精品解析：广东省深圳市南山区南山外国语学校（集团）2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷 （试卷总分：100分 考试时间：90分钟） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图是从几何体的上面看到的图形，进行作答即可． 【详解】解：从上面看到的图形如图所示： ， 故选：D 2. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是明确一般形式为（），需通过移项将所有项移到等号左边，且按未知数次数从高到低排列，移项时注意符号变化． 先明确一元二次方程一般形式的结构（等号右边为0，左边按项、项、常数项顺序排列）；再对原方程进行移项，将右边的移到左边并变号；最后整理左边各项顺序，对比选项确定正确答案． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为（），需将所有项移至等号左边，按项、项、常数项排序． 对原方程移项（右边3x移到左边变号），得． A、方程未按项、项、常数项顺序排列，不符合一般形式规范，此选项不符合题意； B、常数项应为，而非，移项时符号错误，此选项不符合题意； C、方程符合一般形式定义，此选项符合题意； D、项应为，而非，移项时符号错误，此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列四个命题中，错误的命题是（ ） A. 四条边都相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 一条线段一定有两个黄金分割点 D. 一组对边平行且相等，对角线垂直且相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查命题的真假判断，涉及四边形判定和黄金分割点概念，需熟练掌握定义和性质，根据菱形、正方形、黄金分割点的定义，判断各命题的真假． 【详解】解：A、四条边都相等的四边形是菱形，正确； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是正方形，错误； C、一条线段有两个黄金分割点，正确； D、一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，正确； 故选：B． 4. 如图，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的相关计算，正投影，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先得出，再证明四边形是平行四边形，从而可得，再利用三角函数求解即可． 【详解】解：如图，过作，交于点， ∵一条线段在平面内的正投影为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴锐角， 即与的夹角为， 故选：B． 5. 已知人的卷舌性状由常染色体上的一对基因决定，决定能卷舌的基因R是显性的，不能卷舌的基因r是隐性的，因此决定能否卷舌的基因有三对，其中基因为和的人能卷舌，基因为的人不能卷舌，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女．若父母的基因都是，则他们的子女可以卷舌的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：由题意画树状图为： 由树状图可知一共有4种等可能性的结果数，其中他们的子女可以卷舌的结果数有3种， ∴他们的子女可以卷舌的概率是， 故选：D． 6. 深圳前海某工地有一块长方形空地，长比宽多10米，施工队在这块空地的四周铺设了一条宽度为2米的硬化路面，路面的面积恰好是216平方米，设这块空地的宽为米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题．空地的宽为x米，则长为米，铺设路面后，整个区域的宽和长各增加4米（因路面宽2米，每边增加2米），故整个区域宽为米，长为米，路面的面积等于整个区域面积减空地面积． 【详解】解：空地的宽为x米，则长为米，铺设路面后，整个区域的宽和长各增加4米（因路面宽2米，每边增加2米），故整个区域宽为米，长为米， 根据题意，得． 故选：A． 7. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，正方形的性质，配方法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合图1和图2，得，再证明，故，最后运用配方法解得，即可作答． 【详解】解：∵将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上）， ∴，， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴ 即， ∴， 整理得 ∴ 解得（舍去），， 故选：C 8. 如图，矩形中，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中位线定理，垂线段的性质等，解题的关键是通过作辅助线确定点的运动轨迹．如图，取中点，连接交于，过点作于点H，连接，先证明四边形是矩形，得到点是中点，再证明是的中位线，由中位线定理可得，再证明是的中位线，由中位线定理可得，推出点在线段上，由垂线段最短可知，当时，有最小值，即可求解； 【详解】解：如图，取中点，连接交于，过点作于点H，连接， 四边形是矩形， ，，， ∵矩形中，点是中点，点是中点， ，， ∴四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 点是的中点， 又是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵为的中点，是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴点在线段上， 即为点的运动轨迹， 当时，有最小值， ， 的最小值为． 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 如图，已知面积为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题的关键．用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：二维码中黑色部分的面积约为， 故答案为：． 10. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____________． 【答案】且 【解析】 【分析】由题意可知方程根的判别式△＞0，于是可得关于a的不等式，解不等式即可求出a的范围，再结合二次项系数不为0即得答案． 【详解】解：根据题意，得：，且，解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式和一元一次不等式的解法，属于基本题型，熟练掌握一元二次方程根的判别式和方程根的个数之间的关系是解题的关键． 11. 开封铁塔，又称“开宝寺塔”，是北宋时期（公元960-1127年）建造的一座木塔，被誉为“天下第一塔”.某小组用自制的菱形测高仪测量塔高，其边长为为对角线的交点，.当测角仪的顶点与塔顶端点在同一条直线上时，系在顶点处的铅垂线恰好过点和顶点.经测量点到的距离为，点到地面的距离为，则开封铁塔的高度为___________米. 【答案】49.2 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键． 延长交于，由题意得，，根据菱形的性质可得，根据勾股定理可得，由，可得，则可求出的长，进而可得的长． 【详解】解：如图，延长交于， 由题意得：，， 在菱形中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ， ， 解得：， ∴． 答：开封铁塔的高度为． 故答案为：． 12. 已知四边形，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．作，，则，根据证明得，延长交的延长线与点F，设，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】作，，则． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 延长交的延长线与点F，则四边形是正方形， ∴． 设，则， 在中，， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中， 则剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是______________． 【答案】；或；或； 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质等知识．解题的关键在于分情况求解．结合题意作出图形，分两种情况分析，利用相似求出相应的边长即可． 【详解】解：如图所示矩形， 设, ∵， ∴， 显然， ∴， ∴， ， 即， ， ， ， 如图所示矩形， 设, ∵， ∴， 显然， ∴， ∴， ， ， ， ； 如图所示矩形， 则剪掉的两个直角三角形的斜边长为； ∴剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是；或；或；． 故答案为：；或；或；． 三、解答题（共61分，14题8分，15题6分，16题9分，17题8分，18题8分，19题10分，20题12分） 14. 解下列方程： （1）； （2）. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解， ， 则，即， ， ； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， ， 解得． 15. 如图，三个顶点坐标分别为、、. （1）如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心___________；和位似比为___________； （2）作图：请在线段上找一点使得. 【答案】（1）点， （2）作图见解析 【解析】 【分析】本题考查位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． （1）根据位似定义，连接、、交于点，可确定位似中心，由对应边长之比求出和位似比即可； （2）根据在轴上的变化量为，轴上的变化量为，，计算求出点的坐标为． 【小问1详解】 解：连接、、交于点， 则位似中心为点； 和位似 位似比为对应边长之比，即 因此位似比为， 故答案为：点，； 【小问2详解】 解：作图如下： 16. 某校为了解学生身体健康状况，从全校1000名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表）．并绘制出不完整的条形统计图（如图）． 学生体质健康统计表 成绩 频数 百分比 不及格 3 及格 良好 45 优秀 32 （1）分别求出表中、、的值； （2）请补全图中的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”和1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率． 【答案】（1），20， （2）估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数为30人 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、用样本估计总体、树状图法求概率及简单概率公式等知识，熟练掌握条形统计图相关知识及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键． （1）先根据选取的优秀人数和百分比求出选取的人数，再根据总数、频数、百分比的关系即可求得答案； （2）根据及格的人数，补全条形统计图；再由不及格人数占比估计总体即可得到答案； （3）画树状图列出所有等可能的结果，再找出一名“良好”，一名“优秀”的结果，利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：这次调查的人数为：（人）， ，，， 故答案为：，20，； 【小问2详解】 解：补全条形统计图如下： 则（人）， 估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数为30人； 【小问3详解】 解：设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁， 画树状图如图： ∵共有12种等可能的结果，其中两人是一名“良好”，一名“优秀”的结果是甲丁、乙丁、丙丁、丁甲、丁乙、丁丙共6种， ∴所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率为． 17. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】（1） （2）4条 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二，三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 【小问1详解】 解：设第二，三季度生产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二，三季度生产量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 18. 如图，在平行四边形中，，是和的中点，且．在的延长线上取一点，连接，使得． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、勾股定理．解决本题的关键是作辅助线构造直角三角形． 根据平行四边形的性质可证，，根据点、分别是、的中点，可证，，所以可证四边形是平行四边形，根据有一组邻边相等的四边形是菱形可证结论成立； 根据菱形的性质和三角形外角的性质可知，利用勾股定理可求，过点作于点，在中，利用勾股定理可求，从而可得：，在中利用勾股定理可求． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， 点、分别是、的中点， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由可知四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ，，， ，， ， 如下图所示，过点作于点， 则， ， ， 解得：， 在中，， ， 在中，， 的长度是． 19. 【阅读理解】 在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有，当且仅当“”时，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若时，则有，即，当且仅当“”，即时，等号成立，从而有最小值为2． 【类比求值】 （1）填空：若，则的最小值为______，此时______； 【拓展应用】 （2）若，求代数式的最小值； 【问题解决】 （3）现有一个面积为1.5的锐角三角形，按照如图所示的方式裁剪正方形，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索：设，，边上的高，最终推导出． ①请你补充该小组的推导过程； ②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母最小即可．由为定值，即，可得．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？ 【答案】（1）6，3；（2）最小值是；（3）①见解析；②当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得可得代数式的最小值为取最小值，再计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，结合相似三角形的判定与性质进行计算即可得解；②由，则，再仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】解：（1）∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴x为正数，则的最小值为， 此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）∵，要使最小， ∴最小即可． ∵时， ∴， ∴的最小值是，即的最小值是． （3）①∵正方形， ∴，， 设，，边上的高，则， ∵锐角三角形的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，则， ∵， ∴当时，有最小值为，此时， ∴当时，有最小值为， ∴有最大值， ∴有最大值为，即当底边长为时，内接正方形面积最大，最大值为． 20. 如图1，在矩形中，，点， 分别是，边上的动点，，将沿直线对折，点对应点为点，连结． （1）如图2，当点落在对角线上时，求的长； （2）如图3，当，求的长； （3）若直线 交于点，在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在，或或． 【解析】 【分析】（1）连结，由矩形的性质和勾股定理得，再证，得，即可得出结论； （2）当时，此时点，，三点共线，证，得，设，则，，，再由勾股定理得，然后证，得，解得，即可解决问题； （3）分三种情况，①当点与点重合时，点与点重合，与全等，符合条件．则．②当时，③当时，由折叠的性质和相似三角形的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：连结，如图2， 四边形是矩形， ，， ， 由折叠的性质得：， ， ， ， ， ， ， 即， 解得：， 即的长为； 【小问2详解】 解：当时， 此时点，，三点共线， 由折叠的性质得：， ， ， ， 设，则，，， 在中，由勾股定理得：， ，， ， ， 即， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ． 【小问3详解】 解：①当点与点重合时，点与点重合，如图4， 此时，与全等，符合条件． ． ②当时，如图5， 则， ， 设，则， ，，，， ， 由折叠的性质得：， ， ，， ， ， 即， 解得：， ； ③当时，如图6， ， ， 由折叠的性质得：，， 设，则， ，，，， ， 同②得：， ， 解得：， ； 综上所述，在点的运动过程中，存在某一位置，使得以，，为顶点的三角形与相似，的长为8或或． 【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试九年级数学试卷 （试卷总分：100分 考试时间：90分钟） 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 如图是物理学中经常使用的U型磁铁示意图，其俯视图是（　　） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化为一般形式为（ ） A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 3. 下列四个命题中，错误的命题是（ ） A. 四条边都相等的四边形是菱形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 一条线段一定有两个黄金分割点 D. 一组对边平行且相等，对角线垂直且相等的四边形是正方形 4. 如图，一条线段在平面内的正投影为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 以上都不对 5. 已知人的卷舌性状由常染色体上的一对基因决定，决定能卷舌的基因R是显性的，不能卷舌的基因r是隐性的，因此决定能否卷舌的基因有三对，其中基因为和的人能卷舌，基因为的人不能卷舌，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女．若父母的基因都是，则他们的子女可以卷舌的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 深圳前海某工地有一块长方形空地，长比宽多10米，施工队在这块空地的四周铺设了一条宽度为2米的硬化路面，路面的面积恰好是216平方米，设这块空地的宽为米，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图1，将边长为2的正方形剪成四块，将这四块图形恰好无缝隙无重叠地拼成如图2所示的图形（点在同一直线上，点在同一直线上），则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形中，是的中点，是线段上一动点，为的中点，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 如图，已知面积为的正方形二维码，为估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内任取个点，若有个点在黑色部分，则二维码中黑色部分的面积约为______． 10. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_____________． 11. 开封铁塔，又称“开宝寺塔”，是北宋时期（公元960-1127年）建造的一座木塔，被誉为“天下第一塔”.某小组用自制的菱形测高仪测量塔高，其边长为为对角线的交点，.当测角仪的顶点与塔顶端点在同一条直线上时，系在顶点处的铅垂线恰好过点和顶点.经测量点到的距离为，点到地面的距离为，则开封铁塔的高度为___________米. 12. 已知四边形，若，则______． 13. 将一张以为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片，其中， 则剪掉的两个直角三角形的斜边长可能是______________． 三、解答题（共61分，14题8分，15题6分，16题9分，17题8分，18题8分，19题10分，20题12分） 14. 解下列方程： （1）； （2）. 15. 如图，三个顶点坐标分别为、、. （1）如图，三个顶点坐标分别为、、，是通过位似变换得到的，请写出位似中心___________；和位似比为___________； （2）作图：请在线段上找一点使得. 16. 某校为了解学生身体健康状况，从全校1000名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表）．并绘制出不完整的条形统计图（如图）． 学生体质健康统计表 成绩 频数 百分比 不及格 3 及格 良好 45 优秀 32 （1）分别求出表中、、的值； （2）请补全图中的条形统计图，并估计该校学生体质健康测试结果为“不及格”的总人数； （3）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”和1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会．请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人是一名“良好”，一名“优秀”的概率． 17. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 18. 如图，在平行四边形中，，是和的中点，且．在的延长线上取一点，连接，使得． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 19. 【阅读理解】 在不等式领域中有一个重要结论叫“均值不等式”，表述如下：对于任意的正数a，b，都有，当且仅当“”时，等号成立，这个结论是解决最值问题的有力工具．例如：若时，则有，即，当且仅当“”，即时，等号成立，从而有最小值为2． 【类比求值】 （1）填空：若，则的最小值为______，此时______； 【拓展应用】 （2）若，求代数式的最小值； 【问题解决】 （3）现有一个面积为1.5的锐角三角形，按照如图所示的方式裁剪正方形，正方形面积S的最大值是多少？某学习小组对该问题做了如下探索：设，，边上的高，最终推导出． ①请你补充该小组的推导过程； ②该小组发现要使得内接正方形面积S最大，也就是求x的最大值，只需使分母最小即可．由为定值，即，可得．请结合以上信息，求底边长a为多少时，内接正方形面积S最大，最大值为多少？ 20. 如图1，在矩形中，，点， 分别是，边上的动点，，将沿直线对折，点对应点为点，连结． （1）如图2，当点落在对角线上时，求的长； （2）如图3，当，求的长； （3）若直线 交于点，在点的运动过程中，是否存在某一位置，使得以，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $