第5章 微探究 寻找数形规律探求函数表达式-【拓展与培优】2025-2026学年新教材八年级上册数学（浙教版2024）

数学 八年级上册 129 微探究 寻找数形规律探求函数表达式 例 观察一列数3,8,13,18,23,28,…,依此规律下 去,猜想第n 个数y= (用含n 的式子表 示),第2006个数是 . 变式练习 观察图中小圆圈的摆放规律,并按这样 的规律继续摆放,记第n 个图中小圆圈的个数为 m,则m= (用含n 的代数式表示). ① ② n=1时,m=5 n=2时,m=8 ③ n=3时,m=11 ④ n=4时,m=14 一、夯实基础 1.下列图形都是由同样大小的棋子按一定的 规律组成,其中第①个图形有1颗棋子,第②个图形 一共有6颗棋子,第③个图形一共有16颗棋子,…, 则第⑥个图形中棋子的颗数为 ( ) ① ② ③ … A.51 B.70 C.76 D.81 2.下列图形都是按照一定规律组成,第一个图 形中共有2个三角形,第二个图形中共有8个三角 形,第三个图形中共有14个三角形,…,依此规律, 第五个图形中三角形的个数是 ( ) 第一个图形 第二个图形 第三个图形 …… A.22 B.24 C.26 D.28 3.为庆祝“六·一”儿童节,某幼儿园举行用火 柴棒摆“金鱼”比赛.如图所示:按照上面的规律,第 n 个图,需用火柴棒的根数y= . ① ② ③ … 4.如图,是用火柴拼成的图形,则第n 个图形 需 根火柴棒. ① ② ③ ④ … 5.如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点 O 出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断 地移 动,每 次 移 动 一 个 单 位,得 到 点 A1(0,1), A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),…,那么点 A4n+1(n 是自然数)的坐标为 . 6.如图是一组有规律的图案,第一个图案是由 4个▲组成,第二个图案是由7个▲组成,第三个图 案由10个▲组 成,第 四 个 图 案 是 由13个▲组 成,……,则第n 个(n 为正整数)图案是由 个▲组成. 第一个图案 第二个图案 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 拓展与培优 130 第三个图案 第四个图案 …… 7.用边长为1的小正方形摆成如图所示的塔 状图形,按此规律,第4次所摆图形的周长是 , 第n 次所摆图形的周长是 .(用关于n 的代 数式表示) 二、拓展提升 8.某发电厂共有6台发电机发电,每台的发电 量为300万千瓦/月.该厂计划从今年7月份开始到 年底,对6台发电机各进行一次改造升级.每月改造 升级1台,这台发电机当月停机,并于次月再投入发 电,每台发电机改造升级后,每月的发电量将比原 来提高20%.已知每台发电机改造升级的费用为20 万元,将今年7月份作为第1个月开始往后算,该厂 第x(x 是正整数)个月的发电量设为y(万千瓦). (1)求该厂第2个月的发电量及今年下半年的 总发电量; (2)求y 关于x 的函数表达式; (3)如果每发1千瓦电可以盈利0.04元,那么 从第1个月开始,至少要到第几个月,这期间该厂的 发电盈利扣除发电机改造升级费用后的盈利总额 w1(万元),将超过同样时间内发电机不作改造升级 时的发电盈利总额w2(万元)? 9.我们把正六边形的顶点及其对称中心称作 如图①所示基本图的特征点,显然这样的基本图共 有7个特征点.将此基本图不断复制并平移,使得相 邻两个基本图的一边重合,这样得到图②、图③…… 图① 图② 图③ (1)观察以上图形并完成下表: 图形名称 基本图的个数 特征点的个数 图1 1 7 图2 2 12 图3 3 17 图4 4 …… …… …… 猜想:在图n 中,特征点的个数为 .(用 含n 的式子表示) (2)如图,将图n 放在直角坐标系中,设其中第 一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1,2),则x1 = ;图 2013 的 对 称 中 心 的 横 坐 标 为 . 图n 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 10.(1)k=- 3 4 (2)S=- 9 4x+18 (0<x <8) (3)132 ,9 8 æ è ç ö ø ÷ 专题拓展 一次函数图象与性质 【夯实基础】 1.D 2.B 3.C 4.B 【典型例题】 例1 D 变式练习1 C 例2 B 变式练习2 D 例3 B 变式练习3 C 例4 C 变式练习4 B 【巩固练习】 1.B 2.A 3.A 4.C 5.B 6.0<m < 3 2 7.-2 8.1 9.2n-1 10.(1)(-3,0) (2)-3≤b≤2 11.(1)C(2,2) (2)y=-2x+6 12.(1)不是 (2)±3 (3)18或-6 13.解:(1)150 (2)设购进餐桌x 张,则购进餐椅(5x+ 20)张,销售利润为W 元. 由题意得:x+5x+20≤200, 解得:x≤30. ∵a=150,∴餐桌的进价为150元/张, 餐椅的进价为40元/张. 依题意可知: W= 1 2x ·(500-150-4×40)+ 1 2x · (270-150)+(5x+20- 1 2x ·4)×(70- 40)=245x+600, ∵k=245>0, ∴W 关于x 的函数单调递增, ∴当 x=30时,W 取 最 大 值,最 大 值 为7950. 故购进餐桌30张,餐椅170张时,才能 获得最大利润,最大利润是7950元. (3)涨价后每张餐桌的进价为160元,每 张餐椅的进价为50元, 设本次成套销售量为m 套. 依题意得:(500-160-4×50)×m+ (30-m)×(270-160)+(170-4m)×(70- 50)=7950-2250, 即6700-50m=5700,解得:m=20. 答:本次成套的销售量为20套. 微探究 寻找数形规律探求 函数表达式 【典型例题】 例 解:数字的序号为n,其值为y,由已知得 n=1,y=3;n=2,y=8;n=3,y=13;n=4, y=23;…仔细观察发现,序号每增加1,y 值 就增加5,与第1个数相比,第n 个数应增加 5(n-1),所以第n 个数应为5(n-1)+3,即 y=5n-2,当n=2006时,y=5×2006-2 =10028. 变式练习 3n+2 【巩固练习】 1.C 2.C 3.6n+2 4.2n+1 5.(2n,1) 6.3n+1 7.16 4n 8.解:(1)改造后每台发电量为300(1+ 20%)=360(万千瓦/月) ∴y1=300×5=1500(万千瓦), y2=300×4+360=1560(万千瓦), y3=300×3+360×2=1620(万千瓦), y4=300×2+360×3=1680(万千瓦), y5=300×1+360×4=1740(万千瓦), y6=360×5=1800(万千瓦), ∴y总 =y1+y2+y3+y4+y5+y6= 9900(万千瓦). 答:第2个月发电量为1560万千瓦,下 半年总发电为9900万千瓦; (2)第x 个月已改造(x-1)台,正在改 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·14· 造1台,未改造的为(6-x)台, ∴y=300(6-x)+360(x-1)=60x+ 1440(1≤x≤6); (3)设到第x 个月时w1>w2, 当x=6时,w1=9900×0.04-20×6= 276(万元),w2=300×6×6×0.04=432(万 元),w1<w2,不合题意,∴x>6. ∴w1=[9900+360×6(x-6)]×0.04- 20×6=86.4x-242.4, w2=300×6x×0.04=72x. 由w1>w2得86.4x-242.4>72x, 解得x>16.8,∴x 取17. 答:至少要到第17个月w1 超过w2. 9.(1)22 5n+2 (2)正六边形的边长是2,所以边心距为 3,故x1= 3;图2的对称中心在正六边形 的一边上,横坐标为23;图3的对称中心是 正中间的正六边形的交点,横坐标为3 3, ……,以此类推,图2013的对称中心的横坐 标为20133. 5.5 一次函数的简单应用 【典型例题】 例1 x=1 x<1 变式练习 C 【巩固练习】 1.C 2.D 3.D 4.C 5.(1)因为函数y=kx+b 的图象过点 (-2,0),(0,2),所 以 0=-2k+b, 2=0+b,{ 所 以 k=1, b=2.{ 所以y=x+2. (2)图略 (3)由题意知有x+2>-2x+2,解得x >0. 6.画图略,x>2. 7.(1)将A(-3,-2),B(2,4)分别代入 y=kx+b,得 -2=-3k+b, 4=2k+b.{ 解得 k= 6 5 , b= 8 5. ì î í ï ï ï ï (2)直线y= 6 5x+ 8 5 与横轴的交点是 (- 4 3 ,0).所以不等式 6 5x+ 8 5>0 的解集为 x>- 4 3. (3)从图象中可以看出,当x>2时,y >4, 所以不等式6 5x+ 8 5>4 的解集为x>2. 8.(1)设直线l2表示的一次函数表达式 为y=kx+b, 因为x=0时,y=-2;x=2时,y=3. 所以 -2=b, 3=2k+b,{ 所以 k= 5 2 , b=-2. ì î í ïï ï 所以直线l2表示的一次函数表达式是y= 5 2x-2. (2)从图象可知,当x>-1时,直线l1表 示的一次函数的函数值大于0,当 5 2x-2=0 时,得x= 4 5. 所以当x> 4 5 时,直线l2表示的 一次函数值大于0.所以当x> 4 5 时,l1,l2表 示的两个一次函数的函数值都大于0. 9.解:(1)设轿车要购买x 辆,那么面包 车要购买(10-x)辆,由题意得: 7x+4(10-x)≤55,解得:x≤5 又∵x≥3,则x=3,4,5 ∴购车方案有三种: 方案一:轿车3辆,面包车7辆; 方案二:轿车4辆,面包车6辆; 方案三:轿车5辆,面包车5辆; (2)方案一的日租金为:3×200+7×110 =1370(元) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ·24·