专题3.5 二（三）元一次方程组的应用（高效培优讲义）数学沪科版2024七年级上册

本讲义聚焦二（三）元一次方程组的应用，系统梳理从审题设元、找等量关系到列解方程组、检验作答的完整步骤，覆盖和差倍分、行程、销售等实际问题类型，搭建从方程解法到实际应用的学习支架。 通过航行问题图示、购物方案对比等实例培养数学眼光，用表格梳理行程问题等量关系发展推理能力，例题变式分层设计。课中助力教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，强化模型意识与应用意识。

专题3.5 二（三）元一次方程组的应用 教学目标 1.确识别实际问题中适合用二（三）元一次方程组解决的场景（如和差倍分、行程、工程、浓度等），明确 “未知数个数与等量关系个数匹配” 的基本前提。 2.熟练掌握 “审题→设元→列方程组→解方程组→检验→作答” 的完整步骤，能根据问题特点灵活选择直接设元或间接设元。 教学重难点 一、教学重点​ 理解方程组的解与实际问题答案的对应关系，确保检验环节不遗漏。 二、教学难点​ 针对复杂实际问题（如含隐藏条件、多个量交叉关联的问题），难以快速梳理出清晰的等量关系，尤其在三元一次方程组应用中，容易混淆不同量之间的对应关系。​ 知识点01 列二元一次方程组解实际问题 1. 列二元一次方程组解实际问题的基本思路 2. 列二元一次方程组解应用题的基本步骤： (1) 审： 通过审题，把实际问题抽象成数学问题； (2) 设： 分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量(设元)； (3) 找： 找出题中的两个等量关系； (4) 列： 根据等量关系列出方程组； (5) 解： 解这个方程组，求出未知数的值； (6) 答： 检验所求解是否符合实际意义，写出答案 . 3. 列二元一次方程组解决实际问题常见的类型 和差倍分问题、古代算术问题、积分问题、行程问题、百分比问题、分配问题、销售问题、数字问题、工程问题、图形面积问题等 . 4.行程问题的三种基本类型 (1) 相遇问题 相遇问题 直行相遇问题 环形相遇问题 图示 等量关系 v甲 t+v乙t=S总 (S环形周长) (2) 追及问题 追及问题 直行追及问题 环形追及问题 图示 等量关系 v 快t－v 慢t = s相距 (s 环形周长) (3)航行问题 航行问题 顺水航行 逆水航行 图示 速度关系 v 顺水=v 静水+v 水 v 逆水=v 静水－v 水 【即学即练1】（购物问题）（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）某中学七年级（3）班去体育用品商店买一些篮球和足球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个足球，花570元，并且每个足球比篮球便宜25元． (1)求篮球和足球的单价各是多少； (2)商店里搞活动，有两种套餐： ①套餐打折：五个篮球和五个足球为一套餐，套餐打八折； ②满减活动：满1000减100，满2000减200； 两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个足球，请问如何安排更划算？ 【即学即练2】（图表问题）（23-24七年级上·安徽安庆·月考）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【即学即练3】（生产问题）某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共550台，经市场调查决定调整两种机器的产量，计划第二季度生产这两种机器共536台，其中甲种机器产量要比第一季度增产12%，乙种机器产量要比第一季度减产20%．该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？ 【即学即练4】（工程问题）（22-23七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读理解： 为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天. (1)根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：            乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：表示___________________，表示_______________； 乙：表示___________________，表示_______________； (2)求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？ 【即学即练5】（行程问题）（24-25七年级上·安徽亳州·月考）甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 【即学即练6】（数字问题）（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数2倍小1，求这个两位数． 【即学即练7】（门票问题）5月19日是“中国旅游日”，为拓宽学生视野，某校组织前往闻名遐迩的“将军县”兴国县开展研学旅行活动．在此次活动中，小亮、小红等同学随老师一同到某景区游玩．已知成人票每张60元，学生票按成人票七折优惠．他们一共220人，门票共需9600元． (1)小亮他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)如果团体票（60人或60人以上）每人按成人票六折优惠，请你帮助小亮算一算，如何购票更省钱？ 知识点02 列三元一次方程组解决实际问题 列三元一次方程组解决实际问题的步骤 (1) 弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的未知量； (2) 找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系； (3) 根据等量关系列出方程，联立方程组； (4) 解方程组求出未知数的值； (5)写出答案，包括单位名称 . 【即学即练】小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？ 题型01 利用二元一次方程组解决航行问题 【例1-1】甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用4小时，求船在静水中的航速及水流速度． 【例1-2】一架客机从甲地顺风飞行到乙地，需要4小时，这架客机从乙地沿相同的航线逆风飞行到甲地，需要4.2小时，若甲地和乙地的航线距离是4200千米，求这架飞机在无风时的平均速度和风速． 【变式1-1】一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时，求水流的速度和甲、乙码头间的距离？（顺水速度静水速度水流速度；逆水速度静水速度水流速度，用二元一次方程组的知识解答） 【变式1-2】为了解长江某段的水污染状况，某校七年级一班在甲、乙两码头间组织实地考察活动．已知当天水流速度是，轮船顺流航行用了5小时，逆流航行用了7小时，求甲、乙两码头的距离以及船在静水中的速度． 【变式1-3】今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行．从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)若在重庆港口、石宝寨两地之间需建新码头便于游客休息观光，使该客轮从重庆港到该码头和从石宝寨到该码头所用的航行时间相同，问重庆港与该码头两地相距多少千米． 【变式1-4】一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时． (1)求水流速度和AB两地之间的距离； (2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？ 【变式1-5】一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 题型02 利用二元一次方程组解决销售问题 【例2-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“神舟”和“天宫”两种模型．已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元．求每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元？ 【例2-2】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某公司准备去超市采购牛奶和面包若干箱，采购员设计了两种不同的购买方案，如表所示． 牛奶/箱 面包/箱 金额/元 方案一 方案二 (1)采购员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，请你计算被污渍盖住的地方对应的金额是多少元； (2)若公司购买牛奶箱，面包箱，需支付费用元． ①求牛奶和面包每箱分别为多少元； ②若超市中该款面包和牛奶有部分因包装破损进行打六折的促销活动，采购员根据需要选择原价或打折的面包和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是购买的牛奶与面包总箱数的，则此次按原价购买的面包有多少箱？ 【变式2-1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了A，B两种产品．已知出售1件A产品和2件B产品共收入700元，出售2件A产品和3件B产品共收入1200元． (1)求A产品和B产品的单价； (2)若出售A，B两种产品（均有销售）共收入1800元，则出售A，B两种产品各几件？ 【变式2-2】（23-24七年级上·安徽蚌埠·期末）某商场第1次用39000元购进甲，乙两种商品，销售完后获得利润6000元，它们的进价和售价如表（总利润单价利润销售量）： 价格商品 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 120 135 乙 100 120 (1)该商场第1次购进甲，乙两种商品各多少件？ (2)商场第2次以原进价购进甲，乙两种商品，购进甲商品的件数不变，而购进乙商品的件数是第1次的2倍，甲商品按原售价销售，而乙商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5400元，则乙种商品是按几折销售的？ 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）年月，中国航空工业迎来了一个历史性的时刻——在短短小时内，两款疑似六代战斗机相继试飞成功，这一壮举不仅让国人热血沸腾，更让全球军事界为之震动．如果消息属实，那么我们现在也有了先进的飞机大炮，希望敌人们最好也有钢铁般的意志！受此消息影响，一款飞机模型在网上爆火．某玩具店为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为元和元的，两种型号的飞机模型，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型 第一天 件 件 第二天 件 件 (1)求、两种型号的飞机模型的销售单价； (2)该玩具店准备了元全部用于再采购这两种型号的飞机模型共件，求种型号的模型能采购多少件？ (3)在（2）的条件下，玩具店销售完这件模型能否实现元的利润目标？请说明理由． 题型03 利用二元一次方程组解决分配问题 【例3-1】列方程或方程组解应用题 福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？多少名工人制作裤子？ 【例3-2】（22-23七年级上·安徽·期末）某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车． (1)装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？ (2)第三次安排大、小货车共12辆向甲地运输208吨蔬菜，若要使得每辆车都装满，则大货车和小货车分别需要多少辆？ 【例3-3】运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲，乙，丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如下表所示．(假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 运载量(吨/辆) 5 8 10 运费(元/辆) 450 600 700 解答下列问题： （1）安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车___________辆可将全部物资一次运完； （2）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车各需多少辆? （3）若用甲、乙，丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各需多少辆?此时总运费为多少元? 【变式3-1】某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元，一个人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元，两种客房各租住了多少间？ 【变式3-2】某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 【变式3-3】为了充分保护师生的健康，我县某学校计划用58000元购进甲、乙两种医用口罩共计1800盒，甲，乙两种口罩的售价分别是30元/盒，35元/盒． (1)求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？ (2)现已知甲，乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒；按照疫情防控部门要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，每人每天2个口罩；该校师生共计1800人，问购买的口罩数量是否能满足要求？ 【变式3-4】一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件?每天能生产多少套产品? (2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件． ①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示） ②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务? 题型04 利用二元一次方程组解决最佳方案问题 【例4-1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）我市的雨山湖公园，娟秀妩媚，环境优雅，湖水清澈见底，是市民游玩休闲的好地方．某校七年级1班学生计划假期去雨山湖游玩，游船价格如下表： 船型 四座电动船 六座电动船 价格 元/小时 元/小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩小时，请解决下面问题： (1)若租用四座电动船条数与六座电动船条数之比为，所有船恰好坐满，需花费元，那么租用了几条四座电动船？ (2)若每条船均坐满，且每种船型至少一条；列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 【例4-2】（24-25七年级上·安徽六安·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【例4-3】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车向内地运输蔬菜，租用这两种货车的部分信息如下表： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 2辆 5辆 (1)求1辆中型车和1辆大型车满载一次各运输蔬菜的吨数； (2)若蔬菜种植基地计划一次运完蔬菜，且恰好每辆车都装满． （i）请你帮该蔬菜种植基地设计租车方案； （ii）若中型车每辆需租金1000元/次，大型车每辆需租金1500元/次，请你帮该蔬菜种植基地计划最少租车费是多少元？此时租车方案是什么？ 【变式4-1】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车共需85万元；购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需90万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆型汽车可获利1.8万元，销售1辆型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式4-2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）某蔬菜种植基地向内地某城市运送114吨蔬菜，计划租用甲、乙两种车型货车运输该批蔬菜，已知关于该两种车型货车运输此类蔬菜有以下运输信息： 甲型车（满载） 乙型车（满载） 运货总量 2辆 3辆 42吨 3辆 4辆 58吨 根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆甲型车和1辆乙型车都装满货物一次可分别运输此类蔬菜多少吨？ (2)若蔬菜种植基地管理人员打算租用甲乙两种货车一次运完且恰好每辆车都装满此类蔬菜： ①请你帮该蔬菜种植基地管理人员设计租车方案； ②若甲型车每辆需租金1000元/次，乙型车每辆需租金1200元/次．请你帮他们算算，最少租车费是多少元？ 此时租车方案是什么？ 【变式4-3】（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？ 【变式4-4】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进辆型和辆型汽车需要万元，辆型和辆型汽车需要万元． (1)求两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车，请你帮助该公司设计部门，写出有哪几种购买方案． (3)若销售两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 题型05 列三元一次方程组解决生活实际问题 【例5】两个小伙伴共带100只鸡蛋去卖，一个带得多，一个带得少，但卖了同样的价钱，一个对另一个说：“如果我有你那么多鸡蛋，我能卖15元．”另一个说：“如果我有你那么多鸡蛋，只能卖元．”问两人各有多少鸡蛋？希望你有尽可能简单的解答． 【变式5-1】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为人/分钟．若车站只开2个检票口，则需要30分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放3个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕． (1)求与之间的数量关系． (2)若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放多少个检票口？ 【变式5-2】一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量． 【变式5-3】【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按如图1所示的方式放置，再交换两木块的位置，按如图2所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个不同整数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为（    ） A．3 B． C． D．2 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图是7块形状大小相同的长方形墙砖组成的电视墙．若该电视墙的长度为，则该电视墙的周长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（   ） A．4定绢价50贯，3定布价90贯 B．4定绢价90贯，3定布价50贯 C．4定布价90贯，3定绢价50贯 D．4定布价50贯，3定绢价90贯 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在周长为的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）小明在文化用品超市购买单价为2元的签字笔和单价为3元的笔记本，一共花了元，则购买方案有 种． 8．有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根、乙种1根、丙种3根，共长23米；甲种1根、乙种4根、丙种5根，共长36米；问甲种1根、乙种2根、丙种3根，共长 米． 9．（22-23七年级上·安徽六安·期末）“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为．今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．设所需大圈舍间，小圈舍间，则求得的结果有 种． 10．（24-25七年级上·重庆·期中）对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，，是“七巧数”；，，不是“七巧数”．最小的“七巧数”是 ；若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则的最大值是 ． 11．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 三、解答题 12．（22-23七年级上·安徽安庆·期末）学校为丰富大课间体育活动项目，决定再购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，小明完成购买任务回学校向李老师汇报说：“这两种球拍共30付，乒乓球拍单价为40元，羽毛球拍单价为64元，买之前我领了1600元，现在还余76元．”李老师算了一下，说：“你肯定搞错了．” (1)李老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释； (2)小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他忘记还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为介于10到20之间的整数，请问：笔记本的单价为多少元？ 13．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某商场用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台，已知A品牌取暖器每台进价为60元，售价为80元；B品牌取暖器每台进价为70元，售价为100元． (1)两种取暖器各购进多少台？ (2)在将两种取暖器从厂家运往商场的过程中，A品牌取暖器损坏了5台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知B品牌取暖器在原售价基础上提高，问A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ 14．（22-23七年级上·安徽蚌埠·期末）打折前，在某商场买6件商品和3件商品共用108元钱，买5件商品和1件商品共用84元钱．该商场做活动时，各种商品均按相同的折扣打折销售，某消费者买50件商品和50件商品共用750元． (1)没打折时，一件商品，一件商品的价格分别是多少钱？ (2)做活动时，商场商品打几折？ 15．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某旅行社拟寒假期间推出研学游活动，原定收费标准为200元/人，现预售期间推出优惠方案如下： 人数m 折扣 九五折 八五折 七五折 已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人，经核算，若两校分别组团共需花费46000元，若两校联合组团只需花费39000元． (1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？ (2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？ 16．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）当下公园露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式．某户外用品店老板决定采购一批帐篷进行销售，已知A型普通帐篷的进价比B型简易帐篷多100元，购买40顶A型帐篷和60顶B型帐篷的金额相同． (1)每顶A型帐篷和B型帐篷的进价分别是多少元？ (2)8月份该店以a元每顶售出A型帐篷120顶，以b元每顶售出B型帐篷150顶．销售收入合计为79200元． ①用含a的式子来表示b； ②9月份该店根据市场变化决定每顶A型帐篷的售价不变，每顶B型帐篷的售价在8月的基础上下降了元，9月份A型帐篷的销售数量比8月份增加了60顶，B型帐篷的销售数量是8月份的，该店9月份销售这两种帐篷共获利12600元，求a的值． 17．（23-24八年级上·安徽宿州·阶段练习）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行试销售，据了解1辆甲型新能源汽车、3辆乙型新能源汽车的进价共计55万元；4辆甲型新能源汽车、2辆乙型新能源汽车的进价共计120万元． (1)求甲、乙两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元? (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），通过计算求出该公司全部的购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆甲型新能源汽车可获利9000元，销售1辆乙型新能源汽车可获利4000元，在（2）的购买方案中，若每种方案中的新能源汽车均全部售出，请问哪种方案获利最大，最大利润为多少? 18．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，这是用棋子摆成的“T”字图案．从图案中可以看出，第1个“T”字图案需要5枚棋子，第2个“T”字图案需要8枚棋子，第3个“T”字图案需要11枚棋子． (1)照此规律，摆成第5个“T”字图案需要 枚棋子； (2)摆成第n个“T”字图案需要 枚棋子； (3)若有6077枚棋子能摆成“T”字图案吗？若能请求出是第几个“T”字图案，若不能请说明理由． 19．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是先解方程组得出x、y的值，再代入要求代数式的值，从而得到问题的答案，这样常规思路的运算量有时比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ (3)某社交平台上有这样的一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 二（三）元一次方程组的应用 教学目标 1.确识别实际问题中适合用二（三）元一次方程组解决的场景（如和差倍分、行程、工程、浓度等），明确 “未知数个数与等量关系个数匹配” 的基本前提。 2.熟练掌握 “审题→设元→列方程组→解方程组→检验→作答” 的完整步骤，能根据问题特点灵活选择直接设元或间接设元。 教学重难点 一、教学重点​ 理解方程组的解与实际问题答案的对应关系，确保检验环节不遗漏。 二、教学难点​ 针对复杂实际问题（如含隐藏条件、多个量交叉关联的问题），难以快速梳理出清晰的等量关系，尤其在三元一次方程组应用中，容易混淆不同量之间的对应关系。​ 知识点01 列二元一次方程组解实际问题 1. 列二元一次方程组解实际问题的基本思路 2. 列二元一次方程组解应用题的基本步骤： (1) 审： 通过审题，把实际问题抽象成数学问题； (2) 设： 分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知量(设元)； (3) 找： 找出题中的两个等量关系； (4) 列： 根据等量关系列出方程组； (5) 解： 解这个方程组，求出未知数的值； (6) 答： 检验所求解是否符合实际意义，写出答案 . 3. 列二元一次方程组解决实际问题常见的类型 和差倍分问题、古代算术问题、积分问题、行程问题、百分比问题、分配问题、销售问题、数字问题、工程问题、图形面积问题等 . 4.行程问题的三种基本类型 (1) 相遇问题 相遇问题 直行相遇问题 环形相遇问题 图示 等量关系 v甲 t+v乙t=S总 (S环形周长) (2) 追及问题 追及问题 直行追及问题 环形追及问题 图示 等量关系 v 快t－v 慢t = s相距 (s 环形周长) (3)航行问题 航行问题 顺水航行 逆水航行 图示 速度关系 v 顺水=v 静水+v 水 v 逆水=v 静水－v 水 【即学即练1】（购物问题）（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）某中学七年级（3）班去体育用品商店买一些篮球和足球，供班上同学进行体育锻炼时使用，共买了2个篮球和6个足球，花570元，并且每个足球比篮球便宜25元． (1)求篮球和足球的单价各是多少； (2)商店里搞活动，有两种套餐： ①套餐打折：五个篮球和五个足球为一套餐，套餐打八折； ②满减活动：满1000减100，满2000减200； 两种活动不重复参与，学校打算购买14个篮球，12个足球，请问如何安排更划算？ 【详解】（1）解：设篮球单价为每个元，足球单价为每个元， 由题意可得， 解方程组得， 答：篮球每个元，足球每个元； （2）解：若按照①套餐打折购买费用为： （元）， 若参加②满减活动购买费用为： （元）， 又， 所以（元）． 而， 所以选择套餐①所花费用比选择套餐②所花费用低． 【即学即练2】（图表问题）（23-24七年级上·安徽安庆·月考）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，即每月用电量在一档的部分按元/度收费，超出一档的部分按b元/度收费，超出二档的部分按元/度收费，具体收费标准如下表所示： 阶梯 电量（单位：度） 电费价格 一档 元度 二档 元度 三档 元度 (1)已知小明家5月份用电度，缴纳电费元，6月份用电度，缴纳电费元，请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值． (2)7月份开始用电增多，小明家缴纳电费元，求小明家7月份的用电量． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：a的值为，b的值为． （2）解：若一个月用电量为度，电费为（元）， ∵， ∴小明家7月份用电量超过度． 设小明家7月份用电量为x度， 依题意得：， 解得：． 答：小明家7月份的用电量为度． 【即学即练3】（生产问题）某工厂第一季度生产甲、乙两种机器共550台，经市场调查决定调整两种机器的产量，计划第二季度生产这两种机器共536台，其中甲种机器产量要比第一季度增产12%，乙种机器产量要比第一季度减产20%．该厂第一季度生产甲、乙两种机器各多少台？ 【详解】.解：设某工厂第一季度生产甲、乙两种机器分别生产台，   则 解得 答：某工厂第一季度生产甲、乙两种机器各生产300，250台. 【即学即练4】（工程问题）（22-23七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读理解： 为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天. (1)根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：            乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：表示___________________，表示_______________； 乙：表示___________________，表示_______________； (2)求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？ 【详解】（1）解：甲：， 乙：； 甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量； 故答案为：A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量． （2）解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 则，， 答：A队整治河道120米，B队整治河道240米． 【即学即练5】（行程问题）（24-25七年级上·安徽亳州·月考）甲、乙两地相距千米，一列慢车从甲地开出，一列快车从乙地开出，如果两车同向而行，快车小时追上慢车：如果两车相向而行，小时后两车相遇，试问： (1)两车的速度分别是多少？ (2)若两车同时相向而行，多少时间可以相距千米？ 【详解】（1）解：设快车、慢车的速度分别为则由题意，得 解得 答：快车、慢车的速度分别为． （2）设解：时间为小时，则由题意，得 或 解得或 答：两车相向而行，1小时或者3小时可以相距． 【即学即练6】（数字问题）（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数2倍小1，求这个两位数． 【详解】解：设原两位数十位上的数是，个位上的数是， 则 解得． 答：所求的两位数是． 【即学即练7】（门票问题）5月19日是“中国旅游日”，为拓宽学生视野，某校组织前往闻名遐迩的“将军县”兴国县开展研学旅行活动．在此次活动中，小亮、小红等同学随老师一同到某景区游玩．已知成人票每张60元，学生票按成人票七折优惠．他们一共220人，门票共需9600元． (1)小亮他们一共去了几个成人，几个学生？ (2)如果团体票（60人或60人以上）每人按成人票六折优惠，请你帮助小亮算一算，如何购票更省钱？ 【详解】（1）解：（1）设小亮他们一共去了x个成人，y个学生， 依题意得： ， 解得：． 答：小亮他们一共去了20个成人，200个学生． （2）解：购买团体票所需费用为60×0.6×220=7920（元）， ∵7920＜9600， ∴购买220张团体票更省钱． 知识点02 列三元一次方程组解决实际问题 列三元一次方程组解决实际问题的步骤 (1) 弄清题意和题目中的数量关系，用三个未知数表示题目中的未知量； (2) 找出能够表达应用题全部含义的三个等量关系； (3) 根据等量关系列出方程，联立方程组； (4) 解方程组求出未知数的值； (5)写出答案，包括单位名称 . 【即学即练】小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，平路，和下坡路．如果保持上坡路每小时行3千米．平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千米．那么小明从家到学校用一个小时，从学校到家要44分钟，求小明家到学校上坡路、平路、下坡路各是多少千米？ 【详解】解：设去时上坡路是x千米，平路是y千米，下坡路是z千米．依题意得： ， 解得． 答：上坡路2.25千米、平路0.8千米、下坡路0.25千米． 题型01 利用二元一次方程组解决航行问题 【例1-1】甲、乙两码头相距60千米，某船往返两地，顺流时用3小时，逆流时用4小时，求船在静水中的航速及水流速度． 【详解】解：设船在静水中的航速为每小时千米，水流速度为每小时千米，由题意，得： ，解得； 答：船在静水中的航速是17.5千米/时，水流速度为2.5千米/时． 【例1-2】一架客机从甲地顺风飞行到乙地，需要4小时，这架客机从乙地沿相同的航线逆风飞行到甲地，需要4.2小时，若甲地和乙地的航线距离是4200千米，求这架飞机在无风时的平均速度和风速． 【详解】解：设飞机在无风时的平均速度是千米/时，风速是千米/时，根据题意得： ，解得 答：飞机在无风时的平均速度是千米/时，风速是千米/时． 【变式1-1】一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了2小时，从乙码头到甲码头逆流而行，用了2.5小时，已知轮船在静水中的平均速度为27千米/时，求水流的速度和甲、乙码头间的距离？（顺水速度静水速度水流速度；逆水速度静水速度水流速度，用二元一次方程组的知识解答） 【详解】设水流的速度是千米/时，甲、乙码头间的距离为千米， 根据题意得： 解得： 答：水流的速度是3千米/时，甲、乙码头间的距离为60千米. 【变式1-2】为了解长江某段的水污染状况，某校七年级一班在甲、乙两码头间组织实地考察活动．已知当天水流速度是，轮船顺流航行用了5小时，逆流航行用了7小时，求甲、乙两码头的距离以及船在静水中的速度． 【详解】解：设船在静水中的速度为，甲、乙两码头的距离为， 由题意得，， 解得， ∴船在静水中的速度为，甲乙两码头的距离为． 【变式1-3】今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行．从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时． (1)求该客轮在静水中的速度和水流速度； (2)若在重庆港口、石宝寨两地之间需建新码头便于游客休息观光，使该客轮从重庆港到该码头和从石宝寨到该码头所用的航行时间相同，问重庆港与该码头两地相距多少千米． 【详解】（1）解：设该客轮在静水中的速度是千米/小时，水流速度是千米/小时， 依题意，得：， 解得：， 答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时； （2）解：设重庆港与新码头两地相距千米，则石宝寨、新码头两地相距千米， 依题意，得：， 解得：， 答：重庆港与新码头两地相距162千米． 【变式1-4】一艘轮船从A地顺水航行到B地用了4小时，从B地逆水返回A地比顺水航行多用2小时，已知轮船在静水中的速度是25千米/时． (1)求水流速度和AB两地之间的距离； (2)若在这两地之间的C地建立新的码头，使该轮船从A顺水航行到C码头的时间是它从B逆水航行C码头所用时间的一半，问两地相距多少千米？ 【详解】（1）解：设水流速度为x千米/时，两地相距y千米，则轮船在顺水中的速度为千米/时，在逆水中的速度为千米/时，根据题意得： ， 解得：， 答：水流速度为5千米时，两地相距120千米． （2）解：设相距m千米，根据题意得： 答：相距千米． 【变式1-5】一只小船从港口顺水航行到港口需8小时，而从港口逆水返回到港口需12小时．某日，该小船在早晨8点出发，由港口顺水航行到港口时，发现船上一个救生圈在途中掉入水中，于是立即返回寻找救生圈，4小时后找到救生圈． (1)若港口到港口的航程为240千米，求水流速度是每小时多少千米？ (2)若救生圈从港口漂流到港口，需要多长时间？ (3)救生圈于何时掉入水中？ 【详解】（1）解：设小船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时， 由题意得： ， 解得：， 答：水流速度是每小时5千米； （2）解：设小船在静水中的速度为a千米/小时，水流速度为b千米/小时，A港口到B港口的距离为s千米，由题意得： ， 解得：， ∴救生圈按水流速度由A港口漂流到B港口需要的时间为（小时）； 答：救生圈从A港口漂流到B港口所需时间为48小时； （3）解：设救生圈在出发小时掉入水中，小船需8小时到B港口，则救生圈从掉入水中到被找到共在水中漂流了小时，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：救生圈于上午12时掉入水中． 题型02 利用二元一次方程组解决销售问题 【例2-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，准备推出“神舟”和“天宫”两种模型．已知1个“神舟”模型和3个“天宫”模型的进价共150元；3个“神舟”模型和2个“天宫”模型的进价共240元．求每个“神舟”和“天宫”模型的进价各为多少元？ 【详解】解：设每个“神舟”模型的进价为x元，每个“天宫”模型的进价为y元， 由题意得 解得． 答：每个“神舟”模型的进价为60元，每个“天宫”模型的进价为30元． 【例2-2】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）某公司准备去超市采购牛奶和面包若干箱，采购员设计了两种不同的购买方案，如表所示． 牛奶/箱 面包/箱 金额/元 方案一 方案二 (1)采购员不慎将污渍弄到表格上，根据表中的数据，请你计算被污渍盖住的地方对应的金额是多少元； (2)若公司购买牛奶箱，面包箱，需支付费用元． ①求牛奶和面包每箱分别为多少元； ②若超市中该款面包和牛奶有部分因包装破损进行打六折的促销活动，采购员根据需要选择原价或打折的面包和牛奶，此次采购共花费了元，其中购买打折的牛奶箱数是购买的牛奶与面包总箱数的，则此次按原价购买的面包有多少箱？ 【详解】（1）解：设牛奶一箱元，面包一箱元， 由题意得：， （元）， （2）解：①设牛奶一箱元，面包一箱元， 由题意得：， 解得：， 答：牛奶与面包每箱分别为30、元； ②设牛奶与面包总箱数为，则打折的牛奶箱数为箱， 打折牛奶价格为：（元），打折面包价格为：（元）， 即打折面包价格与牛奶原价相同， 设原价面包为箱，则打折面包与原价牛奶共有箱， 由题意得：， 整理得：， ∴ 、均为正整数， ∴是正整数， ∴a必须是20的倍数， ，或， ， ，， 答：此次按原价采购的面包有6箱。 【变式2-1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了A，B两种产品．已知出售1件A产品和2件B产品共收入700元，出售2件A产品和3件B产品共收入1200元． (1)求A产品和B产品的单价； (2)若出售A，B两种产品（均有销售）共收入1800元，则出售A，B两种产品各几件？ 【详解】（1）解：设A产品的售价x元，B产品的售价y元，由题意得， 解得， 答：A产品的售价300元，B产品的售价200元； （2）解：设出售A产品a件，则出售B产品b件，由题意得， ， 化简得，， ∵a，b为正整数， ∴或， 答：出售A产品2件，B产品6件或A产品出售4件，B产品出售3件． 【变式2-2】（23-24七年级上·安徽蚌埠·期末）某商场第1次用39000元购进甲，乙两种商品，销售完后获得利润6000元，它们的进价和售价如表（总利润单价利润销售量）： 价格商品 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 120 135 乙 100 120 (1)该商场第1次购进甲，乙两种商品各多少件？ (2)商场第2次以原进价购进甲，乙两种商品，购进甲商品的件数不变，而购进乙商品的件数是第1次的2倍，甲商品按原售价销售，而乙商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于5400元，则乙种商品是按几折销售的？ 【详解】（1）解：设第1次购进甲商品x件，乙商品y件． 根据题意得：， 解得：． 答：商场第1次购进甲商品200件，乙商品150件． （2）解：设乙商品打m折出售． 根据题意得：， 解得：． 答：乙种商品打九折销售的． 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）年月，中国航空工业迎来了一个历史性的时刻——在短短小时内，两款疑似六代战斗机相继试飞成功，这一壮举不仅让国人热血沸腾，更让全球军事界为之震动．如果消息属实，那么我们现在也有了先进的飞机大炮，希望敌人们最好也有钢铁般的意志！受此消息影响，一款飞机模型在网上爆火．某玩具店为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为元和元的，两种型号的飞机模型，下表是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型 第一天 件 件 第二天 件 件 (1)求、两种型号的飞机模型的销售单价； (2)该玩具店准备了元全部用于再采购这两种型号的飞机模型共件，求种型号的模型能采购多少件？ (3)在（2）的条件下，玩具店销售完这件模型能否实现元的利润目标？请说明理由． 【详解】（1）解：设种型号的飞机模型的销售单价为元，种型号的飞机模型的销售单价为元， 根据题意可得：， 解得：， 答：种型号的飞机模型的销售单价为元，种型号的飞机模型的销售单价为元； （2）设种型号的模型能采购件， 根据题意得：， 解得：， 答：种型号的模型能采购件； （3）能实现，理由如下： 由（2）可知种型号的模型能采购件， （元） ， 玩具店销售完这件模型能实现元的利润目标． 题型03 利用二元一次方程组解决分配问题 【例3-1】列方程或方程组解应用题 福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？多少名工人制作裤子？ 【详解】解：设安排x名工人制作衬衫，y名工人制作裤子，根据题意，得 ， 解得， 答：安排18名工人制作衬衫，6名工人制作裤子． 【例3-2】（22-23七年级上·安徽·期末）某蔬菜基地第一次向甲地运输124吨蔬菜，恰好装满5辆大货车和2辆小货车；第二次向甲地运输180吨蔬菜，恰好装满6辆大货车和5辆小货车． (1)装满2辆大货车和3辆小货车能运输多少吨蔬菜？ (2)第三次安排大、小货车共12辆向甲地运输208吨蔬菜，若要使得每辆车都装满，则大货车和小货车分别需要多少辆？ 【详解】（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x吨、y吨， 根据题意，得：， 解得：， ∴ 答：装满2辆大货车和3辆小货车能运输76吨蔬菜． （2）设安排m辆大货车，则小货车需要辆， 根据题意，得：， 解得：， 所以则大货车8辆和小货车4辆． 答：需要大货车8辆和小货车4辆． 【例3-3】运输公司要把120吨物资从A地运往B地，有甲，乙，丙三种车型供选择，每种型号的车辆的运载量和运费如下表所示．(假设每辆车均满载) 车型 甲 乙 丙 运载量(吨/辆) 5 8 10 运费(元/辆) 450 600 700 解答下列问题： （1）安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车___________辆可将全部物资一次运完； （2）若全部物资仅用甲、乙型车一次运完，需运费9600元，则甲、乙型车各需多少辆? （3）若用甲、乙，丙型车共14辆同时参与运送，且一次运完全部物资，则三种型号的车各需多少辆?此时总运费为多少元? 【详解】解：（1）， ， ， （辆）， 即安排甲型车8辆，乙型车5辆，丙型车4辆可将全部物资－次运完， 故答案为：4； （2）设需要甲型车辆，乙型车辆， 由题意得：， 解得，符合题意， 答：需要甲型车8辆，乙型车10辆； （3）设需要甲型车辆，乙型车辆，则需要丙型车辆， 由题意得：， 整理得：， 则， 均为正整数， 只能等于5， ，， 此时总运费为（元）， 答：需要甲型车2辆，乙型车5辆，丙型车7辆，此时总运费为8800元． 【变式3-1】某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元，一个人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元，两种客房各租住了多少间？ 【详解】解：设三人间客房有间，二人间客房有间，根据题意， 得： 解得：， 答：三人间客房租了间，二人间客房租了间． 【变式3-2】某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车， 根据题意，得：，解得， 答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车． （2）解：设熟练工人和新工人各m，n人， 由题意得：， 整理得：， 当时，； 当时，； 当时，； 答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人； 【变式3-3】为了充分保护师生的健康，我县某学校计划用58000元购进甲、乙两种医用口罩共计1800盒，甲，乙两种口罩的售价分别是30元/盒，35元/盒． (1)求甲、乙两种口罩各购进了多少盒？ (2)现已知甲，乙两种口罩的数量分别是20个/盒，25个/盒；按照疫情防控部门要求，学校必须储备足够使用10天的口罩，每人每天2个口罩；该校师生共计1800人，问购买的口罩数量是否能满足要求？ 【详解】（1）设甲种口罩购进了x盒，乙种口罩购进了y盒，依题意得： ， 解得：． 答：甲种口罩购进了800盒，乙种口罩购进了1000盒； （2）20×800+25×1000=16000+25000=41000（个）， 2×18000×10=36000（个）． ∵41000＞36000， ∴购买的口罩数量能满足疫情防控部门的要求． 【变式3-4】一工厂有60名工人，要完成1200套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件?每天能生产多少套产品? (2)现工厂要在20天内完成1200套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每人每天只能加工4个A型零件． ①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，求x的值（用含m的代数式表示） ②请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务? 【详解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件， 由题意得：， 解得， （套） 所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品． （2）①设每天安排x名熟练工人和m名新工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得，， 整理得； ②设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得， 解得， 所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务． 题型04 利用二元一次方程组解决最佳方案问题 【例4-1】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）我市的雨山湖公园，娟秀妩媚，环境优雅，湖水清澈见底，是市民游玩休闲的好地方．某校七年级1班学生计划假期去雨山湖游玩，游船价格如下表： 船型 四座电动船 六座电动船 价格 元/小时 元/小时 已知所有学生均有座位且坐船游玩小时，请解决下面问题： (1)若租用四座电动船条数与六座电动船条数之比为，所有船恰好坐满，需花费元，那么租用了几条四座电动船？ (2)若每条船均坐满，且每种船型至少一条；列举出所有可行的租船方案，并计算出每种方案的价格，指出最省钱的方案． 【详解】（1）解：设租用了条四座电瓶船，则租用了条六座电瓶船，根据题意得， 解得：， ∴，， ∴租用了条四座电瓶船，条六座电瓶船 答：租用了条四座电瓶船 （2）解：由（1）可得学生人数为人 设租用条四座电瓶船，条六座电瓶船，则 ∴， ∴ ∵为正整数， ∴或或 方案一：租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船，总费用为元， 方案二：租用6条四座电瓶船，4条六座电瓶船，总费用为元， 方案三：租用9条四座电瓶船，2条六座电瓶船，总费用为元， ∵ ∴最省钱的方案是租用3条四座电瓶船，6条六座电瓶船． 【例4-2】（24-25七年级上·安徽六安·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元， 由题意可得， 解得， 答：A ， B两种型号的汽车每辆进价分别为 25 万元、 10 万元； （2）解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆， 由题意可得且为正整数， 解得或或， ∴该公司共有三种购买方案， 方案一：购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车； 方案二：购买 4 辆型汽车，购买 8 辆型汽车； 方案三：购买 6 辆型汽车，购买 3 辆型汽车； （3）解：当时，获得的利润为：（元）， 当时，获得的利润为：（元）， 当时，获得的利润为：（元）， 由上可得，最大利润为77000 元， ∴购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车获利最大，最大值为77000 元． 【例4-3】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）某蔬菜种植基地计划用中型和大型两种货车向内地运输蔬菜，租用这两种货车的部分信息如下表： 中型车（满载） 大型车（满载） 运货总量 4辆 3辆 2辆 5辆 (1)求1辆中型车和1辆大型车满载一次各运输蔬菜的吨数； (2)若蔬菜种植基地计划一次运完蔬菜，且恰好每辆车都装满． （i）请你帮该蔬菜种植基地设计租车方案； （ii）若中型车每辆需租金1000元/次，大型车每辆需租金1500元/次，请你帮该蔬菜种植基地计划最少租车费是多少元？此时租车方案是什么？ 【详解】（1）解：设1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜． 根据题意，得     解得 答：1辆中型车一次可运输蔬菜，1辆大型车一次可运输蔬菜． （2）（i）设租用中型车辆，大型车辆． 根据题意，得， 整理，得． ∵，均为正整数， ∴或或 ∴该蔬菜种植基地有3种租车方案． 方案1：租用中型车14辆，大型车3辆； 方案2：租用中型车9辆，大型车6辆； 方案3：租用中型车4辆，大型车9辆． （ii）当，时，租车费用为（元）． 当，时，租车费用为（元）． 当，时，租车费用为（元）． ∵， ∴最少租车费为17500元，此时租车方案是租用中型车4辆，大型车9辆． 【变式4-1】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车4S店计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，购进2辆型新能源汽车、3辆型新能源汽车共需85万元；购进3辆型新能源汽车、2辆型新能源汽车共需90万元． (1)问、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你设计出符合要求的购买方案． (3)销售1辆型汽车可获利1.8万元，销售1辆型汽车可获利1.2万元．假如这些新能源汽车全部售出，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【详解】（1）解：设、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为万元和万元， 根据题意可列方程组为，解得， ∴、两种型号的新能源汽车每辆进价分别为20万元，15万元． （2）解：设购进辆型号的新能源汽车，购进辆型号的新能源汽车， 根据题意得：，且，均为正整数， 或， 共有两种购买方案：方案一：购进3辆型号的新能源汽车，购进8辆型号的新能源汽车；方案二：购进6辆型号的新能源汽车，购进4辆型号的新能源汽车． （3）解：方案一：获得的利润为：（万元）， 方案二：获得的利润为：（万元）， ∴第二种方案获得的利润最大，为15.6万元． 【变式4-2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）某蔬菜种植基地向内地某城市运送114吨蔬菜，计划租用甲、乙两种车型货车运输该批蔬菜，已知关于该两种车型货车运输此类蔬菜有以下运输信息： 甲型车（满载） 乙型车（满载） 运货总量 2辆 3辆 42吨 3辆 4辆 58吨 根据以上信息，解答下列问题： (1)求1辆甲型车和1辆乙型车都装满货物一次可分别运输此类蔬菜多少吨？ (2)若蔬菜种植基地管理人员打算租用甲乙两种货车一次运完且恰好每辆车都装满此类蔬菜： ①请你帮该蔬菜种植基地管理人员设计租车方案； ②若甲型车每辆需租金1000元/次，乙型车每辆需租金1200元/次．请你帮他们算算，最少租车费是多少元？ 此时租车方案是什么？ 【详解】（1）设1辆甲型车和1辆乙型车一次分别可以运蔬菜吨，吨， 根据题意得：， 解得：， 答：1辆甲型车和1辆乙型车一次分别可以运蔬菜6吨，10吨； （2）解：①设计划同时租用甲型车辆，乙型车辆， ， 则有； 为正整数， ∴只能为3的倍数， ∴ ，9，4， 有三种租车方案：甲型车租4辆，乙型车租9辆；甲型车租9辆，乙型车租6辆；甲型车租14辆，乙型车租3辆； ②甲型车每辆需租金1000元次，型车每辆需租金1200元次， 当，，租车费用为：（元）； 当，，租车费用为：（元）； 当，，租车费用为：（元）． 当租用型车4辆，型车9辆时，租车费最少． 【变式4-3】（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店分两次购进A，B型两种台灯进行销售，两次购进的数量及费用如下表所示，由于物价上涨，第二次购进A，B型两种台灯时，两种台灯每台进价分别上涨，． 购进的台数 购进所需要的费用（元） A型 B型 第一次 10 20 3000 第二次 15 10 4500 (1)求第一次购进A，B型两种台灯每台进价分别是多少元？ (2)A，B型两种台灯销售单价不变，第一次购进的台灯全部售出后，获得的利润为2800元，第二次购进的台灯全部售出后，获得的利润为1800元． ①求A，B型两种台灯每台售价分别是多少元？ ②若按照第二次购进A，B型两种台灯的价格再购进一次，将再次购进的台灯全部售出后，要想使获得的利润为740元，求有哪几种购进方案？ 【详解】（1）解：设第一次购进A型台灯每台进价为x元，B型台灯每台进价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：第一次购进A型台灯每台进价为200元，B型台灯每台进价为50元． （2）解：①设A型台灯每台售价为m元，B型台灯每台售价为n元， 由题意得：， 解得，， 答：A型台灯每台售价为340元，B型台灯每台售价为120元；     ②第二次购进的A型台灯的价格为：（元），B型台灯的价格为：（元）， 设购进A型台灯a台，B型台灯台， 由题意得：， 整理得：， ∴ a、b为自然数， 或或， 有3种购进方案： 购进A型台灯1台，B型台灯11台；购进A型台灯4台，B型台灯7台；购进A型台灯7台，B型台灯3台； 【变式4-4】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）中国新能源汽车正处在快速发展阶段，产销量和出口量均居世界第一，某汽车销售公司针对市场情况，计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解购进辆型和辆型汽车需要万元，辆型和辆型汽车需要万元． (1)求两种型号的汽车每辆的进价各是多少万元？ (2)该公司准备用正好万元购进这两种型号的汽车，请你帮助该公司设计部门，写出有哪几种购买方案． (3)若销售两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元，在（2）方案中如果全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 【详解】（1）解：设型汽车进价为万元，型汽车进价为万元， ∴， 解得，； ∴型汽车进价为万元，型汽车进价为万元； （2）解：设型汽车购买了辆，型汽车购买了辆， ∴，整理得，， ∵为正整数， ∴是的倍数， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意，则， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意，则， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，符合题意，则， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 综上所述，符合题意的有3中购买方案，分别是第一种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆；第二种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆；第三种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆； （3）解：由（2）可得，共有3种购买方案， 第一种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆， 第二种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆， 第三种方案：型汽车购买辆，型汽车购买辆， ∵销售两种型号的汽车每辆分别可获得利润万元和万元， ∴第一种方案的利润为：（万元）， 第二种方案的利润为：（万元）， 第三种方案的利润为：（万元）， ∵， ∴第三种方案的利润最大，最大利润为万元． 题型05 列三元一次方程组解决生活实际问题 【例5】两个小伙伴共带100只鸡蛋去卖，一个带得多，一个带得少，但卖了同样的价钱，一个对另一个说：“如果我有你那么多鸡蛋，我能卖15元．”另一个说：“如果我有你那么多鸡蛋，只能卖元．”问两人各有多少鸡蛋？希望你有尽可能简单的解答． 【详解】解：设第一个闺蜜有x个鸡蛋，第一个闺蜜鸡蛋的单价为a元、第二个闺蜜鸡蛋的单价为b元，则： ， 解得：，，； 100-40=60（个）． 答：第一个闺蜜有40个鸡蛋，第二个闺蜜有60个鸡蛋． 【变式5-1】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）在车站开始检票时，有名旅客在候车室等候检票，检票开始后，仍有旅客前来进站，旅客进站按固定速度增加人/分钟，所有的检票口检票也按固定速度为人/分钟．若车站只开2个检票口，则需要30分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕；若只开放3个检票口，则需要10分钟才能把所有等候检票的旅客全部检票完毕． (1)求与之间的数量关系． (2)若要在5分钟内完成检票，减少旅客等待的时间，需要至少开放多少个检票口？ 【详解】（1）解：根据题意，得 ， 得， 解得， 将代入①，得， 解得． （2）解：设5分钟内完成检票，需要至少开放x个检票口，根据题意，得 ， 把，代入，得 ， ∵ ， 解得， ∵x为正整数， ∴x最小为5． 答：至少开放5个检票口． 【变式5-2】一方有难八方支援，某市政府筹集了抗旱必需物资120吨打算运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆） 5 8 10 汽车运费（元/辆） 300 400 500 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费6400元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ (2)该市政府决定甲、乙、丙三种车型至少两种车型参与运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程组的方法分别求出三种车型的数量． 【详解】（1）解：设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据题意，得： ， 解得：， 答：需甲车型8辆，需车型10辆； （2）解：甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型z辆，根据题意，得： ， 消去z得， ∴， 因x，y是非负整数，且不大于18，得，5，10，15， 则，10，8，6； 又z是非负整数，解得z=6，3，0， ∴或或， ∴共有三种运送方案： 方案一：甲车型12辆，乙车型0辆，丙车型6辆； 方案二：甲车型10辆，乙车型5辆，丙车型3辆； 方案三：甲车型8辆，乙车型10辆，丙车型0辆． 【变式5-3】【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 一、单选题 1．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按如图1所示的方式放置，再交换两木块的位置，按如图2所示的方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设长方体长，宽，桌子的高为，由题意得 ， 两式相加得：， 解得， 即桌子的高为． 故选：C． 2．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）图1是我国古代传说中的洛书，图2是洛书的数字表示．相传，大禹时，洛阳西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹．大禹依此治水成功，遂划天下为九州．洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个不同整数填入的方格中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．图3是一个不完整的幻方，根据幻方的规则，由已知数求出的值应为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：设第二行第一个数字为为常数）， 根据题意得：， ． 故选：B． 3．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y 根据题意得，或 解得或 ∴甲从A地到B地需要或． 故选：C． 4．（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）如图是7块形状大小相同的长方形墙砖组成的电视墙．若该电视墙的长度为，则该电视墙的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设一块小长方形的长为，宽为， 根据题意，得， 解方程组，得． 故该电视墙的周长为． 故选：C． 5．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》中有一首诗，其大意是：今有绢与布40定，卖得680贯钱，若……，……欲问绢布有多少，分开把价算，若人算得无差错，你的名字城镇到处扬．若设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组，根据已有信息，题中用“……，……”表示的缺失条件应为（   ） A．4定绢价50贯，3定布价90贯 B．4定绢价90贯，3定布价50贯 C．4定布价90贯，3定绢价50贯 D．4定布价50贯，3定绢价90贯 【答案】B 【详解】设有绢定，布定，可列出符合题意的方程组 ∵ ∴题中用“……，……”表示的缺失条件应为4定绢价90贯，3定布价50贯． 故选：B． 6．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在周长为的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， ，依题意得： ， 解得：， ∴， ∴图中阴影部分面积． 故选：A． 二、填空题 7．（22-23七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）小明在文化用品超市购买单价为2元的签字笔和单价为3元的笔记本，一共花了元，则购买方案有 种． 【答案】 【详解】设购买签字笔只，笔记本本，根据题意可得 正整数解为或或 故购买方案有3种， 故答案为： 8．有甲、乙、丙三种规格的钢条，已知甲种2根、乙种1根、丙种3根，共长23米；甲种1根、乙种4根、丙种5根，共长36米；问甲种1根、乙种2根、丙种3根，共长 米． 【答案】22 【详解】解：设甲、乙、丙三种规格的钢条每根长分别为米，米，米，由题意得 ， ①×2+②×3，得， 即，故米． 故答案为：22． 9．（22-23七年级上·安徽六安·期末）“今有四十鹿进舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？（改编自《缉古算经》）”大意为．今有40只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，且恰好每个圈舍都能放满，求所需圈舍的间数．设所需大圈舍间，小圈舍间，则求得的结果有 种． 【答案】3 【详解】设所需大圈舍x间，小圈舍y间， 根据题意，得， 整理得， 所以， 因为x，y都是整数， 所以， 解得， 所以x的值可能是1，2，3，4，5，6， 因为是整数， 所以一定也是偶数， 故x的值为2，4，6，y对应的值为7，4，1， 故的值有3种可能， 故答案为：3． 10．（24-25七年级上·重庆·期中）对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，，是“七巧数”；，，不是“七巧数”．最小的“七巧数”是 ；若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则的最大值是 ． 【答案】 160 801 【详解】解：根据题意，得：最小的“七巧数”为160； 设“七巧数”m的百位、十位、个位上的数分别为a、b、c， 根据题意得：，（n为正整数）且 得：， ∴当时，，， ∴，或，或，或，， 当，3，4……得不到符合题意的m， ∴m的值为801或711或621或531． ∴的最大值是801， 故答案为：160，801． 11．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，一行的三个数，列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为 ． 【答案】0 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ， 故答案为：0． 三、解答题 12．（22-23七年级上·安徽安庆·期末）学校为丰富大课间体育活动项目，决定再购买一批乒乓球拍和羽毛球拍，小明完成购买任务回学校向李老师汇报说：“这两种球拍共30付，乒乓球拍单价为40元，羽毛球拍单价为64元，买之前我领了1600元，现在还余76元．”李老师算了一下，说：“你肯定搞错了．” (1)李老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释； (2)小明连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他忘记还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为介于10到20之间的整数，请问：笔记本的单价为多少元？ 【详解】（1）解：设购买乒乓球拍x付，则购买羽毛球拍付，由题意得： 解得：， ∵不是整数， ∴李老师说他搞错了． （2）解：设购买乒乓球拍a付，则购买羽毛球拍付，笔记本的单价为b元，由题意，得： ， 化简得：， ∵， ∴， ， 答：笔记本的价格为12元． 13．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某商场用6600元购进A品牌取暖器和B品牌取暖器共100台，已知A品牌取暖器每台进价为60元，售价为80元；B品牌取暖器每台进价为70元，售价为100元． (1)两种取暖器各购进多少台？ (2)在将两种取暖器从厂家运往商场的过程中，A品牌取暖器损坏了5台（损坏后的产品只能为废品，不能再进行销售），而B品牌取暖器完好无损，商场决定对这两种取暖器的售价进行调整，使这次购进的取暖器全部售完后，商场可获利，已知B品牌取暖器在原售价基础上提高，问A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多多少元？ 【详解】（1）解：设A品牌取暖器购进x台，则B品牌取暖器购进y台． 由题意得：， 解得： 答：A品牌取暖器购进40台，B品牌取暖器购进60台． （2）解：设A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多m元， 由题意得： 解得： 答：A品牌取暖器调整后的每台售价比原售价多4元． 14．（22-23七年级上·安徽蚌埠·期末）打折前，在某商场买6件商品和3件商品共用108元钱，买5件商品和1件商品共用84元钱．该商场做活动时，各种商品均按相同的折扣打折销售，某消费者买50件商品和50件商品共用750元． (1)没打折时，一件商品，一件商品的价格分别是多少钱？ (2)做活动时，商场商品打几折？ 【详解】（1）解：设没打折时，一件商品的价格是元，一件商品的价格是元． 由题意得， 解得； 答：没打折时，一件商品的价格是16元，一件商品的价格是4元； （2）设做活动时，商场商品打折， 由题意得， 解得， 答：做活动时，商场商品打七五折． 15．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）某旅行社拟寒假期间推出研学游活动，原定收费标准为200元/人，现预售期间推出优惠方案如下： 人数m 折扣 九五折 八五折 七五折 已知甲校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少于100人，经核算，若两校分别组团共需花费46000元，若两校联合组团只需花费39000元． (1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？为什么？ (2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？ 【详解】（1）解：两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人，理由如下： 按原定收费标准估算人数：（人）， ， 两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人； （2）解：设甲校报名参加旅游的学生有人，乙校报名参加旅游的学生有人， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：甲校报名参加旅游的学生有170人，乙校报名参加旅游的学生有90人． 16．（23-24七年级上·安徽亳州·阶段练习）当下公园露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式．某户外用品店老板决定采购一批帐篷进行销售，已知A型普通帐篷的进价比B型简易帐篷多100元，购买40顶A型帐篷和60顶B型帐篷的金额相同． (1)每顶A型帐篷和B型帐篷的进价分别是多少元？ (2)8月份该店以a元每顶售出A型帐篷120顶，以b元每顶售出B型帐篷150顶．销售收入合计为79200元． ①用含a的式子来表示b； ②9月份该店根据市场变化决定每顶A型帐篷的售价不变，每顶B型帐篷的售价在8月的基础上下降了元，9月份A型帐篷的销售数量比8月份增加了60顶，B型帐篷的销售数量是8月份的，该店9月份销售这两种帐篷共获利12600元，求a的值． 【详解】（1）解：设每顶A型帐篷是x元，B型帐篷的进价分别是y元，根据题意得： ，解得， 答：每顶A型帐篷进价为300元，B型帐篷的进价为200元． （2）①由题意可得，， ； ②根据题意，9月A型帐篷的单价为a元，销量为顶，B型帐篷的单价为元，销量为顶， 根据题意得：， 解得． 17．（23-24八年级上·安徽宿州·阶段练习）某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行试销售，据了解1辆甲型新能源汽车、3辆乙型新能源汽车的进价共计55万元；4辆甲型新能源汽车、2辆乙型新能源汽车的进价共计120万元． (1)求甲、乙两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元? (2)若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），通过计算求出该公司全部的购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆甲型新能源汽车可获利9000元，销售1辆乙型新能源汽车可获利4000元，在（2）的购买方案中，若每种方案中的新能源汽车均全部售出，请问哪种方案获利最大，最大利润为多少? 【详解】（1）解：设甲型新能源汽车每辆进价为x万元，乙型新能源汽车每辆进价为y万元． 由题意，得， 解得， 答：甲型新能源汽车每辆进价为25万元，乙型新能源汽车每辆进价为10万元； （2）解：设购买甲型新能源汽车m辆，乙型新能源汽车n辆． 由题意，得， 整理，得． ∵m，n均为正整数， ∴或或， ∴该公司共有三种购买方案． 方案①：购买6辆甲型新能源汽车，5辆乙型新能源汽车； 方案②：购买4辆甲型新能源汽车，10辆乙型新能源汽车； 方案③：购买2辆甲型新能源汽车，15辆乙型新能源汽车； （3）解：由（2）知，方案①获得的利润为（元）， 方案②获得的利润为（元）， 方案③获得的利润为（元）． ∵， ∴购买2辆甲型新能源汽车、15辆乙型新能源汽车获利最大，最大利润是78000元． 18．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图，这是用棋子摆成的“T”字图案．从图案中可以看出，第1个“T”字图案需要5枚棋子，第2个“T”字图案需要8枚棋子，第3个“T”字图案需要11枚棋子． (1)照此规律，摆成第5个“T”字图案需要 枚棋子； (2)摆成第n个“T”字图案需要 枚棋子； (3)若有6077枚棋子能摆成“T”字图案吗？若能请求出是第几个“T”字图案，若不能请说明理由． 【详解】（1）解：∵第1个“”字图案需要枚棋子， 第2个“”字图案需要枚棋子， 第3个“”字图案需要枚棋子， 第4个“”字图案需要枚棋子， ∴第5个“”字图案需要枚棋子， 故答案为：17； （2）解：∵第个“”字图案需要枚棋子， 第个“”字图案需要枚棋子， 第个“”字图案需要枚棋子， ， ∴第个“”字图案需要棋子的数量为， 故答案为：； （3）解：由得，n为正整数， ∴能摆成“T”字图案，是第2025个“T”字图案． 19．（23-24七年级下·安徽芜湖·期末）阅读感悟： 有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题： 已知实数x、y满足，求和的值． 本题常规思路是先解方程组得出x、y的值，再代入要求代数式的值，从而得到问题的答案，这样常规思路的运算量有时比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”． 解决问题： (1)已知二元一次方程组，则 ， ； (2)某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需多少元？ (3)某社交平台上有这样的一幅图片，请你运用所学的数学知识，求出桌子的高度应是 ． 【详解】（1）解：， 由可得：， 由可得：，即：． 故答案为：，5； （2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 依题意得：， 由可得， 答：购买1支铅笔、1块橡皮、1本日记本共需6元； （3）解：设桌子的高度为，蹲着的猫高度为，睡着的猫高度为， 由题意可得：， 由，可得：，解得：， 即：桌子的高度为， 故答案为：130． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $