， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， ∵点在直线l上， ∴； 当直线l经过点时， 把点，代入函数， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， ∵点在直线l上， ∴； 当直线l经过点二次函数图象的顶点时， ∵直线l过点， ∴直线轴， ∴； 综上所述，直线l与的图象只有一个交点，求t的取值范围为或． 地 城 考点07 二次函数的图象与系数之间的关系 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，抛物线经过点，l是其对称轴，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 本题由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由时可判断②，由抛物线对称轴的位置可判断③，由，，可判断④，然后即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ， ∵抛物线对称轴在y轴右侧， ， ， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ， ，①正确； 时，，故②正确； ∵抛物线对称轴为直线， ∴由图象可得，， ∴，即，故③错误； 由图象得，当时，， ， ∴， ∵， ∴，故④正确． 综上所述，正确的有3个． 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽六安·期末）抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点，均在抛物线上，则；⑤；其中正确的个数有（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系．根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置，可判断①；根据抛物线与x轴交点个数，可判断②；求出抛物线与x轴另一个交点坐标，代入函数关系式，可判断③；比较点，到对称轴的距离，可判断④；根据对称轴位置得出，可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线，在y轴左侧， ∴， ∵抛物线与y轴交于y轴负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故②正确； ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴与x轴的另一个交点坐标为， ∴，故③正确； ∵，，，点，均在开口向上的抛物线上， ∴，故④错误， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴， ∴，故⑤正确， 综上所述：正确的结论有②③⑤，共3个， 故选B． 3．（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图所示，已知抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论错误的是（    ） A． B． C．当时，的取值范围是 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上，可得，，再根据对称轴可得，即可判断；由抛物线与轴由两个的交点可判断；由对称轴和抛物线与轴的一个交点坐标为，可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，又由图象可知时，抛物线位于轴上方，，据此可判断；由对称轴可判断，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与轴相交于正半轴上， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故正确，不符合题意； ∵抛物线与轴由两个的交点， ∴，故正确，不合题意； ∵对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵时，抛物线位于轴上方， ∴当时，，故错误，符合题意； ∵， ∴，故正确，不合题意； 故选：C． 4．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图是二次函数（为常数）图象的一部分，与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线，对于下列说法：①；②；③；④（m为实数）；⑤当时，，其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①②③⑤ D．①④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及；当时，；然后由图象判断时，y的取值． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴的交点位于正半轴， ，， ∵对称轴在y轴右侧， a，b异号， ， ， 故①正确； ∵对称轴是直线， ， ， ， 故②正确； ∵抛物线与x轴的交点A在点和之间，对称轴是直线， 抛物线与x轴的另一交点在点和之间，如图： 当时，， ， 故③错误； 由图可知，当时，y有最大值， 即， （m为实数）； 故④正确； 如上图，当时，可能大于0，也可能小于0， 故⑤错误； 综上可知，正确的有①②④， 故选B． 5．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，抛物线与x轴交于点A、，与y轴交于点C，对称轴为直线，直线过点B，C，下列选项正确的是（　　） A． B．若点，在该抛物线上，则 C．一元二次方程的解为， D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 通过对称轴可以直接判断A选项，通过与对称轴的距离可直接判断B选项，通过一元二次方程与二次函数的关系可直接判断C选项，通过一次函数图象和二次函数图象可直接读出不等式的解即可判断D选项． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 即，所以A选项不符合题意； ∵点到直线的距离为3，点到直线的距离为4， 而抛物线的开口向下， ∴，所以B选项不符合题意； ∵抛物线与x轴交于点A、， 而抛物线的对称轴为直线， ∴， 即或时，， ∴一元二次方程的解为，，所以C选项符合题意； ∵抛物线与直线相交于B、C两点， ∴或时，，所以D选项不符合题意． 故选：C． 二、填空题 6．二次函数（，a，b，c是常数）图象如图，下列结论： ①；②；③当时，；④． 其中正确的有 ．（填上你认为正确的结论前的序号）． 【答案】②③ 【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图象可知：a＜0，c＞0， ∵﹣＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①错误； ②抛物线对称轴是，即﹣=1，，， 故②正确； ③当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c， 而当时，y＝ax2+bx+c， 所以a+b+c＞ax2+bx+c， 即a+b＞ax2+bx，故③正确； ④抛物线对称轴是， x＝﹣1和x＝3时，函数值相同，故当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故④错误； 故答案为：②③． 【点睛】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点，灵活运用二次函数的性质，树立数形结合思想是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $