精品解析：安徽省六安第一中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

六安一中2025年秋学期高二年级期中考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 2. 设直线的方程，则直线的倾斜角的取值范围是（     ） A. B. C. D. 3. 若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 4. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则值不可能是（ ） A. B. －1 C. 0 D. 1 6. 已知椭圆的下焦点是，上焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么（ ） A. B. C. D. 7. 若P为直线上动点，，B在圆上，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 8. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线，直线，则（ ） A. 直线可以与轴平行 B. 直线可以与轴平行 C. 当时， D. 当时， 10. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于A，B两点，则下列结论正确的有（     ） A. 若，则或1 B. 的最小值为2 C. 点到的两条渐近线的距离的乘积为 D. 若，则A，B两点位于的两支 11. 在平面直角坐标系内，动点P到两定点，的距离之积等于6，点P的轨迹记为曲线C.曲线C与x轴正半轴，轴正半轴分别交于A，B两点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称 B. C. 当点P位于B点处时，最大 D. 点P到x轴的最大距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量为，且过，则直线的方程为______． 13. 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为__________. 14. 如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知圆C：，直线l：． （1）求证：直线过定点； （2）求直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程以及最短弦长． 16. 已知椭圆． （1）求椭圆C的离心率e； （2）若，斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求直线l的方程． 17. 如图，在三棱锥中，，，平面，，，分别为棱，上的动点，且. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面所成角为，求的值. 18. 在平面直角坐标系中， 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过原点的直线与曲线C交于两点，点在曲线上，且，直线与轴轴分别交于两点. （i）设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值； （ii）求面积的最大值. 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为A，B，且 （1）求的方程; （2）直线l与的左、右两支分别交于点C，D，记直线BC，BD的斜率分别为，，且 （i）求证：直线l过定点; （ii），直线OP与BD交于点Q，判断并证明直线AQ与BC的位置关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2025年秋学期高二年级期中考试 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 两条平行直线与间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两条平行直线的距离公式计算即可. 【详解】直线的方程化为，则与间的距离 . 故选：D. 2. 设直线的方程，则直线的倾斜角的取值范围是（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求直线的斜率，再根据余弦函数的值域和直线斜率的范围可求倾斜角范围. 【详解】由直线的方程，可得其斜率， 依题意，直线的倾斜角满足，且， 结合正切函数的图象，可得. 故选：C 3. 若双曲线C：的一条渐近线平行于直线，则C的虚轴长为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线平行于直线，利用斜率相等求出，再根据虚轴定义求得答案. 【详解】双曲线C：的渐近线方程为， 因为双曲线C：的一条渐近线平行于直线， 即， 解得， 所以双曲线方程为：， 所以虚轴长为， 故选：D． 4. 如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式求，即可得答案. 【详解】由，，而且， 则 ， 显然，则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 5. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则值不可能是（ ） A. B. －1 C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将问题转化为点与点连线的斜率，然后结合图象由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 记，则为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆，相切时，斜率k最小， 设：，则，解得或(舍)， 当直线过点时，直线AP的斜率取得最大值1，即的最大值为1，因此， 故选：A． 6. 已知椭圆的下焦点是，上焦点是，点在椭圆上，如果线段的中点在轴上，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中点坐标公式，可求得点的纵坐标，再代入椭圆方程，得到点的横坐标； 根据两点的距离公式，可分别求得的长，即可得到答案. 【详解】设点，由题意可知：，所以， 所以，因为线段的中点在轴上， 所以由中点坐标公式可知：，所以， 代入椭圆方程得：，所以点， 则，， 所以. 故选：A. 7. 若P为直线上动点，，B在圆上，则的最小值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先求出点关于直线对称的点，再数形结合有求最小值. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则，解得，即， 圆的圆心为，半径为1， 则， 当且仅当P、、B、C四点共线，且B在线段上时取得最小值，为 故选：D 8. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求得，再利用椭圆、双曲线离心率的意义列式求出范围. 【详解】双曲线的渐近线方程为，由双曲线的渐近线的斜率小于，得， 因此，由，得， 则，即，则 所以的取值范围是. 故选：D 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线，直线，则（ ） A. 直线可以与轴平行 B. 直线可以与轴平行 C. 当时， D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据两直线平行和垂直时的系数关系逐个选项计算判断即可. 【详解】当时，直线：，此时直线与轴平行，故A项正确； 当时，直线：，此时直线与轴平行，故B项正确； 若，则，解得，此时直线与重合，故C项错误； 若，则，解得，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知双曲线的左右焦点分别为，，点是上一点，经过点作斜率为的直线与交于A，B两点，则下列结论正确的有（     ） A. 若，则或1 B. 的最小值为2 C. 点到的两条渐近线的距离的乘积为 D. 若，则A，B两点位于的两支 【答案】BC 【解析】 【分析】A根据双曲线的定义和性质可解；B根据双曲线的性质判断；C根据点到直线的距离公式化简；D联立方程组，根据韦达定理判断. 【详解】，双曲线的右支上到左焦点的最短距离为， 因，故点在双曲线的左支， 由双曲线的定义可知，，则，故A错误； 的最小值为，故B正确； 双曲线的渐近线方程为， 设，则， 则点到的两条渐近线的距离的乘积为， 故C正确； 由题意可知，，设， 联立，得， 则，， 故A，B两点位于的同支上，故D错误. 故选：BC 11. 在平面直角坐标系内，动点P到两定点，的距离之积等于6，点P的轨迹记为曲线C.曲线C与x轴正半轴，轴正半轴分别交于A，B两点，其部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线C关于x轴对称，也关于y轴对称 B. C. 当点P位于B点处时，最大 D. 点P到x轴的最大距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据得，以替换、替换，方程不变可得选项A正确；令得可得选项B错误；利用余弦定理结合题目条件得，当且仅当时等号成立，由点P位于B点处时满足此条件可得选项C正确；利用面积的两种表示形式可得选项D正确. 【详解】设，则， 由得，即. A.以替换得， ，方程不变，曲线C关于y轴对称， 以替换得，，方程不变，曲线C关于x轴对称， 选项A正确. B.令得，，即，或（舍）， 解得，即，故，选项B错误. C.由题意得，，. ，当且仅当时，. 在方程中令得，故. 当点P位于B点处时满足，有最小值， 由在上为减函数可得此时最大，选项C正确. D.设点P到x轴的最大距离为，则，即， 由选项C得当时，，取得最大值，最大值为， 所以，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查曲线与方程综合问题，解决选项C的关键是利用基本不等式分析出取到最小值时，结合余弦函数的单调性可得结论正确.解决选项D的关键是利用面积转化点P到x轴的距离，根据三角形面积最大值距离最大即可得到结果. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线的一个方向向量为，且过，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线方向向量的定义，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】由直线的方向向量为，可得直线的斜率， 因为直线过点，所以直线的方程为，即. 故答案为：. 13. 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，则，根据函数的最值得到答案. 【详解】点和点分别为椭圆的中心和左焦点，则， 设 ， 则 ， 当时，函数最大值为，当时，函数最小值为 . 故答案为： 14. 如图，双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的，两点反射后，分别经过点和，且，，则的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，设，表示出，，再由双曲线的定义得到，再在中利用余弦定理得到、的关系，即可得解. 【详解】连接，，根据题意，，，三点共线，，，三点共线. 所以， 又由知，所以， 故，所以. 可设，则，. 由于 ，故. 从而，，故，. 在中，由余弦定理得，解得， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知圆C：，直线l：． （1）求证：直线过定点； （2）求直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程以及最短弦长． 【答案】（1） 直线的方程可化为， 由，解得， 所以直线恒过定点. （2）直线的方程为，最短弦长为 【解析】 【分析】(1)参数提出来，即可求出定点； (2) 令点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短，由得直线的斜率,即可求出直线方程，此时根据弦长公式即可得到最短弦长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 圆的圆心，半径， 令点，当直线时，直线被圆截得的弦长最短， 直线的斜率为， 由得直线的斜率为，解得， 此时的方程为，即， 圆心到直线的距离为，最短弦长为， 所以当的方程为时最短；，最短弦长为. 16. 已知椭圆． （1）求椭圆C的离心率e； （2）若，斜率为1的直线l与椭圆交于A、B两点，且，求直线l的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）直接根据椭圆的离心率公式得答案； （2）由可得椭圆方程为：，再设直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程，结合椭圆弦长的解法，利用韦达定理化简可求直线方程. 【详解】（1）椭圆．化为标准方程：， 椭圆长半轴长为，短半轴长为b， ． （2），斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点， 设斜率为1的直线l的方程为，且、， ， 椭圆C的方程为：， 由，消去y得， ，解得， 有，， ， 解得，即， 直线l的方程为． 17. 如图，在三棱锥中，，，平面，，，分别为棱，上的动点，且. （1）证明：平面平面； （2）若平面与平面所成角为，求的值. 【答案】（1）证明：平面，平面， 又，，平面，平面 平面． 又，平面，又平面 平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，从而得到平面，再由，得到平面，即可得证； （2）法一：建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出二面角的余弦值，即可得到方程，求出即可；法二：依题意平面，设为平面与平面的交线，则即可证明，，从而得到为平面与平面所成角，再由面积比计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一（坐标法）：如图，以为原点，、、过点且垂直于平面的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 设，则． 设平面的法向量为，则可取， 取平面的法向量为． 设平面与平面所成角为则， 两边平方经整理可得解得或（舍去）， 当平面与平面所成角为时， 法二（几何法）：如图，由，平面，平面， 所以平面，设为平面与平面的交线，则 由（1）可得平面，，平面，所以， 而，，又， 为平面与平面所成角， ，所以是的角平分线， 在中，设点到的距离为，则由 可得， 18. 在平面直角坐标系中， 已知点，，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过原点的直线与曲线C交于两点，点在曲线上，且，直线与轴轴分别交于两点. （i）设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1）（） （2） （ⅰ）方法一：设，则，因为直线的斜率， 又，所以直线的斜率，设直线的方程为，由题意知， 由，可得， 所以，因此， 由题意知，，所以， 所以直线BD的方程为， 令，得，即，可得. 所以，即，因此存在常数使得结论成立. 方法二：设，直线的方程， 则， 又因为，所以， 联立方程组，得，则， 直线的方程为， 令，得，即， 所以，因此存在常数使得结论成立. 方法三：由方法二得：，，直线AB的方程， 直线的方程， 令，得，所以， 因此存在常数使得结论成立. （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据直线斜率之积的条件列出等式，化简得到曲线方程； （2）（i）通过设点坐标，利用直线垂直的斜率关系和曲线方程求出直线与斜率的关系；（ii）先求出直线的方程，进而得到的坐标，从而计算出的面积，再利用均值不等式求面积的最大值. 【小问1详解】 已知点，动点，可得直线的斜率，直线的斜率， 因为直线与的斜率之积为，所以， 化简可得： ，即， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）直线的方程，令，得，即， 由（ⅰ）知，可得的面积为， 因为，当且仅当时等号成立， 此时S取得最大值， 所以的面积的最大值为. 19. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为A，B，且 （1）求的方程; （2）直线l与的左、右两支分别交于点C，D，记直线BC，BD的斜率分别为，，且 （i）求证：直线l过定点; （ii），直线OP与BD交于点Q，判断并证明直线AQ与BC的位置关系. 【答案】（1）； （2）（i）设直线l的方程为，，，， 联立与，消去y，得， 所以，， 由，得， 整理得， 所以， 整理得，所以或， 当时，直线l的方程为，过点，不符，故舍去；当时，直线l的方程为，过点， 所以直线l过定点； （ii） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，，可求得双曲线方程； （2）（ⅰ）设直线l的方程为，，，与双曲线联立方程组，由根与系数的关系可得，，结合已知可得或，可得定点坐标；（ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下：求得点的坐标，进而可得直线AQ的斜率，结合已知，可证结论. 【小问1详解】 设双曲线的焦距为2c，则，且，解得，， 所以，所以的方程为：； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）直线AQ与直线BC的位置关系是平行，理由如下： 因为，所以直线OP方程为：， 又直线BD方程为：，联立与， 解得，，即， 因为，所以直线AQ的斜率为，由， 得直线BD的斜率，所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $