第5章 一次函数（知识清单）数学浙教版2024八年级上册

该初中数学一次函数单元知识清单系统整合了函数基础与一次函数核心内容，涵盖常量变量、函数定义与三种表示法、一次函数的概念图像性质及待定系数法，构建了从基础概念辨析到图像分析再到实际应用的递进式学习支架。 清单通过“错误分析-注意事项-典型例题”三级结构呈现知识体系，突出重点如一次函数与正比例函数的关系，标注易错点如自变量取值范围的多维度考虑，培养学生的运算能力与模型意识。配套思维导图梳理知识脉络，例题涵盖行程、经营等实际情境，助力学生用数学思维解决问题，教师可直接用于备课或分层教学，提升复习效率。

第5章 一次函数 1.常量与变量 常量：在一个过程中，固定不变的量称为 ； 变量：在一个过程中，可以取不同数值的量称为 ； 2.函数的定义：在某一变化过程中，设有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有 的值与其对应，那么就说y是x的函数，x叫 ，y叫 ，也叫因变量。 3，函数的三种表示方法 函数常用的表示方法有三种，分别为： 、列表法、 （1）解析式法：用自变量x与因变量y表示成符合y与x的关系式的等式即为y与x的解析式 函数表达式常见形式及其自变量的取值范围： 分式型：分母 0; 根式型：被开平方数 0； 零指数幂型：底数≠0； 组合型：各部分同时满足； （2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，来表示函数关系的方法叫做列表法 （3）画函数图象的一般步骤：（1）列表找点；（2） ；（3）连线； 4.从函数图象读取信息时，需要把握一下三个方面： ①横、纵轴的意义以及横、纵轴分别表示的量； ②找出图中的关键点，向横、纵轴作垂线求得该点的坐标； ③确定函数值随自变量变化而变化的实际意义； 5.求函数值问题：函数关系式确定后，当自变量x的值取确定值时，代入解析式，可求得函数值y的值；同理，当函数值y的值确定后，代入解析式，也可以求得自变量x的值； 6.一次函数定义：形如 的函数叫做一次函数； 正比例函数定义：形如的一次函数叫做正比例函数，k叫做比例系数； 7.待定系数法求一次函数表达式的方法： 步骤 普通一次函数具体操作 正比例函数具体操作 1.“设” 设所求一次函数解析式为y=kx+b（k≠0） 设所求正比例函数解析式为y=kx（k≠0） 2.“代入” 把两对x、y的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组 把除（0,0）外的一对x、y的对应值代入y=kx，得到关于k一元一次方程 3.“解” 解这个关于k、b的二元一次方程组 解这个关于k的一元一次方程 4.“再代入” 把求得的k、b的值代入到y=kx+b，得到所求的一次函数表达式 把求得的k的值代入到y=kx，得到所求的正比例函数表达式 8.一次函数y=kx+b的图象平移规律：（x）左 右 ，（整体）上 下 9.函数的图象：把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象 10.一次函数的图象是一条直线，其图象的画法步骤为： 步骤 一次函数 正比例函数 找点 找任意两个点，一般为“整点”或与坐标轴的交点 找除原点外的任意一个点 描点 在平面直角坐标系中描出所找的点的位置 连线 过这两个点画一条直线 过原点和这个点画一条直线 11.对于一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的 ；当k＜0时，y随x的 。 12.一次函数y=kx+b的图象所过象限： k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 13.正比例函数y=kx（k≠0）的图象必过原点（0,0），当k＞0时，直线过第 象限；当k＜0时，直线过第 象限。 14.一次函数图象上点的坐标特征：点在图象上，点的坐标符合其表达式。 15.对于直线和直线 （1）若，则，且；反之亦然。 *（2）若，则，反之亦然. 若关于x轴对称，则，. 若关于y轴对称，则，. 16.一次函数与方程、不等式的关系。 （1）一次函数图象与x轴的交点问题解一元一次方程； （2）一次函数图象与另一个一次函数图象的交点问题解二元一次方程组； （3）一次函数图象与另一个一次函数的图象竖直方向上点的位置解一元一次不等式＞（≥）. 17.一次函数的简单应用的解题步骤： （1）确定两个变量是否构成一次函数关系； （2）根据x、y的关系列y与x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围。 （3）利用一次函数的性质解决实际问题 1.用解析法表示实际问题中的函数关系 错误：当题干描述函数关系时，不能通过常量与变量之间的关系列表达式。 注意：根据实际问题中题干的表述，确定变量与常量之间的等量关系并列式，整理得到函数关系的解析法表达式。 例1 （25-26八年级上·全国·课后作业）某市出租车计价方式如下：行驶距离在以内（含）付起步价元，超过后，每多行驶加元，乘车费用（元）与乘车距离之间的函数表达式为 ． 2.从列表法表示的函数关系中归纳解析法 错误：错列表法举例了函数关系中的一些对应关系，不能总结出自变量与因变量之间的数量关系（或规律），函数关系就没法用解析法表示。 注意：与归纳数列的规律类似，在列表法中用代数式表示因变量随自变量变化的一般规律，然后表示成函数表达式的形式。常见的规律如：正比例关系及延伸，反比例关系及延伸，平方关系或平方根关系等。 例2 （24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是 ． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 3.剖析简单图象法表示的函数关系 错误：图象法表示的函数关系，没法解读出区别，最重要的快慢关系无法判断。 注意：图象法表示的函数关系，可以表示出y随x的变化的快慢关系，常见的比如： 类型 不变型 变化均匀型 变化先快后慢 变化先慢后快 增型 减型 同时注意，在变化均匀型中，直线越陡峭，变化越快。 知道了不同图象所描述的y随x的变化的关系，再结合实际问题，就可以判断出函数所需要呈现的图象。 例3 （25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）如图显示一个水箱的形状和尺寸．一开始水箱是空的，然后以每秒一公升的速度注水．下列图形能显示出水箱注水时，水面高度随时间变化情形的是（   ） A． B． C． D． 4.求函数关系中的函数值 错误：根据函数的定义，自变量的确定可以求出对应的函数值。但对函数的定义不理解，就往往不能根据表达式、或者图象，或者列表获得函数值。 注意：不同的函数表示法求函数值，方式有所不同： （1）列表法：确定自变量的取值，结合列表找到对应的函数值即可。 （2）图象法：确定自变量的取值，结合图象找到横坐标上自变量取值的位置，竖直对应到函数图象上，再找到水平方向上对应的函数值。 （3）解析法：将自变量的取值代入表达式中，计算出函数值。 例4 已知，二次函数的部分对应值如下表，则时， ． 例5 （25-26八年级上·贵州贵阳·期中）某地的气温与海拔高度之间的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔高度为时，此地的气温为 ． 5.求函数自变量的取值范围 错误：求自变量的取值范围时，考虑不全。比如关于表达式，只关注根号或只关注分母；比如关于实际问题，只考虑是否大于零，不考虑题干其他信息来不列自变量相关的不等关系。 注意：（1）根据表达式求自变量的取值范围时，注意自变量表示的代数式要同时满足各项限制，最典型的是考虑以下2方面：①是否在分母上，若是，代数式＞0；②是否在平方根中，若是，代数式≥0。 （2）实际应用中，根据题意列式后，还要看题干是否存在其他限制信息，将其转化成关于自变量的不等式，并求不等式。比如关于某物品的售价（10-x）不小于4元，则要列式并求解10-x≥4；比如长方形的一边（20-2a）不大于10，则要列式并求解20-2a≤10...... 例6 （2024八年级下·全国·专题练习）求下列函数中自变量的取值范围． (1) (2)； (3)． 例7 （25-26八年级上·全国·课后作业）已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米． (1)写出关于的函数表达式； (2)写出自变量的取值范围； (3)求当时所对应的函数值； 6.解析法表示的分段函数关系 错误：当遇到分段函数时，不能结合自变量的取值范围进行分类型讨论，或在求函数值时用错表达式。 注意：不同的自变量，对应的函数表达式有不同，联合成分段函数。在求自变量对应的函数值时，要先确定用哪个表达式求解；同样的，只知道函数值的时候，也要将所有可能的情况进行讨论。 例8 （24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x后，输出y值为13，则输入的x为 ． 7.复杂图象法表示的实际问题的函数关系 错误：图象表示的函数关系，是最直观的函数表示法。不能根据图象信息读取实际问题中需要的已知条件，就不能解决实际问题。比如行程问题中路程s与时间t的关系，是最典型的。 注意：读取图象法表示的函数关系中的信息，要尤其注意以下方面： （1）横坐标与纵坐标所表示的具体含义。 （2）函数图象的起点和终点。起点表示开始时函数值的量，比如距离多少、总量多少等；终点表示结束时函数值的量，比如最终距离多少，余量多少； （3）函数图象的拐点。拐点处即表示了什么自变量情况下函数值达到了多少，也表示出函数关系进入了新的变化； （4）交点。有存在多个函数图象的情况的，交点表示相同自变量的取值情况下函数值的大小，比如表示两人相遇，比如表示成本与销售额持平（利润为0）； （5）与x轴的交点。表示自变量取值时使得函数值为0. 以如下实际情况为例： 如下图表示小姜周日先后去往图书馆和商场时，小姜与家的距离y（千米）随时间t（小时）的变化而变化的函数图像，而小姜妈妈在随后也一并出发与小姜汇合。由此可知：y t 0 0.5 1.5 3 2.0 3.8 A B C 小姜 小姜妈妈 ①由图可知小姜先行出发并经过0.5小时后到达图书馆，同时小姜妈妈出发直接前往商场。并可知，图书馆到小姜家路程是2千米。 ②小姜在图书馆待了1小时。 ③小姜从图书馆去商场用了1.5小时，商场到小姜家路程是3.8千米，到图书馆路程是1.8千米。 ④小姜与妈妈同时到达商场，小姜妈妈到商场用时2.5小时。 ⑤可以根据以上信息得出小姜两次行程的速度，小姜妈妈的速度等信息。 例9 （25-26八年级上·山东青岛·期中）A，B两地相距4000米，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．，分别表示甲、乙两人离开A地的距离（米）与时间（分钟）之间的关系，下列结论： ①乙先出发10分钟，甲才出发； ②甲的速度是100米/分钟； ③乙出发时，甲在乙前面1000米； ④甲、乙相遇时，他们离开A地3200米． 正确的是 ．（填写序号） 例10 （25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）电信公司提供了多种移动通讯收费方式，他们各自的费用y（元）与通话时间x（小时）之间的关系如图，若小李每月通话时间大约为50小时，则她应选择（   ） A．A方式 B．B方式 C．C方式 D．都可以 8.辨析一次函数与正比例函数 错误：一次函数要同时满足多项条件，不能同时兼顾一次项系数、次数和整式要求，就容易辨析错误。同时，不能区分正比例函数和一次函数之间的关系。 注意：一次函数必须满足一次项系数不为零，一次项的次数为1，且表达式为整式的函数。正比例函数是常数项为0的特殊的一次函数。 例11 （25-26八年级上·全国·随堂练习）已知函数． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 9.待定系数法求一次函数表达式 错误：不能通过两组自变量与因变量求解一次函数表达式。 注意：若已知函数是一次函数，可设为，将已知的2组自变量与因变量（x，y）分别代入，得到关于k和b的二元一次方程组，求解方程组并得到一次函数表达式即可；若已知带字母参数的一次函数表达式，比如、、这些都只有一个字母参数的，则只要代入一组（x，y）即可。 例12 （24-25八年级下·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点，，则将该图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为 ． 10.求一次函数图象与坐标轴的交点 错误：关于求与坐标轴交点问题的常见错误：①未明确要求的是与坐标轴的交点，还是与x轴的交点，还是与y轴的交点；②混淆与x轴的交点、与y轴的交点的求法；③不能直接根据表达式常数项写出与y轴的交点。 注意：一次函数的图象与x轴的交点求法，即使得y=0，解方程即可；与y轴的交点即为（0，b）。在具体问题中，有时候题目会设置陷阱，如问与坐标轴的交点时，要写明与x轴、y轴的交点共2个。 例13 （25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数的图象与轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为 ，与坐标轴围成的三角形的面积为 ． 11.一次函数的增减性 错误：不能辨析任意一次函数的增减性，在比较函数值大小，或解决实际问题时，不能运用增减性这一性质。 注意：根据一次函数的表达式中k的正负值判定函数图象的增减性。当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。当比较函数值的大小时，只要比较自变量取值的大小，结合增减性即可。 例14 （25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数（为常数）．若随的增大而增大，则的取值范围是 ． 例15 （25-26八年级上·河北保定·期中）已知关于x的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为 ． 12.一次函数表达式的系数与图象的关系 错误：已知一次函数的表达式，不能进行数形结合，得出图象在坐标系上的位置，比如经过哪些象限，与x轴和y轴的相交位置等信息；或已知一次函数图象，不能反推出一次函数表达式中一次项系数k和常数项b的正负。 注意：参考知识清单列出的“第12点”，可以通过一次函数表达式中k和b的正负大致判断图象在坐标系中的位置，也可以反过来通过图象经过的象限判断k和b的正负。除此，还需要学会解决多个图象同时存在时判断系数的正负，可以通过不同情况的假设，查看符合条件的情况。 例16 （25-26八年级上·重庆·期中）下列表示一次函数与正比例函数（其中k，b为常数且）的图像正确的是（   ） A． B． C． D． 13.一次函数图象的平行关系 错误：不能将k值与平行关系建立联系。 注意：当已知两直线图象平行时，则两图象对应的一次函数表达式中，一次项系数相等。 例17 （25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数与横轴的交点横坐标是，且平行于函数，那么这个一次函数表达式是 ． 14.一次函数图象的图形变换 错误：一次函数图象的变换与坐标系中图形的变换类似。不能根据直线图象的变换，确定新的坐标点，从而确定新的直线，无法得到新的一次函数。 注意：解决一次函数图象的图形变换，类似于在坐标系中求图形的坐标，一般过程是： ①将原直线上已知点（一般选择与x轴或y轴的交点）根据图形变换的要求进行变换； ②将新的两个点连成直线； ③用待定系数法求解新的直线的一次函数表达式。 一般规律： （1）若，则，反之亦然. （2）若关于x轴对称，则，. （3）若关于y轴对称，则，. 例18 （24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为 ． 15.运用一次函数的性质解决问题 错误：在解决实际问题过程中，不能结合一次函数的增减性解决问题。一般是不会通过增减性求最值、求x的取值范围或者y的取值范围，来解决实际问题。 注意：一次函数增减性的性质可以解决一次函数的最值问题，也能通过最值求得x的取值范围。因此在实际问题中涉及到： （1）求最值的问题，比如最大利润，最小面积等，可以先求出一次函数表达式，然后根据x的取值范围，结合增减性求出函数值的最值； （2）已知函数值的取值范围，求自变量x的取值范围。比如已知成本不超过规定，求数量的取值范围。 例19 （2024·河南周口·一模）学生社团作为校园文化的重要载体，是培养学生兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶思想情操，展示才华智慧的舞台．某中学社团联合举办了“青春汇聚迎盛会，百团奋进正当时”的主题活动，鼓励学生积极参与社团活动．与此同时，学校计划为参加活动的同学购买一批奖品．经了解，购买2个A种奖品和1个B种奖品需花费64元，购买1个A种奖品和4个B种奖品需花费88元． (1)求A，B两种奖品的单价； (2)学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍．设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？ 16.一次函数的实际应用解决注意事项 错误：解决一次函数的实际问题，最常见的错误有： ①不能根据题意或者通过待定系数法求出一次函数函数表达式； ②不考虑自变量x的取值范围来解决问题； ③不检验得出的结果是否符合题意。 注意：实际问题在列出一次函数表达式时，需要根据题干先建立等量关系。比如根据路程=时间×速度解决行程问题；根据销售额=售价×数量解决经营问题。其次要尤其注意自变量的取值范围，有些是题干提及的，有些需要根据实际生活经验的。最后，在求解后要注意检验答案是否符合题意。 例20 （25-26八年级上·陕西西安·期中）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．要求无人机从距离地面一定距离的升降平台起飞工作人员通过记录仪得到其中一架无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)升降平台与地面的距离为_____； (2)求该无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的关系式； (3)无人机飞行多长时间时与地面的距离为？ 17.结合图象的一次函数行程问题 错误：关于图象解决问题中，行程问题是最典型的实际应用之一。此类问题易错问题比较多，比如错看纵坐标所表示的实际意义（可能表示两个对象的距离也可能表示他们到某个定点的距离），比如不能正确解读所有的函数图象的端点、拐点、交点等，比如用待定系数法求解图象中的多个一次函数表达式。 注意：结合知识清单中第7条中的具体举例总结注意事项。 例21 （2025·浙江丽水·二模）同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事保留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． (1)求甲、乙两车各自的平均速度； (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 例22 （25-26八年级上·安徽六安·月考）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，慢车先出发，设先发车辆行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题： (1)慢车的速度为______，快车的速度为______； (2)解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标； (3)求当x为多少时，两车之间的距离为． 18.结合图象的一次函数经营问题 错误：类似于行程问题，经营与策略问题也是典型的图象结合性问题之一。但经营性问题，一般是销售额的一次函数图象和成本的一次函数图象同时存在的图象，或者多个不同价格变化图象同时存在的图象。因此常见的错误是不能解读交点的含义，或者不能根据图象求解关于利润的问题。 注意：经营与策略问题中，尤其注意交点。两个不同对象函数图象的交点，表示当此时两个对象的总价相同，但此时就是“分水岭”；同一个对象的销售额与成本的图象的交点，表示当此时销售额等于成本，没有利润，接下来就是“赚”变“亏”或“亏”变“赚”。当然也有直接表示利润随数量变化的函数图象。 交点A表示此时甲、乙商店的总价相同；点A之前，甲商店比较优惠，点A之后，乙商店比较优惠。 交点A表示此时甲工厂销售额=成本，表示此时利润为0；在点A之前，是亏损，在点A之后，是盈利。 与x轴的交点表示此时利润为0，即销售额=成本。在此以后，利润为正，即盈利。 例23 （21-22八年级下·重庆秀山·期末）“每日一杯纯牛奶”已成为人们健康生活的新常态，因而市场上对牛奶的需求也越发增大．某乳品公司每月均需通过某快递公司向A县输送一批牛奶，该快递公司给了三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取元管理费用，再每千克运费元； 方案三：每月收取元包干，不限运输重量； 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为元，选择方案二时，运费为元，选择方案三时，运费为元． (1)请直接写出，，与x之间的关系式； (2)在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出点C，D，E的坐标； (3)直接写出如何选择方案更合算． 19.分段函数的综合探究 错误：（1）在确定分段函数表达式时：分段时自变量取值范围有缺漏；或无法根据实际情况对自变量进行分类讨论；或求解每段自变量取值范围内的函数表达式有误。 （2）在探究分段函数问题时，没有分类讨论不同函数段下可能的情况。 注意：题意表示的分段函数关系，或图象给出的分段函数关系。注意先将自变量进行分段，注意不要缺漏。然后在每个分段中将一次函数表达式表示出来，再完整表示整个函数。在具体解决问题时，一定要注意分类讨论。函数的特点是任意自变量x都有唯一对应的函数值y，但已知的函数值y，可能对应有多个自变量x，即：满足函数值y的x的情况，一定要分类讨论。 例24 （25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 (1)A户居民本月用水量为，求A户居民本月的水费为多少元． (2)设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． (3)若B户居民本月的水费为54元，求B户居民本月用水量． 20.一次函数与方程、不等式的关系 错误：不能根据函数图象解方程或不等式。 注意：（1）根据一次函数图象与x轴的交点，可求出对应的一元一次方程的解； （2）也可以通过与图象的交点，求出二元一次方程组的解； （3）根据一次函数图象，可以求出相关的不等式的解。 例25 （25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为 ． 例26 （25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 21.一次函数图象问题下的三角形面积问题 错误：不能掌握坐标系中用割补法求三角形的面积的方法；不能根据已知三角形的面积，求满足的点的坐标。 注意：我们在平面直角坐标系这一章中已经学习了在坐标系中求三角形的面积的方法，主要方法为： （1）补法：在三角形周围围外接的长方形，用长方形面积减去周边的直角三角形的面积； （2）割法：将已知三角形从一个顶点出发向竖直方向或水平方向割开成两个三角形，分别求面积。 在此基础上，若知道三角形的面积，而反过来求点的坐标时，也还是用这种方法，但要注意分类讨论，满足的点的坐标往往不止一个。 例27 （25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若点M是y轴上一动点，若，求点M的坐标． 22.一次函数与几何图形结合的综合运用 错误：一次函数知识点，几何图形知识点掌握不够，综合性问题无法解决。 注意：综合性问题主要是两类： （1）几何图形与一次函数图象均在平面直角坐标系上的综合性问题，这类问题的核心是将图象上点的坐标和几何图形中点的坐标串联，再结合图象的一次函数表达式和几何图形的性质来解决问题； （2）将几何图形中线段或角的数量关系用一次函数关系表达的，要注意每一对（x，y）所表示的几何含义，尤其是考查几何图形的动点问题时。 例28 （24-25八年级下·全国·期末）如图①，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿C→A→B运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②，则的长为（    ） A．12 B． C． D．10 例29 （25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l与y轴交于点，与x轴交于点，以B为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形，其中，． (1)直线l对应的函数表达式是______，点C的坐标是______； (2)如图2，点D是的中点，点M是直线l上的一个动点，连接，求的最小值，并求出取最小值时点M的坐标； (3)点H在直线l上，x轴上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点H的个数；并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 1．（25-26八年级上·广西梧州·期中）若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西梧州·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则距离地面高千米处的温度为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数图象与轴的交点坐标是 B．函数图象经过第一、二、四象限 C．若点，在该函数的图象上，且，则 D．自变量每增加1，函数值就增加2 5．（安徽省淮北市五校联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．v和h均随t的增大而增大 D．t每增加，h的增加量相同 6．（安徽省淮北市五校联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知在一条笔直的道路上顺次有、、三地，且、两地之间的距离为，甲、乙两车分别从地，地同时出发，沿这条笔直道路前往地，甲车到达地后立即以原速沿原路返回，乙车到达地后停止运动.两车距地的距离，与甲车行驶的时间之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．去程时 D．两车在时第一次相遇 8．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）小辰在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值： 码数 26 30 34 42 长度 18 20 22 26 根据小辰的数据，可以得出该品牌32码鞋子的长度为 ． 10．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知是关于的一次函数，则的值是 ． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的方程的解为 ． 12．（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程： ． 13．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，三个函数图像分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用连接） 14．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，，点是坐标轴上一点，且是直角三角形，满足这样条件的点有 个． 15．（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数关系式； (2)当时，求的值 (3)当时，求的值． 16．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P的横坐标比纵坐标大2，求m的值； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标 17．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）甲、乙两辆摩托车从相距的，两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： (1)请写出，的函数关系式． (2)何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？ 18．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且过点． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求函数的最小值． 19．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知直线（和是常数且）经过点，，直线（是常数）与直线相交于点，与轴交于点，点的横坐标为-3． (1)当时，直接写出的取值范围为_______； (2)求直线的表达式和的值； (3)若点在直线上，且，求点的坐标． 20．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）2025年3月22日是第三十三届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 40 50 (1)请补全上表信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数关系式； (3)请根据（2）中所求的函数关系式，估算这种漏水状态下12小时的漏水量． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一次函数 1.常量与变量 常量：在一个过程中，固定不变的量称为 常量 ； 变量：在一个过程中，可以取不同数值的量称为 变量 ； 2.函数的定义：在某一变化过程中，设有两个变量x、y，如果对于x的每一个确定的值，y都有 唯一确定 的值与其对应，那么就说y是x的函数，x叫 自变量 ，y叫 函数值 ，也叫因变量。 3，函数的三种表示方法 函数常用的表示方法有三种，分别为： 解析式法 、列表法、 图象法 （1）解析式法：用自变量x与因变量y表示成符合y与x的关系式的等式即为y与x的解析式 函数表达式常见形式及其自变量的取值范围： 分式型：分母 ≠ 0; 根式型：被开平方数 ≥ 0； 零指数幂型：底数≠0； 组合型：各部分同时满足； （2）列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表，来表示函数关系的方法叫做列表法 （3）画函数图象的一般步骤：（1）列表找点；（2） 描点 ；（3）连线； 4.从函数图象读取信息时，需要把握一下三个方面： ①横、纵轴的意义以及横、纵轴分别表示的量； ②找出图中的关键点，向横、纵轴作垂线求得该点的坐标； ③确定函数值随自变量变化而变化的实际意义； 5.求函数值问题：函数关系式确定后，当自变量x的值取确定值时，代入解析式，可求得函数值y的值；同理，当函数值y的值确定后，代入解析式，也可以求得自变量x的值； 6.一次函数定义：形如 的函数叫做一次函数； 正比例函数定义：形如的一次函数叫做正比例函数，k叫做比例系数； 7.待定系数法求一次函数表达式的方法： 步骤 普通一次函数具体操作 正比例函数具体操作 1.“设” 设所求一次函数解析式为y=kx+b（k≠0） 设所求正比例函数解析式为y=kx（k≠0） 2.“代入” 把两对x、y的对应值分别代入y=kx+b，得到关于k、b的二元一次方程组 把除（0,0）外的一对x、y的对应值代入y=kx，得到关于k一元一次方程 3.“解” 解这个关于k、b的二元一次方程组 解这个关于k的一元一次方程 4.“再代入” 把求得的k、b的值代入到y=kx+b，得到所求的一次函数表达式 把求得的k的值代入到y=kx，得到所求的正比例函数表达式 8.一次函数y=kx+b的图象平移规律：（x）左 加 右 减 ，（整体）上 加 下 减 9.函数的图象：把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象 10.一次函数的图象是一条直线，其图象的画法步骤为： 步骤 一次函数 正比例函数 找点 找任意两个点，一般为“整点”或与坐标轴的交点 找除原点外的任意一个点 描点 在平面直角坐标系中描出所找的点的位置 连线 过这两个点画一条直线 过原点和这个点画一条直线 11.对于一次函数y=kx+b（k≠0），当k＞0时，y随x的 增大而增大 ；当k＜0时，y随x的 增大而减小 。 12.一次函数y=kx+b的图象所过象限： k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0 13.正比例函数y=kx（k≠0）的图象必过原点（0,0），当k＞0时，直线过第 一、三 象限；当k＜0时，直线过第 二、四 象限。 14.一次函数图象上点的坐标特征：点在图象上，点的坐标符合其表达式。 15.对于直线和直线 （1）若，则，且；反之亦然。 *（2）若，则，反之亦然. 若关于x轴对称，则，. 若关于y轴对称，则，. 16.一次函数与方程、不等式的关系。 （1）一次函数图象与x轴的交点问题解一元一次方程； （2）一次函数图象与另一个一次函数图象的交点问题解二元一次方程组； （3）一次函数图象与另一个一次函数的图象竖直方向上点的位置解一元一次不等式＞（≥）. 17.一次函数的简单应用的解题步骤： （1）确定两个变量是否构成一次函数关系； （2）根据x、y的关系列y与x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围。 （3）利用一次函数的性质解决实际问题 1.用解析法表示实际问题中的函数关系 错误：当题干描述函数关系时，不能通过常量与变量之间的关系列表达式。 注意：根据实际问题中题干的表述，确定变量与常量之间的等量关系并列式，整理得到函数关系的解析法表达式。 例1 （25-26八年级上·全国·课后作业）某市出租车计价方式如下：行驶距离在以内（含）付起步价元，超过后，每多行驶加元，乘车费用（元）与乘车距离之间的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查函数关系式，根据“乘车费用起步价超过的付费”可得与的关系式．找到所求量的等量关系是解题的关键． 【详解】解：依题意得： ， ∴乘车费用（元）与乘车距离之间的函数表达式为． 故答案为：． 2.从列表法表示的函数关系中归纳解析法 错误：错列表法举例了函数关系中的一些对应关系，不能总结出自变量与因变量之间的数量关系（或规律），函数关系就没法用解析法表示。 注意：与归纳数列的规律类似，在列表法中用代数式表示因变量随自变量变化的一般规律，然后表示成函数表达式的形式。常见的规律如：正比例关系及延伸，反比例关系及延伸，平方关系或平方根关系等。 例2 （24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）一根高20厘米的蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）的关系如下表、则蜡烛点燃后剩余的高度（厘米）与燃烧时间（时）之间的关系式是 ． 燃烧时间（时） 0 1 2 3 剩余的高度（厘米） 20 17 14 11 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，根据表格数据的特点，即可得到变量间的关系，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵观察表格可知：平均每小时蜡烛烧掉3厘米， ∴x小时燃烧了厘米， ∵蜡烛总长为20厘米， ∴剩余的高度 总长度燃烧的长度，即， 故答案为：． 3.剖析简单图象法表示的函数关系 错误：图象法表示的函数关系，没法解读出区别，最重要的快慢关系无法判断。 注意：图象法表示的函数关系，可以表示出y随x的变化的快慢关系，常见的比如： 类型 不变型 变化均匀型 变化先快后慢 变化先慢后快 增型 减型 同时注意，在变化均匀型中，直线越陡峭，变化越快。 知道了不同图象所描述的y随x的变化的关系，再结合实际问题，就可以判断出函数所需要呈现的图象。 例3 （25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）如图显示一个水箱的形状和尺寸．一开始水箱是空的，然后以每秒一公升的速度注水．下列图形能显示出水箱注水时，水面高度随时间变化情形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象的识别，理解水箱的形状和注水过程中水面高度的变化规律是解题的关键．根据水箱的形状可以推断水面高度上升的速度，据此即可求解． 【详解】解：水箱上粗下细， 从水箱下部到中部，水面高度上升速度逐渐减慢；从水箱中部到上部，水面高度上升速度为匀速， 故图象为： 故选：B． 4.求函数关系中的函数值 错误：根据函数的定义，自变量的确定可以求出对应的函数值。但对函数的定义不理解，就往往不能根据表达式、或者图象，或者列表获得函数值。 注意：不同的函数表示法求函数值，方式有所不同： （1）列表法：确定自变量的取值，结合列表找到对应的函数值即可。 （2）图象法：确定自变量的取值，结合图象找到横坐标上自变量取值的位置，竖直对应到函数图象上，再找到水平方向上对应的函数值。 （3）解析法：将自变量的取值代入表达式中，计算出函数值。 例4 已知，二次函数的部分对应值如下表，则时， ． 【答案】0 【解析】根据表中数值即可得到x=3时y的值． 【详解】解：由表中数值可得： x=3时,y=0， 故答案为0 ． 例5 （25-26八年级上·贵州贵阳·期中）某地的气温与海拔高度之间的关系可以近似的用来表示，根据这个关系式，当海拔高度为时，此地的气温为 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查求函数值，将代入关系式计算即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：7． 5.求函数自变量的取值范围 错误：求自变量的取值范围时，考虑不全。比如关于表达式，只关注根号或只关注分母；比如关于实际问题，只考虑是否大于零，不考虑题干其他信息来不列自变量相关的不等关系。 注意：（1）根据表达式求自变量的取值范围时，注意自变量表示的代数式要同时满足各项限制，最典型的是考虑以下2方面：①是否在分母上，若是，代数式＞0；②是否在平方根中，若是，代数式≥0。 （2）实际应用中，根据题意列式后，还要看题干是否存在其他限制信息，将其转化成关于自变量的不等式，并求不等式。比如关于某物品的售价（10-x）不小于4元，则要列式并求解10-x≥4；比如长方形的一边（20-2a）不大于10，则要列式并求解20-2a≤10...... 例6 （2024八年级下·全国·专题练习）求下列函数中自变量的取值范围． (1) (2)； (3)． 【答案】(1)全体实数 (2) (3) 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． （1）根据一次函数的自变量为一切实数解答； （2）根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式即可； （3）根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：中，自变量的取值范围是全体实数； （2）由题意得：，， 解得：； （3）由题意得：， 解得：． 例7 （25-26八年级上·全国·课后作业）已知一根长为20米的铁丝围成一个长方形，若宽为米，长为米． (1)写出关于的函数表达式； (2)写出自变量的取值范围； (3)求当时所对应的函数值； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了函数关系式，自变量取值范围的求解，函数值的计算，难度较小． （1）根据长方形的周长公式列式整理即可得解； （2）根据长方形的长大于宽列式求出x的最大值，从而得解； （3）把x的值代入函数关系式计算即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 整理得，， 即关于的函数表达式为； （2）解：因为宽为米，长为米， 所以， 所以， 解得， 所以自变量的取值范围为； （3）解：当时，． 6.解析法表示的分段函数关系 错误：当遇到分段函数时，不能结合自变量的取值范围进行分类型讨论，或在求函数值时用错表达式。 注意：不同的自变量，对应的函数表达式有不同，联合成分段函数。在求自变量对应的函数值时，要先确定用哪个表达式求解；同样的，只知道函数值的时候，也要将所有可能的情况进行讨论。 例8 （24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图是一个运算程序示意图，若开始输入x后，输出y值为13，则输入的x为 ． 【答案】或5 【分析】本题主要考查了求一次函数的自变量，根据运算程序示意图分两种情况求解即可． 【详解】解：当时， 此时运算公式为：．则可得方程， 根据绝对值的定义可得出． ∵， ∴符合条件，舍去． 当时， 此时运算公式为：．则可得方程． 解得，，符合这个条件． 故输入的x为：或5， 故答案为：或5 7.复杂图象法表示的实际问题的函数关系 错误：图象表示的函数关系，是最直观的函数表示法。不能根据图象信息读取实际问题中需要的已知条件，就不能解决实际问题。比如行程问题中路程s与时间t的关系，是最典型的。 注意：读取图象法表示的函数关系中的信息，要尤其注意以下方面： （1）横坐标与纵坐标所表示的具体含义。 （2）函数图象的起点和终点。起点表示开始时函数值的量，比如距离多少、总量多少等；终点表示结束时函数值的量，比如最终距离多少，余量多少； （3）函数图象的拐点。拐点处即表示了什么自变量情况下函数值达到了多少，也表示出函数关系进入了新的变化； （4）交点。有存在多个函数图象的情况的，交点表示相同自变量的取值情况下函数值的大小，比如表示两人相遇，比如表示成本与销售额持平（利润为0）； （5）与x轴的交点。表示自变量取值时使得函数值为0. 以如下实际情况为例： 如下图表示小姜周日先后去往图书馆和商场时，小姜与家的距离y（千米）随时间t（小时）的变化而变化的函数图像，而小姜妈妈在随后也一并出发与小姜汇合。由此可知：y t 0 0.5 1.5 3 2.0 3.8 A B C 小姜 小姜妈妈 ①由图可知小姜先行出发并经过0.5小时后到达图书馆，同时小姜妈妈出发直接前往商场。并可知，图书馆到小姜家路程是2千米。 ②小姜在图书馆待了1小时。 ③小姜从图书馆去商场用了1.5小时，商场到小姜家路程是3.8千米，到图书馆路程是1.8千米。 ④小姜与妈妈同时到达商场，小姜妈妈到商场用时2.5小时。 ⑤可以根据以上信息得出小姜两次行程的速度，小姜妈妈的速度等信息。 例9 （25-26八年级上·山东青岛·期中）A，B两地相距4000米，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．，分别表示甲、乙两人离开A地的距离（米）与时间（分钟）之间的关系，下列结论： ①乙先出发10分钟，甲才出发； ②甲的速度是100米/分钟； ③乙出发时，甲在乙前面1000米； ④甲、乙相遇时，他们离开A地3200米． 正确的是 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息． 根据函数图象逐一判断即可． 【详解】解：由函数图象可知：①甲先出发10分钟，乙才出发，故不正确； ②甲的速度是米/分钟，正确； ③乙出发时，甲在乙前面米，正确； ④甲、乙相遇时，他们离开A地3200米，正确． 故答案为：②③④． 例10 （25-26八年级上·江苏盐城·阶段练习）电信公司提供了多种移动通讯收费方式，他们各自的费用y（元）与通话时间x（小时）之间的关系如图，若小李每月通话时间大约为50小时，则她应选择（   ） A．A方式 B．B方式 C．C方式 D．都可以 【答案】B 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据函数图象可得当通话时间在50小时左右时，A方式的费用比B方式的费用高，据此可得答案． 【详解】解：由函数图象可知，当通话时间在50小时左右时，A方式的费用比B方式的费用高， ∴若小李每月通话时间大约为50小时，则她应选择B方式， 故选：B． 8.辨析一次函数与正比例函数 错误：一次函数要同时满足多项条件，不能同时兼顾一次项系数、次数和整式要求，就容易辨析错误。同时，不能区分正比例函数和一次函数之间的关系。 注意：一次函数必须满足一次项系数不为零，一次项的次数为1，且表达式为整式的函数。正比例函数是常数项为0的特殊的一次函数。 例11 （25-26八年级上·全国·随堂练习）已知函数． (1)当m，n取何值时，此函数为一次函数？ (2)当m，n取何值时，此函数为正比例函数？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，解答的关键是熟知：形如的函数是一次函数，形如的函数是正比例函数． （1）根据一次函数的定义即可解答； （2）根据正比例函数的定义即可解答． 【详解】（1）解：当函数是一次函数时， ，且， 解得， 所以当时，函数是一次函数． （2）解：当函数是正比例函数时， ，且， 解得， 所以当时，函数是正比例函数． 9.待定系数法求一次函数表达式 错误：不能通过两组自变量与因变量求解一次函数表达式。 注意：若已知函数是一次函数，可设为，将已知的2组自变量与因变量（x，y）分别代入，得到关于k和b的二元一次方程组，求解方程组并得到一次函数表达式即可；若已知带字母参数的一次函数表达式，比如、、这些都只有一个字母参数的，则只要代入一组（x，y）即可。 例12 （24-25八年级下·四川绵阳·期末）一次函数的图象经过点，，则将该图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象与几何变换，熟记“左加右减、上加下减”的平移规律是解题的关键． 先将，两点的坐标代入,运用待定系数法求出一次函数的解析式为，再根据“左加右减、上加下减”的原则得出新的直线表达式． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， ∴， 将图象沿着x轴向右平移3个单位，再向下平移7个单位得到的函数表达式为， 故答案为：． 10.求一次函数图象与坐标轴的交点 错误：关于求与坐标轴交点问题的常见错误：①未明确要求的是与坐标轴的交点，还是与x轴的交点，还是与y轴的交点；②混淆与x轴的交点、与y轴的交点的求法；③不能直接根据表达式常数项写出与y轴的交点。 注意：一次函数的图象与x轴的交点求法，即使得y=0，解方程即可；与y轴的交点即为（0，b）。在具体问题中，有时候题目会设置陷阱，如问与坐标轴的交点时，要写明与x轴、y轴的交点共2个。 例13 （25-26八年级上·全国·课后作业）一次函数的图象与轴的交点坐标为 ，与轴的交点坐标为 ，与坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】 9 【分析】本题考查一次函数图象性质．分别令，可求与x轴和y轴交点，根据直角三角形的面积计算方法即可求得一次函数与坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】解：当时，，解得， 一次函数图象与轴的交点坐标为． 当时，， 一次函数图象与轴的交点坐标为． 故一次函数与坐标轴围成的三角形面积为． 故答案为：，，9． 11.一次函数的增减性 错误：不能辨析任意一次函数的增减性，在比较函数值大小，或解决实际问题时，不能运用增减性这一性质。 注意：根据一次函数的表达式中k的正负值判定函数图象的增减性。当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。当比较函数值的大小时，只要比较自变量取值的大小，结合增减性即可。 例14 （25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数（为常数）．若随的增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的性质，当一次项系数大于0时，y随x的增大而增大． 【详解】解：∵ y随x的增大而增大， ∴， 解得． 故答案为：． 例15 （25-26八年级上·河北保定·期中）已知关于x的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的单调性，分类讨论a的正负情况：当时，函数为增函数，最大值在区间右端点处取得；当时，函数为减函数，最大值在区间左端点处取得．分别代入求解a的值． 【详解】解：当时，函数为增函数，最大值在处， 代入得， 即， 解得； 当时，函数为减函数，最大值在处， 代入得， 即， 解得． 故答案为：1或． 12.一次函数表达式的系数与图象的关系 错误：已知一次函数的表达式，不能进行数形结合，得出图象在坐标系上的位置，比如经过哪些象限，与x轴和y轴的相交位置等信息；或已知一次函数图象，不能反推出一次函数表达式中一次项系数k和常数项b的正负。 注意：参考知识清单列出的“第12点”，可以通过一次函数表达式中k和b的正负大致判断图象在坐标系中的位置，也可以反过来通过图象经过的象限判断k和b的正负。除此，还需要学会解决多个图象同时存在时判断系数的正负，可以通过不同情况的假设，查看符合条件的情况。 例16 （25-26八年级上·重庆·期中）下列表示一次函数与正比例函数（其中k，b为常数且）的图像正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像和正比例函数图像，熟练掌握一次函数图像和正比例函数图像的性质是解题的关键． 根据分析一次函数的图像确定和符号，通过分析图像确定一次函数和正比例函数的常数符号是否一致，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、由一次函数图像可知、；观察正比例函数图像可知，与一次函数矛盾，不符合题意； 选项B、由一次函数图像可知、；观察正比例函数图像可知，与一次函数矛盾，不符合题意； 选项C、由一次函数图像可知、；观察正比例函数图像可知，与一次函数一致，符合题意； 选项D、由一次函数图像可知、；观察正比例函数图像可知，与一次函数矛盾，不符合题意； 故选：C． 13.一次函数图象的平行关系 错误：不能将k值与平行关系建立联系。 注意：当已知两直线图象平行时，则两图象对应的一次函数表达式中，一次项系数相等。 例17 （25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数与横轴的交点横坐标是，且平行于函数，那么这个一次函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，包括一次函数的表达式、两直线平行时斜率的关系以及一次函数与坐标轴交点的求法．由两直线平行，得；再根据与横轴交点横坐标是，得点，代入函数解析式求．解题关键在于理解两直线平行时，一次函数中值相等这一性质，准确求出．掌握一次函数与横轴交点的坐标特征，即交点的纵坐标为，通过代入交点坐标求解．即可求出解． 【详解】解：∵一次函数 平行于函数 ， ∴， ∵一次函数与横轴的交点横坐标是， ∴当时，，即点在函数图像上．将点代入， 得， 解得． ∴一次函数表达式为． 故答案为：． 14.一次函数图象的图形变换 错误：一次函数图象的变换与坐标系中图形的变换类似。不能根据直线图象的变换，确定新的坐标点，从而确定新的直线，无法得到新的一次函数。 注意：解决一次函数图象的图形变换，类似于在坐标系中求图形的坐标，一般过程是： ①将原直线上已知点（一般选择与x轴或y轴的交点）根据图形变换的要求进行变换； ②将新的两个点连成直线； ③用待定系数法求解新的直线的一次函数表达式。 一般规律： （1）若，则，反之亦然. （2）若关于x轴对称，则，. （3）若关于y轴对称，则，. 例18 （24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知一次函数的图像与直线关于x轴对称，则一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换问题，求一次函数表达式，首先求出直线与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后根据题意求出一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：，当时，， 当时，， ∴直线与y轴的交点为，与x轴的交点为， 一次函数的图像与直线关于x轴对称， 一次函数与y轴的交点为，与x轴的交点为， 设一次函数的解析式为， 把，代入得，， 解得：， 所以，一次函数的解析式为：． 故答案为：． 15.运用一次函数的性质解决问题 错误：在解决实际问题过程中，不能结合一次函数的增减性解决问题。一般是不会通过增减性求最值、求x的取值范围或者y的取值范围，来解决实际问题。 注意：一次函数增减性的性质可以解决一次函数的最值问题，也能通过最值求得x的取值范围。因此在实际问题中涉及到： （1）求最值的问题，比如最大利润，最小面积等，可以先求出一次函数表达式，然后根据x的取值范围，结合增减性求出函数值的最值； （2）已知函数值的取值范围，求自变量x的取值范围。比如已知成本不超过规定，求数量的取值范围。 例19 （2024·河南周口·一模）学生社团作为校园文化的重要载体，是培养学生兴趣爱好，扩大求知领域，陶冶思想情操，展示才华智慧的舞台．某中学社团联合举办了“青春汇聚迎盛会，百团奋进正当时”的主题活动，鼓励学生积极参与社团活动．与此同时，学校计划为参加活动的同学购买一批奖品．经了解，购买2个A种奖品和1个B种奖品需花费64元，购买1个A种奖品和4个B种奖品需花费88元． (1)求A，B两种奖品的单价； (2)学校需采购两种奖品共60个，且A种奖品的数量大于B种奖品数量的2倍．设购买A种奖品a个，那么如何购买才能使花费最少？最少花费多少元？ 【答案】(1)A种奖品的单价为24元，B种奖品的单价为16元 (2)购买A种奖品41个、B种奖品19个时花费最少，最少为1288元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的性质 （1）设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元．根据题意，列出方程组求解即可； （2）根据各数量之间的关系，先求出a的取值范围，在列出w关于a的一次函数关系式．根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元． 则有 解得． 答：A种奖品的单价为24元，B种奖品的单价为16元． （2）设花费w元，购买B种奖品个． ∵， ∴． ． ∵， ∴w随a的增大而增大． 由题知a为正整数， ∴a取最小值41时，w有最小值，w的最小值为（元）． ． 答：购买A种奖品41个、B种奖品19个时花费最少，最少为1288元． 16.一次函数的实际应用解决注意事项 错误：解决一次函数的实际问题，最常见的错误有： ①不能根据题意或者通过待定系数法求出一次函数函数表达式； ②不考虑自变量x的取值范围来解决问题； ③不检验得出的结果是否符合题意。 注意：实际问题在列出一次函数表达式时，需要根据题干先建立等量关系。比如根据路程=时间×速度解决行程问题；根据销售额=售价×数量解决经营问题。其次要尤其注意自变量的取值范围，有些是题干提及的，有些需要根据实际生活经验的。最后，在求解后要注意检验答案是否符合题意。 例20 （25-26八年级上·陕西西安·期中）为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．要求无人机从距离地面一定距离的升降平台起飞工作人员通过记录仪得到其中一架无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)升降平台与地面的距离为_____； (2)求该无人机所在的位置距离地面的高度与飞行的时间之间的关系式； (3)无人机飞行多长时间时与地面的距离为？ 【答案】(1)； (2)； (3)无人机飞行时与地面的距离为． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据函数图象作答即可； （2）设与飞行的时间之间的关系式为，将，代入计算即可； （3）将代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，升降平台与地面的距离为； 故答案为：； （2）解：设与飞行的时间之间的关系式为， 由函数图象可知，经过，， 即， 解得：， 即与飞行的时间之间的关系式为； （3）解：当时，， 解得：， 即无人机飞行时与地面的距离为． 17.结合图象的一次函数行程问题 错误：关于图象解决问题中，行程问题是最典型的实际应用之一。此类问题易错问题比较多，比如错看纵坐标所表示的实际意义（可能表示两个对象的距离也可能表示他们到某个定点的距离），比如不能正确解读所有的函数图象的端点、拐点、交点等，比如用待定系数法求解图象中的多个一次函数表达式。 注意：结合知识清单中第7条中的具体举例总结注意事项。 例21 （2025·浙江丽水·二模）同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事保留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． (1)求甲、乙两车各自的平均速度； (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 【答案】(1)甲车的平均速度，乙车的平均速度 (2)直线的函数表达式 (3)乙车出发小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为 【分析】本题主要考查数形结合的一次函数的性质，解题的关键是熟悉读懂图形的意义． （1）根据题干可知A，B两地之间的距离为120，为乙车的函数关系，结合坐标点即可求得速度；点为甲车事前停留位置，结合距离即可求得速度； （2）根据题干求得点D和点E的坐标，利用待定系数法即可求得解析式； （3）利用待定系数法求得直线的函数表达式，联立求得交点即为相遇点，进一步求相遇时间和距离即可． 【详解】（1）解：由题意知A，B两地之间的距离为120， 为乙车的函数关系，则， 点为甲车事前停留位置，则， 故甲车的平均速度，乙车的平均速度； （2）解：由图可知点， ∵甲车途中有事保留了0.5小时． ∴点， 设直线的函数表达式，则 ，解得， ∴直线的函数表达式； （3）解：由图可知点，， 设直线的函数表达式，则 ，解得， ∴直线的函数表达式， 联立，解得， 则乙车出发小时后两车相遇， 相遇时乙车离A地的距离为 ． 例22 （25-26八年级上·安徽六安·月考）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，慢车先出发，设先发车辆行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象解决以下问题： (1)慢车的速度为______，快车的速度为______； (2)解释图中点D的实际意义并求出点D的坐标； (3)求当x为多少时，两车之间的距离为． 【答案】(1)80，120 (2)见解析， (3)或 【分析】本题考查从函数图象获取信息，待定系数法求解析式，一次函数的应用，读懂图象，获取信息是解题的关键． （1）根据图象可知先出发的车行驶小时，行驶，可得先出发的车的速度，根据两车相遇的时间可得后出发的车的速度，即可得答案； （2）点D表示快车到达乙地，求出快车走完全程所需时间即可得到点D的横坐标，再求出此时慢车所走过的路程即可得到点D的纵坐标，即可解答； （3）分相遇前和相遇后两种情况，采用待定系数法分别求出线段，线段的函数解析式，令，求出x的值，即可解答． 【详解】（1）解：由图象可知：先出发的车行驶小时，行驶距离为， ∴先出发的车的行驶速度为， ∵后出发的车行驶小时时两车相遇， ∴后出发的车的速度为， ∴先出发的车为慢车，速度为，后出发的车为快车，速度为． 故答案为：80，120； （2）解：点D表示快车到达乙地， ∵快车走完全程所需时间为， ∴点D的横坐标为， 此时慢车走过的路程为， ∴点D纵坐标为360， ∴点D的坐标为， ∴点D的实际意义是快车出发了4小时，快车慢车相距时快车到达乙地； （3）解：由题意，可知两车行驶的过程中有2次两车之间的距离为， 两车相遇前，设线段的函数解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，，解得， ∴当时，两车之间的距离为； 两车相遇后，设线段的函数解析式为， ∵该直线过点，， ∴，解得， ∴， 当时，，解得， ∴当时，两车之间的距离为； 综上所述，当或时，两车之间的距离为． 18.结合图象的一次函数经营问题 错误：类似于行程问题，经营与策略问题也是典型的图象结合性问题之一。但经营性问题，一般是销售额的一次函数图象和成本的一次函数图象同时存在的图象，或者多个不同价格变化图象同时存在的图象。因此常见的错误是不能解读交点的含义，或者不能根据图象求解关于利润的问题。 注意：经营与策略问题中，尤其注意交点。两个不同对象函数图象的交点，表示当此时两个对象的总价相同，但此时就是“分水岭”；同一个对象的销售额与成本的图象的交点，表示当此时销售额等于成本，没有利润，接下来就是“赚”变“亏”或“亏”变“赚”。当然也有直接表示利润随数量变化的函数图象。 交点A表示此时甲、乙商店的总价相同；点A之前，甲商店比较优惠，点A之后，乙商店比较优惠。 交点A表示此时甲工厂销售额=成本，表示此时利润为0；在点A之前，是亏损，在点A之后，是盈利。 与x轴的交点表示此时利润为0，即销售额=成本。在此以后，利润为正，即盈利。 例23 （21-22八年级下·重庆秀山·期末）“每日一杯纯牛奶”已成为人们健康生活的新常态，因而市场上对牛奶的需求也越发增大．某乳品公司每月均需通过某快递公司向A县输送一批牛奶，该快递公司给了三种运费方案，具体如下： 方案一：每千克运费元，按实际运输重量结算； 方案二：每月收取元管理费用，再每千克运费元； 方案三：每月收取元包干，不限运输重量； 设该公司每月运输牛奶x千克，选择方案一时，运费为元，选择方案二时，运费为元，选择方案三时，运费为元． (1)请直接写出，，与x之间的关系式； (2)在同一个坐标系中，若三种方案对应的函数图象如图所示，请求出点C，D，E的坐标； (3)直接写出如何选择方案更合算． 【答案】(1)；；； (2)，， (3)当时，采用方案一更合算；当时，费用方案一，二费用一样；当时，采用方案二更合算；当时，方案二，三费用一样，当时，采用方案三更合算． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据题意可得，，与x之间的关系式； （2）根据（1）的结论列方程可得点C，D，E的坐标； （3）根据（2）所求的点C，D，E的坐标，结合图象可得结论． 【详解】（1）解：由题意得；；； （2）解：∵点C为与的交点， ∴解得， ， ∴点C的坐标为； ∵点D为与的交点， ∴解得， ∴点D的坐标为； ∵点E为与的交点， ∴解得， ∴点E的坐标为； （3）解：由图象可知，当时，采用方案一更合算；当时，费用方案一和方案二费用一样；当时，采用方案二更合算；当时，方案二和方案三费用一样，当时，采用方案三更合算． 19.分段函数的综合探究 错误：（1）在确定分段函数表达式时：分段时自变量取值范围有缺漏；或无法根据实际情况对自变量进行分类讨论；或求解每段自变量取值范围内的函数表达式有误。 （2）在探究分段函数问题时，没有分类讨论不同函数段下可能的情况。 注意：题意表示的分段函数关系，或图象给出的分段函数关系。注意先将自变量进行分段，注意不要缺漏。然后在每个分段中将一次函数表达式表示出来，再完整表示整个函数。在具体解决问题时，一定要注意分类讨论。函数的特点是任意自变量x都有唯一对应的函数值y，但已知的函数值y，可能对应有多个自变量x，即：满足函数值y的x的情况，一定要分类讨论。 例24 （25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 (1)A户居民本月用水量为，求A户居民本月的水费为多少元． (2)设每户每月用水量为，水费为元，求关于的函数关系式． (3)若B户居民本月的水费为54元，求B户居民本月用水量． 【答案】(1)A户居民本月的水费为60元 (2)关于的函数关系式为 (3)B户本月用水量为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）根据A户居民本月用水量为处于超过但不超过进行计算即可； （2）分为3档进行列方程求解即可； （3）先算出和的水费，结合B户居民本月的水费为54元判断出处于超过但不超过的挡位进行计算即可． 【详解】（1）解：∵A户居民本月用水量为， ∴A户居民本月的水费为 ， ∴A户居民本月的水费为60元； （2）解：∵设每户每月用水量为，水费为元， ∴当用水量不超过时，， 当用水量超过但不超过时， ， 当用水量超过时， ， ∴关于的函数关系式为； （3）解：∵B户居民本月的水费为54元， ∴当时，水费（元）； 当时，水费（元）（，故用水量在区间）； ∴将代入，得： ， ∴B户本月用水量为． 20.一次函数与方程、不等式的关系 错误：不能根据函数图象解方程或不等式。 注意：（1）根据一次函数图象与x轴的交点，可求出对应的一元一次方程的解； （2）也可以通过与图象的交点，求出二元一次方程组的解； （3）根据一次函数图象，可以求出相关的不等式的解。 例25 （25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系． 将点代入，求出点坐标，则点的横纵坐标即为方程组的解． 【详解】解：由题意得将代入，则， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 例26 （25-26八年级上·安徽安庆·期中）已知直线：与直线：相交于点，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与y轴交于点D． (1)求A，C两点的坐标； (2)若，则x的取值范围是 _______； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了求一元一次不等式的解集，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先把代入，求出，再将点坐标代入求得即可； （2）根据，也就是，结合图象可得结论； （3）根据图象，可以得出不等式的解集． 【详解】（1）解：∵直线：与直线：相交于点， ∴把代入， 得，解得：， 把代入， 得，解得：， ∴直线：， 当时，则 ，解出， ∴； （2）∵直线：，， ∴当时，x的取值范围是； （3），即， 根据图象，此时的不等式的解集为． 21.一次函数图象问题下的三角形面积问题 错误：不能掌握坐标系中用割补法求三角形的面积的方法；不能根据已知三角形的面积，求满足的点的坐标。 注意：我们在平面直角坐标系这一章中已经学习了在坐标系中求三角形的面积的方法，主要方法为： （1）补法：在三角形周围围外接的长方形，用长方形面积减去周边的直角三角形的面积； （2）割法：将已知三角形从一个顶点出发向竖直方向或水平方向割开成两个三角形，分别求面积。 在此基础上，若知道三角形的面积，而反过来求点的坐标时，也还是用这种方法，但要注意分类讨论，满足的点的坐标往往不止一个。 例27 （25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若点M是y轴上一动点，若，求点M的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点A、B的坐标，得出，然后根据求出结果即可； （3）设点，求出，，根据题意得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线：与相交于点， ∴， 解得， ∴， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， ∴直线与y轴的交点D的坐标为， ∴， 当时，，， ∴直线与x轴的交点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：设点，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或， ∴点M的坐标为或． 22.一次函数与几何图形结合的综合运用 错误：一次函数知识点，几何图形知识点掌握不够，综合性问题无法解决。 注意：综合性问题主要是两类： （1）几何图形与一次函数图象均在平面直角坐标系上的综合性问题，这类问题的核心是将图象上点的坐标和几何图形中点的坐标串联，再结合图象的一次函数表达式和几何图形的性质来解决问题； （2）将几何图形中线段或角的数量关系用一次函数关系表达的，要注意每一对（x，y）所表示的几何含义，尤其是考查几何图形的动点问题时。 例28 （24-25八年级下·全国·期末）如图①，在中，，点D是的中点，动点P从点C出发沿C→A→B运动到点B，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图②，则的长为（    ） A．12 B． C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、勾股定理，读懂函数图象是解题关键． 结合图象求出，利用线段中点的性质得出，再结合图象得出，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：结合图象②可知，点， 当时，， 此时，， ∵点D是的中点， ∴， 由图②可知，， 在中，由勾股定理得， ， 故选：B． 例29 （25-26八年级上·广东深圳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知直线l与y轴交于点，与x轴交于点，以B为直角顶点在第一象限内作等腰直角三角形，其中，． (1)直线l对应的函数表达式是______，点C的坐标是______； (2)如图2，点D是的中点，点M是直线l上的一个动点，连接，求的最小值，并求出取最小值时点M的坐标； (3)点H在直线l上，x轴上是否存在点P，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点H的个数；并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)的最小值为， (3)存在，有6个满足条件的点H，或或 【分析】本题考查坐标与轴对称，一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式，作轴于点，证明，求出点坐标即可； （2）作点关于直线的对称点，连接，则 ，求出直线的解析式，进行求出点的坐标，勾股定理求出的长即可； （3）分3种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 设直线l的函数表达式为，把代入，得：，解得， ∴； 作轴于点，则：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）作点关于直线的对称点，连接，则，， ∴当点在直线上时，的值最小， ∵直线垂直平分，， ∴点为的中点， ∵，点为的中点， ∴， 同（1）法可得直线的解析式为； 联立，解得， ∴即时，取最小值， 作轴，轴， ∴，， ∴的最小值为； （3）存在，有6个满足条件的点H，或或 由题，，直线l的解析式：； 若以A为直角顶点，，， 有以下①②两种情况： ①作轴，如图，同（1）法可得：， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，①情况下不动，H点移动到A下方，与①情况中的H关于对称的位置，也符合题意； 若以P为直角顶点，，，有以下③④两种情况： ③作轴，如图所示，P在直线左侧，设， 同法： ∴，，， ∴，代入得：，解得：， ∴． ④如图所示，P在直线右侧， 设，， ∴，，， ∴，代入得：， 解得：， ∴， 若以H为直角顶点，即，，有两种情况： ⑤即情况③的P点位置不动，过P作，此时P点坐标同③ ⑥即情况④的P点位置不动，过P作，此时P点坐标同④ 综上所述，有6个满足条件的点H； 3个满足条件的点P，分别是或或． 1．（25-26八年级上·广西梧州·期中）若函数是正比例函数，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数，正比例函数的形式为，即一次项系数不为零且常数项为零，据此求解即可． 【详解】∵函数是正比例函数， ∴且 解得且 ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期中）与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 两条直线平行的条件是k值相等，给定直线，只需比较各选项可得答案． 【详解】解：∵一次函数中， 选项A：一次函数中，； 选项B：一次函数中，，符合； 选项C：一次函数中，； 选项D：一次函数中，， ∴与给定直线平行的是选项B． 故选：B． 3．（25-26八年级上·广西梧州·期中）“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则距离地面高千米处的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查列函数关系式．某地面温度为，且每升高1千米温度下降，据此列出温度与高度的关系． 【详解】解：∵某地面温度为，且每升高1千米温度下降， ∴距离地面h千米处的温度t为． 故选：C． 4．（25-26八年级上·河南郑州·期中）对于一次函数，下列结论错误的是（    ） A．函数图象与轴的交点坐标是 B．函数图象经过第一、二、四象限 C．若点，在该函数的图象上，且，则 D．自变量每增加1，函数值就增加2 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，其中，函数图象递减且与y轴交于正半轴，逐一验证各选项即可． 【详解】解： A．当时，，∴ 与y轴交点为，正确，不符合题意； B．∵，∴ 图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意； C．∵，∴y随x的增大而减小，∴ 当时，，正确，不符合题意； D．∵，∴变量每增加1，函数值就减少2，错误，符合题意， 故选：D． 5．（安徽省淮北市五校联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）你有没有这样的疑问：为什么苹果往下掉，而不是“飞上天”呢？当年，牛顿带着这样的疑问，经过长期的观察、思考与研究，最终发现了“万有引力”定律．如图1是苹果掉落过程中某一瞬间的照片，已知苹果下落过程中速度v随时间t变化的函数图象如图2所示，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象如图3所示，则下列结论错误的是（   ） A．当时， B．当时， C．v和h均随t的增大而增大 D．t每增加，h的增加量相同 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，结合函数的图象理解题目意思是解答本题的关键．根据函数图象，逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：A．由题图②可知，当时，，选项A不符合题意； B． 由题图③可知，当时，，选项B不符合题意∶ C． 由题图②、图③可知，v和h均随t的增大而增大，选项C不符合题意∶ D． 由题图②、图③可知，苹果下落的距离h随时间t变化的函数图象不是直线，t每增加，h的增加量不同．选项D符合题意． 故选：D． 6．（安徽省淮北市五校联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与不等式，数形结合是解题的关键；根据函数图象即可求解． 【详解】解：观察图象知，不等式的解集为， 故选：A． 7．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知在一条笔直的道路上顺次有、、三地，且、两地之间的距离为，甲、乙两车分别从地，地同时出发，沿这条笔直道路前往地，甲车到达地后立即以原速沿原路返回，乙车到达地后停止运动.两车距地的距离，与甲车行驶的时间之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．去程时 D．两车在时第一次相遇 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的应用、行程问题、求解函数解析式以及相遇问题，解题的关键是分析函数图像，确定甲、乙的速度，利用待定系数法求函数解析式．根据甲车往返路程与时间关系求，再利用待定系数法求函数解析式，通过列方程求相遇时间及时间间隔． 【详解】、由题意知，甲车往返路程相同，从出发到返回共用小时，所以到达地的时间小时，故错误； 、乙车小时行驶千米，根据速度公式可得乙车速度为，所以乙车距地的距离，故错误； 、甲在去程时小时行驶千米，根据速度公式可得去程甲车速度为，甲在去程距地的距离，故错误； 、两车第一次相遇时，乙车距地的距离等于甲车距地的距离，即，解得，故正确； 故选：． 8．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，正方形的边长为4，P为正方形边上一动点，运动路线是，设P点经过的路程为x，以点A、P、D为顶点的三角形的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图象，熟练掌握函数图象表示的意义是解题的关键，根据动点从点出发，首先在上运动，此时随的增加而增大，当点在上运动时，不变，当点在上运动时，随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：点在上运动，即时，随着的增大而增大， 点在上运动，即时，， 当点在上运动，即时，随着的增大而减小， 故选：A． 9．（25-26八年级上·陕西西安·期中）小辰在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度与鞋子的码数之间满足一次函数关系，下表给出与的一些对应值： 码数 26 30 34 42 长度 18 20 22 26 根据小辰的数据，可以得出该品牌32码鞋子的长度为 ． 【答案】21 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，一次函数的应用，根据表格中的数据，利用待定系数法求出一次函数解析式，再将代入解析式求解y的值． 【详解】解：设y与x的函数解析式为， 由和在函数图象上， 得方程组： 因此函数解析式为， 当时，． 故答案为：21． 10．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）已知是关于的一次函数，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是根据一次函数的定义列出关于的方程和不等式． 根据一次函数（、为常数，）的定义，可得且，解方程组和不等式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的一次函数， 的指数 ，且系数 ． 解方程 得 ， ． 又 ，即 ， ． 故答案为： 11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系，掌握一元一次方程的解是对应函数图象交点的横坐标是解题的关键. 由函数图象可知：直线与直线的交点的横坐标为，再根据一次函数图象交点坐标与一元一次方程解的关系求解即可． 【详解】解：∵由函数图象可知：直线与直线的交点的横坐标为， ∴关于的方程的解为． 故答案为：． 12．（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程： ． 【答案】或 【分析】设，根据题意，得，解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，利润问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设， 根据题意，得解得， 故解析式为， 故或， 故答案为：或． 13．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，三个函数图像分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是 ．（用连接） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，解题的关键是根据正比例函数图像经过的象限判断系数的正负，再通过直线靠近y轴的程度判断系数绝对值的大小，进而比较系数大小． 根据正比例函数的图像特征：图像过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近y轴，|k|越大．先判断、、的正负，再比较负数的绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 【详解】解：∵ 正比例函数的图像特征为： 图像过第一、三象限时，；图像过第二、四象限时，； 直线越靠近轴，|k|越大． ∴ 由图像可知：①过第一、三象限，故； ②③过第二、四象限，故，； ②比③更靠近轴，故， 负数比较大小，绝对值大的数更小，故． 综上，． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）如图，直线交轴于点，交轴于点，，点是坐标轴上一点，且是直角三角形，满足这样条件的点有 个． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数与动点问题，准确分析求解是解题的关键． 根据已知条件求出一次函数解析式，当点在轴上，设，则根据和两种情况讨论，当点在轴上，设，当时求解即可． 【详解】，点在轴的负半轴， ， 直线过点， ， ， ， ， 当点在轴上， 当，点与原点重合，； 当，设， ，，， ，，， ，解得：， ； 当点在轴上， 当，设， ，，， ，，， ， ， ； 符合条件的点的坐标是或或，有个； 故答案是：． 15．（25-26八年级上·安徽六安·月考）已知与成正比例，当时，． (1)求出与的函数关系式； (2)当时，求的值 (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，待定系数法求函数解析式，求一次函数的函数值和自变量的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）所求的函数解析式中，求出y的值即可得到答案； （3）把代入（1）所求的函数解析式中，求出x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴，解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时，； （3）解：在中，当时，，解得． 16．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P的横坐标比纵坐标大2，求m的值； (2)若点P在过点且与y轴平行的直线上，求点P的坐标 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了点坐标及平行于坐标轴的直线上点的坐标特征；掌握与轴平行的直线上的点横坐标相同是解题的关键． （1）由已知得，即可求解； （2）由平行于轴的直线上的点横坐标相同得，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ，解得：； （2）解：由题意得 ，解得：， ， ． 17．（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）甲、乙两辆摩托车从相距的，两地相向而行，图中，分别表示甲、乙两辆摩托车离地的距离与行驶时间之间的函数关系．求： (1)请写出，的函数关系式． (2)何时甲摩托车离地的距离大于乙摩托车离地的距离？ 【答案】(1)的函数关系式为，的函数关系式为； (2)出发后甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）分别根据速度=路程÷时间求出甲、乙的速度，再由路程=速度×时间求出对应的函数关系式即可； （2）求出甲、乙相遇的时间，再根据图象可知何时甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离即可． 【详解】（1）解：甲的速度为， 则， 乙的速度为，则， ∴的函数关系式为，的函数关系式为； （2）解：当甲、乙相遇时，得， 解得， 根据图象，出发后甲摩托车离A地的距离大于乙摩托车离A地的距离． 18．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）已知一次函数的图象与直线平行，且过点． (1)求与之间的函数表达式； (2)当时，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的图象与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）由题意得，再代入点到，求出的值，即可解答； （2）根据一次函数的性质得到中随的增大而增大，再结合，即可求出函数的最小值． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与直线平行， ∴， 则，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：∵， ∴中随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴函数的最小值为． 19．（25-26八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，已知直线（和是常数且）经过点，，直线（是常数）与直线相交于点，与轴交于点，点的横坐标为-3． (1)当时，直接写出的取值范围为_______； (2)求直线的表达式和的值； (3)若点在直线上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)直线的表达式为， (3)点或 【分析】本题考查了求一次函数解析式以及一次函数与几何综合问题，掌握函数相关性质是解题关键． （1）由图可知：当时，直线的图象在直线的上方；即可求解； （2）把和代入直线可求得直线的表达式为．把代入，求得点．把点代入，可解得． （3）设点，求出点．根据．即可求解； 【详解】（1）解：由图可知：当时，直线的图象在直线的上方； 即：当时，直接写出的取值范围为：； （2）解：把和代入直线， 得解得 直线的表达式为． 把代入，得， 点． 把点代入，得，解得． （3）解：设点． 由（2）知，点． 当时，，解得， 点． ． ， ． 或． 点或 20．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）2025年3月22日是第三十三届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 40 50 (1)请补全上表信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点； (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数关系式； (3)请根据（2）中所求的函数关系式，估算这种漏水状态下12小时的漏水量． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了画正比例函数图象，求正比例函数关系式， 对于（1），根据量杯中的水量是时间的2倍可填表，再平面直角坐标系中描点，连线即可； 对于（2），根据表格中的规律可知是正比例函数，再将一个点的坐标代入求出答案； 对于（3），将12小时化成720分钟，再代入关系式可得结果. 【详解】（1）解： 时间 0 5 10 15 20 25 量杯中的水量 0 10 20 30 40 50 图象如图所示： （2）解：根据图象可设该正比例函数为， 将代入，得， 解得， ∴函数关系式为：； （3）解：因为（分）， 所以当时，， 所以漏水量为. 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $