第6章 图形的相似（高效培优单元测试·强化卷）数学苏科版九年级下册

第6章 图形的相似（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，且，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为（    ） A． B． C． D． 4．随着电视剧《沉默的荣耀》热播，剧中主人公吴石将军位于福州仓山区螺洲镇的故居也迎来参观热潮．故居前的广场上，吴石雕像巍然屹立．为增加视觉美感，设计雕像时采用了黄金分割比，使雕像腰部以上高度与腰部以下高度的比等于腰部以下高度与整个雕像高度的比．如图，雕像总高度为，那么该雕像腰部以下的高度约是（   ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，直角的两边分别交x轴和y轴于点A，B，若点P为，则（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 6．如图，正方形的边长为8，对角线相交于点，点分别在的延长线上，且，为的中点，连接，交于点，连接，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为 ． 8．如图，在和中，，再添加条件 可以使． 9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，的重心坐标是 10．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的面积为4，则的面积为 ． 11．在四边形与四边形中，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为 ． 12．如图1是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是 . 13．把一个平面组合图形分割成甲乙两部分，建立平面直角坐标系．若甲乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心为，则有，．一个呈“”形的平面组合图形（每个角都是直角）如图所示，延长线段将图形分割成上、下两个长方形，若，，，，其重心分别为，．则“”形图形的重心坐标为 ． 14．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 15．如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过 秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 16．如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 三、解答题（本题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知：如图，点、在的边上，点在边上，且，． 求证：． 18．如图，在中，，，平分交边于点D． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 19．八仙阁（图1）是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”（图2）在古代指两条边呈直角的曲尺（即图3中的，其中）．小明受到启发，利用“矩”测量八仙阁的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A，B，D在同一直线上，，测得，，，，请你求出八仙阁的高度． 20．在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系． (1)以原点O为位似中心，将缩小，使变化后得到的新三角形与原三角形的位似比为，请在平面直角坐标系中画出新三角形； (2)在中有一个点，则变换后P的对应点的坐标为______． 22．介休公路校园草坪中央矗立着一尊“介子推”雕像．当学习完三角形的相似知识后，老师让同学们借助太阳光线，测量“介子推”雕像高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：求出“介子推”雕像的高度．采用在同一时刻棍影和雕像影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米；第二次测量另一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米，木棍移动距离米． 23．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：；(2)若，，求的长． 24．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为． (1)证明：四边形是正方形； (2)若矩形与原矩形相似，．求的长． 25．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．    (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少? 26．如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是（），点是凸透镜的中心，光线，，点是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点，，，在同一条直线上． (1)如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像时，若． ①填空：的值为_______；②求此时虚像的高度； (2) 如图，当蜡烛通过该凸透镜成倒立缩小的实像，且时，求此时物距的长． 27．如图所示，在平面直角坐标系中直线为分别与坐标轴交于A、C两点，点P从点A开始向终点B以速度移动，点Q从B点向终点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第6章 图形的相似（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知，且，则下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、∵，且，∴，故该选项符合题意； B、∵，且，∴，故该选项不符合题意； C、∵，且，∴，故该选项不符合题意； D、∵，且，∴，故该选项不符合题意； 故选：A 2．如图，五边形五边形，若，，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解： 五边形五边形， ，，． 已知，，则． 选项A：，错误，该选项不符合题意； 选项B：，错误，该选项不符合题意； 选项C： ，即正确，符合题意； 选项D：，，而不是，选项不符合题意； 故选C． 3．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵五边形与五边形相似，且相似比为，， ∴，即， ∴． 故答案为：C． 4．随着电视剧《沉默的荣耀》热播，剧中主人公吴石将军位于福州仓山区螺洲镇的故居也迎来参观热潮．故居前的广场上，吴石雕像巍然屹立．为增加视觉美感，设计雕像时采用了黄金分割比，使雕像腰部以上高度与腰部以下高度的比等于腰部以下高度与整个雕像高度的比．如图，雕像总高度为，那么该雕像腰部以下的高度约是（   ） （结果精确到．参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由黄金分割比例可知该雕像腰部以下的高度与整个雕像的高度的比值为， ∵雕像总高度为， ∴该雕像腰部以下的高度为， 故选：B． 5．在平面直角坐标系中，直角的两边分别交x轴和y轴于点A，B，若点P为，则（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】解：过点P作轴于E，轴于F， 点坐标为， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，正方形的边长为8，对角线相交于点，点分别在的延长线上，且，为的中点，连接，交于点，连接，则的长为（   ） A．5 B． C． D．4 【答案】B 【分析】 【详解】解：如图，连接，作于，于， 由正方形的性质可知，，，， ∴，， ∴为的中点，． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线，   ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 故选B． 二、填空题（本题共10小题，每小题2分，共20分．） 7．已知是成比例线段，其中，，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵是成比例线段， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 8．如图，在和中，，再添加条件 可以使． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵， ∴，即， 添加：，则， 添加：，则， 添加：，则， 故答案为：（答案不唯一） 9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，的重心坐标是 【答案】 【分析】 【详解】解：设重心为，连接并延长交于点，取的中点，则， ∵，， ∴中点的坐标为即． 设， ∵，， ∴点的坐标为． ∵，点的坐标为， ∴点的坐标为即， ∴，， 解得，， ∴重心坐标为， 故答案为：． 10．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的面积为4，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵与是位似图形， ， ∴， ∵的面积为， ∴ 故答案为：． 11．在四边形与四边形中，若，且四边形的周长为，则四边形的周长为 ． 【答案】28 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， 即四边形的周长为， 故答案为：28． 12．如图1是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是 . 【答案】50 【详解】解：由题意得：， ∴， ， ， ， ∵，，， ， ， 故答案为：50． 13．把一个平面组合图形分割成甲乙两部分，建立平面直角坐标系．若甲乙两部分的面积分别为，，重心分别为，，原图形的重心为，则有，．一个呈“”形的平面组合图形（每个角都是直角）如图所示，延长线段将图形分割成上、下两个长方形，若，，，，其重心分别为，．则“”形图形的重心坐标为 ． 【答案】 【详解】解：∵一个呈“”形的平面组合图形（每个角都是直角），延长线段将图形分割成上、下两个长方形，若，，，， ∴， ∵其重心分别为，， ∴， ， ∴“”形图形的重心坐标为． 14．如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：过点D作交于H， ∴，， ∵D是的中点，，， ∴，， ∴1，4， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即的长为． 故选：． 15．如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动．如果、分别从、同时出发，经过 秒钟后，以点，，为顶点的三角形与相似． 【答案】秒或秒 【详解】解：设在开始运动后第秒，与相似， 由题意得：cm，cm，cm， 分两种情况考虑： 当，时，； ， 即， 解得：， 当秒时，与相似； 当，时，， ∴，即， 解得：， 当秒时，与相似， 综上，当秒或2秒时，与相似． 故答案为：秒或秒 16．如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 【答案】 【详解】解∶的中点，， ∴， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理，，，…， （个） 故答案为∶． 三、解答题（本题共11小题，共88分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知：如图，点、在的边上，点在边上，且，． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】 【详解】∵    ∴   ． ∵   ， ∴   ， ∴   ，即． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例.注意找准对应关系,以防错解. 18．如图，在中，，，平分交边于点D． (1)求证：； (2)已知，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】 【详解】（1）证明：在中，，， ∴， ∵平分， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19．八仙阁（图1）是八仙山公园里的一个主景区，八仙阁也是晋江的一个标志性建筑．在阁楼上可以看到整个八仙山公园全景，甚至周围景观都能尽收眼底．《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”（图2）在古代指两条边呈直角的曲尺（即图3中的，其中）．小明受到启发，利用“矩”测量八仙阁的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使保持水平，点A，B，D在同一直线上，，测得，，，，请你求出八仙阁的高度． 【答案】 【分析】 【详解】解：如图，延长交于H，则， 由题意可知，，，， 又， ， ， ， ， ． 答：八仙阁的高度为． 20．在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 【答案】(1)不相似，见解析 (2)，见解析 【分析】 【详解】（1）解：不相似，理由如下： 如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似； 设四周的小路的宽为x， ∵，， ∴， ∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）解：当小路的宽x与y的比值为时， 矩形和矩形相似． 理由如下： 当矩形和矩形相似时，解得 所以当小路的宽x与y的比值为时，矩形和矩形相似． 21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点都在格点上，建立平面直角坐标系． (1)以原点O为位似中心，将缩小，使变化后得到的新三角形与原三角形的位似比为，请在平面直角坐标系中画出新三角形； (2)在中有一个点，则变换后P的对应点的坐标为______． 【答案】(1)图见解析 (2)或 【分析】 【详解】（1）解：如下图即为所求作； （2）解：变换后横纵坐标都变为原来的一半，即， 还有关于原点对称的一个点． 故答案是：或． 22．介休公路校园草坪中央矗立着一尊“介子推”雕像．当学习完三角形的相似知识后，老师让同学们借助太阳光线，测量“介子推”雕像高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：求出“介子推”雕像的高度．采用在同一时刻棍影和雕像影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米；第二次测量另一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米，木棍移动距离米． 【答案】“介子推”雕像的高度AB为7米 【分析】 【详解】解：由题意，得， ， ，， ，． 米，米，米， （米）． ，， ， ，即， 米． 答：“介子推”雕像的高度为7米． 23．如图，在中，点、分别在边、上，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴． （2）解：，，，， ∴，， ∴，， 根据等高三角形面积比等于三角形的底比可得出：，， ∴， ∴ 24．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为． (1)证明：四边形是正方形； (2)若矩形与原矩形相似，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得：，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形； （2）解：由折叠可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值舍）， ∴． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，正方形的性质和判定，折叠的性质，相似多边形的性质，熟练掌握折叠的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 25．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上．    (1)求证：； (2)求这个正方形零件的边长； (3)如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少? 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ∴ ∴； （2）解：设正方形零件的边长为， ∵四边形为正方形，高 ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 由（1）知， ， 同理，由， 得， ∴， ∵，高， 即 解得， ∴这个正方形零件的边长为； （3）解：如图：    与（1）同理得， ， ∵，，高， ， ， 与（2）同理，证明四边形是矩形， ∴， 即． ∴这个矩形的面积是 26．如图是凸透镜成像示意图，蜡烛通过凸透镜所成的像是（），点是凸透镜的中心，光线，，点是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，点，，，在同一条直线上． (1)如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像时，若． ①填空：的值为_______；②求此时虚像的高度； (2)如图，当蜡烛通过该凸透镜成倒立缩小的实像，且时，求此时物距的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）解：①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得． （2）解：∵，蜡烛的长为， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴即 ∴， ∴， ∵， ∴． ∴即， 解得． 27．如图所示，在平面直角坐标系中直线为分别与坐标轴交于A、C两点，点P从点A开始向终点B以速度移动，点Q从B点向终点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． (1)几秒后，的长度等于？ (2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (3)若与相似，求t的值． 【答案】(1)秒或秒 (2)3秒 (3)秒或秒 【分析】 【详解】（1）解：对于， 当时，；当时，， ∴， 设经过秒后，的长度等于， 由题意，得：， ∴， 在中，， ， ， 整理，得：， 解得：； ∴秒或秒后，的长度等于． （2）解：设经过秒，线段能将分成面积的两部分， 依题意有：的面积， ①当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， 解得：； ②当的面积为面积的时， 则：， 整理，得：， ， ∴方程无实数根； ∴经过3秒时，线段能将分成面积的两部分． （3）解：设经过秒时，与相似， 时， ， ， ． ②当时， ， ， ， 综上所述，秒或秒时，与相似． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $