精品解析：吉林省吉林市吉林高新技术产业开发区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

名校调研系列卷·九年级期中测试数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 已知二次函数，那么该二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 2. 下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 无法确定 4. 如图，，是的半径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 为积极响应国家促进消费政策，江西大力推行以旧换新活动，新增实施手机等3类数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表（手环）等3类数码产品纳入补贴范围．某商家销售一款学习机时，实行先降价再享补贴的双重优惠促销活动，经过两次降价，单价由2200元降为1980元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为______ 度 8. 一元二次方程的一次项系数是______． 9. 将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为__________． 10. 如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______． 11. 太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名．图1中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图2所示，喷口为点O，水柱的高度与距喷口的水平距离之间满足（），则该水柱的最大高度为______． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 用适当的方法解方程：． 13. 已知二次函数的图象过点，顶点坐标为，求二次函数的解析式． 14. 如图，四边形内接于，是的直径，，求的度数． 15. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知点C的坐标为． （1）直接写出点B关于原点对称的点的坐标_____； （2）画出以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的； （3）求点A经过的路径的长（结果保留根号和π）． 16. 关于x的方程． （1）若该方程没有实数根，求k的取值范围； （2）若是该方程的一个根，请求出它的另一个根． 17. 如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 18. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为元（），请你用的代数式来表示销售该品牌玩具销售量为_____件（请化简）． （2）在（1）问条件下，问当单价为多少时商场销售该品牌玩具可获得最大利润？最大利润是多少？ 19. 如图，是的外接圆，半径为，连接，，， （1）过点作，交于点，若，求的长； （2）若，求阴影部分的面积． 20. 阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”．如图①，，其中，，此时，点C与点E重合． （1）操作探究1：小凡将图①中的两个全等的和按图②方式摆放，点B落在上，所在直线交所在直线于点M，连接，求证：； （2）操作探究2：小彬将图①中的绕点A按逆时针方向旋转角度，然后，分别延长、，它们相交于点F．如图③，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答： ①当时，求证：是等边三角形； ②当______时，． 21. 如图，在等腰直角三角形中，，边上的高．点P从点A出发，沿以的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作，交边或边于点Q，以为边向下作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积为，点P运动的时间为． （1）求的长； （2）直接写出点M落在边上时t的值； （3）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 22. 如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围； （3）抛物线的对称轴上有一点P，当的值最小时，求点P的坐标； （4）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 名校调研系列卷·九年级期中测试数学（人教版） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 已知二次函数，那么该二次函数图象的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 故选：C． 2. 下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 3. 已知的半径，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 根据点与圆的位置关系进行判断，即可得出结论． 【详解】解：∵的半径， ∴ ∴点P与的位置关系是：点P在外． 故选：B． 4. 如图，，是的半径，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟知同圆中同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键． 5. 为积极响应国家促进消费政策，江西大力推行以旧换新活动，新增实施手机等3类数码产品购新补贴，将手机、平板电脑（含学习机）、智能手表（手环）等3类数码产品纳入补贴范围．某商家销售一款学习机时，实行先降价再享补贴的双重优惠促销活动，经过两次降价，单价由2200元降为1980元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，第一次降价后的单价为元，则第二次降价后的单价为元，再根据经过两次降价，单价由2200元降为1980元列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 6. 二次函数的图象如图所示，若一元二次方程有实数根，则的最大值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的解；根据函数图象，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有实数解， ∴可以理解为和有交点， 由图可得，， ∴， ∴的最大值为． 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为______ 度 【答案】60 【解析】 【分析】观察图形可得，图形由六个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度． 【详解】解：图形可看作由一个基本图形每次旋转，旋转次所组成，故最小旋转角为． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转对称图形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8. 一元二次方程的一次项系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，像这样的方程叫做一元二次方程．对于一元二次方程，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 根据一元二次方程的定义作答即可． 【详解】解：一元二次方程中，一次项为， 因此一次项系数是． 故答案为：． 9. 将二次函数的图象向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后抛物线的表达式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的原则，进行解答，即可求解． 【详解】解：∵将二次函数的图象向左平移个单位， ∴函数解析式变为：， ∵将解析式再向下平移个单位， ∴函数解析式变为：， 故答案为：； 10. 如图，、分别切于A、B两点，并与的另一条切线分别相交于C、D两点，已知，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键． 由切线长定理可得，，，进而可求得的周长． 【详解】解：如图，设与切于点， ，，分别切⊙于点，，， ，，， 的周长 ， 故答案为：． 11. 太原市迎泽公园的喷泉以其激动人心的表演和世界级的设计而闻名．图1中的一条水柱可以近似看作一条抛物线，建立平面直角坐标系，如图2所示，喷口为点O，水柱的高度与距喷口的水平距离之间满足（），则该水柱的最大高度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握抛物线的图象和性质，是解题的关键． 把抛物线解析式化成顶点式，即得水柱的最大高度． 【详解】解：抛物线形水柱，其解析式为， ， 水柱的最大高度是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 用适当的方法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 13. 已知二次函数的图象过点，顶点坐标为，求二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，把二次函数解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设二次函数解析式为， ∵二次函数的图象过点， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为． 14. 如图，四边形内接于，是的直径，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题关键．先根据圆内接四边形的性质可得，则可得，再根据圆周角定理求解即可得． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 15. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知点C的坐标为． （1）直接写出点B关于原点对称的点的坐标_____； （2）画出以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转后得到的； （3）求点A经过的路径的长（结果保留根号和π）． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）点A经过的路径的长为． 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的两点坐标关系，旋转作图，弧长公式． （1）根据关于原点对称的两点坐标关系：横、纵坐标均互为相反数，即可求出； （2）根据要求作图即可； （3）根据弧长公式计算即可． 【小问1详解】 解：由图可知，则点B关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； 【小问3详解】 解：点A经过的路径的长． 16. 关于x的方程． （1）若该方程没有实数根，求k的取值范围； （2）若是该方程的一个根，请求出它的另一个根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）根据题意可得，解不等式即可得到答案； （2）由根与系数的关系求解即可． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程没有实数根， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：设方程的另一个根为， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴原方程的另一个根为． 17. 如图，是的直径，四边形内接于，是的中点，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）2 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理等知识，熟练掌握圆的切线的判定定理是解题关键． （1）连接，先根据圆周角定理可得，再证出，根据平行线的性质可得，然后根据圆的切线的判定即可得证； （2）过点作于点，先证出，，根据全等三角形的性质可得，再设，则，然后根据求解即可得． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∵是的中点， ∴， ∴，， ∴平分， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长为2． 18. 某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为元（），请你用的代数式来表示销售该品牌玩具销售量为_____件（请化简）． （2）在（1）问条件下，问当单价为多少时商场销售该品牌玩具可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当单价为元时商场销售该品牌玩具可获得最大利润，最大利润为元． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）先算出涨价元，再根据条件化简即可． （2）根据（1）中数据列出二次函数解析式，配方求最值即可． 【小问1详解】 解：涨价元，则少售出件，则销量为件， 故答案为：． 【小问2详解】 设总利润为w元， 由题意可得， ， ， ， 当时，w取得最大值， 答：当单价为元时商场销售该品牌玩具可获得最大利润，最大利润为元． 19. 如图，是的外接圆，半径为，连接，，， （1）过点作，交于点，若，求的长； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理得出，再结合勾股定理求出，进而得到． （2）先根据圆周角定理求出圆心角的度数，然后用扇形面积公式得到阴影部分面积． 【小问1详解】 解：，， ， 在中，，， ∴， ； 【小问2详解】 解：， ， ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理、扇形面积公式，熟练掌握这些定理和公式是解题的关键． 20. 阅读情境：在综合实践课上，同学们探究“全等的等腰直角三角形图形变化问题”．如图①，，其中，，此时，点C与点E重合． （1）操作探究1：小凡将图①中的两个全等的和按图②方式摆放，点B落在上，所在直线交所在直线于点M，连接，求证：； （2）操作探究2：小彬将图①中的绕点A按逆时针方向旋转角度，然后，分别延长、，它们相交于点F．如图③，在操作中，小彬提出如下问题，请你解答： ①当时，求证：是等边三角形； ②当______时，． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；② 【解析】 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）证明即可解决问题； （2）①证明即可解决问题．②根据平行线的判定定理即可解决问题； 【小问1详解】 证明：如图②，由题意知， 在和中， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 ①证明：如图③， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． ②解：∵， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 21. 如图，在等腰直角三角形中，，边上的高．点P从点A出发，沿以的速度向终点B运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作，交边或边于点Q，以为边向下作正方形，设正方形与重叠部分图形的面积为，点P运动的时间为． （1）求的长； （2）直接写出点M落在边上时t的值； （3）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】（1）； （2）2； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形底边三线合一和直角三角形斜边中线性质可得，即可求得的长； （2）用含t的式子表示出和，建立方程求解即可； （3）分类讨论：时，正方形与重叠部分图形的面积为正方形的面积；时，重合面积为正方形的面积减去多出等腰直角三角形的面积；时，重合面积为正方形的面积的一半． 【小问1详解】 解：在等腰直角三角形中，，边上的高． 是等腰直角三角形斜边上的中线， ； 【小问2详解】 解：是等腰直角三角形， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 如图：点M落在边上时， 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形， ， 由（1）知， ，解得：； 【小问3详解】 由（2）知，当时，如图： 为正方形的面积，即； 当时，如图： 由题意可知：和均为等腰直角三角形， ， ； 当时，如图： ； ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、正方形的性质、实际问题与二次函数、分段函数的定义，分类讨论思想等知识点，掌握这些是解题的关键． 22. 如图，抛物线经过点，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，直接写出y的取值范围； （3）抛物线的对称轴上有一点P，当的值最小时，求点P的坐标； （4）点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2） （3） （4）存在，满足条件的点M的坐标为或或 【解析】 【分析】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，对称性，平行四边形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键． （1）先确定出点B坐标，进而将点B，C坐标代入解析式中，建立方程组求解，即可得出结论； （2）将原抛物线化为顶点式，进而求出当时y的最值即可； （3）先判断出点P是直线与抛物线对称性的交点，再用待定系数法求出直线的解析式，即可得出结论； （4）设出点M，N坐标，利用平行四边形的对角线互相平分，建立方程求解即可得出结论． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，， ∵当时，， 当时，， ∴当时，； 【小问3详解】 解：由（2）知，抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 由（1）知， ， 即， ∵， ∴点A，C关于抛物线对称轴直线对称， ∴直线与对称轴直线的交点为点P， 设直线的解析式为， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴； 【小问4详解】 解：设点， ∵， ①当与为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴； ②当与为对角线时，与互相平分， ∴， ∴， ∴， ③当与为对角线时，与互相平分， ， ∴， ∴； 即：满足条件的点M坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $