1.8有理数的除法（基础篇）讲义 2025-2026学年北京版数学七年级上册

1.8有理数的除法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数； 注意：0 没有倒数； 若 ab=1 ， a 、b 互为倒数； 若 ab=-1 ， a 、b 互为负倒数． 等于本身的数汇总： 相反数等于本身的数：0 倒数等于本身的数：1 ，-1 绝对值等于本身的数：正数和 0 平方等于本身的数：0 ，1 立方等于本身的数：0 ，1 ，-1． 有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即无意义． 型 习 练 题 倒数 1．2的倒数为（　　） A．2 B． C． D． 2．的倒数等于（   ） A． B． C．2021 D． 3．已知有理数a在数轴上对应的点在原点左侧，且，则a的相反数的倒数为（    ） A．4 B．－4 C． D． 4．a是非零的自然数，a和它的倒数相比（　　） A． B． C． D． 5．下列说法中，错误的是（    ） A．正数和负数互为相反数 B．1的倒数等于它本身 C．两个连续的正整数互素 D．整数可分为正整数、负整数与零 有理数的除法运算 6．下列运算有错误的是（   ） A． B． C． D． 7．在下列算式中，运算结果为0的是（   ） A． B． C． D． 8．若有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．若，则的值为（　　） A．负数 B．正数 C．0 D．无法确定 10．计算：（   ） A． B．6 C．10 D．24 数轴上的翻折 11．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与表示7的点重合．若数轴上两点之间的距离为2025，且两点经以上方法折叠后重合，则点表示的数是（　　） A．或 B．或1013 C．或1012 D．或 12．如图，小丽在纸上画了一条不完整的数轴，折叠纸面，使数轴上表示的点和表示3的点重合，若该数轴上A，B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则点A表示的数是（    ） A．或4 B．或5 C．或4 D．或5 13．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面使数轴上表示6的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为12(A在B左侧)，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数是（    ） A． B．6 C． D． 14．小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 15．小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合，若数轴上、两点之间的距离为2018（在的左侧），且、两点经上述折叠后重合，则点表示的数为（   ） A． B． C． D．1008 有理数四则混合运算 16．计算： (1)； (2)． 17．计算： (1) (2) 18．计算： (1)； (2) 19．计算： (1)； (2)． 20．计算： 有理数四则混合运算的实际应用 21．某社区图书馆统计一周内每天的图书借阅量，以80本为标准，超过部分记为正数，不足部分记为负数，记录如下： 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 －5 ＋4 0 －3 已知周三借阅量为86本，周四借阅量为72本，且图书馆规定：若一周总借阅量低于550本，则需新增热门图书推荐专区来提升借阅量． (1)填空：的值为______，的值为______； (2)请你判断该社区图书馆是否需要新增热门图书推荐专区来提升借阅量，并说明理由． 22．从2025年11月开始，电动车将全面进入“新国标”时代，符合旧版国标的电动自行车11月30日起就禁止继续销售．某电动车厂一周计划生产1120辆新国标电动自行车，平均每天生产160辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天生产_____辆，最少的一天生产_____辆； (2)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；若未完成任务，则不足部分每辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 23．某超市向果农订购了30箱橙子，以每箱30千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1.5 1.8 2.2 箱数 2 3 6 8 4 5 2 (1)在这30箱橙子中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克? (2)与标准质量比较，30箱橙子总计超过或不足多少千克? 24．今年十一黄金周，国庆中秋双节同庆，共8天假期，世界上最大的城市公园——合肥园博园，人流量再创新高，其中单日入园最高人数为40万人，进入中国景区单天的前十名，园博园在8天假期中每天旅游人数变化如表正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化单位：万人 10月1日的游客人数为40万人，问： (1)月4日的旅客人数为______万人； (2)八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多______万人； (3)如果每万人带来的经济收入约为20万元，则黄金周8天的旅游总收入约为多少万元？ 25．小浩家新换了一辆新能源纯电汽车，国庆长假，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 日期 日 日 日 日 日 日 日 路程（） (1)小浩家的新能源汽车这天一共行驶了多少？ (2)已知小浩家的新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，求这天行驶所用的电费． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.8有理数的除法 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 1倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数； 注意：0 没有倒数； 若 ab=1 ， a 、b 互为倒数； 若 ab=-1 ， a 、b 互为负倒数． 等于本身的数汇总： 相反数等于本身的数：0 倒数等于本身的数：1 ，-1 绝对值等于本身的数：正数和 0 平方等于本身的数：0 ，1 立方等于本身的数：0 ，1 ，-1． 有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，即无意义． 型 习 练 题 倒数 1．2的倒数为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键．乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数． 根据一个数的倒数是指与该数相乘等于1的数求解即可． 【详解】解：∵． ∴ 2的倒数为． 故选B． 2．的倒数等于（   ） A． B． C．2021 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数和求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据乘积为1的两个数互为倒数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴的倒数等于， 故选：D． 3．已知有理数a在数轴上对应的点在原点左侧，且，则a的相反数的倒数为（    ） A．4 B．－4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数、倒数和绝对值的概念，注意数轴上的位置表示数的正负．由题意可知a为负数，且绝对值为4，故；再求其相反数的倒数即可． 【详解】解：∵ a在数轴上对应的点在原点左侧， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∴ a的相反数为． ∴ 4的倒数为． 因此，a的相反数的倒数为． 故选：C 4．a是非零的自然数，a和它的倒数相比（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查倒数和有理数的大小比较，熟练掌握倒数及有理数的大小比较是解题的关键；a是非零自然数，即，比较a和的大小关系，需考虑和两种情况，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， 当时，； 当时，； ∴； 故选：C． 5．下列说法中，错误的是（    ） A．正数和负数互为相反数 B．1的倒数等于它本身 C．两个连续的正整数互素 D．整数可分为正整数、负整数与零 【答案】A 【分析】本题考查相反数、倒数、互素和整数分类的基本概念，根据各个概念求解即可 【详解】解：∵ 相反数是指只有符号不同，绝对值相等的两个数，但正数和负数不一定数值相等，故A错误； 1的倒数是1，等于它本身，故B正确；   两个连续的正整数最大公约数为1，故互素，C正确；   整数包括正整数、负整数和零，故D正确； 故选A 有理数的除法运算 6．下列运算有错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数混合运算，熟记有理数相关运算法则是解决问题的关键． 根据有理数的除法和减法运算法则，逐一验证选项的运算是否正确即可得到答案． 【详解】解：A：，选项中式子运算错误，符合题意； B：，选项中式子运算正确，不符合题意； C：，选项中式子运算正确，不符合题意； D：，选项中式子运算正确，不符合题意； 故选：A． 7．在下列算式中，运算结果为0的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键. 通过直接计算每个算式的值，判断其结果是否为0即可． 【详解】对于选项A：∵，∴运算结果为0，符合题意． 对于选项B：∵，∴结果不为0，不符合题意． 对于选项C：∵，∴结果不为0，不符合题意． 对于选项D：∵，∴结果不为0，不符合题意． 因此，运算结果为0的是选项A． 故选A． 8．若有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，有理数的除法计算，根据数轴可得，再由有理数的除法计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， 故选：C． 9．若，则的值为（　　） A．负数 B．正数 C．0 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘除符号法则，熟练掌握“两数相除，异号得负；两数相乘，异号得负”是解题的关键． 根据分数的符号规则判断、的符号关系，再依据有理数乘法法则确定的符号． 【详解】解：∵ ， ∴ 与异号， ∴ ， 故选：A． 10．计算：（   ） A． B．6 C．10 D．24 【答案】B 【分析】本题考查有理数除法，根据运算法则计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 数轴上的翻折 11．已知在纸面上有一数轴，折叠纸面，数轴上表示的点与表示7的点重合．若数轴上两点之间的距离为2025，且两点经以上方法折叠后重合，则点表示的数是（　　） A．或 B．或1013 C．或1012 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的知识，注意根据轴对称的性质，可以求得使两个点重合的折痕经过的点所表示的数即是两个数的平均数．根据数轴上两点间的距离为这两个数差的绝对值，若表示的点与7表示的点重合，则折痕经过3；若数轴上A、B两点之间的距离为2025，则A、B两个点分别距离中点3都是个单位长度，再分情况进一步得到B点表示的数． 【详解】解：依题意得：两数是关于和7的中点对称， 即关于对称， A、B两点经以上方法折叠后重合，即A、B关于表示3的点对称， ． 当点B在A点左侧，即点B在表示3的点的左边个单位长度， 则点B表示的数为：； 当点B在A点右侧，即点B在表示3的点的右边个单位长度， 则点B表示的数为：． 故选：A． 12．如图，小丽在纸上画了一条不完整的数轴，折叠纸面，使数轴上表示的点和表示3的点重合，若该数轴上A，B两点之间的距离为8，且折叠后也互相重合，则点A表示的数是（    ） A．或4 B．或5 C．或4 D．或5 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，有理数的加减法，能正确找出折叠点是解题的关键．表示点和表示3的点重合，则折叠的点表示1，数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8，则点与点到折叠点（表示1的点）距离都是4，进而求出点表示的数即可． 【详解】解：∵折叠后数轴上表示的点与表示3的点重合， ∴折叠点为和3的中点，它表示1， 数轴上，两点经上述折叠后重合，且，两点之间的距离为8， 点与点到折叠点（表示1的点）距离都是4， 当点在折叠点右侧时，对应的数为， 当点在折叠点左侧时，对应的数是， ∴点A表示的数是5或． 故选∶D． 13．小丽在纸上画了一条数轴后，折叠纸面使数轴上表示6的点与表示的点重合；若数轴上A、B两点之间的距离为12(A在B左侧)，且A、B两点经上述折叠后重合，则A点表示的数是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用；设表示6的点与表示的的点的连线段的中点表示的数为，由数轴上两点之间的距离得，据此列式计算即可求解． 【详解】解：设表示6的点与表示的的点的连线段的中点表示的数为，则有： ， 解得：， 数轴上A、B两点之间的距离为12， ， 到表示1的点的距离为， 点表示的数为， 故选：A． 14．小明将画在纸上的数轴对折，把表示的点与表示1的点重合，此时与表示的点重合的点表示的数是（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离公式． 先求出折痕处的点表示的数为，然后再根据数轴上两点间距离公式进行解答即可． 【详解】解：将画在纸上的数轴上对折，表示的点与表示的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示的点重合的数是， 故选：D． 15．小惠在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示1的点与表示的点重合，若数轴上、两点之间的距离为2018（在的左侧），且、两点经上述折叠后重合，则点表示的数为（   ） A． B． C． D．1008 【答案】A 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴的折叠，掌握知识点是解题的关键． 若1表示的点与表示的点重合，则对称中心是表示的点，根据对应点连线被对称中心平分，则点A和点B到的距离都是1009，从而求解． 【详解】解：折叠使表示1和的点重合，则折痕点是它们的中点：， ∵、两点关于对称且距离为2018， 在的左侧， ∴点到的距离为， 因此点表示的数为． 故选A． 有理数四则混合运算 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）先将除法转化为乘法，再由有理数乘法运算法则计算即可得到答案； （2）先计算绝对值，再将除法转化为乘法，然后计算有理数乘法，最后由有理数加减运算法则计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数混合运算的优先级，先计算括号里的，再计算括号外的即可求解． （2）根据有理数混合运算的优先级，先计算括号里的，再根据同级运算符，从左到右顺序计算即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 18．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题的关键是掌握相关的运算法则． （1）先算除法，再算减法即可； （2）先算乘除，再算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算． （1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可． （2）先计算乘法与除法运算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 20．计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 先将除法转化为乘法，并根据乘法分配律变形，再计算乘法，最后计算加减即可． 【详解】解： ． 有理数四则混合运算的实际应用 21．某社区图书馆统计一周内每天的图书借阅量，以80本为标准，超过部分记为正数，不足部分记为负数，记录如下： 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 －5 ＋4 0 －3 已知周三借阅量为86本，周四借阅量为72本，且图书馆规定：若一周总借阅量低于550本，则需新增热门图书推荐专区来提升借阅量． (1)填空：的值为______，的值为______； (2)请你判断该社区图书馆是否需要新增热门图书推荐专区来提升借阅量，并说明理由． 【答案】(1) (2)不需要，理由见解析 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． （1）根据以80本为标准，超过部分记为正数，不足部分记为负数即可得出结论； （2）先求出一周借阅的本数，再与550相比较即可． 【详解】（1）解：∵以80本为标准，超过部分记为正数，不足部分记为负数，周三借阅量为86本，周四借阅量为72本， ∴， 故答案为：6，； （2）解：该社区图书馆不需要新增热门图书推荐专区，理由如下： ， ， ∵， ∴该社区图书馆不需要新增热门图书推荐专区来提升借阅量． 22．从2025年11月开始，电动车将全面进入“新国标”时代，符合旧版国标的电动自行车11月30日起就禁止继续销售．某电动车厂一周计划生产1120辆新国标电动自行车，平均每天生产160辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)产量最多的一天生产_____辆，最少的一天生产_____辆； (2)该厂实行每周计件工资制，每生产一辆车可得50元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖10元；若未完成任务，则不足部分每辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)176，150 (2)56600元 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的实际应用以及正负数的意义，是基础题，比较简单，根据表格数据列出算式是解题的关键． （1）根据增减的量的大小判断出星期六最多，星期五最少，再根据有理数的加减法进行计算即可求解； （2）计算出这一周的增减量的总和，是正数，则超产，是负数则少生产，然后根据工资计算方法进行计算． 【详解】（1）解：星期六生产的最多：（辆）， 星期五生产的最少：（辆）， 故答案为：176，150； （2）解：辆， （元）． 答：该厂工人这一周的工资总额是56600元． 23．某超市向果农订购了30箱橙子，以每箱30千克为标准质量装箱，超过的千克数用正数表示，不足的千克数用负数表示，结果记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1.5 1.8 2.2 箱数 2 3 6 8 4 5 2 (1)在这30箱橙子中最重的一箱比最轻的一箱重多少千克? (2)与标准质量比较，30箱橙子总计超过或不足多少千克? 【答案】(1)最重的一箱比最轻的一箱重4.7千克 (2)与标准质量比较，30箱橙子总计超过2.4千克 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，理解题中正负号的意义是解题的关键． （1）比较各箱质量与标准质量的差值，用最大值减去最小值即可； （2）将各箱与标准质量的差值相加，即为所求． 【详解】（1）解：（千克）， 答：最重的一箱比最轻的一箱重4.7千克． （2）解： （千克）． 答：与标准质量比较，30箱橙子总计超过2.4千克． 24．今年十一黄金周，国庆中秋双节同庆，共8天假期，世界上最大的城市公园——合肥园博园，人流量再创新高，其中单日入园最高人数为40万人，进入中国景区单天的前十名，园博园在8天假期中每天旅游人数变化如表正号表示人数比前一天多，负号表示比前一天少 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 人数变化单位：万人 10月1日的游客人数为40万人，问： (1)月4日的旅客人数为______万人； (2)八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多______万人； (3)如果每万人带来的经济收入约为20万元，则黄金周8天的旅游总收入约为多少万元？ 【答案】(1) (2) (3)黄金周8天的旅游总收入约为6224万元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义分别求得每天的实际游客人数，然后用最大的减去最小的即可； （3）结合（2）中所求结果列式计算即可． 【详解】（1）解：（万人）， 即10月4日的旅客人数为万人， 故答案为：； （2）解：月1日的游客人数：40万人， 10月2日的游客人数：万人， 10月3日的游客人数：万人， 10月4日的游客人数：万人， 10月5日的游客人数：万人， 10月6日的游客人数：万人， 10月7日的游客人数：万人， 10月8日的游客人数：万人， 则万人， 即八天中旅客人数最多的一天比最少的一天多万人， 故答案为：； （3）解： （万元）， 即黄金周8天的旅游总收入约为6224万元． 25．小浩家新换了一辆新能源纯电汽车，国庆长假，他连续天记录了每天行驶的路程（如表）．以为标准，多于的记为“”，不足的记为“”，刚好的记为“”． 日期 日 日 日 日 日 日 日 路程（） (1)小浩家的新能源汽车这天一共行驶了多少？ (2)已知小浩家的新能源汽车每行驶耗电量为度，每度电为元，求这天行驶所用的电费． 【答案】(1) (2)元 【分析】（）根据正负数的意义求出天记录路程的和，再加上天标准路程的和即可求解； （）用总路程除以，再乘以百公里路程耗电量即可求解； 本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 答：小浩家的新能源汽车这七天一共行驶了； （2）解：（元）， 答：这七天的行驶所用的电费为元． 学科网（北京）股份有限公司 $