专题06 直线与圆锥曲线综合6大题型（期末真题汇编，甘肃专用）高二数学上学期

专题06 直线与圆锥曲线综合 6大高频考点概览 考点01 椭圆中的弦长/面积 考点02 双曲线中的弦长/面积 考点03 抛物线中的弦长/面积 考点04 圆锥曲线中的定点/定值/定直线 考点05 圆锥曲线中的中点弦 考点06 直线与圆锥曲线位置关系运用 地 城 考点01 椭圆中的弦长/面积 1．(22-23高二上·山东菏泽·期中)已知椭圆过点，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)已知为椭圆的两焦点，若点在椭圆上，且，求的面积． 2．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)将圆上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到椭圆，若该椭圆的两个焦点分别为，长轴两端点分别为，则（    ） A．椭圆的标准方程为 B．椭圆上恰有四个点，使得 C．若点是椭圆上任意一点（与不重合），则内切圆半径的最大值为 D．若点是椭圆上任意一点（与不重合），在的延长线上，是的角平分线，过作垂直MN，垂足为，则线段OQ（为坐标原点）的长为定值4 3．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知椭圆的右焦点为，点和点在上. (1)求点的坐标； (2)过点的直线经过原点，且与交于另一点，求的面积. 4．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)如图，已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程. (2)过椭圆右焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆交于P，Q两点. ①求面积的最大值； ②若直线与直线相交于点M，点N在直线上，证明：. 5．(24-25高二上·内蒙古部分名校·期末)已知是椭圆的一个顶点，点是上一点． (1)求椭圆的方程． (2)若过点的直线与椭圆交于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ⅱ）求的最小值． 6．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的离心率为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)求“共轭点对”中点所在直线的方程； (3)设为坐标原点，点在椭圆上， ，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于. 7．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)若椭圆，，，为椭圆上异于点，的任一点，且恒成立，则称椭圆为“内含椭圆”.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，四边形的面积为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆为“内含椭圆”，求椭圆的标准方程； (3)若椭圆为“内含椭圆”，为椭圆上一点，，且存在实数，使得，求的取值范围. 8．(24-25高二上·重庆杨家坪中学·月考)已知直线，椭圆. (1)求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； (2)当时，求直线被椭圆截得的弦长. 地 城 考点02 双曲线中的弦长/面积 9．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 10．(21-22高二上·安徽芜湖华星学校·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 11．(20-21高三上·江苏南通如皋·调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为． （1）求双曲线E的方程； （2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围． 12．(24-25高二上·甘肃·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上任意一点关于直线的对称点为，过分别作双曲线的两条渐近线的平行线，与双曲线分别交于点，求证：为定值． 13．已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为，，过坐标原点的直线与交于E，F两点，与直线AB交于点，且点E，M都在第一象限，的面积是面积的倍，求直线的斜率． 14．(24-25高二上·重庆第八中学校·月考)已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 15．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)已知双曲线经过点，直线与双曲线相交于两点. (1)求双曲线的离心率； (2)若线段的中点坐标为，求直线的斜率； (3)直线经过双曲线的右焦点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程. 地 城 考点03 抛物线中的弦长/面积 16．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 17．(21-22高二·福建平和第一中学·)过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 18．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知抛物线，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．抛物线的焦点到准线的距离为 C．若，则的面积为 D．若，点在轴上，则 19．(24-25高二上·甘肃·期末)已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为为坐标原点，则（   ） A．若直线的斜率为1，则 B．以为直径的圆与轴相切 C． D． 20．(24-25高三上·四川雅安等8·)已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，，是上位于轴异侧的两点，且，，则的面积为 . 21．(23-24高二上·河南九师联盟洛阳强基联盟·)如图，过抛物线的焦点F的直线与C相交于A，B两点，当直线AB与y轴垂直时， (1)求C的方程; (2)以AB为直径的圆能否经过坐标原点若能，求出直线AB的方程;若不能，请说明理由. 22．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知抛物线，并且经过点. (1)求抛物线方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求. 23．已知抛物线与双曲线有共同的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值. 24．(24-25高二上·甘肃白银·期末)已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1. (1)求抛物线的标准方程； (2)为抛物线上的两点，若直线与轴垂直，且为等腰直角三角形，求的面积. 地 城 考点04 圆锥曲线中的定点/定值/定直线 25．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“仿射圆”，过椭圆上一点作轴的垂线，垂足为，交其“仿射圆”于点（在同一象限内），称点为点的“仿射点”. (1)若椭圆的“仿射圆”为，点为线段的中点，求椭圆的标准方程. (2)若椭圆上的点的“仿射点”. ①求椭圆及其“仿射圆”的方程； ②设点在直线上，且，证明：过点且垂直于的直线过椭圆的左焦点. 26．已知平面上的动点及两定点，，直线，的斜率分别是，且. （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）设直线与曲线C交于不同的两点M，N. ①若（O为坐标原点），证明点O到直线的距离为定值，并求出这个定值. ②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点. 27．(24-25高二上·甘肃多校·期末)已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3． (1)求的标准方程； (2)设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 28．(21-22高二上·广西玉林普通高中·期末)已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由． 29．(23-24高二上·湖南岳阳平江县第一中学·月考)已知椭圆的上顶点、右焦点分别为为坐标原点，且是面积为2的等腰直角三角形. (1)求C的方程； (2)设A，B是C上的两个动点，且以为直径的圆经过点O，证明：为定值. 30．(23-24高二上·江苏淮安·期中)已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为 (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的右顶点为，为直线上的动点，连接，交双曲线于，两点异于，，记直线与轴的交点为． ①求证：为定点； ②直线交直线于点，记，求证：为定值． 31．已知双曲线：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 32．(24-25高二上·甘肃多校·期末)已知点是抛物线上的一点，点，是上异于点的不同的两点. (1)求的方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值； (3)若直线，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 33．(23-24高二上·河南商丘第二高级中学·月考)（多选）已知动点在双曲线上运动，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．焦点到渐近线的距离为1 D．动点到两渐近线的距离之积为定值 34．(21-22高二上·浙江杭州高级中学·期末)设F为双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点，满足．    (1)求C的离心率； (2)若，点A在双曲线C上，点B在直线上，满足，试判断直线与圆O的位置关系，并说明理由． 地 城 考点05 圆锥曲线中的中点弦 35．已知直线与椭圆C）交于A，B两点，线段AB的中点为，则C的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 36．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 37．已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆C的离心率为 C．直线l的方程为 D．的周长为 38．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期末)设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入） 39．(24-25高二上·甘肃·期末)已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 40．(21-22高二下·江苏南通海安·期末)已知椭圆的左焦点，右顶点． (1)求的方程 (2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：． 41．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 42．(22-23高二上·甘肃庆阳宁县第二中学·期末)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)经过点作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程： (3)已知定点，点D是双曲线C右支上的动点，求的最小值． 43．(23-24高二下·陕西西安临潼区·期末)已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 地 城 考点06 直线与圆锥曲线位置关系运用 44．(23-24高二上·陕西西安莲湖区·期末)若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 45．(24-25高二上·贵州黔西南布依族苗族安龙县第四中学·期中)已知F为双曲线（，）的右焦点，A为C的左顶点，点B在C上，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为1，则C的实轴长与虚轴长的比值为（    ） A． B． C． D． 46．(22-23高三·四川广安·)过抛物线的焦点F且倾斜角为锐角的直线与C交于两点A，B（横坐标分别为，，点A在第一象限），为C的准线，过点A与垂直的直线与相交于点M．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 47．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)已知点F是抛物线C：的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．k的取值范围为 B． C．若，则或 D．点M关于x轴的对称点在直线NF上 48．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)已知抛物线的焦点为，坐标原点为，点、、在抛物线上，其中，直线、的倾斜角互补，直线的斜率为．    (1)求抛物线的方程； (2)求直线的斜率； (3)设点到直线的距离为，当取最大值时，求． 49．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点. (1)求抛物线的方程与焦点坐标； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 50．(24-25高二上·甘肃·期末)在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)求斜率的取值范围； (3)当时，求两点的坐标． 51．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)设椭圆方程的离心率为，上､下顶点分别为，右焦点为，且__________． 在①，②③这三个条件中任选一个，填在上面的横线上，并解答． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点（不同于两点），且，试求直线的方程． 注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分． 52．(21-22高二上·广西贺州·)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的焦距为4，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心（高的交点），若存在，求出直线l的方程：若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 直线与圆锥曲线综合 6大高频考点概览 考点01 椭圆中的弦长/面积 考点02 双曲线中的弦长/面积 考点03 抛物线中的弦长/面积 考点04 圆锥曲线中的定点/定值/定直线 考点05 圆锥曲线中的中点弦 考点06 直线与圆锥曲线位置关系运用 地 城 考点01 椭圆中的弦长/面积 1．(22-23高二上·山东菏泽·期中)已知椭圆过点，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率． (1)求椭圆的方程； (2)已知为椭圆的两焦点，若点在椭圆上，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在椭圆上求得方程，结合椭圆、的关系求出椭圆的方程； （2）利用椭圆的定义及余弦定理可得，再由三角形面积公式求面积. 【详解】（1）因为在上，则，可得， 所以椭圆的方程为，故长轴长为，离心率为， 设椭圆的方程为， 故中，且，则， 所以椭圆的方程为. （2）由题意，在中，而， 又， 所以，故， 所以.    2．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)将圆上任意一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到椭圆，若该椭圆的两个焦点分别为，长轴两端点分别为，则（    ） A．椭圆的标准方程为 B．椭圆上恰有四个点，使得 C．若点是椭圆上任意一点（与不重合），则内切圆半径的最大值为 D．若点是椭圆上任意一点（与不重合），在的延长线上，是的角平分线，过作垂直MN，垂足为，则线段OQ（为坐标原点）的长为定值4 【答案】BCD 【分析】A选项：根据图象的变换即可求解； B选项：根据焦点三角形在短轴端点处张角最大即可判断； C选项：根据内切圆半径与三角形面积的关系即可求解； D选项：根据椭圆光学性质判断出外角平分线即为切线，根据几何关系得到，从而得到直线和直线方程，联立求得点坐标，即可求解. 【详解】由题意得，椭圆的方程为，即，A错误； 当点为上下顶点时，最大，此时，，所以椭圆上恰有四个点，使得，B正确； 因为的周长为定值，设内切圆半径为，则 ， 所以，C正确； 由椭圆的光学性质可知，为椭圆在点处的切线，且. 设点，则直线的方程为， 直线的方程为， 联立两直线方程，得，所以 ， 所以为定值，D正确. 故选：BCD. 3．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知椭圆的右焦点为，点和点在上. (1)求点的坐标； (2)过点的直线经过原点，且与交于另一点，求的面积. 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）方法一由点在椭圆上，代入求出椭圆方程，再求出焦点即可；方法二由椭圆的性质求出即可求出； （2）方法一直曲联立，解出点，再由两点间距离公式和点到直线的距离公式求出，然后由三角形面积公式求出面积；方法二由椭圆的对称性结合三角形的面积公式求出即可； 【详解】（1）方法一：由题意得 解得 由，得， 所以右焦点. 方法二：由题意知，椭圆的上顶点为，显然，将点坐标代入椭圆方程得， 解得， 由，得， 所以右焦点. （2）由（1）知椭圆的标准方程为. 过点的直线的方程为. 方法一：将直线与椭圆的方程联立，得方程组 解得，显然点位于第三象限，所以， 又因为，所以， 点到直线的距离， 所以. 所以的面积为9. 方法二：由椭圆的对称性可知，点与点关于原点对称， 因为，所以， 所以. 所以的面积为9. 4．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)如图，已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程. (2)过椭圆右焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆交于P，Q两点. ①求面积的最大值； ②若直线与直线相交于点M，点N在直线上，证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）①根据题意，设直线的方程为，然后联立椭圆方程，由，结合韦达定理代入计算，即可得到结果；②设，由直线斜率公式，分别表示出，结合①中的韦达定理代入计算，即可证明. 【详解】（1）由条件可得，解得，故椭圆的标准方程为. （2）①设直线的方程为，， 代入椭圆方程整理可得，显然， 则， ， 令，则， 其中在上单调递增， 所以当，即时，取得最大值，最大值为. ②证明：由①可知，设， 则 . 5．(24-25高二上·内蒙古部分名校·期末)已知是椭圆的一个顶点，点是上一点． (1)求椭圆的方程． (2)若过点的直线与椭圆交于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，． （ⅰ）证明：为定值． （ⅱ）求的最小值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）3 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求可得结论； （2）（ⅰ）结合题意确定直线的斜率不为，设直线方程为，联立方程组化简，结合设而不求法证明结论； （ⅱ）结合（ⅰ）表示，再求其最小值即可. 【详解】（1）由题可知 解得，， 所以椭圆的方程为． （2）（ⅰ）证明：若直线的斜率为，则直线与椭圆的交点为，矛盾， 故直线的斜率不为，设其方程为，，． 由， 消得:， 方程的判别式， 由已知为方程的解， 所以，， 因为，， 所以 ，为定值． （ⅱ） ， 因为，当且仅当时，取得最小值， 所以的最小值为． 【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形． 6．(24-25高二上·安徽合肥一六八中学·期中)定义：若椭圆上的两个点满足，则称为该椭圆的一个“共轭点对”，记作.已知椭圆的离心率为，且椭圆过点. (1)求椭圆的方程； (2)求“共轭点对”中点所在直线的方程； (3)设为坐标原点，点在椭圆上， ，（2）中的直线与椭圆交于两点，且点的纵坐标大于，设四点在椭圆上逆时针排列.证明：四边形的面积小于. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件列出的方程组，由此求解出的值，则椭圆方程可知； （2）代入坐标于，得到点坐标的关系式，由此可知点所在直线的方程； （3）根据条件先分析出与的位置关系，然后将四边形的面积通过点到直线的距离以及弦长表示出来，根据点的临界位置分析出面积的临界值，从而完成证明. 【详解】（1）依题意，，解得 所以椭圆的方程为. （2）因为，所以，所以， 所以点所在的直线的方程为. （3）由（2）知，直线， 联立，解得或，则， 设点，则，两式相减得， 又 ，于是，所以，所以， 所以线段的中点在上，故线段被直线平分， 设点到直线的距离为，则四边形的面积， 而，故， 设过点且与直线平行的直线的方程为，则当与相切时，最大， 由，消去得， 令，解得， 当时，此时方程为，即，解得， 则此时点或点必有一个和点重合，不符合条件 ，从而直线与不可能相切， 即小于平行直线和（或）的距离， 所以，得证.    【点睛】关键点点睛：解答本题第三小问的关键点有两个，一方面是点差法的使用，通过点差法结合斜率公式判断出被平分，简化后续四边形的面积表示；另一方面是确定点的临界位置，通过平行于的直线与椭圆相切确定出高的临界值即可确定面积临界值. 7．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)若椭圆，，，为椭圆上异于点，的任一点，且恒成立，则称椭圆为“内含椭圆”.已知椭圆的左，右焦点分别为，，，四边形的面积为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若椭圆为“内含椭圆”，求椭圆的标准方程； (3)若椭圆为“内含椭圆”，为椭圆上一点，，且存在实数，使得，求的取值范围. 【答案】(1)或. (2) (3) 【分析】(1)根据，四边形的面积为4.，列出，求解即可； (2)由(1)可分别讨论两个方程是否符合“内含椭圆”，即是否恒成立； (3)由(2)得：，由题意可知，求函数在上的最值，整理即可得出的取值范围. 【详解】（1）根据题意可得，即. 因为四边形的面积为，所以. 由，解得或， 所以椭圆的标准方程为或. （2）若椭圆的标准方程为，则，，设椭圆的左顶点为， 则，，，不符合题意，舍去. 若椭圆的标准方程为，则，，设， 则，符合题意. 故椭圆的标准方程为. （3）由(2)得椭圆的方程为.设，则. 若存在实数，使得，则， 得， . 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 则，故的取值范围为. 8．(24-25高二上·重庆杨家坪中学·月考)已知直线，椭圆. (1)求证：对于任意实数，直线过定点，并求出点坐标； (2)当时，求直线被椭圆截得的弦长. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）整理直线方程，建立方程组，可得答案； （2）联立直线方程与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式，可得答案. 【详解】（1）因为，整理可得， 由，解得， 此时，不管取何值，必成立. 所以直线必过定点. （2）当时，直线的方程为， 设直线与椭圆的交点为， 由，消去得：， ，， . 地 城 考点02 双曲线中的弦长/面积 9．(24-25高二上·甘肃兰州神州天立学院式高中·期末)已知是双曲线的左焦点，过倾斜角为的直线与双曲线渐近线相交于、两点，为坐标原点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】不妨设点在直线上，点在直线上，将直线的方程与两渐近线方程联立，求出点、的坐标，分析可知，，求出、的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】在双曲线中，，，则， 则，双曲线的渐近线方程为， 不妨设点在直线上，点在直线上， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得，即点， 联立可得，即点， ， 因为，，则，所以，， 且，所以，， 故选：D. 10．(21-22高二上·安徽芜湖华星学校·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，点是双曲线上一点，若的面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设在右支上，则，利用余弦定理及面积公式得到，从而得解. 【详解】双曲线，则、，所以，不妨设在右支上， 则，， 由余弦定理， 即， 又， ， 所以，即， 所以，又，所以， 则. 故选：C 11．(20-21高三上·江苏南通如皋·调研)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为． （1）求双曲线E的方程； （2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）依题意可得，所以得到，根据的面积，计算可得； （2）联立直线方程与曲线方程，消元、列出韦达定理，依题意得到，从而求出参数的取值范围，利用弦长公式表示出，，即可得到的取值范围； 【详解】解：（1）因为双曲线为等轴双曲线， 所以，设双曲线的焦距为2c，， 故，即． 因为BC过右焦点F，且垂直于x轴， 将代入，可得，故． 将的面积为， 所以，即， 所以，，故双曲线E的方程为． （2）依题意，直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点， 联立方程组消去y可得，， 所以解得，且 所以 ． 联立方程组得，同理， 所以． 所以，其中， 所以． 【点睛】本题考查直线与双曲线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题. 12．(24-25高二上·甘肃·期末)已知双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，为的右支上一点，且． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线上任意一点关于直线的对称点为，过分别作双曲线的两条渐近线的平行线，与双曲线分别交于点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）结合双曲线的定义可得，根据的最值求最小值，列方程求，由此可得双曲线方程； （2）设，则，由在双曲线上可得，求过点与渐近线平行的直线，联立方程组求坐标，结合弦长公式求，即可证明结论. 【详解】（1）由题知，即，又为的右支上一点， 则， 所以， 故当最小时，最小． 而， 故， 即，故，故双曲线方程为． （2）证明：设，则． 因为点在双曲线上，所以，得， 即． 双曲线的渐近线方程为， 则过点且与渐近线平行的直线． 设直线与双曲线交于点，由可得， 即，解得， 即，同理可得， 所以 ， 所以为定值．    13．已知双曲线的一条渐近线方程为，且焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的右顶点为，，过坐标原点的直线与交于E，F两点，与直线AB交于点，且点E，M都在第一象限，的面积是面积的倍，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先表示出双曲线的渐近线方程，依题意可得，由点到直线的距离公式求出，再由求出、，即可得到双曲线方程； （2）设，，，，由题意可知，，联立直线与的方程求出，联立直线与双曲线的方程求出，依题意可得，即可求出. 【详解】（1）双曲线的渐近线为，又一条渐近线方程为， 所以， 又焦点到渐近线的距离为1，即，所以， 又，所以，，则双曲线的方程为； （2）由（1）可得，， 则直线的方程为， 设，，，，由题意可知，， 由的面积是面积的倍，可得，即， 所以， 由，消去，可得，解得， 由，消去，可得，解得， 由，可得，解得或（舍去）， 当时，，符合题意， 所以直线的斜率为. 14．(24-25高二上·重庆第八中学校·月考)已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. （2）显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故， 联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. 15．(24-25高二上·辽宁抚顺重点高中六校协作体·期末)已知双曲线经过点，直线与双曲线相交于两点. (1)求双曲线的离心率； (2)若线段的中点坐标为，求直线的斜率； (3)直线经过双曲线的右焦点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程. 【答案】(1)2 (2)3 (3)或 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程可解得，再根据离心率即可求解； （2）设出点坐标，代入双曲线方程，利用点差法及中点坐标公式即可求得直线的斜率； （3）根据直线斜率是否存在进行分类讨论.当直线斜率存在时，设出直线l的方程，与双曲线方程联立，运用韦达定理和平面向量数量积为0即可解得直线方程. 【详解】（1）将点的坐标代入，得，解得， 故双曲线的离心率. （2）根据题意易得直线的斜率存在，设， 则，两式相减得， 整理得. 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的斜率为3. （3）由题意得双曲线的右焦点为. 若以线段为直径的圆经过坐标原点，则. 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 根据对称性不妨设，则，， 所以直线的斜率存在， 则可设直线的方程为. 由，得， ， 所以， 因为， 所以 ， 解得， 所以直线的方程为，即或. 【点睛】方法点睛：本题主要考查双曲线与直线的位置关系. 1.双曲线的中点弦问题的求解方法：①点差法：设出直线与双曲线的交点坐标，代入双曲线方程，作差后利用中点坐标公式即可求出直线斜率； ②方程组法：设出直线方程，联立方程组消元，结合韦达定理与中点坐标公式即可求解. 2.对于第（3）小问，设出直线方程，联立方程组消元，利用韦达定理与直线垂直的向量表示即可求解. 地 城 考点03 抛物线中的弦长/面积 16．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点、，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、韦达定理以及二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】直线与轴的交点为，所以，， 所以， 联立，整理得． ， 设、，则， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立． 因此，的最小值为. 故选：C. 17．(21-22高二·福建平和第一中学·)过抛物线：的焦点作两条互相垂直的弦，，设为抛物线上的一动点，，若，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得：，因为，所以直线的斜率为：，所以，由，解得，设点到准线的距离为，由抛物线的性质可知：，而当垂直于轴时，的值最小，最小值为． 【详解】解：显然直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为， 联立方程，消去得：， 设，，，， ， ， 由抛物线的性质可知：， ，直线的斜率为：， ， ， ， ， 抛物线方程为：，准线方程为：， 设点到准线的距离为，由抛物线的性质可知：， 而当垂直于轴时，的值最小，最小值为，如图所示： 的最小值为3， 故选：B．    18．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知抛物线，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的准线方程为 B．抛物线的焦点到准线的距离为 C．若，则的面积为 D．若，点在轴上，则 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的方程可得到焦点坐标以及准线方程，即可判断A，根据焦点到准线的距离为可求得B，根据抛物线的定义可求得点的横坐标，即可得到纵坐标，即可求得C，根据抛物线的定义以及中位线定理可求得D. 【详解】已知抛物线，求得， 则焦点坐标为，准线方程为，故选项A正确； 对于B，抛物线的焦点到准线的距离为，故B错误； 对于C，若，则到准线的距离为， 所以即为点的横坐标，如图所示： 根据，解得， 所以，故C正确； 对于D，，点在轴上，如图所示： 根据抛物线的定义可得，则， 即点是的中点，所以， 则，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查了抛物线的定义与性质，对于抛物线中三角形的面积，得到三角形的高是点的纵坐标是关键. 19．(24-25高二上·甘肃·期末)已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过的直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为为坐标原点，则（   ） A．若直线的斜率为1，则 B．以为直径的圆与轴相切 C． D． 【答案】BD 【分析】求出抛物线的焦点及准线方程，求出直线方程并与抛物线方程联立，利用抛物线定义结合韦达定理判断A；利用抛物线定义，结合圆的切线判断B；举例说明判断C；推理证得判断D. 【详解】抛物线的焦点，准线，点，设， 对于A，直线，由消去得，， ，A错误； 对于B，，线段中点横坐标， 弦中点到轴的距离为，因此以为直径的圆与轴相切，B正确； 对于C，当点在轴下方时，，而，C错误； 对于D，由，得，同理， 则，因此，D正确. 【点睛】关键点点睛：涉及抛物线过焦点的弦问题，合理利用抛物线的定义是解决问题的关键. 20．(24-25高三上·四川雅安等8·)已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，，是上位于轴异侧的两点，且，，则的面积为 . 【答案】/ 【分析】利用焦半径公式算出的坐标，计算直线的方程，进而证明出三点共线，最后利用计算即可. 【详解】由题意即可知：，不妨设点，且点在第一象限， 则，， 故， 所以直线的方程为：， 令得，即三点共线， 所以. 故答案为：或. 21．(23-24高二上·河南九师联盟洛阳强基联盟·)如图，过抛物线的焦点F的直线与C相交于A，B两点，当直线AB与y轴垂直时， (1)求C的方程; (2)以AB为直径的圆能否经过坐标原点若能，求出直线AB的方程;若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）出A，B坐标，由求出p，即可得抛物线方程； （2）直线AB的斜率显然存在，设其方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理和数量积的坐标运算求得OA与OB不垂直，即可判断以AB为直径的圆不可能经过坐标原点. 【详解】（1）点的坐标是， 当直线AB与y轴垂直时，点A，B的坐标分别是，， ，解得， 所以C的方程是 （2）以AB为直径的圆不可能经过坐标原点O，理由如下： 如图， 直线AB的斜率显然存在，设其方程为， 代入，消去y并整理得， 设，，则 因为， 所以OA与OB不垂直. 因此，以AB为直径的圆不可能经过坐标原点. 22．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知抛物线，并且经过点. (1)求抛物线方程； (2)若直线与抛物线交于两点，求. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）将代入抛物线方程即可求解； （2）直线方程与抛物线方程联立，方法一：利用弦长公式或两点间距离结合韦达定理可求；方法二：利用抛物线定义，结合韦达定理求解. 【详解】（1）因为抛物线过点， 所以，解得， 所以抛物线方程为. （2）设， 联立消去可得，. 由一元二次方程根与系数的关系得，. 方法一： . 方法二：依题意可知，直线过抛物线的焦点， 如图，设，过两点分别向准线作垂线，垂足为. 由抛物线的定义可知，. 于是. 由方法一可得， 于是. 23．已知抛物线与双曲线有共同的焦点. (1)求的方程； (2)若直线与抛物线相交于两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出双曲线焦点坐标即可得，可求出的方程为； （2）联立直线和抛物线方程利用韦达定理可得，再求得过两点的切线方程并求出交点坐标为，由弦长公式和点到直线距离公式写出面积的表达式为，可得面积最小值. 【详解】（1）由题意，抛物线的焦点为， 由双曲线可得， 即可得，解得， 所以的方程为 （2）如图所示，    设，则， 联立方程组整理得， 所以，且， 所以 由，可得，则， 所以抛物线的过点的切线方程是， 将代入上式整理得， 同理可得抛物线的过点的切线方程为， 由解得， 所以， 所以到直线的距离， 所以的面积 ， 当时，， 所以面积的最小值为. 24．(24-25高二上·甘肃白银·期末)已知为坐标原点，抛物线的焦点到准线的距离为1. (1)求抛物线的标准方程； (2)为抛物线上的两点，若直线与轴垂直，且为等腰直角三角形，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点到准线的距离为，可求，由此可得抛物线方程； （2）不妨设点，由条件列方程求，再结合面积公式求结论. 【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为， 所以， 故抛物线的标准方程为. （2）因为直线与轴垂直，且为等腰直角三角形， 所以，轴的非负半轴为的平分线， 根据抛物线的对称性，不妨设点，则， 则，解得， 所以点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为， 所以，点到直线的距离为， 故的面积. 地 城 考点04 圆锥曲线中的定点/定值/定直线 25．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫作椭圆的“仿射圆”，过椭圆上一点作轴的垂线，垂足为，交其“仿射圆”于点（在同一象限内），称点为点的“仿射点”. (1)若椭圆的“仿射圆”为，点为线段的中点，求椭圆的标准方程. (2)若椭圆上的点的“仿射点”. ①求椭圆及其“仿射圆”的方程； ②设点在直线上，且，证明：过点且垂直于的直线过椭圆的左焦点. 【答案】(1) (2)①，“仿射圆”的方程为；②证明见解析 【分析】（1）设点的坐标为，“仿射点”的坐标为，找出两点间的关系式，再根据“仿射点”在圆上，代入计算即可； （2）①先根据椭圆过点，求出椭圆的方程，再根据仿射概念求出“仿射圆”的方程；②方由①根据向量法由得到，算出，得，从而得解. 【详解】（1）设点的坐标为，“仿射点”的坐标为， 因为点为线段的中点，则. 因为“仿射点”在圆上，所以. 把代入上述方程， 得， 即椭圆的标准方程为. （2）①设椭圆，过点， “仿射圆”过点， 所以解得. 所以椭圆的方程为， “仿射圆”的方程为. ②方法一：由①知椭圆的左焦点的坐标为， 设， 由，得，解得. 又， 所以， 即.又过点存在唯一的直线垂直于， 所以过点且垂直于的直线过椭圆的左焦点. 方法二：由①知椭圆的左焦点的坐标为， 设， 由，得，解得. 则，直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 当时，，所以直线过点，所以过点且垂直于的直线过椭圆的左焦点. 【点睛】方法点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒成立的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 26．已知平面上的动点及两定点，，直线，的斜率分别是，且. （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）设直线与曲线C交于不同的两点M，N. ①若（O为坐标原点），证明点O到直线的距离为定值，并求出这个定值. ②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点. 【答案】（1）；（2）①证明见解析，定值为；②证明见解析，定点为. 【解析】（1）根据题意，利用斜率计算公式，即可得出的轨迹方程； （2）把直线的方程与椭圆方程联立得到根与系数的关系，①利用，可推出，即可得到与的关系，再利用点到直线的距离公式即可证明；②利用斜率计算公式和根与系数的关系即可得出与的关系，进而证明结论． 【详解】（1）根据题意可得，. ∵ ∴，即. ∴动点的轨迹的方程为. （2）设点，，联立，化为，则. ∴，. ∴. ①若，则. ∴ ∴，化为，此时点到直线的距离. ②∵直线BM，BN的斜率都存在并满足 ∴ ∴ ∴，化为，即，解得或. 当时，直线恒过原点； 当时，直线恒过点，此时直线与曲线最多有一个公共点，不符合题意. 综上可知，直线恒过定点. 【点睛】本题考查了圆锥曲线轨迹方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，考查直线过定点的证明．定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现. 27．(24-25高二上·甘肃多校·期末)已知椭圆的离心率为，上的点到其一个焦点的距离的最大值为3． (1)求的标准方程； (2)设，为的左、右顶点，（异于左、右顶点）为上一动点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由离心率，椭圆的性质列方程组计算即可； （2）设点，由斜率的定义表示出，，再结合点在椭圆上化简即可. 【详解】（1）根据题意得，解得， 的标准方程为； （2）证明：由（1）得，，设点， 则，， ，， ， 为定值． 28．(21-22高二上·广西玉林普通高中·期末)已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)直线的斜率为定值，且定值为. 【分析】（1）根据椭圆的离心率及所过的点求出椭圆参数a、b，即可得椭圆标准方程. （2）由题设得，法一：设为，联立椭圆方程应用韦达定理求M的坐标，根据与斜率关系求N的坐标，应用两点式求斜率；法二：设为，，联立椭圆方程，应用韦达定理及得到关于参数m、k的方程，即可判断是否为定值. 【详解】（1）由题意，则，又， 所以椭圆C的方程为，代入有，解得， 所以，故椭圆的标准方程为； （2）由题设易知：， 法一：设直线为， 由，消去y，整理得， 因为方程有一个根为，所以M的横坐标为，纵坐标， 故M为，用代替k，得N为， 所以，故直线的斜率为定值． 法二：由已知直线的斜率存在，可设直线为，， 由，消去y，整理得， 所以，而， 又，代入整理得， 所以，即， 若，则直线过点T，不合题意， 所以．即，故直线的斜率为定值. 【点睛】关键点点睛：第二问，设直线方程并联立椭圆方程，应用韦达定理及得到关于直线斜率的方M、N程，或求出的坐标，应用两点式求斜率. 29．(23-24高二上·湖南岳阳平江县第一中学·月考)已知椭圆的上顶点、右焦点分别为为坐标原点，且是面积为2的等腰直角三角形. (1)求C的方程； (2)设A，B是C上的两个动点，且以为直径的圆经过点O，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设，由题意列式求，进而可得椭圆的方程. （2）分两种情况：当直线l的斜率存在时，当直线l的斜率不存在时，直线的方程与椭圆的方程联立可得关于x的一元二次方程，由韦达定理可得，，再由，可得，进而得，再计算，即可得出答案. 【详解】（1）设， 由题意可得：，解得， 因此椭圆C的方程为. （2）当直线l的斜率存在时，设直线，，， 由消去y得， 由题意可知，则, 因为，所以， 即， ， 即 整理得. 而, 设h为原点到直线l的距离，则， 所以, 而，所以； 当直线l的斜率不存在时，设，则有， 不妨设，则， 代入椭圆方程得，所以， 所以. 综上所述，即为定值.    【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线，再将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，利用，从而找到之间的等式，最后利用点到直线的距离公式结合的等式即可证明为定值. 30．(23-24高二上·江苏淮安·期中)已知双曲线的左顶点，一条渐近线方程为 (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的右顶点为，为直线上的动点，连接，交双曲线于，两点异于，，记直线与轴的交点为． ①求证：为定点； ②直线交直线于点，记，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）根据顶点坐标及渐近线确定双曲线参数，即可得方程； （2）①由题设有为，为，，，联立双曲线并应用韦达定理求得、，设，结合向量共线的坐标表示列方程求参数值，即可证；②设直线为，则，联立直线与双曲线并应用韦达定理，结合向量线性关系的坐标表示有，即可证. 【详解】（1）由题设，，则双曲线方程为． （2）①设，且， 的直线方程为，的直线方程为． 设，，联立直线与双曲线方程有， 化简得，由韦达定理知， 有，代入直线有．则 联立直线与双曲线方程，化简有， 由韦达定理知，有，代入直线有 设，，， 由得， 化简得，可得，则 ． ②设直线方程为，则有 联立方程组，化简得，则， 由知，由知， ． 31．已知双曲线：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）由右焦点到右准线的距离以及通径长度，结合之间的平方关系即可求解； （2）设直线的方程为，，联立双曲线方程结合韦达定理得，用以及的坐标表示出点以及的方程，根据对称性可知，只需在的直线方程中，令，证明相应的为定值即可求解. 【详解】（1）由题意，所以双曲线的标准方程为. （2）由题意，当直线斜率为0时，直线， 当直线斜率不为0时，设直线的方程为，， ， 所以， 直线的方程为：， 所以的方程为， 由对称性可知过的定点一定在轴上， 令 ， 又， 所以， 所以直线过定点. 32．(24-25高二上·甘肃多校·期末)已知点是抛物线上的一点，点，是上异于点的不同的两点. (1)求的方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值； (3)若直线，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 (3)直线过定点 【分析】（1）利用点在抛物线上，直接代入即可得解； （2）根据题意，联立直线与抛物线方程求得，同理求得，再利用两点斜率公式即可得解； （3）根据题意，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得，，进而求得，，再利用向量垂直的坐标表示求得的关系式，从而利用直线过定点的求法即可得解. 【详解】（1）因为点是抛物线上的一点， 所以，解得，所以的方程为； （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 则直线的方程为， 由，得， 则， 所以，解得， 同理可得， 所以， 即直线的斜率为定值，该定值为； （3）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 设，， 由，得， 所以，，， 所以， ， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以或，即或， 若，则，， 则，过定点，与点重合，不符合题意； 若，则，， 则，过定点， 综上，直线过定点. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 33．(23-24高二上·河南商丘第二高级中学·月考)（多选）已知动点在双曲线上运动，则下列结论正确的是（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为 C．焦点到渐近线的距离为1 D．动点到两渐近线的距离之积为定值 【答案】AD 【分析】根据双曲线的离心率、渐近线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】双曲线，对应， 所以双曲线的离心率为，A选项正确. 渐近线方程为，B选项错误. 左右焦点坐标为，到渐近线的距离为： ，所以C选项错误. 设， 到渐近线的距离之积为为定值，D选项正确. 故选：AD 34．(21-22高二上·浙江杭州高级中学·期末)设F为双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点，满足．    (1)求C的离心率； (2)若，点A在双曲线C上，点B在直线上，满足，试判断直线与圆O的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)直线与圆O相切，理由见解析. 【分析】（1）根据题设易知与相互垂直平分，结合为直径、在圆上列方程求离心率； （2）由题意双曲线，且圆，，半径，令且，，利用垂直关系得，再写出直线的方程，应用点线距离公式判断到直线距离与半径大小，即可得结论. 【详解】（1）由，即也是以为直径的圆的一条直径，所以与相互垂直平分， 又在圆上，所以，又， 所以. （2）直线与圆O相切，理由如下： 由题设，双曲线，且圆，，半径， 令且，，则，，又， 所以，则， 则直线，整理得， 所以到直线距离，又， 则， 所以直线与圆O相切. 地 城 考点05 圆锥曲线中的中点弦 35．已知直线与椭圆C）交于A，B两点，线段AB的中点为，则C的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设出，，代入椭圆方程，相减后得到，结合及直线斜率为，，求出离心率范围，得到答案. 【详解】设，，则， 从而，故， 由题意可得， 故，又因为， 则，从而， 因为，所以， 椭圆C的离心率， 所以椭圆离心率范围为， 故与满足要求. 故选：BD 36．(24-25高二上·甘肃酒泉·期末)已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆（即）上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 37．已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆C的离心率为 C．直线l的方程为 D．的周长为 【答案】AC 【分析】先由题意求出即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D. 【详解】如图所示：    根据题意，因为焦点在y轴上，所以，则，故选项A正确； 椭圆C的离心率为，故选项B不正确； 不妨设，则，， 两式相减得，变形得， 又注意到点为线段的中点，所以， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即，故选项C正确； 因为直线l过，所以的周长为，故选项D不正确. 故选：AC． 38．(24-25高二上·甘肃兰州第一中学·期末)设为双曲线上两点，如下三个点：中，可作为线段中点的是 .（请将所有满足条件的点填入） 【答案】（写也可以） 【分析】根据给定条件，利用点差法列式，再将的坐标代入并求出对应的直线方程，与双曲线方程联立验证得解. 【详解】设，则线段的中点坐标为，直线的斜率， 由在双曲线上，得，两式相减可得， 因此， 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，即直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 由，消去得， 此时，直线与双曲线没有交点，不符合题意； 对于，得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点，符合题意， 所以可作为线段中点的是. 故答案为： 39．(24-25高二上·甘肃·期末)已知椭圆内一点，直线与椭圆交于两点，且为线段的中点，则 ． 【答案】 【分析】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，联立方程组结合弦长公式即可求解. 【详解】设, 则，两式作差可得：， 因为为线段的中点，所以， 则， 所以直线的方程为， 联立，则， 所以， 故答案为： 40．(21-22高二下·江苏南通海安·期末)已知椭圆的左焦点，右顶点． (1)求的方程 (2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得a，c的值，根据a，b，c的关系，求得的值，即可得答案. （2）设点 ，即可得M点坐标及直线OM的方程，与直线l联立，可得N点坐标，即可得坐标，结合数量积公式，即可得证 【详解】（1）设椭圆的半焦距为． 因为椭圆的左焦点，右顶点， 所以，． 所以， 故C的方程为：； （2）设点，且， 因为为线段的中点，所以， 所以直线的方程为：， 令，得，所以点， 此时， ， ， 所以 ， 所以，所以． 41．(24-25高二上·甘肃临夏州高中·期末)已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为. (1)求的方程； (2)过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. 【详解】（1）由题意知，， 解得，故双曲线的方程为. （2）①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以， 则， 所以， 则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 42．(22-23高二上·甘肃庆阳宁县第二中学·期末)已知双曲线C的两个焦点坐标分别为，双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2． (1)求双曲线C的标准方程； (2)经过点作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程： (3)已知定点，点D是双曲线C右支上的动点，求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据双曲线的定义及焦点坐标可得双曲线方程； （2）利用点差法求直线方程； （3）根据双曲线的定义可得，进而即得. 【详解】（1）由题可设双曲线方程为， 由双曲线的焦点为，，得， 又双曲线C上一点P到距离差的绝对值等于2，则， 所以， 所以双曲线方程为； （2）设，，则， 作差可得， 即， 又为的中点，即，， 代入得， 即直线的斜率， 直线的方程为，即， 此时由可得， ，故所求直线为. （3）由题可知，即， 所以，当且仅当在线段上时等号成立， 又，，， 所以的最小值为. 43．(23-24高二下·陕西西安临潼区·期末)已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为， 由题意得，解得，， 所以椭圆的方程为. （2）直线的斜率存在，设斜率为， 直线的方程为，即， 联立， 消去得：， 设， 因为，即， 所以，解得， 此时满足题意 所以所求直线的方程为. 地 城 考点06 直线与圆锥曲线位置关系运用 44．(23-24高二上·陕西西安莲湖区·期末)若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由直线与圆相离得，则点在椭圆的内部，由此即可得解. 【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2. 故选：D. 45．(24-25高二上·贵州黔西南布依族苗族安龙县第四中学·期中)已知F为双曲线（，）的右焦点，A为C的左顶点，点B在C上，且BF垂直于x轴，若AB的斜率为1，则C的实轴长与虚轴长的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用椭圆方程求得点的坐标，结合AB的斜率得到，从而得到关于的齐次方程，进而得到，，由此得解. 【详解】依题意可知，在第一象限，， 将点代入椭圆方程，得，则， 则，又因为AB的斜率为1，所以， 又，所以，即， 解得或（舍去），则， 所以的实轴长为与虚轴长的比值为. 故选：A. 46．(22-23高三·四川广安·)过抛物线的焦点F且倾斜角为锐角的直线与C交于两点A，B（横坐标分别为，，点A在第一象限），为C的准线，过点A与垂直的直线与相交于点M．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】由已知可求得直线的斜率为，则直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，可求出，，即可解得结果. 【详解】设直线的斜率为，倾斜角为，. 由抛物线的定义知，，又，所以为等边三角形，且轴，所以，则. ，则直线的方程为， 联立直线的方程与抛物线的方程，可得， 解得，，显然，所以，， 所以，. 故选：C. 47．(24-25高二上·甘肃庆阳·期末)已知点F是抛物线C：的焦点，点A是抛物线C的准线与x轴的交点，过点A且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，则下列说法正确的是（   ） A．k的取值范围为 B． C．若，则或 D．点M关于x轴的对称点在直线NF上 【答案】ABD 【分析】求出抛物线的焦点、准线方程，将直线的方程与抛物线方程联立，由判别式判断A；利用抛物线的定义结合几何图形推理判断B；利用韦达定理求出判断C；利用斜率坐标公式、结合韦达定理求解判断D. 【详解】抛物线C：的焦点，准线，点，直线， 对于A，由消去得：，依题意，， 解得且，因此k的取值范围为，A正确； 对于B，过作准线的垂线，垂足分别为，则， 因此，即，B正确； 对于C，由，得，设， 则，而，联立解得，C错误； 对于D，直线的斜率，直线的斜率， ， 令点M关于x轴的对称点为，则直线的斜率， 而直线与直线有公共点，因此点在直线上，D正确. 故选：ABD    【点睛】关键点点睛：作出几何图形，利用平行线分线段成比例，结合抛物线定义是判断选项B的关键. 48．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)已知抛物线的焦点为，坐标原点为，点、、在抛物线上，其中，直线、的倾斜角互补，直线的斜率为．    (1)求抛物线的方程； (2)求直线的斜率； (3)设点到直线的距离为，当取最大值时，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点的坐标代入抛物线的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，由韦达定理求出，同理得出，计算出的值，再结合直线的斜率公式可求得直线的斜率； （3）求出点、的坐标，求出直线的方程，可求出，利用抛物线的焦半径公式可得出，令，得，结合基本不等式可求得的最大值及其对应的值. 【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得， 所以抛物线的方程为． （2）由题意可知，直线的方程为，其中， 由,可得， 设、，则，所以． 因为直线、的倾斜角互补，所以直线、的斜率互为相反数， 同理可得，则， 所以直线的斜率． （3）由（2）可知，，、， 所以直线的方程为，即， 点到直线的距离． 因为， ， 所以 ， 令，由，得， 所以， 当且仅当，即时取等号． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 49．(24-25高二上·甘肃甘南州卓尼县柳林中学·期末)已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点. (1)求抛物线的方程与焦点坐标； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同两点，，若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据抛物线过点代入方程求出，即可得到抛物线方程，及焦点坐标； （2）设，联立，根据，由，结合韦达定理求解. 【详解】（1）因为点在抛物线上， 所以，解得，所以抛物线方程为，焦点为 （2）设，联立 得， 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 则， ，即， 解得或， 又当时，直线过原点，不符合题意，故舍去； 所以实数的值为. 50．(24-25高二上·甘肃·期末)在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)求斜率的取值范围； (3)当时，求两点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题设求出基本量后可得椭圆的方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，消元后利用判别式为正可求参数的范围； （3）结合（2）中结果可求两点坐标. 【详解】（1）由题意得， 又，所以，所以的方程为． （2）过点且斜率为的直线的方程为， 联立与，得， ，解得或， 故斜率的取值范围是． （3）时，， 联立得，， 解得或， 当时，，当时，， 故或． 51．(24-25高二上·甘肃白银靖远县第四中学·期末)设椭圆方程的离心率为，上､下顶点分别为，右焦点为，且__________． 在①，②③这三个条件中任选一个，填在上面的横线上，并解答． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线交椭圆于两点（不同于两点），且，试求直线的方程． 注：若选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分． 【答案】(1)条件选择见解析，椭圆的方程为 (2) 【分析】（1）根据所选条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）先求得的坐标，然后对直线的斜率是否为进行分类讨论，结合根与系数关系、向量数量积运算来求得正确答案. 【详解】（1）若选①：由，即， 且，可得，所以椭圆的方程为． 若选②：由知，又离心率，所以， 所以椭圆的方程为． 若选③：由可知，又离心率， 所以， 所以椭圆的方程为． （2）由（1）知，椭圆的方程为，所以， 由，可得，所以． 当直线的斜率为0时，， ，不合题意． 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立得，判别式， ， 因为，所以， 即， 所以，解得或． 当时，直线经过点，不符合题意， 当时，直线，符合题意． 综上，直线的方程为．    52．(21-22高二上·广西贺州·)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的焦距为4，且过点. (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M，N两点，问是否存在直线l，使得F为的垂心（高的交点），若存在，求出直线l的方程：若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在： 【分析】（1）根据题意，列出关于a，b，c的关系，计算求值，即可得答案. （2）由（1）可得B、F点坐标，可得直线BF的斜率，根据F为垂心，可得，可得直线l的斜率，设出直线l的方程，与椭圆联立，根据韦达定理，结合垂心的性质，列式求解，即可得答案. 【详解】（1）因为焦距为4，所以，即， 又过点，所以， 又，联立求得， 所以椭圆C的方程为 （2）由（1）可得， 所以， 因为F为垂心，直线BF与直线l垂直， 所以，则，即直线l的斜率为1， 设直线l的方程为，， 与椭圆联立得，， 所以， 因为F为垂心，所以直线BN与直线MF垂直， 所以，即， 又， 所以，即， 所以，解得或， 由，解得， 又时，直线l过点B，不符合题意，所以， 所以存在直线l：，满足题意. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $