2025-2026学年数学中考复习专项：二次函数与反比例函数

2026年中考复习专项：二次函数与反比例函数 1．小艳家用购电卡购买了电，这些电能够使用的天数m与小艳家平均每天的用电度数n有怎样的函数关系？如果平均每天用电，这些电可以用多长时间？ 2．如图，若被击打的小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有的关系为，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少? (2)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大?最大高度是多少? 3．在平面直角坐标系中，点A（-2，3）关于y轴的对称点为点B，连接AB，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B，过点B作BC⊥x轴于点C，点P是该反比例函数图象上任意一点． （1）求k的值； （2）若△ABP的面积等于2，求点P坐标． 4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为    (1)求这两个函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集 5．某商场经销一种商品，每件进价为40元．市场调查发现，该商品每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系如图中线段所示． （1）求出该商品每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当该商品每件的销售价定为多少元时，商场每星期经销该商品能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 6．小球从离地面为h（单位：m）的高处自由下落，落到地面所用的时间为t（单位：s）．经过实验，发现h与成正比例关系，而且当时，．试用h表示t，并分别求当和时，小球落地所用的时间． 7．已知反比例函数的图象经过三个点A（﹣4，﹣3），B（2m，y1），C（6m，y2），其中m＞0． （1）当y1﹣y2=4时，求m的值； （2）如图，过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D，点P在x轴上，若三角形PBD的面积是8，请写出点P坐标（不需要写解答过程）． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线交双曲线于点，C，线段都垂直于x轴，． (1)求直线和双曲线的解析式； (2)在第一象限内，根据图象直接写出当x取何值时，； (3)在直线上找一点P，连接，当时，求点P的坐标． 9．如图，四边形为正方形，点在轴上，点在轴上，且，，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点． (1)求点的坐标和反比例函数的解析式； (2)若点为直线上的一动点（不与点重合），在轴上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．已知抛物线经过点，且经过直线与x轴的交点B及与y轴的交点C． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)若点M在第四象限内的抛物线上，且，垂足为D，求点M的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，B两点，与y轴正半轴，x轴分别相交于C，D两点． (1)求点A的坐标及反比例函数的表达式； (2)求证：； (3)若点P是位于点C上方的y轴上的动点，过P，A两点的直线与该反比例函数的图象交于另一点E，连接．当，且的面积为18时，求点E的坐标． 12．（1）探究新知： 如图，已知三角形ABC与三角形ABD的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． （2）结论应用： 如图，点M、N在反比例函数的图像是哪个，过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E、F，试证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．，250天 【分析】根据平均每天的用电度数×使用天数=总电量列式，整理即可求出m与n的函数关系式，然后将代入函数解析式即可求出使用天数m． 【详解】， 。 当时，， 这些电可用250天． 【点睛】本题考查反比例函数的定义、性质与运算，解答此类题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． 2．(1)4s； (2)小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【分析】（1）落地即，由题意得：，即可解得的取值． （2）将函数解析式配方成顶点式可得最值； 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：（不合题意舍去），， 答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s． （2）解：， 当时，取得最大值m； 答：在飞行过程中，小球飞行2秒时高度最大，最大高度是20m． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，主要考查了二次函数的最值问题，以及利用二次函数图象求不等式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．（1）k=6；（2）P点坐标为（，4）或（3，2）． 【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到点B（2，3），然后把B点坐标代入y=可得到k的值； （2）由（1）得到反比例的函数解析式为y=，设P（t，），利用三角形面积公式得到•4•|3-|=2，然后解方程求出t即可得到P点坐标． 【详解】解：（1）∵点A（-2，3）关于y轴的对称点为点B， ∴点B（2，3）， 把B（2，3）代入y=得k=2×3=6； （2）反比例的函数解析式为y= 设P（t，）， ∵AB∥x轴， ∴S△ABP=•4•|3-|=2， 解得t=3或t=， ∴P点坐标为（，4）或 （3，2）． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 4．(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，熟练地掌握待定系数法是解题的关键． （1）用待定系数法求反比例函数解析式以及一次函数解析式即可． （2）根据函数图像即可求解． 【详解】（1）解：把的坐标代入， 得， 解得， ∴反比例函数的解析式为： 把的坐标代入， 得 ∴的坐标 把，代入， 得 解得：， ∴一次函数的解析式为：． （2）∵关于的不等式的解集，即反比例函数的图像在一次函数的图像上方． ∴根据图象，关于的不等式的解集为：或． 5．（1）（）；（2）当该商品每件的销售价定为65元时，商场每星期经销该商品能够获得最大销售利润，最大销售利润是6250元． 【分析】（1）设该商品每星期的销售量与销售单价之间的函数关系式为： ，将A（40，500），B（90，0）代入，即可求解； （2）设商场每星期经销该商品能够获得销售利润为w元，可列出w关于x的关系式，将其变形为的形式，结合x的取值范围，即可求解． 【详解】（1）设该商品每星期的销售量与销售单价之间的函数关系式为： ，将A（40，500），B（90，0）代入得： ，解得： ， ∴该商品每星期的销售量与销售单价之间的函数关系式为 ， 自变量的取值范围为 ； （2）设商场每星期经销该商品能够获得销售利润为w元，根据题意得： ∵-10<0， ∴w有最大值， ∵， ∴当 时，w最大，为6250． ∴当该商品每件的销售价定为65元时，商场每星期经销该商品能够获得最大销售利润，最大销售利润是6250元． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，最大销售利润的问题，常利函数的增减性来解答，我们首先要领会题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案是解题的关键． 6．函数的解析式为h=5t2；h=10时，t=；h=25时t=． 【分析】根据待定系数法，可得函数解析式，根据自变量的值，可得函数值． 【详解】解：设h=kt2，由h=20时，t=2，得 20=22k，解得k=5． 函数的解析式为h=5t2， 当h=10时，t2=2，解得t=； 当h=25时，t2=5，解得t=． 【点睛】本题考查了函数关系式，利用了待定系数法求解析式． 7．（1）m=1；（2）点P坐标为（﹣2m，0）或（6m，0）． 【分析】（1）先根据反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y=，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1==，y2==，然后根据y1﹣y2=4列出方程﹣=4，解方程即可求出m的值； （2）设BD与x轴交于点E．根据三角形PBD的面积是8列出方程••PE=8，求出PE=4m，再由E（2m，0），点P在x轴上，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）设反比例函数的解析式为y=， ∵反比例函数的图象经过点A（﹣4，﹣3）， ∴k=﹣4×（﹣3）=12， ∴反比例函数的解析式为y=， ∵反比例函数的图象经过点B（2m，y1），C（6m，y2）， ∴y1==，y2==， ∵y1﹣y2=4， ∴﹣=4， ∴m=1； （2）设BD与x轴交于点E． ∵点B（2m，），C（6m，），过点B、C分别作x轴、y轴的垂线，两垂线相交于点D， ∴D（2m，），BD=﹣=． ∵三角形PBD的面积是8， ∴BD•PE=8， ∴••PE=8， ∴PE=4m， ∵E（2m，0），点P在x轴上， ∴点P坐标为（﹣2m，0）或（6m，0）． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，正确求出双曲线的解析式是解题的关键． 8．(1)直线的解析式为，双曲线的解析式为 (2)在第一象限内当时， (3)点P的坐标是或 【分析】（1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，进一步求得点的坐标，然后把、点的坐标代入即可求得直线的解析式； （2）根据图象求得即可； （3）设，分两种情况讨论，根据题意列出关于的方程，解方程即可求得点的坐标． 本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，函数与不等式的关系，三角形的面积，数形结合、分类讨论思想的运用是解题的关键． 【详解】（1）解： 双曲线过点， ， 双曲线的解析式为， 点，线段，都垂直于轴，， 点的横坐标为6， 把代入解得， ， 把、点的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：观察图象可知，在第一象限内当时，； （3）解：设， ，， ，，，， 当点在的左侧时， ， ， ， ，解得， 此时， 当点在的右侧时， ，， ， ，解得， 此时， 综上，点的坐标是或． 9．(1)， (2)存在，或或 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，熟练掌握平行四边形的存在性求法是解答本题的关键． （1）利用三角形全等求出点坐标，由点坐标求出反比例函数解析式即可； （2）根据点为定点，分三种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为， 是正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为：； （2）解：存在，理由如下： 根据（1）中求点坐标，同理可得点坐标， 设直线解析式为， 代入点坐标得：， 解得：， 直线解析式为：， 设， ， 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 当为平行四边形的对角线时， 得：， 即：， 解得：， ； 综上所述，符合条件的点有3个，坐标为或或． 10．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，求二次函数解析式，求二次函数的顶点坐标，等腰直角三角形的性质与判定等等： （1）先根据一次函数解析式求出B、C坐标，再把A、B、C坐标代入二次函数解析式中进行求解即可； （2）把（1）所求解析式化为顶点式即可得到答案； （3）过点D作轴于E，先求出，得到，再由 得到是等腰直角三角形，确定，求出直线解析式为，联立，求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， 把，代入中得： ∴， ∴抛物线解析式为 （2）解；∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； （3）解：如图所示，过点D作轴于E， ∵， ∴， ∴， ∵，垂足为D， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴． 11．(1)，反比例函数解析式为 (2)见解析 (3)点E的坐标为或 【分析】（1）把点A的坐标代入一次函数解析式中求得a，即可求出A点坐标；把点A坐标代入反比例函数式中求得m，即可求得反比例函数解析式； （2）由一次函数解析式可求得点C、D的坐标，联立一次函数与反比例函数解析式可求得点B的坐标，分别计算即可证明； （3）由已知及（2）的结论得C点是的中点，则可求得k的值，进而求得点C的坐标；设点，则可求得直线解析式；分两种情况：①当点E在第一象限时，连接，易得；由直线解析式求得点P的坐标，由建立方程即可求得t的值，最后求得点E的坐标；②当点E在第三象限时，过B作轴交直线于点F；由求得k的值得点B的坐标，由直线解析式求得点F的坐标，进而求得的长，由建立方程即可求得此时E点坐标，最后综合即得E点坐标． 【详解】（1）解：把点A的坐标代入一次函数解析式中， 得：， 即A点坐标为； 把点A坐标代入反比例函数式中， 得：， ∴反比例函数解析式为； （2）证明：在一次函数解析式中，令，得；令，得； 点C、D的坐标为、， 联立一次函数与反比例函数解析式，即， 消去y整理得：， 解得：， 当时，， ∴点B的坐标为； ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴C点是的中点，且C、D为线段的三等分点， 由A、C、D三点坐标得：，解得：， ∴点C的坐标为； 设点，设直线解析式为， 把A、E两个点坐标分别代入得：，解得：， 即直线解析式为； ①当点E在第一象限时，如图，连接， ∵C、D为线段的三等分点，， ∴； 在中，令，得， ∴点P的坐标为， ∵， ∴， 解得：， ∴点E的坐标为． ②当点E在第三象限时，过B作轴交直线于点F，如图； 由（2）知，点B的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵ ； 由题意知，， 解得：， ∴； 综上，点E的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等底等高三角形面积相等等知识，有一定的综合性．第（3）小题中把的面积转化为求出的面积及割补法求的面积，是解此问的关键． 12．（1），见解析（2）见解析 【分析】(1) 分别作两个三角形公共边上的高，由面积相等，则高相等，又同一直线上的两高平行，得四边形CDFE为矩形，则AB与CD的位置关系得定； (2) 连接MF、NE，先证明S △MEF=S △NEF，然后再运用(1) 中的结论得证 【详解】（1）分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，垂足为G，H， 则∠CGA=∠DHB=90°，CG∥DH．    ∵△ABC与△ABD的面积相等， ∴ CG=DH； ∴ 四边形CGHD为平行四边形． ∴ AB∥CD． (2)证明：连接MF，NE   设点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)．   ∵点M，N在反比例函数 (k>0)的图像上， ∴ ． ∵ME⊥y轴，NF⊥x轴， ∴ OE=y1，OF=x2． ∴ S △EFM= S △EFN= ． ∴S △EFM =S △EFN． 所以由(1)中的结论可知：MN∥EF． 【点睛】此题由浅入深探究问题，体现了数学化归思想．是一类比较创新的题型．同学们要擅于归纳总结 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $