第2章 圆锥曲线（高效培优单元测试·提升卷）数学沪教版2020选择性必修第一册

第2章 圆锥曲线（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若椭圆与双曲线的焦点重合，则正实数的值是 . 2．在极坐标系中，直线的极坐标方程为，M是上任意一点，点P在射线OM上，且满足，记点P的轨迹为．则曲线的极坐标方程为 ． 3．曲线关于直线对称的曲线方程为 ． 4．已知（，且），直线过点，则直线被圆所截得的弦长为 ． 5．已知椭圆的左、右焦点分别为和，下顶点为，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为 ． 6．《测圆海镜》是元代李治所著的中国古代数学著作，其中介绍了与直角三角形斜边相切的旁切圆问题．已知在中，，，，点在第一象限，直线的方程为，圆与延长线、延长线及线段都相切，则圆的标准方程为 ． 7．已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是 . 8．抛物线：与双曲线：有一个公共焦点，过上一点向作两条切线，切点分别为、，则 ． 9．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率，第一象限内的点为上的点，且，交的渐近线于点，则直线的斜率为 . 10．已知圆和圆与x轴和直线都相切，两圆相交于M，N两点，其中点M的坐标为，且两圆半径的乘积为5，则k的值为 . 11．已知互不相同的三点M、N、P均在双曲线H：上，，，垂足为D，点O为坐标原点，若，则的最大值为 . 12．Cassini卵形线是由法国天文家Jean-DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点，的距离的乘积等于常数.是正常数，设，的距离为，如果，就得到一个没有自交点的卵形线；如果，就得到一个双纽线；如果，就得到两个卵形线.若，.动点满足.则动点的轨迹的方程为 ；若和是轨迹与轴交点中距离最远的两点，则面积的最大值为 . 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 14．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，过点的直线与抛物线交于不同的两点，若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．设集合， ，记，则点集所表示的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 16．已知直线与圆有公共点，且公共点的横､纵坐标均为整数，则满足的有（    ） A．40条 B．46条 C．52条 D．54条 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图所示，已知探照灯的轴截面是抛物线，平行于对称轴的光线于此抛物线上的入射点、反射点分别为，设点的纵坐标为，当为何值时，从入射点到反射点的路程最短？ 18．在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，抛物线的焦点为，，的面积为1. (1)求椭圆、抛物线的标准方程； (2)过点的直线分别与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，设直线的斜率分别是，，，.证明：为定值. 19．已知点，，P是直线AB外的一个动点，，垂足为Q，且Q在线段AB外，，记点P的轨迹为曲线C．不过原点的直线l交C于M，N两点，M关于x轴的对称点为T，直线TB和NB的斜率之积为6． (1)求C的方程； (2)判断l是否过定点，若是请求出该定点坐标，若不是请说明理由； (3)试判断的形状（锐角、直角或钝角三角形），并给出证明． 20．平面直角坐标系中，点在以为左，右焦点的双曲线上，双曲线C的渐近线和y轴将xOy平面六等分. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若不过的直线l与交于不同的两点； （i）设l的斜率为，若为直线斜率的等差中项，求到l的距离的取值范围； （ii）如图，点P在双曲线C的左支上，点A在第一象限，l与的平分线m垂直，垂足为D，点O为线段AP的中点，求的最大值. 21．已知抛物线的焦点为是上第一象限内的点.且到距离与到的距离相等.过作的切线交轴于点. (1)求的标准方程； (2)求证：； (3)记关于轴的对称点为关于轴的对称直线为为上第四象限的点（与不重合），过做的切线，分别交于两点，若，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若为定值，求的值，若不为定值，请说明理由. 试卷第2页，共24页 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 圆锥曲线（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．若椭圆与双曲线的焦点重合，则正实数的值是 . 【答案】1 【分析】分别求出椭圆和双曲线的焦点即可求参. 【详解】双曲线的焦点在x轴上, 椭圆中, 所以, 可得. 故答案为：1. 2．在极坐标系中，直线的极坐标方程为，M是上任意一点，点P在射线OM上，且满足，记点P的轨迹为．则曲线的极坐标方程为 ． 【答案】 【分析】设，，由得到、的关系式，结合，可得到、的关系式，即为所求极坐标方程. 【详解】设，， 由，可得，即. 因为是上任意一点，所以， 则，即. 所以曲线的极坐标方程为. 故答案为：. 3．曲线关于直线对称的曲线方程为 ． 【答案】 【分析】设待求曲线上点的坐标设为，得到关于直线的对称点为，从而利用点在抛物线上，进而得到对称曲线的方程. 【详解】设待求曲线上点的坐标为， 其关于直线的对称点为， 则 因为点在抛物线上， 则， 代入可得． 故答案为： 4．已知（，且），直线过点，则直线被圆所截得的弦长为 ． 【答案】 【分析】利用同构可求的方程，根据垂径定理可求弦长. 【详解】因为，故在直线上， 同理在直线上， 故直线的方程为上， 而圆心到直线的距离为， 所以弦长为． 故答案为：. 5．已知椭圆的左、右焦点分别为和，下顶点为，直线交椭圆于点，的内切圆与相切于点，若，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，由三角形内切圆的性质结合椭圆的定义可得，再结合条件可得，，然后在与中，结合余弦定理列出方程，再由离心率的公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 设的内切圆与相切于点， 由切线长定理可得 又，则，即， 由椭圆的定义可得， 即， 所以，又，即，所以， 则， 在中，由余弦定理可得， 在中，由余弦定理可得 化简可得，即， 所以. 故答案为： 6．《测圆海镜》是元代李治所著的中国古代数学著作，其中介绍了与直角三角形斜边相切的旁切圆问题．已知在中，，，，点在第一象限，直线的方程为，圆与延长线、延长线及线段都相切，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】利用图形确定圆心在的角平分线所在直线上，且在直线上方，列方程即可求圆心坐标与半径. 【详解】由题意可知,直线的方程为， 所以直线的方程为， 联立直线和的方程可以得到：，所以, 由圆与延长线、延长线都相切，可知圆心在的角平分线所在直线上．设，由题意，点在直线上方，故， 由直线和圆相切得到：，解得，所以， 圆的半径，所以，所以圆的标准方程为．    故答案为：． 7．已知是坐标原点，是抛物线的焦点，双曲线的两条渐近线分别与抛物线交于两点（异于原点），若，则双曲线离心率是 . 【答案】或 【分析】分、在焦点左侧、在焦点右侧讨论，过作交轴于点，结合抛物线定义、，可得答案. 【详解】当、在焦点左侧时， 因为渐近线关于轴对称，所以， 过作交轴于点， 设，则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 当，在焦点右侧时， 过作交轴于点， 所以，设， 则，， 由抛物线定义得， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 所以或. 故答案为：或. 【点睛】方法点晴：求解抛物线与其他圆锥曲线综合问题时，解答要根据所涉及的抛物线与其他圆锥曲线的相应知识，利用曲线的定义、标准方程、几何性质，并借助于图形的直观性，构建出关于待求量的方程(组)或不等式(组)，然后逐步求解即可得到所求结果. 8．抛物线：与双曲线：有一个公共焦点，过上一点向作两条切线，切点分别为、，则 ． 【答案】49 【分析】将点P的坐标代入双曲线方程，可求得的值，从而可得双曲线的方程，则可得焦点坐标，可得抛物线的准线方程，由导数的几何意义可得两点处的切线的斜率，求得切点弦AB的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，计算即可 【详解】解：由于点在曲线上，所以， 则双曲线的方程为，即，则， 所以抛物线方程为，准线方程为， 设，则， 由，得， 所以处的切线方程为， 即，即， 将点代入可得， 同理可得， 所以直线的方程为， 联立抛物线的方程，可得， 所以， 所以 . 故答案为：49 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查切线方程的求法，考查抛物线的定义的应用，解题的关键是由导数的几何意义求出切线方程，，从而可得切点弦的方程为，考查计算能力，属于较难题 9．如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率，第一象限内的点为上的点，且，交的渐近线于点，则直线的斜率为 . 【答案】/ 【分析】将用表示出来，根据的面积建立方程，求得点的坐标，求出直线的方程，与渐近线方程联立求得点的坐标，即可得解 【详解】由，得.由题意 ， 则，.设，， 在中，由余弦定理可知， 整理得. 设，，，则， 整理得， 坐标代入双曲线方程，解得，即， 又，则，故直线的方程为. 又，两直线方程联立，解得，故， 又，所以，即直线的斜率为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：双曲线上一点与两焦点构成的三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、得到的关系． 10．已知圆和圆与x轴和直线都相切，两圆相交于M，N两点，其中点M的坐标为，且两圆半径的乘积为5，则k的值为 . 【答案】 【分析】由题意设出圆心与半径，根据圆的标准方程，将问题转化为一元二次方程有解问题，利用韦达定理求得两圆心所在直线的斜率，根据正切的二倍角公式，可得答案. 【详解】圆和圆与x轴和直线都相切，且一个交点， 设a，b分别是圆和圆的半径，，，其中， 所以，所以a，b是的两个不同的根， 又，所以，解得，所以， 而直线的倾斜角是直线的倾斜角的一半， 当时，可得，符合题意； 当时，可得，不符合题意. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于方程思想的应用，将问题转化为一元二次方程有解问题，利用韦达定理求参数，即可使问题解决. 11．已知互不相同的三点M、N、P均在双曲线H：上，，，垂足为D，点O为坐标原点，若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】先利用和双曲线方程求出的坐标，由于双曲线的对称线，取，接着讨论直线斜率不存在和存在时，利用韦达定理，结合向量的数量积，推出、的关系，说明直线过点，即可得到点的轨迹方程为，故设，利用数量积，辅助角公式和三角函数性质即可得到答案 【详解】设，因为，故，所以①， 因为在双曲线上，所以②， 由①②可得，由于双曲线的对称性，不妨设， ①直线斜率不存在时， 可设，， ， ，， 又 ，， ，解得，， ，为垂足，， ②直线斜率存在时，设直线， 整理得， 设，，，，则，， 因为，所以， 得， 所以， 得，即， 当即时，直线过定点，不符合题意； 当即时，直线过定点， 综上，点在以为直径的圆上，，线段的中点为， 所以点的轨迹方程为， 故可设的坐标为， 所以 （其中） 所以当时，取得最大值 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 12．Cassini卵形线是由法国天文家Jean-DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点，的距离的乘积等于常数.是正常数，设，的距离为，如果，就得到一个没有自交点的卵形线；如果，就得到一个双纽线；如果，就得到两个卵形线.若，.动点满足.则动点的轨迹的方程为 ；若和是轨迹与轴交点中距离最远的两点，则面积的最大值为 . 【答案】 ； 【分析】设，代入，化简即可得到动点的轨迹的方程；进而求出，的坐标，然后将问题转化为求点的纵坐标的最大值，再利用面积公式求解即可． 【详解】解：设， ， ，即， 动点的轨迹的方程为：； 令，可得，解得或，所以， 由对称性，只考虑第一象限的部分， 为定值， 面积最大时，即点的纵坐标最大， 又， ， 令，则，因为，所以，， 令， 当时，取得最大值，即， ， ， 面积的最大值为． 故答案为：；． 【点睛】关键点点睛：第二空解题的关键是利用第一空求出的动点的轨迹方程，求出点的纵坐标的平方的表达式，然后构造函数，利用二次函数的性质求出点的纵坐标的最大值，从而面积的最大值可求． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将双曲线方程化成标准方程，求出，即可求出离心率． 【详解】由得，，所以， 即，所以， 故选：B． 14．已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，过点的直线与抛物线交于不同的两点，若，则直线的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义即可求解抛物线方程，再利用直线与抛物线联立方程，结合韦达定理和向量的坐标运算即可求解的范围. 【详解】    由题意，根据抛物线的定义，有，解得， 所以抛物线的方程为； 依题意，得直线的斜率存在且，设的方程为， 由，消去，得， 由，即，解得或． 设，，则，，且，， 所以 ， 因为，所以，解得； 所以，直线的斜率的取值范围是， 故选:D． 15．设集合， ，记，则点集所表示的轨迹长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析集合A，B所对应的几何图形，将问题转化为直线与圆的位置关系，如题图，其交集P对应的几何图形为线段AB，计算AB的长即可． 【详解】由题意的圆心为，半径为1， 而圆心（-3sinα，-3cosα），满足（-3sinα）2+（-3cosα）2=9， 故圆心在以（0，0）圆心，半径为3的圆上， ∴集合A对应的几何图形为圆x2+y2=4和x2+y2=16之间的圆环区域， 由于原点到直线的距离为，所以直线恰好与圆环的小圆相切． 所以表示的是直线截圆环的大圆所得的弦长． 故点集所表示的轨迹长度为．故选D． 【点睛】解答本题的关键是正确理解题意，清楚集合和的几何含义，将问题转化为求圆的弦长的问题处理． 16．已知直线与圆有公共点，且公共点的横､纵坐标均为整数，则满足的有（    ） A．40条 B．46条 C．52条 D．54条 【答案】A 【分析】通过分析得出圆上的整数点共有12个，由直线为截距式，先排除掉关于原点对称的两点所连直线，关于x轴对称的两点所连直线（不含）， 关于y轴对称的两点所连直线（不含），再结合变形为，利用几何意义得到原点到直线的距离小于等于， 利用垂径定理，弦长越小，原点到直线的距离越大，故先求解最小弦长，进而求出原点到此类直线的距离，与比较后发现不合要求，进而继续求解第二小弦长，第三小弦长，求出原点到每类直线的距离，与比较得到结论，利用组合知识求出答案. 【详解】圆上的整数点共有12个，分别为， 如图所示， 由题意可知：直线的横、纵截距都不为0，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点， 所以关于原点对称的两点所连直线不合题意，有6条，舍去， 关于x轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去， 关于y轴对称的两点所连直线（不含）不合题意，有4条，舍去 其中变形为， 几何意义为原点到直线的距离小于等于， 这12个点所连的直线中，除去以上不合要求的直线外，根据弦长从小到大分为类， 以下为具体情况：①，弦长为的直线有4条， 此时原点到此类直线的距离为，不合要求，舍去 ②，弦长为的直线有8条， 此时原点到此直线的距离为，不合要求，舍去 ③，弦长为的直线有8条， 此时原点到此直线的距离为，满足要去， ④其他情况弦长均大于，故均满足要求， 由组合知识可知：满足要求的直线条数为： 故选：A 【点睛】对于比较复杂一些的排列组合知识，直接求解比较困难的时候，可以先求解出总的个数，再减去不合要求的个数，得到答案. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．如图所示，已知探照灯的轴截面是抛物线，平行于对称轴的光线于此抛物线上的入射点、反射点分别为，设点的纵坐标为，当为何值时，从入射点到反射点的路程最短？ 【答案】 【分析】由抛物线光学性质知光线必过其焦点，设点，则直线的方程为，直线代入抛物线方程可得或，根据抛物线性质结合基本不等式求解即可. 【详解】由抛物线光学性质知光线必过其焦点， 设点，则直线的方程为． 将方程代入，消去，得， 得或，故知点坐标为， 则， 当且仅当，即时，等号成立．此刻， 即当时，即入射点为，反射点为时，最短，此时、恰好关于轴对称． 18．在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的左，右焦点分别为，，抛物线的焦点为，，的面积为1. (1)求椭圆、抛物线的标准方程； (2)过点的直线分别与抛物线交于，两点，与椭圆交于，两点，设直线的斜率分别是，，，.证明：为定值. 【答案】(1)椭圆，抛物线 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，点在椭圆上，得到，再利用的面积为1，解出，即可求解. （2）根据斜率是否存在分类讨论，斜率存在时，设直线，分别联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程，得出的表达式，利用韦达定理进行化简得到定值，即可得证. 【详解】（1）根据题意作图如下： 由已知得，又，分别为椭圆的左、右焦点，且， 则，所以点在椭圆上，所以. 又，且，解得，所以. 所以椭圆的标准方程为，抛物线的标准方程为. （2）证明：根据题意作图如下： 当直线斜率不存在，即时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意. 设直线的方程为， 联立，消去得， 所以，，且， 联立，消去得， 所以，，且. 故 ， 又因为，所以， 所以. 综上，为定值. 19．已知点，，P是直线AB外的一个动点，，垂足为Q，且Q在线段AB外，，记点P的轨迹为曲线C．不过原点的直线l交C于M，N两点，M关于x轴的对称点为T，直线TB和NB的斜率之积为6． (1)求C的方程； (2)判断l是否过定点，若是请求出该定点坐标，若不是请说明理由； (3)试判断的形状（锐角、直角或钝角三角形），并给出证明． 【答案】(1) (2)过定点，理由见解析 (3)钝角三角形，证明见解析 【分析】（1）设，由，及得出，结合Q在线段AB外，即可求解； （2）设，，根据直线TB和NB的斜率之积为6，设，结合韦达定理即可得出l过定点； （3）分类讨论和的情况，由平面向量数量积即可证明． 【详解】（1）设，因为，，且，垂足为Q， 则Q点坐标为，则，，， 已知，即， 因为Q在线段AB外，所以，则， 所以曲线C的方程为． （2）设，，则， 显然l的斜率不为零，否则有，，， 此时，与直线TB和NB的斜率之积为6，矛盾； 故可设，由得， 依题意，且， ∴且，，， 由得， ∴，， ∵直线TB和NB的斜率之积为6，∴， 所以，，，解得， 此时恒成立， ∴，过定点． （3）由（2）知，，，， ①当，即时，， ∴M，N均在C的右支，如图，    此时 ， ∴∠MBN是钝角，△BMN是钝角三角形； ②当，即或时，， ∴M，N分别在C的两支.不妨设M在C的右支，则，如图，    设，则， ∴， ∵l过点R，∴， ∴∠BMN是钝角，△BMN是钝角三角形， 综上，△BMN是钝角三角形． 20．平面直角坐标系中，点在以为左，右焦点的双曲线上，双曲线C的渐近线和y轴将xOy平面六等分. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若不过的直线l与交于不同的两点； （i）设l的斜率为，若为直线斜率的等差中项，求到l的距离的取值范围； （ii）如图，点P在双曲线C的左支上，点A在第一象限，l与的平分线m垂直，垂足为D，点O为线段AP的中点，求的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）由点在双曲线上，分析出渐近线与x轴夹角得斜率，列方程求参数值，即可得方程； （2）（i）设直线的方程为，，，联立双曲线并应用韦达定理，及等差中项的性质列方程求得，结合判别式得、，进而求或，最后应用点线距离公式用表示出，即可得范围；（ii）设，直线m斜率为k，记其方向向量，根据题设可得，应用坐标法列方程得到，代入求出坐标，设直线m的方程为，直线的方程为，将点代入求参数关系，应用点线距离公式得，且直线的方程为，联立双曲线并应用韦达定理、弦长公式求得，最后应用基本不等式求的最大值. 【详解】（1）因为点在C上，所以①， 又双曲线C的渐近线和y轴将xOy平面六等分， 所以渐近线与x轴的交角为，则②， 由①②解得， 故双曲线的方程为． （2）（i）设直线的方程为，，， 联立得， 韦达定理得，由，得， 因为直线的斜率的等差中项，则，代入， 得，整理得， 当时，直线为，此时直线过焦点，不合题意， ，即， ，代入化简可得， 解得或， 又， 令可得， ，而 在上均单调递减， 所以，故． （ii）由题意，点A与点P关于原点对称，有， 可知直线m斜率存在，设直线m斜率为k，记其方向向量， 又m为的平分线，则， ，， ， 同理， 又，， 代入，得，化简得， 又，，所以， 将代入，，得，， ，，， 设直线m的方程为，将代入得， 直线m的方程为，，由点到直线距离公式得， 直线的斜率为，设直线的方程为，将代入得， 直线的方程为， 将其与联立得， 则，，由得， ， 由基本不等式，，当且仅当时，等号成立， ，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为． 21．已知抛物线的焦点为是上第一象限内的点.且到距离与到的距离相等.过作的切线交轴于点. (1)求的标准方程； (2)求证：； (3)记关于轴的对称点为关于轴的对称直线为为上第四象限的点（与不重合），过做的切线，分别交于两点，若，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值？若为定值，求的值，若不为定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)为定值， 【分析】（1）根据准线方程求抛物线方程即可； （2）利用导数求出切线方程，求出斜率，根据斜率之积为得证； （3）由（2）类比得出方程，联立求出，同理求出，可得，再由，可证得共线，即可计算为定值1. 【详解】（1）由题意，抛物线准线方程为，故， 所以抛物线的标准方程为. （2）设，由于在第一象限，故斜率存在， 设直线的方程为， 由于在第一象限，可得，， 所以切线斜率为，即直线的方程为， 令得，由题意知， 故，， 故 （3）如图，    设， 由关于轴对称，可得， 由，，可得， 所以，即， 联立与，，解得 同理，故， 设直线与轴交于，则关于点对称，即， 由，令，得，所以， 故，则， 可得垂直于，故，可得， 延长交轴于，则， 又，故，从而与重合，即共线， 进而，注意到，故. 试卷第2页，共24页 1 学科网（北京）股份有限公司 $