专题01 一元二次方程5大考点（期末真题汇编，黑龙江专用）九年级数学上学期人教版

专题01 一元二次方程 5大高频考点概览 考点01 一元二次方程的相关概念 考点02 一元二次方程根的判别式 考点03 一元二次方程根与系数的关系 考点04 一元二次方程的解法 考点05 实际问题与一元二次方程 地 城 考点01 一元二次方程的相关概念 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江虎林·期末)下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·黑龙江佳木斯·期末)下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县·期末)若关于的方程的一个根是1，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 4．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末)若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围为（  ） A． B． C．且 D．且 5．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区·期末)是关于的一元二次方程的解，则（  ） A． B． C．4 D． 二、填空题 6．(24-25九上·黑龙江省龙东地区部分学校·期末)若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 7．(24-25九上·黑龙江佳木斯·期末)若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 8．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县·期末)若关于的方程是一元二次方程，则 ． 9．(24-25九上·黑龙江省七台河市·期末)已知a是方程的一个根，则 ． 地 城 考点02 一元二次方程根的判别式 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区·期末)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 （    ） A． B． C．且 D．且 2．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市依安县等四地·期末)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 3．(24-25九上·黑龙江省牡丹江市·期末)若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县·期末)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 5．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市拜泉县·期末)已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长的两个根，则k的值等于 ． 三、解答题 6．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)若a2+b2＝c2，则我们把形如ax2+cx+b＝0（a≠0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根． 7．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为5，求的值； (2)为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 地 城 考点03 一元二次方程根与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江绥化望奎县·期末)若关于x的方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)若a，b是一元二次方程的两个实数根，则 ． 3．(24-25九上·黑龙江绥化第四中学·期末)实数m，n分别满足，且，则的值是 ． 4．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)已知是方程的两实数根，则的值为 ． 5．(24-25九上·黑龙江大庆让胡路区·期末)已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和等于44，则m的值是 三、解答题 6．(24-25九上·黑龙江绥化望奎县·期末)已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)当时，求m的值． 7．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县·期末)关于x的一元二次方程． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围； (2)如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根； (3)如果x1，x2是这个方程的两个根，且，求k的值． 地 城 考点04 一元二次方程的解法 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)方程的根是（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．无解 2．(24-25九上·黑龙江绥化望奎县·期末)用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)用配方法解方程时，配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25九上·黑龙江省七台河市·期末)若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是 ． 三、解答题 5．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)解下列一元二次方程： (1)； (2)． 6．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯区·期末)解方程： (1)； (2)． 7．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末)解方程 (1)； (2)． 8．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期末)用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 9．(24-25九上·黑龙江绥化海伦·期末)用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) 10．(24-25九上·黑龙江绥化望奎县·期末)解方程： (1) (2) 11．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔龙江县·期末)用适当的方法解下列方程． (1) (2)． 12．(24-25九上·黑龙江佳木斯·期末)用适当的方法解下列方程． (1) (2)． 13．(24-25九上·黑龙江省龙东地区部分学校·期末)用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 地 城 考点05 实际问题与一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省绥化市望奎县·期末)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15 C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15 2．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期末)某机械厂7月份生产零件5万个，9月份生产零件7.2万个，设该厂8、9月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A． B． C． D． 3．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市拜泉县·期末)某中学九年级学生在七年级时植树400棵，计划到今年毕业时使植树总数达到1324棵，若设植树年平均增长率为x，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·黑龙江省牡丹江市·期末)某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县·期末)某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·黑龙江省龙东地区部分学校·期末) “绿色电力．与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，年新能源汽车年销售量为万辆，预计年新能源汽车手销售量将达到万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔龙江县·期末)某机械厂7月份生产零件5万个，9月份生产零件万个，设该厂8、9月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·黑龙江省七台河市·期末)有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 9．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（   ） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 10．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市第二十中学·期末)某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（    ） A．12元 B．10元 C．11元 D．9元 11．(24-25九上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)某超市十月份的营业额为20万元，十二月份的营业额为28.8万元，则平均每月的增长率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤·期末)化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？假设一个人每节课手把手教会了名同学，可列方程为 ． 13．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县第四共同体·期末)某商品经过连续两次降价，价格从元降为元，则平均每次降低的百分率是 ． 14．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有81只鸡患上该种传染病，按此传播速度，经过3轮传染后共有 只鸡受到传染． 15．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯·期末)众友药店的某药品原价每盒元，该药店经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是 ． 三、解答题 16．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)如图，有一块矩形纸板，长为20cm，宽为14cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分沿虚线折起，就能制作一个无盖的长方体盒子，如果这个无盖的长方体底面积为160cm2，那么该长方体盒子体积是多少？ 17．(24-25九上·黑龙江省佳木斯·期末)如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． (1)的长为_________；的取值范围是_________； (2)当为何值时，可使矩形花园的面积为； (3)嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由. 18．(24-25九上·黑龙江省虎林市·期末)在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个元．若毛绒玩具每个的售价是元时，每天可售出个；若每个售价提高元，则每天少卖个． (1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； (2)如果每天的利润要达到元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ (3)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 19．(24-25九上·黑龙江双鸭山集贤县·期末)如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 20．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期末) “道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全头盔．某商店8月份销售安全头盔个，月份销售个． (1)求该商店安全头盔销售量的月平均增长率； (2)若该安全头盔的进价为元/个，销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元? 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 5大高频考点概览 考点01 一元二次方程的相关概念 考点02 一元二次方程根的判别式 考点03 一元二次方程根与系数的关系 考点04 一元二次方程的解法 考点05 实际问题与一元二次方程 地 城 考点01 一元二次方程的相关概念 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江虎林·期末)下列方程中，是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数且未知数最高次为2的整式方程，可直接选出答案． 【详解】A．该选项的方程不是整式方程，故本选项不符合题意； B．，是一元二次方程，故本选项符合题意； C．当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D．整理可得，不是一元二次方程，故本选项不合题意． 故选：B． 2．(24-25九上·黑龙江佳木斯·期末)下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的一般形式：（、、为常数且），逐一判断即可解答． 【详解】解：A：原方程可化为，是关于的一元二次方程，故此选项符合题意； B：，是二元一次方程，故此选项不合题意； C：，不是方程，故此选项不合题意； D：，化简得，是一元一次方程，故此选项不合题意． 故选：A ． 3．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县·期末)若关于的方程的一个根是1，则的值是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键．根据题意把代入方程计算，即可求解． 【详解】解：的方程的一个根是1 解得： 故选：D． 4．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔建华区·期末)若关于x的方程有两个实数根，则m的取值范围为（  ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 即m的范围为且． 故选：C． 5．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区·期末)是关于的一元二次方程的解，则（  ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值 【详解】解：将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0， 得a+2b＝－1， 2a+4b＝2（a+2b） ＝2×（－1） ＝－2. 故选A. 【点睛】此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键 二、填空题 6．(24-25九上·黑龙江省龙东地区部分学校·期末)若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意得：， 解得． 故答案为：4． 【点睛】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）． 7．(24-25九上·黑龙江佳木斯·期末)若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解．本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程是一元二次方程． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：3． 8．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县·期末)若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】0 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 9．(24-25九上·黑龙江省七台河市·期末)已知a是方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答． 【详解】∵a是方程的一个根，且， ∴，即， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握定义，活用整体思想是解题的关键． 地 城 考点02 一元二次方程根的判别式 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯区·期末)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 （    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到m−1≠0且△＝（2m−1）2−4（m−1）2＞0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得m−1≠0且△＝（2m−1）2−4（m−1）2＞0， 解得且m≠1． 故选：C． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2−4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 2．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市依安县等四地·期末)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．一元二次方程有两个不相等的实数根的条件是：①二次项系数不等于0；②根的判别式． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 即，解得； 又， 的取值范围是：且． 故选：B． 3．(24-25九上·黑龙江省牡丹江市·期末)若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程的根的判别式进行求解． 先根据一元二次方程的根的判别式列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：关于的一元二次方程没有实数根， ，即， 解得：， 的取值范围是， 故选：C． 二、填空题 4．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市龙江县·期末)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据一元二次方程，当方程有两个不相等实数根，则，列出不等式，即可求解． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根 解得且 故答案为：且 5．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市拜泉县·期末)已知m，n，4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长的两个根，则k的值等于 ． 【答案】7或6 【分析】当或时，即，代入方程即可得到结论，当时，即，解方程即可得到结论． 【详解】解：∵、、分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， ∴当或时，即， ∴方程为， 解得：， 此时该方程为， 解得：，， 此时三角形的三边为，符合题意； 当时，即， 解得：， 此时该方程为， 解得：， 此时三角形的三边为，符合题意， 综上所述，的值等于或． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形的三边关系，正确的理解题意是解本题的关键． 三、解答题 6．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)若a2+b2＝c2，则我们把形如ax2+cx+b＝0（a≠0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根． 【答案】（1）3x2±5x+4＝0；（2）见解析 【分析】（1）由a＝3，b＝4，由a2+b2＝c2求出c＝±5，从而得出答案； （2）只要根据一元二次方程根的判别式证明△≥0即可解决问题． 【详解】（1）解：由a2+b2＝c2可得： 当a＝3，b＝4时，c＝±5， 相应的勾系一元二次方程为3x2±5x+4＝0； （2）证明：根据题意，得 △＝（c）2﹣4ab ＝2（a2+b2）﹣4ab ＝2（a﹣b）2≥0 ∵△≥0， ∴勾系一元二次方程ax2+cx+b＝0（a≠0）必有实数根． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 7．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)已知平行四边形的两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为5，求的值； (2)为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 【答案】(1) (2)，平行四边形是菱形，菱形的边长是4 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长． 【详解】（1）解：∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为5， ∴把代入，得 解得：； （2）解：平行四边形是菱形， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 此时方程为， ， ，即菱形的边长为4； 答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4． 地 城 考点03 一元二次方程根与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江绥化望奎县·期末)若关于x的方程的一个根是，则另一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，代入求值，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则+． 由题意得，，而，即可求解． 【详解】解：由题意得，，而， ∴， 故选：C． 二、填空题 2．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)若a，b是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了根与系数的关系，利用根与系数的关系得到． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴． 故答案为：3． 3．(24-25九上·黑龙江绥化第四中学·期末)实数m，n分别满足，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键，若一元二次方程的两个根分别为和，则，，直接利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解∶由题意，m、n可以看作方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 4．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)已知是方程的两实数根，则的值为 ． 【答案】10 【分析】根与系数的关系得到，，再运用通分和完全平方公式变形得到=然后利用整体代入的方法计算得． 【详解】解：根据根与系数的关系得到，， ∴= ． 故答案为：10． 【点睛】此题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程的两个根关系，是本题的关键． 5．(24-25九上·黑龙江大庆让胡路区·期末)已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和等于44，则m的值是 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．先根据根与系数的关系得到，利用完全平方公式得，解出方程，再根据根的判别式判断即可． 【详解】解：设方程的两个实数根为，， 则， ∴， 令，即， 解得：， ∵方程有实数根， ∴， 即：， 综上所述：． 故答案为：1． 三、解答题 6．(24-25九上·黑龙江绥化望奎县·期末)已知是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)当时，求m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用判别式判断根的情况和利用韦达定理建立等式． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，令判别式大于等于0，从而求出m的取值范围． （2）根据一元二次方程根与系数的关系，求解m的值，最后根据（1）中的取值范围确定m的值． 【详解】（1）由题意可得：． 解得：； （2）由根与系数的关系可得：，则， 即， 解得：． 又因为由（1）知， 所以舍去， 故． 7．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县·期末)关于x的一元二次方程． (1)如果方程有两个不相等的实数根，求k的范围； (2)如果方程的一个根是2，求k的值和方程的另一个根； (3)如果x1，x2是这个方程的两个根，且，求k的值． 【答案】(1)k的取值范围为 (2)k的值为8，方程的另一个根为4 (3)k的值为 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，． （1）利用根的判别式的意义得到△，然后解不等式； （2）设方程的另一个根为，根据根与系数的关系得，，然后解方程组即可； （3）根据根与系数的关系得，，再由得到，所以，然后解一次方程即可． 【详解】（1）根据题意得△， 解得， 即的取值范围为； （2）设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系得，， 解得，， 即的值为8，方程的另一个根为4； （3）根据根与系数的关系得，， ， ， ， 解得， 即的值为． 地 城 考点04 一元二次方程的解法 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)方程的根是（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．无解 【答案】C 【分析】本题考查了求解一元二次方程的解，利用因式分解法求解一元二次方程的解即可． 【详解】解：， ， 或2， 故选：C． 2．(24-25九上·黑龙江绥化望奎县·期末)用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的配方法，先移项，再在方程的左右同时加上一次项系数一半的平方，然后化为平方式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， 故选：D． 3．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)用配方法解方程时，配方后所得的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：先整理成一元二次方程的一般形式；②把常数项移到等号的右边；③把二次项的系数化为1；④等式两边同时加上一次项系数一半的平方．先把1移到方程的右边，然后方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式． 【详解】解： 故选：B． 二、填空题 4．(24-25九上·黑龙江省七台河市·期末)若关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是 ． 【答案】 【分析】首先利用方程解得意义得出的值，进而解方程得出即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的一个根是， ， 解得：， 则关于的一元二次方程为：， 解得：，， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确得出的值是解题关键． 三、解答题 5．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤县·期末)解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴， ∵， ∴， ∴， （2） ∴， 则或， 解得， 6．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯区·期末)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）； ， ， 或， ，； （2）， ， ， 或， ，． 7．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔拜泉县·期末)解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：． ，； （2）解：，，， ， ， ， 8．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔龙沙区·期末)用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程： （1）利用公式法求解； （2）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）解：， ， ， 或， 解得，． 9．(24-25九上·黑龙江绥化海伦·期末)用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）利用配方法求解； （2）利用因式分解法求解； （3）利用因式分解法求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴或， 解得：； （3）解：， ∴， ∴或， 解得：． 10．(24-25九上·黑龙江绥化望奎县·期末)解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）运用公式法进行解方程，即可作答． （2）运用因式分解法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：， ∴， ∴此方程无解； （2）解：∵， ∴ ∴ ∴或， ∴． 11．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔龙江县·期末)用适当的方法解下列方程． (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法是解题关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【详解】（1）解： ， （2）解： ， 12．(24-25九上·黑龙江佳木斯·期末)用适当的方法解下列方程． (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程． （1）方程的左边利用十字相乘法因式分解后求解可得； （2）移项后，提取公因式，因式分解法求解可得． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得，； （2）解：， ， ， ∴或， 解得，． 13．(24-25九上·黑龙江省龙东地区部分学校·期末)用适当的方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． （2）解：， 移项得：， 因式分解得：， ∴，， 解得：，． 地 城 考点05 实际问题与一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·黑龙江省绥化市望奎县·期末)某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元．若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（　　） A．（3+x）（4﹣0.5x）＝15 B．（x+3）（4+0.5x）＝15 C．（x+4）（3﹣0.5x）＝15 D．（x+1）（4﹣0.5x）＝15 【答案】A 【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有(x+3)株，得出平均单株盈利为(4-0.5x)元，由题意得(x+3)(4-0.5x)=15即可． 【详解】解：设每盆应该多植x株，由题意得 (x+3)(4-0.5x)=15， 故选：A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键． 2．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区·期末)某机械厂7月份生产零件5万个，9月份生产零件7.2万个，设该厂8、9月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程解实际问题，设该厂8、9月份平均每月的增长率为，根据该厂7月份和9月份生产零件的数量，即可得出关于的一元二次方程，掌握一元二次方程平均增长率问题的解法是解决问题的关键． 【详解】解：设该厂8、9月份平均每月的增长率为， 根据题意得：， 故选：B． 3．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市拜泉县·期末)某中学九年级学生在七年级时植树400棵，计划到今年毕业时使植树总数达到1324棵，若设植树年平均增长率为x，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程．根据关键描述语“毕业时植树总数为1324棵”找到等量关系，列出方程求解． 【详解】解：设该年级植树平均每年增长率是x，那么八年级时该年级植树棵，九年级时该年级植树棵． 方程可列为， 故选：D． 4．(24-25九上·黑龙江省牡丹江市·期末)某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设有x个球队参加比赛，根据“参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设有x个球队参加比赛，根据题意得： ． 故选：D 5．(24-25九上·黑龙江省绥化市明水县·期末)某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空白区域的面积=矩形空地的面积可得． 【详解】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系． 6．(24-25九上·黑龙江省龙东地区部分学校·期末) “绿色电力．与你同行”，我国新能源汽车销售量逐年增加，据统计，年新能源汽车年销售量为万辆，预计年新能源汽车手销售量将达到万辆，设这两年新能源汽车销售量年平均增长率为x，则所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键． 由题意知，年新能源汽车手销售量将达到万辆，年新能源汽车手销售量将达到万辆，然后依据题意列方程即可． 【详解】解：依题意得，， 故选：A． 7．(24-25九上·黑龙江齐齐哈尔龙江县·期末)某机械厂7月份生产零件5万个，9月份生产零件万个，设该厂8、9月份平均每月的增长率为，那么满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，掌握一元二次方程平均增长率问题的解法是解决问题的关键．设该厂8、9月份平均每月的增长率为，根据该厂7月份和9月份生产零件的数量，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设该厂8、9月份平均每月的增长率为 故选：B． 8．(24-25九上·黑龙江省七台河市·期末)有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是（    ） A．14 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得，然后求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得： ， 解得：（舍去）， 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 9．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条，除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为34米，宽为18米，种植面积为480平方米，则劳动基地中的道路宽为（   ） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 【答案】C 【分析】考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键．假设出修建的路宽应x米，利用图形的平移法，将种植地平移拼接为长方形，即可列出方程，进一步求出x的值即可． 【详解】解：假设修建的路宽应x米，则， ， 整理得：   解得：米，米(不合题意舍去)， 故选C． 10．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市第二十中学·期末)某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（    ） A．12元 B．10元 C．11元 D．9元 【答案】B 【分析】设应降价x元，根据题意列写方程并求解可得答案． 【详解】设应降价x元 则根据题意，等量方程为：(65－x－45)(30+5x)=800 解得：x=4或x=10 ∵要尽快较少库存，∴x=4舍去 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程利润问题的应用，需要注意最后有2个解，需要按照题干要求舍去其中一个解． 11．(24-25九上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)某超市十月份的营业额为20万元，十二月份的营业额为28.8万元，则平均每月的增长率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——增长率问题，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 设平均每月的增长率为，那么十二月份的营业额表示为，即可建立方程求解． 【详解】解：设平均每月的增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 故选：B． 二、填空题 12．(24-25九上·黑龙江省双鸭山市集贤·期末)化学课代表在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后，第一节课手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每个同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班49人恰好都会做这个实验了．问一个人每节课手把手教会了多少名同学？假设一个人每节课手把手教会了名同学，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班49人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：，即 故答案为：． 13．(24-25九上·黑龙江省哈尔滨市巴彦县第四共同体·期末)某商品经过连续两次降价，价格从元降为元，则平均每次降低的百分率是 ． 【答案】 【分析】设平均每次降低的百分率为x，那么第一次降低后的售价是原来的（1-x），那么第二次降低后的售价是原来的（1-x）2，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设平均每次降低的百分率为x，根据题意列方程得： 100×（1-x）2=64， 解得x1=0.2=20%，x2=1.8（不符合题意，舍去）． 故答案为20% 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，根据平均变化率列出方程是解题关键． 14．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有81只鸡患上该种传染病，按此传播速度，经过3轮传染后共有 只鸡受到传染． 【答案】729 【分析】设每轮传染中1只鸡传染x只鸡，则第一轮传染中有x只鸡被传染，第二轮传染中有x（1＋x）只鸡被传染，根据“有一只鸡患了某种传染病，如果不加以控制，则经过两轮传染后将有81只鸡患上该种传染病”，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再将其正值代入81＋81x中即可求出结论． 【详解】解：设每轮传染中1只鸡传染x只鸡，则第一轮传染中有x只鸡被传染，第二轮传染中有x（1＋x）只鸡被传染， 依题意得：1＋x＋x（1＋x）＝81， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴81＋81x＝81＋81×8＝729， ∴经过3轮传染后共有729只鸡受到传染， 故答案为：729． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．(24-25九上·黑龙江省齐齐哈尔市梅里斯·期末)众友药店的某药品原价每盒元，该药店经过连续两次降价，现在售价每盒元，则该药品平均每次降价的百分率是 ． 【答案】 【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1-降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1-x），第二次后的价格是25（1-x）2，据此即可列方程求解． 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元， 故25（1-x）2=16， 解得x=0.2或1.8（不合题意，舍去）， 故该药品平均每次降价的百分率为20%． 故答案为20%． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用中数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a（1±x）2．增长用“+”，下降用“-”． 三、解答题 16．(24-25九上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)如图，有一块矩形纸板，长为20cm，宽为14cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分沿虚线折起，就能制作一个无盖的长方体盒子，如果这个无盖的长方体底面积为160cm2，那么该长方体盒子体积是多少？ 【答案】长方体盒子体积是320cm3 【分析】易得底面积的长=原来的长-2×切去的正方形的边长，宽=原来的宽-2×切去的正方形的边长，根据长×宽=160列方程求得合适解即可． 【详解】设切去的小正方形的边长为x． ， 解得:， 当时，， ∴不合题意，应舍去． 长方体盒子体积， 答：该长方体盒子体积是320cm3． 【点睛】考查一元二次方程的应用，得到无盖方盒的底面积的边长是解决本题的突破点． 17．(24-25九上·黑龙江省佳木斯·期末)如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． (1)的长为_________；的取值范围是_________； (2)当为何值时，可使矩形花园的面积为； (3)嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由. 【答案】(1)；； (2)当为时，矩形花园的面积为； (3)嘉嘉的说法不正确，理由见详解 【分析】（1）利用矩形的性可得到，即可得到BC的表达式，再根据BC大于零并小于等于即可得到x的取值范围； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中x的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由题意得矩形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， ∴当时，可使矩形花园的面积为； （3）嘉嘉的说法不正确； 理由：根据题意得. ∵， ∴该方程无实数根， ∴矩形花园的面积不可以为， 即嘉嘉的说法不正确． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立一元二次方程． 18．(24-25九上·黑龙江省虎林市·期末)在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个元．若毛绒玩具每个的售价是元时，每天可售出个；若每个售价提高元，则每天少卖个． (1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与之间的函数关系式； (2)如果每天的利润要达到元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ (3)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查一次函数、二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．（1）根据题意列出函数解析式即可；（2）利润为元，求的值；（3）求出利润函数解析式，根据二次函数性质求出最值． 【详解】（1）解：根据题意，得， 与之间的函数关系式：； （2）根据题意，得， 解得， 尽可能让利于顾客， ， 答：每个毛绒玩具售价应定为元； （3）， 获利不得高于进价的，， ， ， 当时，随着的增大而增大， 当时，最大，此时． 答：每个售价定为元时，每天销售毛绒玩具所获利润最大，最大利润是元． 19．(24-25九上·黑龙江双鸭山集贤县·期末)如图所示的是2025年1月的日历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，请解答下列问题． (1)若虚线方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数． (2)虚线方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为80吗？若能，请求出最小数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)最小数为10 (2)方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设最小数是，则最大数是，根据“最大数与最小数的乘积为180”，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）设最小数为，则另外三个数分别是，，，根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为80，列出一元二次方程，解之可得出的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设最小数为，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 从日历表中可以看出10是第二行第6个数，符合要求， 答：最小数为10； （2）解：方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80，理由如下： 设最小数为，则另外三个数分别是，，， 由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， 在最后一列， 假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为80． 20．(24-25九上·黑龙江省绥化市海伦市·期末) “道路千万条，安全第一条”．为了平安出行，某地区交警部门提醒市民，骑行需佩戴安全头盔．某商店8月份销售安全头盔个，月份销售个． (1)求该商店安全头盔销售量的月平均增长率； (2)若该安全头盔的进价为元/个，销售过程中发现，当售价为元/个时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到元，并且尽可能让顾客得到实惠，则该头盔的实际售价应定为多少元? 【答案】(1)该商店安全头盔销售量的月平均增长率为 (2)该头盔的实际售价应定为元 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握知识点是解题的关键， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据“从4月份到6月份销售量的月增长率相同”列一元二次方程，求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价为元/个，“月销售利润达到元”列方程，求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 根据题意可得：， 解得：，（舍去）， 答：该商店安全头盔销售量的月平均增长率为． （2）解：设该品牌头盔的实际售价为元/个， 由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌头盔的实际售价为元/个． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $