第1章 坐标平面上的直线（高效培优单元测试·强化卷）数学沪教版2020选择性必修第一册

第1章 坐标平面上的直线（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．平面直角坐标系中的每一条直线都有 的倾斜角，倾斜角的取值范围是 ． 2．若点在直线：上，则直线的点法式方程为 ． 3．已知直线与直线，若，则 4．直线与直线的夹角是 ． 5．在平面直角坐标系中，已知点，则角平分线所在直线斜率为 ． 6．某工程队准备在一条笔直的公路上的某点处修建一个车站，使得两车站，（可视为点）到车站的距离相等.在地图上建立平面直角坐标系，并按照一定比例确定单位长度，得到：，，及公路上的两点，，则车站的坐标为 . 7．直线的方程为，则该直线过定点 ． 8．已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ． 9．已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则 ． 10．已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 11．在直线上一点P到点A（-3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为 . 12．过定点作两条相互垂直的直线、，设原点到直线、的距离分别为、，则的最大值是 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 14．若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 16．若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 18．已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线的方程. 19．已知的三个顶点是． (1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 20．已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 21．已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 试卷第2页，共10页 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 坐标平面上的直线（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．平面直角坐标系中的每一条直线都有 的倾斜角，倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 唯一 【分析】略 【详解】略 2．若点在直线：上，则直线的点法式方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得直线的法向量，利用在上的充要条件是 ，即，结合数量积运算可得答案. 【详解】由题意可设在直线上, 由可得直线的一个法向量为， 设为直线上任一点，则在上的充要条件是 ，即， 故 ，即， 故若点在直线：上， 则直线的点法式方程为， 故答案为： 3．已知直线与直线，若，则 【答案】 【分析】根据可得出关于的等式，计算可解得的值. 【详解】若，则， 所以或． 当时，，重合；当时，符合题意． 故答案为： 4．直线与直线的夹角是 ． 【答案】 【分析】根据两直线的夹角公式，即可求得答案. 【详解】直线的斜率为，直线的斜率为， 设直线与直线的夹角为， 则，结合，解得， 故， 故答案为： 5．在平面直角坐标系中，已知点，则角平分线所在直线斜率为 ． 【答案】/ 【分析】在坐标系中描点连线判断出为等腰三角形，得出角平分线所在直线的斜率即为中线的斜率，即可求解． 【详解】如下图：在平面直角坐标系中，描出，   ，， 所以为等腰三角形，则的角平分线也为中线， 边的中点为，所以角平分线所在直线斜率为：， 故答案为：． 6．某工程队准备在一条笔直的公路上的某点处修建一个车站，使得两车站，（可视为点）到车站的距离相等.在地图上建立平面直角坐标系，并按照一定比例确定单位长度，得到：，，及公路上的两点，，则车站的坐标为 . 【答案】 【分析】根据直线上两点确定公路所在直线的方程，从而可设的坐标，根据结合距离公式列方程求得点横坐标，从而得车站的坐标. 【详解】公路上的两点，， 则，所以直线， 则直线上一点， 由可得：，解得， 故车站的坐标为. 故答案为：. 7．直线的方程为，则该直线过定点 ． 【答案】 【分析】转化等式对于参数恒成立，列式求解 【详解】即，令得， 直线过定点， 故答案为： 8．已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据点关于轴对称分别得出的坐标即可求解. 【详解】点与点关于轴对称，则； 点与点关于轴对称，则； 点与点关于直线对称，则． 故答案为：. 9．已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则 ． 【答案】2 【分析】根据点以及方向向量分别求解出，的方程，再得到截距即可得出结果. 【详解】因为直线方向向量是，所以的的斜率为， 所以直线，即，所以直线在轴上的截距． 因为直线方向向量是，所以的的斜率为， 所以直线，即，所以直线在轴上的截距， 所以． 故答案为：2. 10．已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【答案】垂直或重合 【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得. 【详解】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 故答案为：垂直或重合 11．在直线上一点P到点A（-3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为 . 【答案】 【分析】求出关于直线的对称点后可求的直线方程，从而可求的坐标. 【详解】设关于直线的对称点为，连接， 则，当且仅当三点共线时等号成立. 而， 解得，故，故直线， 故当取最小值时，的横坐标为1，故其纵坐标为3，即. 故答案为：. 12．过定点作两条相互垂直的直线、，设原点到直线、的距离分别为、，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据数形结合，结合三角函数知识即可求得的最大值. 【详解】如图所示： 作交于点，作交于点， 可得四边形为矩形， ， 故可设， ，其中， 当取最大值1时，取最大值. 故答案为： 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，得到. 【详解】因为直线的斜率，对应的倾斜角为， 由题意可得，直线的倾斜角为，故其斜率，解得， 故选：C． 14．若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案． 【详解】解：由题意可知 ，故直线的方程可化为 ， 由 ， 可得 ， 由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限． 故选：C． 15．已知直线过点，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】法一：分直线过原点和不过原点讨论，当直线过原点时，由直线的斜率得到方程，当直线不过原点时，由截距式方程得到直线方程； 法二：分直线过原点和直线斜率为1两种情况讨论，由直线的点斜式方程得到直线方程. 【详解】法一：当直线过原点时，斜率为，则直线方程为； 当直线不过原点时，设直线方程为，代入点，得，解得， 故直线方程为． 综上所述，直线方程为或． 法二：因为直线在两个坐标轴上的截距互为相反数，所以直线过原点或直线斜率为1． 当直线过原点时，直线斜率为，则直线方程为； 当直线斜率为1时，直线方程为，即． 综上所述，直线方程为或． 故选：D． 16．若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得. 【详解】解析  因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为，即． 故选：A. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知的顶点，，，为的中点． (1)求直线的斜率； (2)判断的形状； (3)设分别为的中点，求直线的斜率． 【答案】(1)； (2)等腰直角三角形； (3). 【分析】（1）应用中点坐标公式及斜率的两点式求斜率； （2）根据已知求得，，，则有、，即可得三角形形状； （3）由题设有，结合（2）可得直线的斜率. 【详解】（1）因为为的中点，结合已知坐标有，则； （2）由，，， 由，，知是直角三角形． 又，结合已知，则是的垂直平分线， 所以是等腰直角三角形． （3）由于分别为的中点，所以是的中位线，则， 所以，故直线的斜率为． 18．已知的三个顶点分别为，，，求： (1)边和所在直线的方程； (2)边上的垂直平分线所在直线的方程； (3)边上的高所在直线的方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据两点式和截距式求解直线方程即可； （2）根据直线垂直时斜率的性质，以及点斜式方程求解即可； （3）根据直线垂直时斜率的性质，以及点斜式方程求解即可； 【详解】（1）由两点式得边所在直线方程为，即. 由截距式得边所在直线方程为，即. （2）设的中点为，由中点坐标公式可得， 因为，所以垂直平分线的斜率为， 所以垂直平分线方程为，即. （3）因为，所以高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即. 19．已知的三个顶点是． (1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程； (2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程. （2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值. 【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点， ①当直线与平行， 因为，且过点， 所以方程为，即； ②当直线通过的中点， 所以， 所以的方程为，即． 综上：直线的方程为或． （2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当即时，取得最小值24， 所以面积， 所以当时，面积最小， 此时直线的方程为，即． 20．已知直线. (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. (3)若直线交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 (3)S的最小值为16，此时直线l的方程为． 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解； （3）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，即可确定直线的方程． 【详解】（1）由直线可得直线的斜率为， 依题意，所求直线斜率为，则其方程可设为， 该直线经过点，则，解得， 故所求直线方程为，即； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入解得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上，所求直线方程为或. （3）由题可知， 在中，令，解得，即得A， 再令，可得，即得， 故， 则 当且仅当，即时取等号， 故S的最小值为16，此时直线l的方程为． 21．已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出在轴和轴的截距，利用截距相等构造方程求得结果； （2）由求出，再由两平行线的距离求解即可. 【详解】（1）由题意可知， 直线在轴的截距为，在轴的截距为， 则，解得． （2）若，则，得， 此时直线，即， 又直线， ∴直线与之间的距离． 试卷第2页，共10页 3 学科网（北京）股份有限公司 $