专题03 一次函数的实际应用（专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题03 一次函数的实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、单个对象的行程问题（常考点） 1 题型二、多个对象的行程问题（重点） 4 题型三、经营问题（重点） 12 题型四、方案与策略问题（重点） 16 题型五、其他生活问题 20 题型六、三角形面积问题（重点） 24 题型七、用一次函数描述几何图形中的线段长（难点） 31 题型八、图象与几何图形结合的综合性问题（重点） 36 题型九、分段函数问题（重点） 45 B综合攻坚・能力跃升 题型一、单个对象的行程问题 1．（24-25七年级上·山东烟台·期末）今年“十一”假期，小凡一家驾车前往黄果树景区旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景区的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．出发第1小时y与x之间的函数表达式是 B．出发第的平均速度为 C．出发后y与x之间的函数图象所在的直线是直线向上平移1个单位 D．小凡从家到黄果树景区的时间共用了 【答案】D 【分析】根据速度＝路程时间求出出发第1小时汽车的平均速度，并写出y与x之间的函数表达式即可判断A、B；写出出发后y与x之间的函数关系式可判断C；根据C选项中求出的函数关系式，当时，求出对应x的值即可判断D． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 【详解】解：第一小时内汽车的平均速度为，则y与x之间的函数表达式是， ∴A、B不正确，不符合题意； 出发后汽车的速度为，则y与x之间的函数表达式是，可由直线向上平移75个单位得到， 不正确，不符合题意； 当时，解得， 小凡从家到黄果树景区的时间共用了， ∴D正确，符合题意． 故选：D 2．（24-25八年级下·广东潮州·阶段练习）亮亮家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某地游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象信息，判断下列说法中正确的是（   ） A．亮亮到家的时间为17时 B．景点离亮亮的家120千米 C．小汽车返程的速度为80千米/时 D．10时至14时小汽车匀速行驶 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象在实际行程问题中的应用．解题的关键是从图象中准确提取时间与离家距离的对应关系，结合行程问题中速度、时间和路程的关系（速度路程时间），对各选项进行分析判断． 根据图象信息，明确不同时间段对应的离家距离：8时离家0千米，时到时离家距离保持千米不变（停留景点），时后距离逐渐减少（返程），时离家千米．据此分析各选项：计算返程速度需明确返程的路程和时间；判断到家时间需根据返程速度和剩余路程推算；确定景点距离和行驶状态需结合图象中距离的变化情况． 【详解】解：由图象可知： 8时出发，时到达景点，此时离家距离为千米，且时至时离家距离不变，说明在景点停留． 时开始返程，时离家千米，即1小时内行驶了千米，返程速度为千米/时． 剩余返程路程为千米，按此速度还需小时，故到家时间为时． 对选项分析： 选项亮亮到家的时间为时，计算正确． 选项景点离亮亮的家千米，而非千米，说法错误． 选项小汽车返程速度为千米/时，而非千米/时，说法错误． 选项时至时小汽车离家距离不变，处于停留状态，并非匀速行驶，说法错误． 故选：A． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）某社团新型小车直道竞速（匀速）稳定性测试时，甲、乙均从地出发至地，甲先出发3秒后乙才出发，最终甲先到达地．如图，轴代表甲出发的时间，轴代表两人之间的距离，则甲到达地时，乙距离地还有 米． 【答案】620 【分析】本题考查一次函数的实际应用，由甲3秒行驶180米，可得甲的速度；由甲出发13秒后两人相距380米，可得乙的速度；首先求出两地的距离，再根据乙的速度和运动时间可得乙距离地的距离． 【详解】解：∵甲3秒行驶180米， ∴甲的速度为（米／秒）； （米／秒） ∴乙的速度为（米／秒）； （米），（米）， （米） 即甲到达地时，乙距离地还有620米， 故答案为：620． 4．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据图像依次判断即可． 【详解】 ，汽车在行驶途中停留了小时，结论正确； 总路程，汽车在整个行驶过程的平均速度是，结论正确； 汽车共行驶了，结论错误； 汽车行驶3小时后的速度，出发离出发地，结论正确． 故答案为：． 5．如图①，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离y（m）与他所用的时间x（min）的函数关系如图②所示． (1)小刚家与学校的距离为 m，小刚骑自行车的速度为 m/min； (2)求t的值； (3)求小刚从图书馆返回家的过程中，y与x之间的函数关系式． 【答案】(1)3000；200 (2)45min (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用该数形结合的思想解答． 对于（1），由图象直接可得小刚家与学校的距离，用路程除以时间即得小刚骑自行车的速度； 对于（2），用总路程除以速度可得所需时间，再加上去图书馆所用时间可得答案； 对于（3），用待定系数法可得小刚从图书馆返回家的过程的函数解析式． 【详解】（1）解：由图象知，小刚家与学校的距离为； 小刚骑自行车的速度为， 故答案为：3000；200； （2）解：小刚从图书馆返回家的时间， ∴； （3）解：设小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数表达式 为， 把代入，得 ，解得， ∴小刚从图书馆返回家的过程中，y与x的函数解析式为． 题型二、多个对象的行程问题 1．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期中）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城距离（千米）与甲行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．其中正确的结论是①A，B两城相距千米；②甲车的速度是．乙车的速度是；③乙车出发后小时追上甲车；④当甲、乙两车相距千米时，或．（   ） A．①② B．①③④ C．① D．①④ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．由图象可直接判断①正确；用路程除以时间可得甲、乙的速度，即可判断②错误；乙车追上甲车时，，可解得此时乙出发，判断③错误；当甲乙两车相距千米时，应该分四种情况讨论，故④错误． 【详解】解：由图象可得：，两城相距千米，故①正确； 甲车的速度为，乙车的速度是，故②错误； 乙车追上甲车时，， 解得， 此时乙出发，故③错误； 当乙还没出发时，甲行驶了千米，两车相距千米，此时，， 当甲车在乙车前面时，由得， 当乙车在甲车前面时，由得， 乙车到终点了，甲车离终点千米，此时， 甲、乙两车相距千米时，或或或，故④错误， 正确的有①， 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用6分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间和路程的关系是解题的关键，根据图象信息，结合速度、时间和路程的关系对各项逐一分析即可． 【详解】解：由图知，(分)， 乙用6分钟追上甲， 正确，不符合题意； 甲的速度为(米/分)， 乙追上甲时，二人离终点的距离为(米)， 乙追上甲后，再走米才到达， 正确，不符合题意； 乙的速度为(米/分)， 乙到达终点所用的时间为（分）， 当乙到达终点时甲走的路程为(米)， 当乙到达终点时，甲、乙二人的距离最远，为(米)， 正确，不符合题意； 当乙到达终点时甲走的路程为2040米， 甲还需要(分)到达终点， 甲到终点时，乙已经在终点处休息了分钟， 错误，符合题意 故选：． 3．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂函数图象，熟练掌握待定系数法是解题关键．先分别求出线段所在直线的函数解析式、线段所在直线的函数解析式，再联立，求出它们的交点，则可得乙追上甲的时间点，然后减去乙出发的时间即可得． 【详解】解：设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 设线段所在直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则线段所在直线的函数解析式为， 联立，解得， 即乙在2点半的时候追上甲， 由函数图象可知，乙是在2点出发， 则乙从出发到追上甲所用时间为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）本地区一种产品30天的销售情况如图所示．产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图①所示，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图②所示．已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，则下列结论正确的是 ．（请填写序号） ①第24天的销售量为200件； ②第10天一件产品的销售利润是15元； ③第12天与第30天这两天的日销售利润相等． 【答案】①② 【分析】本题考查的是一次函数的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，从函数图象中获取信息．由图①的信息可判断结论①；再求解一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系式，计算当时，，可判断结论②；再求解当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系式：分别计算第12天与第30天的销售量，从而可判断结论③． 【详解】解：由图①中的信息可得：第24天的销售量为200件，故结论①正确； 设当时，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为：， ， 解得：， ， 当时，， 所以第10天销售一件产品的利润是15元，故结论②正确； 当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）的函数关系为：， ， 解得：， ， 当时，，， 所以第12天的日销售利润为：元， 第30天的日销售利润为：元，而，故结论③错误； 故答案为∶ ①②． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． (1)求m的值，并说出m的实际意义； (2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； (3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 【答案】(1)，表示桐桐从地步行到地所用的时间 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）利用路程除以时间求出的值，根据点的位置，确定m的实际意义即可； （2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分桐桐往景点走，以及骑车往景点两部分，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 由题意和图象可知：m表示桐桐从B地步行到A地所用的时间； （2）设， 由题意，图象经过点，即， 则：，解得：， ∴； （3）由图象可知：小兴的步行速度为：，由（2）可知：桐桐骑车速度为：， 当时，； 当时，，解得：； 综上：或． 6．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为； (2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为； (3)货车出发或后，两车相距． 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程时间”计算即可； （2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程时间速度”计算即可； （3）利用待定系数法，分别求出当和时关于的函数关系式，分别将代入关系式，求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：根据“速度路程时间”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为， 轿车的平均速度为，货车的平均速度为； （2）解：根据“路程时间速度”，得， 轿车到达终点时，货车离终点的距离为； （3）解：当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得，解得， ， 当时，得，解得； 由图象得：在时，无法达到； 当时， 设与的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和代入， 得，解得， ， 当时，，解得． 货车出发或后，两车相距． 7．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）某中学组织八年级学生前往甲城参加研学活动．学生分为两队同时从学校出发．队全程匀速行驶，队行驶1小时后车辆出故障停下维修用去1小时，之后提高速度追赶队。已知两队5小时内的行驶路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图①所示；两队行驶的路程差（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图②所示．请结合图象回答下列问题： (1)两队在2小时时路程差________千米；队在行驶中的速度是________千米／小时； (2)求图①中点的坐标； (3)求两队出发多长时间相距40千米． 【答案】(1)80；60 (2) (3)两队出发时间为小时或小时或4小时时相距40千米 【分析】本题考查一次函数的应用、行程问题等知识，解题的关键是学会利用函数解决实际问题，学会转化的思想，把问题转化为方程． （1）由图②可得出千米；设队的速度为千米/小时，求出在2小时时，，根据方程求解即可； （2）分别求出A队路程函数关系式为，和当时B队路程函数关系式为，联立方程组并求解可得答案； （3）分两队相遇前和相遇后以及A队行驶5时后相距三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：由图②可知：当时，， 所以，A，B两队在2小时时路程差千米； 设队的速度为千米/小时，由图②得，A队和B队前行1小时的路程差为20，， 当时，的路程不变，， ∵， ∴，解得， 所以，A队速度是60千米/小时； 故答案为：80；60； （2）解：当时，； 由得，， 所以，B队的速度为千米/小时， 当时，设， 当时，， 当时，， 由图②得，当时，， ∴， ∴， 把，代入得， ，解得， ∴， 设A队路程函数解析式为， 把代入得， ∴， 联立方程组得，解得， 所以，点的坐标为； （3）解：当时，无解； 当时，，解得，或（不合题意，舍去）； 当时，，解得，或（不合题意，舍去）； 当时，，解得， 综上，两队出发时间为小时或小时或4小时时相距40千米． 题型三、经营问题 1．（2025·四川广元·模拟预测）“双十一”期间，某网店开展了促销活动，购买原价超过300元的商品，超过300元的部分可享受打折优惠．如果购买的商品实际付款（元）与原价（元）之间的函数关系如图所示，则超过300元的部分可享受的打折优惠是（   ） A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键． 设超过300元的部分可享受的打折优惠打折，那么，然后代入，即可得出答案． 【详解】解：设超过300元的部分可享受的打折优惠打折，那么 代入，得 解得，即打八折， 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）某公司的产品利润与生产数量的函数关系如图所示（产品利润=销售收入支出费用），由于目前该公司亏损，有关人员提出了两条建议：建议（I）不改变支出费用，提高产品售价；建议（II）不改变产品售价，减少支出费用．下面给出的四个图象中，实线和虚线分别表示目前状况和建议后的函数关系，则下列说法正确的是（   ） A．①反映了建议（II），③反映了建议（I） B．③反映了建议（I），④反映了建议（II） C．①反映了建议（I），③反映了建议（II） D．②反映了建议（II），④反映了建议（I） 【答案】A 【分析】此题主要考查了从图像上获取信息，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键．观察函数图象可知，函数的横坐标表示生产数量，纵坐标表示产品利润，根据题意得；（I）与原图象纵截距相等，但斜率变大，（II）的平行于原图象，进而得到答案. 【详解】∵建议（Ⅰ）是不改变支出费用，提高产品售价；也就是图形增大倾斜度，提高价格， ∴③反映了建议（Ⅰ）， ∵建议（Ⅱ）是不改变产品售价，减少支出费用，也就是y增大，产品售价不变，即平行于原图象， ∴①反映了建议（Ⅱ）． 故选：A． 3．某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】根据总利润等于两款自行车的利润的和，列出函数关系式，即可求解． 【详解】解：设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，根据题意得： ， 即y关于x的函数解析式为． 故答案为： 4．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等组的应用，根据题意分别列出李明分别在甲乙两超市购买所需费用的解析式，再根据“在乙超市购买更划算”建立关于的一元一次不等式组，求解即可．根据题意列出一次函数关系式和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：设他购买了盒坚果礼盒，为正整数， 则在甲超市购买礼盒所需费用为：， 在乙超市购买礼盒所需费用为： 当购买盒数不超过盒时，， 当购买盒数超过盒时，， ∵李明通过计算后发现在乙超市购买更划算， ∴，解得：， ∴他至少购买了盒． 故答案为：． 5．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）某校打算购买一些卡通挂件和印章作为艺术节奖品送给学生留作纪念．已知每盒挂件有个，每盒印章有个，且都只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多元；用元购买挂件的盒数与用元购买印章的盒数相同． (1)求每盒挂件和每盒印章的价格分别为多少元？ (2)如果给每位获奖学生分发1个挂件与2个印章．设购买挂件a盒，购买印章b盒恰好能配套分发，则 （用含a的代数式表示）； (3)累计购买超过元后，超出元的部分有折的优惠．学校以（2）中的配套方式购买，共需要花费w元，求w关于a的函数表达式． 【答案】(1)每盒挂件为元，每盒印章为元 (2) (3)，且𝑎为正整数 【分析】本题考查了分式方程的应用，列代数式，分段函数及一次函数的应用，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）设每盒挂件的价格为元，则每盒印章为元，可得：，然后即可求解； （2）根据买挂件a盒，购买印章b盒恰好能配套分发，可列式，然后即可求解； （3） 根据累计购买额超过元后，超出元的部分有6折的优惠，分段可求得解析式． 【详解】（1）解：设每盒挂件的价格为元，则每盒印章为元， 根据题意得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：每盒挂件为元，每盒印章为元． （2）解：∵买挂件a盒，购买印章b盒恰好能配套分发， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：当时，， ∴，且为正整数， 当时，， ∴，且𝑎为正整数， ∴，且为正整数． 6．（23-24八年级下·江西宜春·期末）端午节是我国的传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某超市在端午节前购进两种品牌的粽子进行销售，其进价分别是元/盒，元/盒，已知品牌的粽子售价为元/盒，销售部分后，为加快资金回笼，对品牌的粽子进行降价销售，节后，两种品牌的粽子全部售完．两种品牌的粽子的销售金额（元）与销售量（盒）的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题： (1)降价前品牌的粽子的售价是 元/盒； (2)求降价后品牌的粽子的销售金额（元）与销售量（盒）的函数解析式（要写出自变量的取值范围）； (3)两种品牌粽子这次销售完后共盈利多少元？ 【答案】(1)； (2)； (3)元． 【分析】（）根据函数图象即可求解； （）求出时的值，再利用待定系数法解答即可求解； （）求出降价后品牌粽子的售价，再根据利润销量（售价进价）列出算式计算即可求解； 本题考查了一次函数的应用，从函数图象中获取有关信息是解题的关键． 【详解】（1）解：由函数图象可得，降价前品牌粽子的售价是元/盒， 故答案为：； （2）解：由题意可得，品牌粽子的销售金额与销售量的函数解析式为， 当时，， ∴， 设降价后品牌粽子的销售金额与销售量的函数解析式为， 把，代入得， ，解得， ∴； （3）解：由（）可得，降价后品牌粽子的售价为元/盒， ∴两种品牌粽子这次销售完后共盈利元． 题型四、方案与策略问题 1．小赵想应聘超市的牛奶销售员，现有甲、乙两家超市待选，每月工资按底薪加上提成合算，甲、乙两超市牛奶销售员每月工资y（元）与员工销售量x（件）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A．销量小于500件时，选择乙超市工资更高 B．想要获得3000元的工资，甲超市需要的销售量更少 C．在甲超市每销售一件牛奶可得提成3元 D．销售量为1500件时，甲超市比乙超市工资高出800元 【答案】D 【分析】根据函数图象分别求得甲、乙两超市每月工资y（元）与员工销售量x（件）之间的函数关系式，根据一次函数的性质逐项分析判断 【详解】解：根据函数图性，设甲的解析式为：，乙的解析式为： 将代入，得 解得 将代入，得 解得 A.根据函数图像可知，当时，，即选择乙超市工资更高，故该选项正确，符合题意； B.当时，，当时，， ，即想要获得3000元的工资，甲超市需要的销售量更少，故该选项正确，符合题意； C.根据题意，甲超市的工资为，时，，即底薪为元， 当时，，则，即在甲超市每销售一件牛奶可得提成3元，故该选项正确，符合题意； D.当时，，，（元）， 即销售量为1500件时，甲超市比乙超市工资高出1000元，故该选项不正确，不符合题意； 故选D 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱 B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱 C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长 D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的应用．ACD：根据图象可以直接判断；B：求出25小时之后A方式的函数关系式，令求出x的值与30进行比较，数形结合即可判断． 【详解】 解：A、由函数图象知，每月上网不足25小时，选择A方式最省钱．故A项正确． B、设25小时之后A方式的函数关系式为， 由题意可得，解得， ∴函数关系式为， 令，解得， ∴当每月上网时间为30小时，选择方式最省钱．故B项错误． C、由函数图象知，每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长．故C项正确． D、由函数图象知，每月上网时间超过70小时，选择C方式最省钱．故D项正确． 故选：B． 3．（21-22八年级·全国·假期作业）某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是 ． 【答案】x＞300 【分析】根据题意首先将已知点的坐标代入一次函数的解析式求得k值，然后确定两函数图象的交点坐标，从而确定x的取值范围. 【详解】解：由题设可得不等式kx＋30＜x. ∵y1＝kx＋30经过点(500，80)， ∴k＝， ∴y1＝x＋30，y2＝x，解得：x＝300，y＝60. ∴两直线的交点坐标为(300，60)， ∴当x＞300时不等式kx＋30＜x中x成立， 故答案为：x＞300. 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）综合与实践 【问题背景】共享电动车是一种新理念下的交通工具，某天早上郑老师想骑共享电动车从家去学校，现有A、B两种品牌的共享电动车可供选择： A品牌：0.4元每分钟； B品牌：起步价6元（含10分钟骑行时间），超过10分钟的部分按照0.2元每分钟收费． 【模型构建】 （1）得到骑行所收费用y（元）与骑行时间x（分）之间的关系式为： ______（）； （2）为了直观比较，在同一直角坐标系中画出两个函数图象（如图），图中点P表示的实际意义是______． 【模型应用】 （3）①根据图象，当骑行时间_______时，选A品牌更省钱；当骑行时间_______时，选B品牌更省钱． ②若郑老师家距离学校8km，两种品牌共享电动车骑行的平均速度均为20km/h，则郑老师选哪个品牌的电动车更省钱？省多少钱？ 【答案】（1）；（2）骑行20分钟时，两种共享电动车所花费用相同，都是8元；（3）①；；②选B品牌更省钱，省0.8元 【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息． （1）根据题意可得，当时，； （2）观察图象可得答案； （3）①观察函数图象可得当骑行时间分钟时，选A品牌更省钱；当骑行时间分钟时，选B品牌更省钱． ②求出郑老师从家去学校所需时间为；即可得，，从而可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，， 当时，； 故答案为：，； （2）骑行20分钟时，两种共享电动车所花费用相同，都是8元； 故答案为：骑行20分钟时，两种共享电动车所花费用相同，都是8元； （3）①观察函数图象可知，当骑行时间分钟时，选A品牌更省钱；当骑行时间分钟时，选B品牌更省钱． 故答案为：，； ②郑老师骑车所用时间：（分）． 此时（元），（元） ，所以选B品牌更省钱． （元），所以省0.8元． 5．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）灯彩是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个灯彩可按标价的七折卖； 乙商店：不购买会员卡，每个灯彩可按标价的九折卖． 设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． (1)甲商店一张会员卡的价格为_____________元； (2)求关于x的函数表达式； (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 【答案】(1)100 (2) (3)选乙商店比较合算，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，明确题意，求出相应的函数解析式是解题的关键． （1）代入到，得到相应的值，即可得出甲商店一张会员卡的价格； （2）根据乙商店的售卖方式，即可求出的函数表达式； （3）分别代入到和，比较相应与的大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴当时，， 即甲商店一张会员卡的价格为100元， 故答案为：100； （2）解：根据乙商店的售卖方式可得：， ∴的函数表达式为； （3）解：选乙商店比较合算；理由如下： 当时，得：； 当时，得：； ∵， ∴选乙商店比较合算． 题型五、其他生活问题 1．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数或数量关系，理解题目中的数量关系，掌握代数式的表示方法是解题的关键． 根据一个杯子的高度和杯沿的高度，可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，1个杯子的高，1个杯子沿高为， ∴个杯子叠在一起的总高度为， 故选：D ． 2．小明在参加交互绳大赛上，需完成“一分钟内单脚单摇轮换跳”，在这过程中小明跳绳的最佳状态是前20秒频率匀速增加，中间频率保持不变，最后10秒没有力气，导致减速，则跳绳频率（次/秒）与时间（秒）之间的关系可以用下列哪幅图来近似的刻画（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数图象，根据前20秒频率匀速增加，中间频率保持不变，最后10秒没有力气，导致减速，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵前20秒频率匀速增加，中间频率保持不变，最后10秒没有力气，导致减速， ∴跳绳频率（次/秒）与时间（秒）之间的关系可以用下图来近似的刻画， 故选：B 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）《九章算术》记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺（90寸），上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸；地上种着瓠向上长，每天长1尺（10寸），问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇？如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：寸）关于生长时间（单位：天）的函数图象，则图中交点的横坐标为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意和图象可知，当它们相遇时，它们生长的长度之和为90寸，然后列出相应的方程，求解即可． 【详解】解：设两图象交点的横坐标是，根据它们生长的长度之和为90寸可得： ， 解得， 两图象交点的横坐标是， 4．故答案为：． （25-26八年级上·安徽六安·期中）如图1，有甲乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块．现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（）与注水时间x（）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题： （1）由点A、B坐标可知一个长方体铁块的体积为 ； （2）若设注水速度为，甲水槽的底面积为S，则注水前乙水槽内装有水 ． 【答案】 225 3600 【分析】本题考查了函数图象，二元一次方程组的应用． （1）根据函数图象可知长方体铁块的底面边长为，高为，根据长方体的体积公式计算即可； （2）根据函数图象可知，求出，根据乙水槽倒完水的时间为40秒即可求出乙水槽存水量． 【详解】解：（1）观察图1甲槽与图2两次转折点A、B，可知： 长方体铁块的底面边长为，高为， 体积为； （2）根据题意得：， 解得：． ∴注水速度为， ∵乙水槽倒完水的时间为40秒， ∴乙水槽存水量， 故注水前乙水槽内装有水． 5．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 【答案】(1)880 (2) (3)小时 【分析】本题主要考查了函数图象的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用函数图象中的关键信息是关键． （1）依据题意，由货车从工厂去目的地送一批物资，结合图象可以得解； （2）依据题意，货车的速度为（千米小时），从而，又令，求出可得自变量的取值范围； （3）依据题意得，，进而计算可以得解． 【详解】（1）解：货车从工厂去目的地送一批物资， 当时，就是表示工厂距目的地的路程，即为880千米． 故答案为：880； （2）解：货车的速度为（千米小时）， 则， 当时， 解得， 关于的函数解析式为． （3）解：， 解得：． 即运输过程中，当货车显示加油提醒时，是小时． 6．一根弹簧的长度为厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） …… 弹簧的长度（厘米） …… (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式； (2)如果拉力是千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是厘米？ 【答案】(1) (2)厘米 (3)当拉力是千克时，弹簧长度是厘米 【分析】本题考查了函数的实际应用，根据表格数据得出函数解析式、正确求函数值和自变量的值是解题的关键． （1）由表格得：拉力每增加千克，弹簧的长度增加厘米，得出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式即可； （2）把代入（1）所求函数解析式，求出弹簧长度即可； （3）把代入（1）所求函数解析式，求出此时的拉力即可． 【详解】（1）解：由表格得：拉力每增加千克，弹簧的长度增加厘米， ∴弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式为：； （2）解：把代入得：， 答：如果拉力是千克，那么弹簧长度是厘米； （3）解：把代入得：， 解得：， 答：当拉力是千克时，弹簧长度是厘米． 题型六、三角形面积问题 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知一次函数与的图象都经过 ，且与轴分别交于、两点，则的面积是(　　) A．4 B．2 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式以及一次函数与方程的关系，可先根据点的坐标用待定系数法求出，的值，即求出两个一次函数的解析式，进而求出它们与轴的交点，即，的坐标．那么三角形中，底边的长应该是，纵坐标差的绝对值，高就应该是点横坐标的绝对值，因此可根据三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：把点 代入， 得：， 点． 把点代入， 得：， 点． ， ． 答：的面积为， 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线的解析式为，与x轴交于点B，直线经过点，与直线交于点，且与x轴交于点A，在上存在一点P，使的面积是面积的，则P点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式．将代入得到，即可求出的值，得到，利用待定系数法求得直线的解析式；再求出点的坐标，求得；由题意得出或，分别代入中进行计算即可． 【详解】解：在中，当时，， ， 设直线的解析式为：， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为； 在中，当时，， 解得：， ， 在中，当时，， 解得：， ， ， ； 的面积是面积的， ， ， ， 或， 当时，，解得：，即， 当时，，解得：，即， 综上所述，在上存在一点，使的面积是面积的，或． 故选：C． 3．（2025·辽宁锦州·三模）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质；设直线l和8个正方形的最上面交于点A，过A作轴于B，易知，利用三角形的面积公式和已知条件求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，设直线l和8个正方形的最上面交于点A，过A作轴于B，则， ∵直线l将这八个边长为1的正方形分成面积相等的两部分， ∴， ∴， ∴， ∴点A坐标为， 设直线的解析式为， 代入得：， ∴， ∴直线l解析式为． 故答案为：． 4.（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【答案】 10 1或 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得：， 所以， 令，则0，解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以，所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为，所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出，解得； 当时， 得出，解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为．且与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式． (2)若点在轴上且．求此时点的坐标； (3)若点在轴左侧的直线上，且的面积是10，求此时点坐标． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，熟练掌握待定系数是解题关键． （1）首先利用待定系数法把代入正比例函数中，计算出m的值，进而得到C点坐标，再利用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数中，计算出k、b的值，进而得到一次函数解析式． （2）根据一次函数的解析式，得到点B的坐标，再根据，以及三角形的面积公式进行列式计算，即可作答． （3）设点P的坐标为，利用数形结合及的面积为10，以及三角形的面积公式进行列式计算，解得m的值，即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， 即点C坐标为． ∵一次函数经过、点， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵一次函数与y轴交于点B， ∴， ∵点， ∴， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴设， 则，解得， 即， 故， ∴或． （3）解：∵点在轴左侧的直线上，且由（1）得直线的表达式为； ∵，， ∴， ∴点在第三象限， ∴设P的坐标为，且，连接 ∵的面积是10，，且由（2）得， ∴， ∴ ∴， ∴点P的坐标为． 6．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，求的值． 【答案】(1) (2)1或 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，直线与坐标轴的交点等知识点． （1）先将代入，求出，再将代入，即可求解； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与直线交于点， ∴将代入，则， ∴， 将代入，则， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：对于，令，则， 解得， ∴， ∴的面积是； ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵的面积是面积的， ∴的面积是， 设， ∵， ∴ ． ∵，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； ∴的值为1或． 题型七、用一次函数描述几何图形中的线段长与角度 1．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）已知动点以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2所示．已知，则下列说法错误的是（    ） A．动点的速度是 B．的长为 C．的值为13 D．在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是或 【答案】D 【分析】本题考查动点的函数图象问题，从函数图象中有效的获取信息，分点分别在上运动时，进行讨论，逐一判断即可． 【详解】解：当点H在上时，如图所示， ， ， 此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大， 当点H在上时，如图所示，是的高，且，   ∴，此时三角形面积不变， 当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线， ，点H从点C点D运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小， 当点H在上时，如图所示，是的高，且， ，此时三角形面积不变， 当点H在时，如图所示， ，点H从点E向点F运动，逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零， 对照图2可得时，点H在上， ， ∴，， ∴动点H的速度是，故A正确， 时，点H在上，此时三角形面积不变， ∴动点H由点B运动到点C共用时， ∴，故B正确； ，点H在上，， ∴动点H由点D运动到点E共用时， ∴，故C正确． 当的面积是时，点H在上或上， 点H在上时，， 解得， 点H在上时， ， 解得， ∴， ∴从点C运动到点H共用时， 由点A到点C共用时， ∴此时共用时， 故D错误． 故选：D． 2．如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象问题与三角形面积的求法等知识点，要求学生能够根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． 根据题意，分析P的运动路线，分2个阶段分别讨论，可分别得处的值，进而可得的面积，即可得出答案． 【详解】解：根据图2可知当点P在上运动时，的面积不变，与面积相等；且不变的面积是在； 可知当时，点P恰好到点C处，此时P点运动3秒，即； 同理可得 ∴． 故选C． 3．（23-24八年级下·吉林松原·阶段练习）如图①，在中，，动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿折线运动到点B停止．的长y随点P的运动时间x（s）变化的函数图象如图②所示，则的长是 ． 【答案】13 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图象可知，，点运动的总时间为，进而求出的长，再由勾股定理即可得出结果． 【详解】解：由图可知：，点运动的总时间为， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：13． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【详解】解：由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴； 故答案为：． 5．（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图①，长方形的边的长为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D，设点H的运动时间为，的面积为S，S与t之间的关系如图②所示． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________． (2) _________， _________； (3)点H的运动时间为时，求的面积b． 【答案】(1)H的运动时间为，的面积为S (2)4，14 (3) 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，理解题意是解题的关键． （1）根据题意及函数的定义即可作答； （2）根据三角形的面积及图象即可得出答案； （3）根据题意确定三角形的底和高即可求面积． 【详解】（1）解：由图象可知，的面积S随着时间t的改变而改变． 所以自变量为：H的运动时间t；因变量为：的面积S． 故答案为：H的运动时间t；的面积S； （2）解：，，则， ， 故答案为：4，14； （3）解：∵动点H按从的路径匀速运动， 由题意可知，点H在上运动时的面积不变， ， 题型八、图象与几何图形结合的综合性问题 1．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）． A．4或 B．4或 C．4或 D．3或 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质以及勾股定理，分及两种情况，求出的长是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点，的坐标，进而可得出，的长，结合勾股定理，可求出的长，由同角的余角相等，可得出，进而可得出共2种情况，分及两种情况，利用全等三角形的性质，可求出的长，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：当时，， 点的坐标为， ； 当时，，解得：， 点的坐标为， ， ． ，， ， 共2种情况． 当时，， ； 当时，， ． 综上所述，的长为4或． 故选：C． 2．（24-25八年级上·广东深圳·月考）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 由解析式求出点，点，再根据勾股定理即可得出的长，由折叠的性质，可求得与的长，，然后设，由在中，勾股定理，建立方程，解方程即可求出M的坐标． 【详解】解：令，可得，即，令时，，即， ∴， 由折叠的性质，得：， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，要围一个长方形的菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用35米长的篱笆围成另外三边．为了方便进出，在边上留了一个2米宽的小门．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的应用能力．运用长方形周长公式进行列式、化简． 【详解】解：由题意得，， 整理，得， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点，点P为直线上一动点，当值最小时，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握一次函数的应用是解题关键．先求出，，则可得，，再作点关于直线的对称点，连接，其中与交于点，则可得点即为所求，然后求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与直线的解析式联立求解即可得． 【详解】解：将代入得：，即， ∴， 将代入得：，解得，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，作点关于直线的对称点，连接，其中与交于点， 则， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线，即点与点重合时，的值最小，即的值最小， 由轴对称的性质得：，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， 即当值最小时，点的坐标为， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，动点从点出发，以每秒个单位长的速度向右移动，且经过点的直线：也随之移动，设移动时间为秒，若与线段有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，分别求出直线经过点、点时的值，即可得到的取值范围，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：当直线过点时，， 解得：， ∴， 解得； 当直线过点时，， 解得：， ∴， 解得， 若与线段有公共点，的取值范围是：， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）【模型建立】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线 上有一点A，x轴上有一点，且满足，直接写出点A的坐标________． 【答案】（1）见解析；（2），；（3） 【分析】（1）证明，进而用即可证明； （2）过点作轴于．证明推出，，可得，求出直线的解析式，即可解决问题； （3）作于B，交的延长线于K，作轴于T，轴于F，设，则，，证明，得到，由此得到，设直线的解析式为，将，代入得到，解方程求出a值即可． 【详解】解：（1） ， ． ，， ， ， ． 在与中， ， ． （2）如图1，过点作轴于， 点的坐标为，点的坐标为， ，， 等腰，，， 又轴，轴轴， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设直线的解析式为， ，， ， ， 直线的解析式为， 与轴交点， ； （3）作于B，交的延长线于K，作轴于T，轴于F，如图： 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， ∴， ∴ ∴， ∴， 解得， ∴． 7．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B作交x轴于点C． (1)求点C的坐标； (2)点D为直线上一点，且，求直线的解析式； (3)若点Q是x轴正半轴上一点，连接，将沿着所在直线折叠，当点落在轴上时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，，由直线分别交轴、轴于点，可得，，利用面积法即可求解； （2）过点作轴于，由得，根据等腰三角形的性质得，则，点，利用待定系数法即可得直线的解析式； （3）利用折叠的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设，， 直线分别交轴、轴于点，， ，， ，，，，， ， ，解得， ∴点C的坐标为； （2）解：过点作轴于， ， ， ， ，， ∴， 点为直线上一点， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为； （3）解：设点的坐标为， 将沿着所在直线折叠，点落在轴负半轴上， 设点落在轴负半轴的点处，如图所示： 根据折叠的性质可得：，，， ， ， 在中，， ，解得， 点的坐标为． 题型九、分段函数问题 1．（2025·山西临汾·二模）某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（   ） A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当时， C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 【答案】D 【分析】本题考查了数的混合运算的应用，分级收费问题，需明确分成的级数和每级的收费标准．根据题意计算即可得出答案． 【详解】A．当行驶里程为时，，与原选项相符，正确； B．当时，，即，与原选项相符，正确； C．当时，代入，解得，即实际里程，与原选项相符，正确； D．当行驶里程为时，，与原选项不符，不正确． 故选：D． 2．（25-26七年级上·山西太原·开学考试）某市规定每户每月用水量不超过吨，每吨价格元；用水量超过吨时，超过部分每吨水价为元．下图中能表示每月水费与用水量关系的示意图是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像，根据选项依次判断即可． 【详解】A、图像表示每吨的价格不变，不符合题意； B、图像表示用水到一定量后，每吨的价格下降，不符合题意； C、图像表示用水到一定量后，每吨的价格上升，符合题意； D、图像表示用水量在一定量以前，总价不变，用水到一定量后，每吨的价格上升，不符合题意． 故选：C． 3．（25-26七年级上·山东济南·期中）为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米元收费；超过6m3时，不超过的部分每立方米仍按元收费，超过的部分每立方米按元收费．该市某户今年九、十月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（m3） 水费（元） 九 4 12 十 10 34 设某户该月用水为，应交水费为（元），写出与之间的关系式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数应用． 根据九月份用水量与水费的关系可得的值，根据十月分用水量和水费的关系即可求得的值，根据题意写出与之间的关系式即可． 【详解】解：九月份的用水量为，水费为12元，未超过6， 则，解得， 十月份的用水量为 ，水费为元，超过6 ∴，解得， 设某户该月用水量为，应交水费为 ， 即 故答案为： ， 4．（24-25八年级下·河北唐山·月考）瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列函数的关系式，正确理解题意并分类讨论是解题的关键． 分和两种情况，分别根据付款金额等于单价乘数量列出函数关系式即可． 【详解】解：当时由题意得：， 当时由题意得：， 综上，y与x之间的函数关系式为． 故答案为：． 5．某市出租车计费方法如图所示，表示行驶距离，y（元）表示车费，请根据图象回答下列问题： (1)出租车的起步价是 元； (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的距离． 【答案】(1)8 (2)这位乘客乘车的距离是 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，由函数值求自变量的值． （1）根据函数图象可以得出出租车的起步价． （2）设时，y与x的函数关系式为 ，运用待定系数法求解解析式；将解析式即可求出x的值． 【详解】（1）解：由图象得：出租车的起步价是8元． （2）解：设当时，y与x的函数关系式为， 由函数图象，得 ，解得：， 故y与x的函数关系式为：， 当时，， ∴， 答：这位乘客乘车的距离是． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）天然气收费标准如下表所示： 用气类型 气价 居民生活用气阶梯气价（每年每户） 及以下部分 3.35元 部分（不包含包含） 3.93元 以上部分 4.80元 设某户每月用气量为，应交燃气费为（元）． (1)写出用气量未超过时，与之间的函数关系式； (2)当小明家交燃气费为1156.8元时，求小明家用气量． 【答案】(1) (2)小明家用气量为 【分析】本题考查一次函数，一元一次方程的应用． （1）应交燃气费每月用气量气价； （2）先求出x范围，再列方程即可． 【详解】（1）解：由表格可知，当时，， 当时，， ∴用气量未超过时，y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵（元），（元）， ∴小明家用气量超过，但不超过，即， ∴， 解得； ∴小明家用气量为． 1．（23-24七年级上·全国·期末）甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为米/秒和米/秒，开始时甲先跑米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，熟练掌握根据行程问题中的追及关系列出一次函数关系式是解题的关键． 先明确甲、乙运动的时间关系，再分别表示出甲、乙的路程，最后根据两人距离与路程的关系得出函数关系式并确定时间范围． 【详解】解：由甲先跑，乙后出发，甲跑步所用时间为秒，得乙跑步所用时间为秒，则甲跑的路程为米，乙跑的路程为米． 由题意可得． 当乙追上甲时，，即， 解得； 当乙刚要出发时， ，所以的取值范围是． 所以甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（）， 故选：C． 2．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）空中气温与距离地面高度之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．随着的增大而增大 B．地面的气温为 C．与的函数表达式为 D．当大于时，气温低于 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出函数关系式是解题的关键．对于选项AB观察图象即可；选项C根据变量的变化规律计算即可；选项D，当时，求出对应t的值，再根据该图象的增减性判断即可． 【详解】解：A．随着的增大而减小，A不正确，不符合题意； B．当时，，随着的增大而，B不正确，不符合题意； C．距离地面高度增加，气温下降，则与的函数表达式为，C不正确，不符合题意； D．当时，，随着的增大而减小，当大于时，气温低于，D正确，符合题意． 故选：D． 3．（18-19八年级下·湖南长沙·阶段练习）某电信部门为了鼓励固定电话消费，推出新的优惠套餐：月租费10元；每月拨打市内电话在120分钟内时，每分钟收费0.2元；超过120分钟的每分钟收费0.1元；不足1分钟时按1分钟计费．则某用户一个月的市内电话费用y（元）与拨打时间t（分钟）的函数关系用图象表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分段函数的图象，熟练掌握根据不同收费标准确定函数关系式进而分析图象是解题的关键．根据不同通话时长区间的收费标准，分情况分析费用与时间的函数关系，进而判断图象． 【详解】解：∵ 有月租费10元， ∴ 当时，． ∵ 每月拨打市内电话在120分钟内时，每分钟收费0.2元， ∴ 当时，，且当时，， 此时函数图象是从出发，到点的一条线段． ∵ 超过120分钟的每分钟收费0.1元， ∴ 当时，，此时函数图象是比时的倾斜度缓的线段． 观察各选项，只有B选项符合． 故选：B． 4．（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知一款商务签字笔购买数量x（支）与应付钱数（元）之间的关系如下表所示，下列关于小明和小亮的结论判断正确的是（    ） 购买数量（支） 1 2 3 4 … 应付钱数（元） 15 30 45 60 … 小明：应付钱数是自变量的函数； 小亮：与之间的函数解析式为 A．只有小明的对 B．只有小亮的对 C．小明和小亮的都对 D．小明和小亮的都不对 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的理解，函数的图表表示和解析式表示，熟练掌握定义，正确表示是解题的关键．根据表格数据，判断应付钱数是否为自变量的函数，并验证函数解析式的正确性． 【详解】解：由表格可知，每有一个确定的购买数量（支），对应唯一的应付钱数（元）．例如，时，时，依此类推．根据函数的定义，因变量是自变量的函数，因此小明的结论正确． 小亮给出的解析式为． 当时，代入得，但实际表格中，矛盾． 观察表格数据，与的比值恒为15，说明与成正比例关系，正确解析式应为．因此小亮的结论错误． 综上，只有小明的结论正确， 故选：A． 5．（25-26八年级上·山东青岛·期中）在一条笔直的公路上两地相距，甲车从地开往地，乙从地开往地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．甲车的速度比乙的速度慢 B．甲车出发1小时后乙才出发 C．乙车行驶了或时，甲、乙两车相距 D．乙车到达地时，甲车还有1小时到达地 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；根据图象及一次函数的图象与性质可依次进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：甲车的速度为，乙车的速度为， ∴甲车的速度比乙的速度慢，故A正确； ∴， ∴，即甲车出发1小时后乙才出发；故B正确； 设甲车所作直线的函数解析式为，把点代入可得：， 解得：， ∴甲车所作直线的函数解析式为， 同理可得乙车所作直线的函数解析式为， ∴， 解得：或， ∴甲车行驶了或时，甲、乙两车相距；故C错误； 乙车到达地，甲行驶了小时，其路程为，则还需到达地；故D正确； 故选：C． 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，点的横坐标为4，点在线段上，则三角形的面积为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与几何图形面积问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键，根据两点求得函数解析式，再求出点坐标，即可求得答案． 【详解】解：设直线的表达式为：， 将两点坐标代入，得：， 解得： ∴直线的表达式为：， ∵点的横坐标为4，且在线段上， ∴ ∴， 故选：A． 7．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，平面直角坐标系中，正方形顶点A，C坐标分别为，．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系，体现了数形结合的数学思想，求出过边界点时k的值的大小是解题的关键．当直线过正方形的顶点，时，正好有1个公共点，根据待定系数法分别求出k的值，符合题意的k就在这两个k值之间． 【详解】解：∵正方形顶点A，C坐标分别为，， ∴， ∵， ∴直线过点， 当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点； 当直线过点时，则，解得，此时正好有1个公共点； ∴若直线与正方形有公共点，则k的取值范围是或． 故选：B． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，动点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向右移动，且过点的直线也随之平移．设移动时间为秒，若直线与线段有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，求出直线经过点和点时，点的位置，进而求出的取值范围即可． 【详解】解：由题意，当点移动到点开始，到直线经过点时，符合题意， ∵， ∴， 即当时，直线和线段开始有公共点， 把代入，得，解得， ∴， ∴当时，， ∴当时，符合题意，此时， 故当时，直线与线段有公共点， 故选B． 9．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则应是的一次函数，上表列出了两套符合条件的课桌椅的高度，那么课桌高度是时，椅子的高度为 ． 第一套 第二套 椅子高度 桌子高度 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出与的关系式为，然后当时，求出的值即可，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设与的关系式为， 根据表格可得，，解得， ∴与的关系式为， 当时，，解得：， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·湖南衡阳·开学考试）张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系用如图的线段表示，那么一箱汽油可供汽车行驶 小时．    【答案】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，观察函数图象，再把代入，解得，令时，解得，即可作答． 【详解】解：设线段的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴， 令时，则， ∴ 即一箱汽油可供汽车行驶小时． 故答案为： 11．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡，测得x与y的几组对应数据如表所示，则当克时， 毫米． x/克 1 3 5 y/毫米 10 14 18 【答案】26 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，求一次函数的解析式，解题的关键是掌握待定系数法． 利用待定系数法求出关于的函数解析式，然后根据自变量的值求出函数值即可． 【详解】解：设关于的函数解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴关于的函数解析式为， 当时，代入解析式得， 故答案为：26． 12．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 设每户每月用水量为，水费为元，当时，则关于的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列函数关系式；根据阶梯水价规则，当用水量在到立方米时，水费由前立方米的固定费用和超出部分的费用组成． 【详解】解：当时，前立方米水费为元，超出部分为立方米，按元立方米计费， 因此． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·辽宁·期中）已知直线与两条坐标轴围成的三角形面积为12，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点与相关三角形的面积问题．求出直线与坐标轴的交点坐标或坐标表达式，根据三角形的面积公式建立关系式，即可求出k的值． 【详解】解：当时，，当时，， 直线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， 则与坐标轴围成的三角形的面积为， 解得， 故答案为：． 14．某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本（单位：元）、收入（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是 千克． 【答案】30 【分析】根据题意可设AB段的解析式为，OC段的解析式为，再结合图象利用待定系数法求出解析式，最后根据该手工作坊某一天既不盈利也不亏损时，即，可列出关于x的等式，解出x即可． 【详解】根据题意可设AB段的解析式为：，且经过点A(0，240)，B(60，480)， ∴ ， 解得：， ∴AB段的解析式为：； 设OC段的解析式为：，且经过点C(60，720)， ∴， 解得：， ∴OC段的解析式为：． 当该手工作坊某一天既不盈利也不亏损时，即， ∴， 解得：． 所以这天的产量是30千克． 故答案为：30． 15．（2025·湖北·模拟预测）A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距 千米．    【答案】150 【分析】本题考查了一次函数的应用以及待定系数法求出函数解析式，观察图形找出点的坐标再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．根据图形找出点、的坐标利用待定系数法求出线段的函数解析式，代入求出点的坐标，由此即可得出直线的解析式，再在直线的解析式中代入求出点的坐标，将点的横坐标代入线段的解析式中求出值，将其与做差即可得出结论． 【详解】解：观察图形可得出：点的坐标为，点的坐标为， 设线段的解析式为， ，解得：， 线段的解析式为． 当时，， 点的坐标为， 直线的解析式为． 在直线上，当时，有，解得：， 点的坐标为． 在线段中，当时，， 千米． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·山东青岛·期中）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何的综合，勾股定理及轴对称图形的性质，熟练掌握一次函数与几何的综合，勾股定理及轴对称图形的性质是解题的关键；由题意易得，则有，由折叠的性质可知：，设，则有，然后根据勾股定理建立方程进行求解即可． 【详解】解：令时，则有，解得：， 令时，则有， ∴， ∴， 由折叠的性质可知：， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； 故答案为． 17．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）伴随着网络媒体技术的持续迭代与迅猛发展，其影响力不断渗透至社会经济的各个层面．在此背景下，直播间带货作为一种创新且高效的网络营销模式，成为当下商业营销领域的重要力量．如图所示的折线反映了某主播在直播期间的在线观看人数y（万人）与其直播时间t（h）之间的函数表达式． (1)求y与t之间的函数表达式； (2)当直播期间的在线观看人数大于20万人时，求时间t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的应用，通过函数图象灵活运用数形结合来解答问题是解题的关键． （1）分两段，利用待定系数法解答，即可求解； （2）根据直播期间的在线观看人数大于20万人，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设， 函数图象经过点， ， 解得：， ； 当时，设， 函数图象经过点和点， ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得：， 此时， 当时，， 解得， 此时， 故当时，直播期间的在线观看人数大于20万人． 18．（25-26八年级上·全国·期中）如图，直线与坐标轴交于 A，B两点． (1)求点 A 与点 B 的坐标; (2)若 P 为直线上一点，当时，求点 P的坐标． 【答案】(1)； (2)点 P 的坐标为或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别令，，即可得出、的坐标； （2）设点P的坐标为，根据得出，求出或，即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，， 解得：， ，； （2）解：设点P的坐标为， ∵， ∴， 解得：或， ∴点 P 的坐标为或． 19．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）周六，小峰去博物馆参观学习．他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图是小峰离家的距离（）和时间（）之间的关系．根据图象完成下列各题 (1)在这个过程中，自变量是__________，因变量是__________； (2)点A表示的是什么？小峰在博物馆参观了多少分钟？ (3)小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度是多少？ 【答案】(1)小峰离家时间，小峰离家的距离； (2)点A表示17分钟时小峰到达博物馆，此时离家3000米；小峰在博物馆参观了50分钟 (3)． 【分析】本题考查了从函数图像中获取信息，解题的关键是找出变化过程中的自变量和因变量． （1）根据图象作答即可； （2）根据图象作答即可 （3）根据图象得出作从博物馆到家的距离和回家的时间，再作答即可． 【详解】（1）解：由题意得：自变量是小峰离家时间，因变量是小峰离家的距离； 故答案为：小峰离家时间，小峰离家的距离； （2）由图知：点A表示17分钟时小峰到达博物馆，此时离家3000米；小峰在博物馆参观了50分钟； （3）由图知：小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度为： ． 20．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）研究表明，学生每日观看短视频的时间会影响注意力持续时间．某实验记录的当日内注意力持续时间（分钟）与观看短视频时间（小时）之间满足一次函数关系，其部分数据如下表： 观看短视频时间（小时） 0 1 2 3 注意力持续时间y（分钟） 50 45 40 35 (1)求与之间的函数关系式；（无需写出的取值范围） (2)本次实验中，当观看短视频时间为4小时时，注意力持续时间是多少? (3)本次实验中，当观看短视频时间增加3小时，则注意力持续时间减少了多少分钟? 【答案】(1) (2)分钟 (3)分钟 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解表格数据是解题的关键． （1）根据表格中注意力持续时间随观看短视频时间的变化趋势求解即可； （2）将代入求解即可； （3）根据观看短视频时间每增加1小时，注意力持续时间减少5分钟即可求解． 【详解】（1）解：由表格可得，当观看短视频时间为0小时时，注意力持续时间为50分钟，观看短视频时间每增加1小时，注意力持续时间减少5分钟， ∴注意力持续时间与观看短视频时间之间的关系式为； （2）解：当时，， ∴注意力持续时间是分钟； （3）解：由表格可知，观看短视频时间每增加1小时，注意力持续时间减少5分钟， ∴当观看短视频时间增加3小时，注意力持续时间减少了（分钟）． 21．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程与各自行驶的时间之间的关系如图所示． (1)两地相距___________，___________； (2)求乙车距B地的路程y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程． 【答案】(1)540， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． （1）观察图象可知AB两地之间的距离，乙车从B地出发与甲车相遇，再返回B地这两个过程所用时间相等，从而求出b的值即可； （2）根据速度=路程时间求出甲车的速度，由路程=速度时间列关于a的一元一次方程并求解，从而求出乙的速度，再按照x的取值范围，利用路程=速度时间求出乙车距B地的路程y关于x的函数表达式即可； （3）根据中求得的函数表达式，当时，求出对应y的值即可． 【详解】（1）解：两地相距， 故答案为：540，6； （2）解：甲车的速度为， 根据图象，得， 解得， 则乙车的速度为， 当时，， 当时，， ∴乙车距地的路程关于的函数表达式及自变量的取值范围为； （3）解：当时，． 答：当甲车到达地时，乙车距地的路程为48km． 22．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）今年国庆中秋长假期间，某超市购进甲、乙两种月饼销售，甲种月饼的进价为元，乙种月饼的进价为元，已知甲种月饼很快卖完，乙种月饼在销售后采取降价销售，直至全部销售完这批月饼．这两种月饼的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)甲种月饼每千克的销售价为________元；乙种月饼降价前每千克的销售价为________元； (2)求乙种月饼降价后的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当两种月饼销售额和销售量均相同时，请求出此时销售这两种月饼的总利润是多少？ 【答案】(1)； (2) (3)元 【分析】本题考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）根据图象，得当甲种月饼销售千克时，销售额为元，得到单价为元；当乙种月饼销售千克时，销售额为元，故乙种月饼销售价为元． （2）当时，是一次函数，利用待定系数法解答即可． （3）确定甲种月饼的解析式，结合乙的解析式，分类计算即可． 【详解】（1）解：根据图象，得当甲种月饼销售千克时，销售额为元，故甲种月饼销售价为元；当乙种月饼销售千克时，销售额为元，故乙种月饼销售价为元． 故答案为：；． （2）解：设解析式为， 把点，代入解析式，得， 解得， 故解析式为 ． （3）解：根据图象，得当甲种月饼销售千克时，销售额为元， 故单价为元； 故甲的解析式为， 由两种月饼销售额和销售量相同，且销售额大于0， 得， 解得， ∴甲种月饼销售额为（元）；乙种月饼销售额为（元）， ∴甲种月饼销售利润（元）；乙种月饼销售利润为（元）， ∴两种月饼的总利润为（元）． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一次函数的实际应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、单个对象的行程问题（常考点） 1 题型二、多个对象的行程问题（重点） 3 题型三、经营问题（重点） 6 题型四、方案与策略问题（重点） 7 题型五、其他生活问题 10 题型六、三角形面积问题（重点） 12 题型七、用一次函数描述几何图形中的线段长（难点） 14 题型八、图象与几何图形结合的综合性问题（重点） 15 题型九、分段函数问题（重点） 17 B综合攻坚・能力跃升 题型一、单个对象的行程问题 1．（24-25七年级上·山东烟台·期末）今年“十一”假期，小凡一家驾车前往黄果树景区旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景区的路程与所用时间之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（ ） A．出发第1小时y与x之间的函数表达式是 B．出发第的平均速度为 C．出发后y与x之间的函数图象所在的直线是直线向上平移1个单位 D．小凡从家到黄果树景区的时间共用了 2．（24-25八年级下·广东潮州·阶段练习）亮亮家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某地游玩，该小汽车离家的距离（千米）与时间（时）之间的关系如图所示，根据图象信息，判断下列说法中正确的是（   ） A．亮亮到家的时间为17时 B．景点离亮亮的家120千米 C．小汽车返程的速度为80千米/时 D．10时至14时小汽车匀速行驶 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）某社团新型小车直道竞速（匀速）稳定性测试时，甲、乙均从地出发至地，甲先出发3秒后乙才出发，最终甲先到达地．如图，轴代表甲出发的时间，轴代表两人之间的距离，则甲到达地时，乙距离地还有 米． 4．（2025·山东淄博·模拟预测）如图，折线描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离与行驶时间之间的函数关系，根据图中提供的信息，判断下列结论正确的选项是 ． 汽车在行驶途中停留了小时； 汽车在整个行驶过程的平均速度是； 汽车共行驶了； 汽车出发离出发地． 5．如图①，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中（上、下车时间忽略不计）．小刚离家的距离y（m）与他所用的时间x（min）的函数关系如图②所示． (1)小刚家与学校的距离为 m，小刚骑自行车的速度为 m/min； (2)求t的值； (3)求小刚从图书馆返回家的过程中，y与x之间的函数关系式． 题型二、多个对象的行程问题 1．（25-26八年级上·辽宁朝阳·期中）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城距离（千米）与甲行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．其中正确的结论是①A，B两城相距千米；②甲车的速度是．乙车的速度是；③乙车出发后小时追上甲车；④当甲、乙两车相距千米时，或．（   ） A．①② B．①③④ C．① D．①④ 2．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速跑步3000米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离（米）与甲出发的时间（分）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．乙用6分钟追上甲 B．乙追上甲后，再走2400米才到达终点 C．甲到终点时，乙已经在终点处休息了12分钟 D．甲乙两人之间的最远距离是960米 3．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图A，B两地相距，甲于某日下午1点骑自行车从A地出发去B地，乙也于同日下午骑摩托车按相同路线从A地出发去B地，图中的折线和线段分别表示甲乙所行驶的路程S与时间t的关系，根据图中的数据，乙出发 时间就追上甲． 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）本地区一种产品30天的销售情况如图所示．产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图①所示，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）之间的函数关系如图②所示．已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，则下列结论正确的是 ．（请填写序号） ①第24天的销售量为200件； ②第10天一件产品的销售利润是15元； ③第12天与第30天这两天的日销售利润相等． 5．（25-26八年级上·全国·单元测试）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． (1)求m的值，并说出m的实际意义； (2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； (3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 6．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶时间之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度； (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离； (3)货车出发多长时间后，两车相距？ 7．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）某中学组织八年级学生前往甲城参加研学活动．学生分为两队同时从学校出发．队全程匀速行驶，队行驶1小时后车辆出故障停下维修用去1小时，之后提高速度追赶队。已知两队5小时内的行驶路程（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图①所示；两队行驶的路程差（千米）与运动时间（小时）之间的函数关系如图②所示．请结合图象回答下列问题： (1)两队在2小时时路程差________千米；队在行驶中的速度是________千米／小时； (2)求图①中点的坐标； (3)求两队出发多长时间相距40千米． 题型三、经营问题 1．（2025·四川广元·模拟预测）“双十一”期间，某网店开展了促销活动，购买原价超过300元的商品，超过300元的部分可享受打折优惠．如果购买的商品实际付款（元）与原价（元）之间的函数关系如图所示，则超过300元的部分可享受的打折优惠是（   ） A．打八折 B．打七折 C．打六折 D．打五折 2．（24-25八年级上·山东青岛·期末）某公司的产品利润与生产数量的函数关系如图所示（产品利润=销售收入支出费用），由于目前该公司亏损，有关人员提出了两条建议：建议（I）不改变支出费用，提高产品售价；建议（II）不改变产品售价，减少支出费用．下面给出的四个图象中，实线和虚线分别表示目前状况和建议后的函数关系，则下列说法正确的是（   ） A．①反映了建议（II），③反映了建议（I） B．③反映了建议（I），④反映了建议（II） C．①反映了建议（I），③反映了建议（II） D．②反映了建议（II），④反映了建议（I） 3．某商店购进了甲乙两种新款电动自行车共50辆，其中甲款车的利润为500元/辆，乙款车的利润为550元/辆，若设甲种车购入x辆，销售完这批车的总利润为y元，则y关于x的函数解析式为 ． 4．（23-24八年级下·辽宁锦州·期中）春节到来之际，各超市均推出坚果礼盒，其中甲、乙两超市的具体销售方案如下表： 甲 乙 销售方案 每盒优惠价元 每盒标价元，若购买数量超过盒， 超出部分打八折 已知购买礼盒所需费用 （元）与数量 （盒）之间的关系为一次函数关系，李明通过计算后发现在乙超市购买更划算，则他至少购买了 盒． 5．（24-25九年级下·江苏连云港·阶段练习）某校打算购买一些卡通挂件和印章作为艺术节奖品送给学生留作纪念．已知每盒挂件有个，每盒印章有个，且都只能整盒购买，每盒挂件的价钱比每盒印章的价钱多元；用元购买挂件的盒数与用元购买印章的盒数相同． (1)求每盒挂件和每盒印章的价格分别为多少元？ (2)如果给每位获奖学生分发1个挂件与2个印章．设购买挂件a盒，购买印章b盒恰好能配套分发，则 （用含a的代数式表示）； (3)累计购买超过元后，超出元的部分有折的优惠．学校以（2）中的配套方式购买，共需要花费w元，求w关于a的函数表达式． 6．（23-24八年级下·江西宜春·期末）端午节是我国的传统节日，吃粽子是端午节的传统习俗，某超市在端午节前购进两种品牌的粽子进行销售，其进价分别是元/盒，元/盒，已知品牌的粽子售价为元/盒，销售部分后，为加快资金回笼，对品牌的粽子进行降价销售，节后，两种品牌的粽子全部售完．两种品牌的粽子的销售金额（元）与销售量（盒）的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题： (1)降价前品牌的粽子的售价是 元/盒； (2)求降价后品牌的粽子的销售金额（元）与销售量（盒）的函数解析式（要写出自变量的取值范围）； (3)两种品牌粽子这次销售完后共盈利多少元？ 题型四、方案与策略问题 1．小赵想应聘超市的牛奶销售员，现有甲、乙两家超市待选，每月工资按底薪加上提成合算，甲、乙两超市牛奶销售员每月工资y（元）与员工销售量x（件）之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ） A．销量小于500件时，选择乙超市工资更高 B．想要获得3000元的工资，甲超市需要的销售量更少 C．在甲超市每销售一件牛奶可得提成3元 D．销售量为1500件时，甲超市比乙超市工资高出800元 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）某通讯公司推出三种上网月收费方式．这三种收费方式每月所收的费用y（元）与上网时间x（时）的函数关系如图所示，下列判断错误的是（    ） A．每月上网不足25时，选择A方式最省钱 B．每月上网时间为30时，选择B方式最省钱 C．每月上网费用为60元，选择B方式比A方式时间长 D．每月上网时间超过70时，选择C方式最省钱 3．（21-22八年级·全国·假期作业）某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是 ． 4．（25-26八年级上·广东深圳·期中）综合与实践 【问题背景】共享电动车是一种新理念下的交通工具，某天早上郑老师想骑共享电动车从家去学校，现有A、B两种品牌的共享电动车可供选择： A品牌：0.4元每分钟； B品牌：起步价6元（含10分钟骑行时间），超过10分钟的部分按照0.2元每分钟收费． 【模型构建】 （1）得到骑行所收费用y（元）与骑行时间x（分）之间的关系式为： ______（）； （2）为了直观比较，在同一直角坐标系中画出两个函数图象（如图），图中点P表示的实际意义是______． 【模型应用】 （3）①根据图象，当骑行时间_______时，选A品牌更省钱；当骑行时间_______时，选B品牌更省钱． ②若郑老师家距离学校8km，两种品牌共享电动车骑行的平均速度均为20km/h，则郑老师选哪个品牌的电动车更省钱？省多少钱？ 5．（25-26八年级上·内蒙古包头·期中）灯彩是国家级非物质文化遗产之一．古朴典雅，款式多样，彩绘蕴蓄，是生活的真实写照，给人以美的享受．李老师计划购进一批灯彩，已知甲、乙两个商店的标价都是每个10元．两商店售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个灯彩可按标价的七折卖； 乙商店：不购买会员卡，每个灯彩可按标价的九折卖． 设李老师购买灯彩的个数为x（个），甲商店所需费用为元，且；乙商店所需费用为元． (1)甲商店一张会员卡的价格为_____________元； (2)求关于x的函数表达式； (3)若李老师准备买40个灯彩，则选哪个商店比较合算，请说明理由． 题型五、其他生活问题 1．（2024·北京海淀·二模）某种型号的纸杯如图所示，若将个这种型号的杯子按图中的方式叠放在一起，叠在一起的杯子的总高度为．则与满足的函数关系可能是（    ） A． B． C． D． 2．小明在参加交互绳大赛上，需完成“一分钟内单脚单摇轮换跳”，在这过程中小明跳绳的最佳状态是前20秒频率匀速增加，中间频率保持不变，最后10秒没有力气，导致减速，则跳绳频率（次/秒）与时间（秒）之间的关系可以用下列哪幅图来近似的刻画（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广东深圳·期中）《九章算术》记载：今有垣高九尺，瓜生其上，蔓日长七寸；瓠生其下，蔓日长一尺问几何日相逢？意思是有一道墙，高9尺（90寸），上面种一株瓜，瓜蔓向下伸，每天长7寸；地上种着瓠向上长，每天长1尺（10寸），问瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇？如图是瓜蔓与瓠蔓离地面的高度（单位：寸）关于生长时间（单位：天）的函数图象，则图中交点的横坐标为 ． 4.（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图1，有甲乙两个圆柱形水槽，其中乙水槽内装有一定量的水，甲水槽内没有装水，且甲水槽中放有两个完全相同且底面为正方形的长方体铁块．现将乙水槽内的水匀速注入甲水槽中，两个水槽内的水深y（）与注水时间x（）的函数关系如图2所示，根据图象解答下列问题： （1）由点A、B坐标可知一个长方体铁块的体积为 ； （2）若设注水速度为，甲水槽的底面积为S，则注水前乙水槽内装有水 ． 5．（24-25八年级下·安徽阜阳·月考）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程（千米）与行驶时间（小时）的关系如图所示，当油箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为升/千米，请根据图象解答下列问题： (1)工厂距目的地的路程为___________千米； (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)运输过程中，当货车显示加油提醒时，是多少？ 6．一根弹簧的长度为厘米，当弹簧受到千克的拉力时（不超过），弹簧的长度是（厘米），测得有关数据如下表所示： 拉力（千克） …… 弹簧的长度（厘米） …… (1)写出弹簧长度（厘米）关于拉力（千克）的函数解析式； (2)如果拉力是千克，那么弹簧长度是多少厘米？ (3)当拉力是多少时，弹簧长度是厘米？ 题型六、三角形面积问题 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）已知一次函数与的图象都经过 ，且与轴分别交于、两点，则的面积是(　　) A．4 B．2 C．6 D．12 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线的解析式为，与x轴交于点B，直线经过点，与直线交于点，且与x轴交于点A，在上存在一点P，使的面积是面积的，则P点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 3．（2025·辽宁锦州·三模）八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线将这八个正方形分成面积相等的两部分，则直线的解析式为 ． 4.（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 5．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交点为，与轴交点为．且与正比例函数的图象交于点． (1)求一次函数的表达式． (2)若点在轴上且．求此时点的坐标； (3)若点在轴左侧的直线上，且的面积是10，求此时点坐标． 6．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，求的值． 题型七、用一次函数描述几何图形中的线段长与角度 1．（25-26八年级上·安徽滁州·期中）已知动点以每秒的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按的路径匀速运动，相应的的面积关于时间的关系图象如图2所示．已知，则下列说法错误的是（    ） A．动点的速度是 B．的长为 C．的值为13 D．在运动过程中，当的面积是时，点的运动时间是或 2．如图1，在直角梯形中，，动点P从B点出发，沿折线B→C→D→A运动，点P运动的速度为2个单位长度/秒，若设点P运动的时间为x秒，的面积为y，如果y关于x的图象如图2所示，则的面积为（　　） A．6 B．48 C．24 D．12 3．（23-24八年级下·吉林松原·阶段练习）如图①，在中，，动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发，沿折线运动到点B停止．的长y随点P的运动时间x（s）变化的函数图象如图②所示，则的长是 ． 4．（2025·青海西宁·中考真题）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为 ． 5．（25-26八年级上·山西太原·开学考试）如图①，长方形的边的长为，动点H以的速度从点A出发沿折线匀速运动到终点D，设点H的运动时间为，的面积为S，S与t之间的关系如图②所示． (1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量是_________，因变量是_________． (2) _________， _________； (3)点H的运动时间为时，求的面积b． 题型八、图象与几何图形结合的综合性问题 1．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，射线于点A．若点C是射线上的一个动点，点D是x轴上的一个动点，且以C，D，A为顶点的三角形与全等，则的长为（    ）． A．4或 B．4或 C．4或 D．3或 2．（24-25八年级上·广东深圳·月考）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处，则点M的坐标是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，要围一个长方形的菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用35米长的篱笆围成另外三边．为了方便进出，在边上留了一个2米宽的小门．设边的长为米，边的长为米，则与之间的关系式是 ． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，x轴上有一点，点P为直线上一动点，当值最小时，点P的坐标为 ． 5．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，，动点从点出发，以每秒个单位长的速度向右移动，且经过点的直线：也随之移动，设移动时间为秒，若与线段有公共点，则的取值范围为 ． 6．（24-25八年级下·湖北武汉·月考）【模型建立】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，求证：． 【模型运用】如图2，在平面直角坐标系中，等腰，，，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，求点B、D两点的坐标； 【模型拓展】如图3，直线 上有一点A，x轴上有一点，且满足，直接写出点A的坐标________． 7．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别与x轴、y轴交于A、B两点，过点B作交x轴于点C． (1)求点C的坐标； (2)点D为直线上一点，且，求直线的解析式； (3)若点Q是x轴正半轴上一点，连接，将沿着所在直线折叠，当点落在轴上时，求点的坐标． 题型九、分段函数问题 1．（2025·山西临汾·二模）某市出租车的计费标准如图（不足1km按1km计算），一天，张叔叔乘坐出租车去上班．设行驶里程为xkm，所付的费用为y元．则下列说法错误的是（   ） A．当行驶里程为2.8km时，所付的费用为10元 B．当时， C．若支付了25元，则行驶的里程数可能是8.8km D．当行驶里程为3.5km时，所付的费用为11元 2．（25-26七年级上·山西太原·开学考试）某市规定每户每月用水量不超过吨，每吨价格元；用水量超过吨时，超过部分每吨水价为元．下图中能表示每月水费与用水量关系的示意图是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·山东济南·期中）为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过6m3时，水费按每立方米元收费；超过6m3时，不超过的部分每立方米仍按元收费，超过的部分每立方米按元收费．该市某户今年九、十月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（m3） 水费（元） 九 4 12 十 10 34 设某户该月用水为，应交水费为（元），写出与之间的关系式 ． 4．（24-25八年级下·河北唐山·月考）瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为 ． 5．某市出租车计费方法如图所示，表示行驶距离，y（元）表示车费，请根据图象回答下列问题： (1)出租车的起步价是 元； (2)若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的距离． 6．（24-25八年级上·陕西咸阳·开学考试）天然气收费标准如下表所示： 用气类型 气价 居民生活用气阶梯气价（每年每户） 及以下部分 3.35元 部分（不包含包含） 3.93元 以上部分 4.80元 设某户每月用气量为，应交燃气费为（元）． (1)写出用气量未超过时，与之间的函数关系式； (2)当小明家交燃气费为1156.8元时，求小明家用气量． 1．（23-24七年级上·全国·期末）甲、乙两人从同一地点出发，沿同一方向跑步，速度分别为米/秒和米/秒，开始时甲先跑米后乙再追赶，则从乙出发开始追上甲这一过程中，甲、乙两人之间的距离（米）与甲跑步所用时间（秒）之间的函数关系式为（    ） A．（） B．（） C．（） D．（） 2．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）空中气温与距离地面高度之间的函数关系如图所示．下列说法正确的是（    ） A．随着的增大而增大 B．地面的气温为 C．与的函数表达式为 D．当大于时，气温低于 3．（18-19八年级下·湖南长沙·阶段练习）某电信部门为了鼓励固定电话消费，推出新的优惠套餐：月租费10元；每月拨打市内电话在120分钟内时，每分钟收费0.2元；超过120分钟的每分钟收费0.1元；不足1分钟时按1分钟计费．则某用户一个月的市内电话费用y（元）与拨打时间t（分钟）的函数关系用图象表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·河北邢台·期末）已知一款商务签字笔购买数量x（支）与应付钱数（元）之间的关系如下表所示，下列关于小明和小亮的结论判断正确的是（    ） 购买数量（支） 1 2 3 4 … 应付钱数（元） 15 30 45 60 … 小明：应付钱数是自变量的函数； 小亮：与之间的函数解析式为 A．只有小明的对 B．只有小亮的对 C．小明和小亮的都对 D．小明和小亮的都不对 5．（25-26八年级上·山东青岛·期中）在一条笔直的公路上两地相距，甲车从地开往地，乙从地开往地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（    ） A．甲车的速度比乙的速度慢 B．甲车出发1小时后乙才出发 C．乙车行驶了或时，甲、乙两车相距 D．乙车到达地时，甲车还有1小时到达地 6．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，点的横坐标为4，点在线段上，则三角形的面积为（   ） A． B．5 C． D． 7．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，平面直角坐标系中，正方形顶点A，C坐标分别为，．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围为（    ） A． B．或 C． D．或 8．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，，动点从点出发，沿轴以每秒1个单位长度的速度向右移动，且过点的直线也随之平移．设移动时间为秒，若直线与线段有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则应是的一次函数，上表列出了两套符合条件的课桌椅的高度，那么课桌高度是时，椅子的高度为 ． 第一套 第二套 椅子高度 桌子高度 10．（25-26九年级上·湖南衡阳·开学考试）张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系用如图的线段表示，那么一箱汽油可供汽车行驶 小时．    11．（25-26八年级上·江西萍乡·期中）如图是某种杆秤．在秤杆的点A处固定提纽，点B处挂秤盘，点C为0刻度点．当秤盘不放物品时，提起提纽，秤砣所挂位置移动到点C，秤杆处于平衡．秤盘放入x克物品后移动秤砣，当秤砣所挂位置与提纽的距离为y毫米时秤杆处于平衡，测得x与y的几组对应数据如表所示，则当克时， 毫米． x/克 1 3 5 y/毫米 10 14 18 12．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）为了保护资源节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”．计费方法如表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 设每户每月用水量为，水费为元，当时，则关于的函数关系式为 ． 13．（25-26八年级上·辽宁·期中）已知直线与两条坐标轴围成的三角形面积为12，则k的值为 ． 14．某手工作坊生产并销售某种食品，假设销售量与产量相等，如图中的线段AB、OC分别表示每天生产成本（单位：元）、收入（单位：元）与产量x（单位：千克）之间的函数关系．若该手工作坊某一天既不盈利也不亏损，则这天的产量是 千克． 15．（2025·湖北·模拟预测）A、两城相距千米，甲乙两车同时从城出发驶向城，甲车到达城后立即返回．如图是他们离城的距离（千米）与行驶时间（时）之间的函数图象，当他们行驶了小时，两车相遇．则当乙到达城时，甲乙两车相距 千米．    16．（25-26八年级上·山东青岛·期中）已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标是 ． 17．（25-26八年级上·安徽淮北·阶段练习）伴随着网络媒体技术的持续迭代与迅猛发展，其影响力不断渗透至社会经济的各个层面．在此背景下，直播间带货作为一种创新且高效的网络营销模式，成为当下商业营销领域的重要力量．如图所示的折线反映了某主播在直播期间的在线观看人数y（万人）与其直播时间t（h）之间的函数表达式． (1)求y与t之间的函数表达式； (2)当直播期间的在线观看人数大于20万人时，求时间t的取值范围． 18．（25-26八年级上·全国·期中）如图，直线与坐标轴交于 A，B两点． (1)求点 A 与点 B 的坐标; (2)若 P 为直线上一点，当时，求点 P的坐标． 19．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）周六，小峰去博物馆参观学习．他从家出发，先去早餐店吃完早餐，然后继续骑自行车去博物馆，参观完博物馆后直接骑自行车回家，如图是小峰离家的距离（）和时间（）之间的关系．根据图象完成下列各题 (1)在这个过程中，自变量是__________，因变量是__________； (2)点A表示的是什么？小峰在博物馆参观了多少分钟？ (3)小峰从博物馆骑自行车回家的平均速度是多少？ 20．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）研究表明，学生每日观看短视频的时间会影响注意力持续时间．某实验记录的当日内注意力持续时间（分钟）与观看短视频时间（小时）之间满足一次函数关系，其部分数据如下表： 观看短视频时间（小时） 0 1 2 3 注意力持续时间y（分钟） 50 45 40 35 (1)求与之间的函数关系式；（无需写出的取值范围） (2)本次实验中，当观看短视频时间为4小时时，注意力持续时间是多少? (3)本次实验中，当观看短视频时间增加3小时，则注意力持续时间减少了多少分钟? 21．（24-25九年级下·江苏苏州·阶段练习）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向行驶，相遇后，甲车继续以原速行驶到B地，乙车立即以原速原路返回到B地．甲、乙两车距B地的路程与各自行驶的时间之间的关系如图所示． (1)两地相距___________，___________； (2)求乙车距B地的路程y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (3)当甲车到达B地时，求乙车距B地的路程． 22．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）今年国庆中秋长假期间，某超市购进甲、乙两种月饼销售，甲种月饼的进价为元，乙种月饼的进价为元，已知甲种月饼很快卖完，乙种月饼在销售后采取降价销售，直至全部销售完这批月饼．这两种月饼的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)甲种月饼每千克的销售价为________元；乙种月饼降价前每千克的销售价为________元； (2)求乙种月饼降价后的销售额y（单位：元）与销售量x（单位：）之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当两种月饼销售额和销售量均相同时，请求出此时销售这两种月饼的总利润是多少？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $