专题5.1观察抽象(5大题型+典题专练) 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

专题5.1观察抽象 题型梳理 [题型一 常见的几何体]..........................................................................................................2 [题型二 组成几何体的构成]..................................................................................................6 [题型三 立体图形的分类].....................................................................................................12 [题型四 几何体中的点.棱.面]...............................................................................................16 [题型五 截一个几何体]..........................................................................................................22 初中数学核心思维专题） 一、专题核心目标 理解 “观察抽象” 的数学本质：从具体实例、图形、数据中剥离非本质属性，提炼共性规律、概念或数学模型。 掌握 “观察→分析→归纳→抽象” 的思维流程，能应用于几何图形、数列规律、函数性质、统计分析等知识点。 提升从具体情境中抽象数学问题的能力，为后续建模、推理奠定基础。 二、核心知识点梳理（结构化呈现） 1. 观察抽象的定义与步骤 定义：通过观察具体对象的共同特征、变化规律或数量关系，排除次要信息，提炼出数学概念、公式、性质或规律的思维方法。 核心步骤： ① 观察：聚焦具体对象（图形、数据、现象等），明确观察角度（形状、数量、变化趋势等）； ② 分析：对比不同对象的异同，筛选共性特征 ③ 归纳：总结共性特征的规律或内在联系； ④ 抽象：用数学语言（符号、公式、文字）表达提炼出的本质 2. 初中数学高频关联知识点（按模块分类） 知识模块 关联内容 观察对象 抽象结果 几何图形初步 点、线、面、角；基本图形（三角形、四边形） 生活实物（课桌、车轮、窗户）、图形示意图 几何图形的定义、构成要素（顶点、边、角） 代数规律 数列找规律、代数式概念、等式规律 数字排列、等式组、图形组合数量 通项公式、字母表示数、一般等式规律 函数性质 一次函数、二次函数、反比例函数图像与性质 函数图像、变量对应值、实际情境变化 函数表达式、增减性、对称性等性质 特殊图形性质 全等三角形、相似三角形、轴对称 / 中心对称图形 图形重合关系、边长 / 角的比例、折叠 / 旋转现象 判定定理、性质定理（如 SSS、相似比） 统计与概率 统计图表（条形图、折线图）、概率情境 数据分布、变化趋势、重复试验结果 数据特征（平均数、中位数）、概率公式 三、重难点突破（聚焦教学核心） 1. 重点 *掌握 “从具体到抽象” 的转化方法，能准确筛选具体对象的共性特征； *用规范的数学语言（符号、文字）表达抽象结果（如规律、性质）。 2. 难点 *面对复杂情境（如多变量、不规则图形）时，精准剥离非本质属性； *抽象过程中逻辑的严谨性（避免以偏概全，如仅通过 1-2 个实例得出规律）。 3. 突破策略. *实例分析法：通过多个同类实例对比，强化共性特征的感知； *分步引导法：按 “观察→分析→归纳→抽象” 逐步拆解，降低思维难度； *反例验证法：用反例检验抽象结果的准确性（如用特殊值验证规律）。 四、易错点警示与纠错（提升准确性） 易错点 1：观察不全面，遗漏关键特征（如仅看数字大小，忽略符号变化）。 易错点 2：抽象过度，添加非本质属性（如认为 “轴对称图形一定是三角形”）。 易错点 3：数学语言表达不规范（如将 “第 n 个数是 3n” 写成 “3 乘 n”）。 （练习题） [题型一 常见的几何体]. 1．长方体的长、宽、高分别是、、，它的体积是 ． 2．下列几何体中属于棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 4．用一个平面去截①圆锥；②圆柱；③正方体；④五棱柱，能得到截面是长方形的图形是（    ） A．②④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 5．一个棱柱有6个面，所有侧棱长之和为．底面边长都是．则这个棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．1000个体积为1立方厘来的小正方体和在一起成为一个边长是10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后在分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被涂过的数目是 个． 7．阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． [题型二 组成几何体的构成] 8．观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 9．有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 10．如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 11．玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 12．如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②﹣⑥均由4个棱长为1的小正方体构成．现在从模块②﹣⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体．下列四个方案中，符合上述要求的是（    ） A．模块②，④，⑤ B．模块③，④，⑥ C．模块②，③，⑥ D．模块③，⑤，⑥ 13．下图由个棱长为厘米的正方体搭成的，将这个立方图形表面涂上红色．其中只有三个面涂上红色的正方体有( )个，只有四面涂上红色的正方体有( )个． 14．如图，把一个棱长8厘米的正方体的六个面都涂上红色，再将它的棱四等分，然后从等分点把正方体锯开． (1)能得到多少个棱长为2厘米的小正方体？ (2)三个面有红色的小正方体有多少个？ (3)两个面有红色的小正方体有多少个？ (4)一个面有红色的小正方体有多少个？ (5)有没有各面都没有红色的小正方体？如果有，那么有多少个？ [题型三 立体图形的分类] 15．下列实物：①篮球；②圆柱形笔筒；③地球仪；④课本；⑤热水瓶；⑥粉笔盒．其中形状类似棱柱的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 17．一个长方体的表面积是40平方厘米，把这个长方体平均分成两个相等的正方体，每个正方体的表面积是 平方厘米． 18．要锻造一个直径为，高为的圆柱形毛坯， 至少应截取直径为的圆钢（　　）cm． A．12 B．16 C．24 D．32 19．如图，三棱柱的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为，用含的代数式表示三棱柱的棱上小球总数为 ． 20．物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 21．淘气和笑笑去参观温室无土蔬菜养植园．    (1)养植园是个长方形，画在的图纸上，长，宽，这个养植园实际的长和宽各是多少米？ (2)养植园外形是一个半圆柱形（如图1），半圆柱形外覆盖了一层塑料薄膜，需要多少平方米的塑料薄膜？ (3)利用如图2中的阴影部分铁皮，刚好能做成一个园区内的圆柱形营养液蓄储桶（接口处忽略不计），这个营养液蓄储桶的容积是多少？ [题型四 几何体中的点.棱.面] 22．若一个直四棱柱侧棱长为3，底面的边长均为2，则这个直四棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 23．小明在国庆假期参与了“变废为宝”实践活动，他用废旧扑克牌、胶带和彩纸制作了一个实用的笔筒．下列关于该笔筒的描述，错误的是（   ） A．笔筒可以近似地看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 24．将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（　　） A． B． C． D． 25．某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（） A．20 B．30 C．32 D．60 26．如图，我国南北朝时期官员独孤信的印章表面由若干个相同的正方形和等边三角形围成．若正方形的边长为m，等边三角形的高为h，则印章的表面积为 ．（用含m，h的代数式表示） 27．一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 28．十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数，面数，棱数之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有28个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则 ． 29．用一个平面截一个直n棱柱，得到的截面边数最多是8条边，且这个n棱柱的每个侧面都是正方形，正方形的面积为4，则这个n棱柱的棱长之和为 ． 30．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）．面数（F）．棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； (2)你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是___________； (3)一个多面体的顶点数比面数大4，且有18条棱，则这多面体的顶点数是___________； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由四边形和六边形两种多边形拼接而成，且有12个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面四边形的个数为个，六边形的个数为个，求的值． [题型五 截一个几何体] 31．如图，将装有一半水的圆柱形桶水平放置，此时桶中水面的形状是（    ） A． B． C． D． 32．如图是一根横截面为正方形的长方体木料，表面积为74平方厘米，锯去一个正方体后，剩下的长方体表面积为54平方厘米．锯下正方体木料的表面积是 平方厘米． 33．一个底面直径27厘米，高是9厘米的圆锥形木块，分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了（      ）． A．81平方厘米 B．121.5平方厘米 C．243平方厘米 D．23.3平方厘米 34．一个长方体的所有棱长之和为米，长、宽、高的比是．把这个长方体截成两个小长方体，表面积最多可以增加 平方米． 35．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，剩下的几何体的顶点数不可能是（   ）． A．10 B．7 C．9 D．6 36．如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面的个数记为，棱的条数记为，顶点数记为，则为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 37．“检查”的原理是通过扫描和计算，把人体从不同角度“切”成无数薄层，每一层就是一个截面图像，医生通过这些图像能精准看到内部细节．已知一个物体外形是圆柱体，如图1所示．为探明其内部构造，我们可以给这个物体做“检查”，即用一个竖直的平面从左到右截这个物体，得到一组自左向右的截面（如图2），则这个物体的内部构造可能为一个 体． 38．找规律填空 (1)一个正方体，用刀沿一个平面截去一个角后，所得的几何体有__________个顶点． (2)下图中每个正方体的棱长都是a厘米．各图的表面积分别是多少？（按图形顺序依次将答案填在对应的括号内） （         ）平方厘米；  （       ）平方厘米；  （        ）平方厘米；  （       ）平方厘米； (3)观察下面的几个算式： ； ； ； ； 根据你所发现的规律，直接写出下面式子的结果∶ __________ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1观察抽象 题型梳理 [题型一 常见的几何体]..........................................................................................................2 [题型二 组成几何体的构成]..................................................................................................6 [题型三 立体图形的分类].....................................................................................................12 [题型四 几何体中的点.棱.面]...............................................................................................16 [题型五 截一个几何体]..........................................................................................................22 初中数学核心思维专题） 一、专题核心目标 理解 “观察抽象” 的数学本质：从具体实例、图形、数据中剥离非本质属性，提炼共性规律、概念或数学模型。 掌握 “观察→分析→归纳→抽象” 的思维流程，能应用于几何图形、数列规律、函数性质、统计分析等知识点。 提升从具体情境中抽象数学问题的能力，为后续建模、推理奠定基础。 二、核心知识点梳理（结构化呈现） 1. 观察抽象的定义与步骤 定义：通过观察具体对象的共同特征、变化规律或数量关系，排除次要信息，提炼出数学概念、公式、性质或规律的思维方法。 核心步骤： ① 观察：聚焦具体对象（图形、数据、现象等），明确观察角度（形状、数量、变化趋势等）； ② 分析：对比不同对象的异同，筛选共性特征 ③ 归纳：总结共性特征的规律或内在联系； ④ 抽象：用数学语言（符号、公式、文字）表达提炼出的本质 2. 初中数学高频关联知识点（按模块分类） 知识模块 关联内容 观察对象 抽象结果 几何图形初步 点、线、面、角；基本图形（三角形、四边形） 生活实物（课桌、车轮、窗户）、图形示意图 几何图形的定义、构成要素（顶点、边、角） 代数规律 数列找规律、代数式概念、等式规律 数字排列、等式组、图形组合数量 通项公式、字母表示数、一般等式规律 函数性质 一次函数、二次函数、反比例函数图像与性质 函数图像、变量对应值、实际情境变化 函数表达式、增减性、对称性等性质 特殊图形性质 全等三角形、相似三角形、轴对称 / 中心对称图形 图形重合关系、边长 / 角的比例、折叠 / 旋转现象 判定定理、性质定理（如 SSS、相似比） 统计与概率 统计图表（条形图、折线图）、概率情境 数据分布、变化趋势、重复试验结果 数据特征（平均数、中位数）、概率公式 三、重难点突破（聚焦教学核心） 1. 重点 *掌握 “从具体到抽象” 的转化方法，能准确筛选具体对象的共性特征； *用规范的数学语言（符号、文字）表达抽象结果（如规律、性质）。 2. 难点 *面对复杂情境（如多变量、不规则图形）时，精准剥离非本质属性； *抽象过程中逻辑的严谨性（避免以偏概全，如仅通过 1-2 个实例得出规律）。 3. 突破策略. *实例分析法：通过多个同类实例对比，强化共性特征的感知； *分步引导法：按 “观察→分析→归纳→抽象” 逐步拆解，降低思维难度； *反例验证法：用反例检验抽象结果的准确性（如用特殊值验证规律）。 四、易错点警示与纠错（提升准确性） 易错点 1：观察不全面，遗漏关键特征（如仅看数字大小，忽略符号变化）。 易错点 2：抽象过度，添加非本质属性（如认为 “轴对称图形一定是三角形”）。 易错点 3：数学语言表达不规范（如将 “第 n 个数是 3n” 写成 “3 乘 n”）。 （练习题） [题型一 常见的几何体]. 1．长方体的长、宽、高分别是、、，它的体积是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方体的底面积和体积，根据长方体的底面积和体积公式计算即可，准确计算是解题的关键． 【详解】解：长方体的底面积长宽（）， 长方体的体积底面积高（）， 故答案为：． 2．下列几何体中属于棱柱的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体．根据棱柱的定义进行逐个分析，即可作答． 【详解】 解：依题意，属于棱柱的有，，， ∴属于棱柱的有3个 故选：B 3．下列说法中错误的是（   ） A．棱柱有两个互相平行，形状相同，大小相等的面 B．棱锥除一个面外，其余各面都是三角形 C．圆柱的侧面可能是长方形 D．正方体是四棱柱，也是六面体 【答案】C 【分析】根据棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念选择即可． 【详解】解：A．棱柱有两个完全相同且相互平行的面，故选项正确，符合题意； B．棱锥的底面是多边形，侧面是三角形，故选项正确，符合题意； C．圆柱的侧面是曲面，侧面展开图是长方形，故选项不正确，不符合题意；． D．正方体是四棱柱，棱柱都是多面体，正方体有六个面，所以是六面体，故选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了棱柱、棱锥、圆柱、正方体的概念，解题的关键是熟悉相关概念． 4．用一个平面去截①圆锥；②圆柱；③正方体；④五棱柱，能得到截面是长方形的图形是（    ） A．②④ B．②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据立体图形与平面图形的特点即可求解． 【详解】解：能得到截面是长方形的图形是：②圆柱，③正方体，④五棱柱， 故选：C． 【点睛】本题主要考查立体图形的认识，掌握立体图形，平面图形的特点是解题的关键． 5．一个棱柱有6个面，所有侧棱长之和为．底面边长都是．则这个棱柱的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了几何体的表面积，理解侧面展开图是解题的关键．根据这个棱柱的表面积侧面积两个底面积求解即可． 【详解】解：由题意得：该棱柱是四棱柱，底面是边长的正方形， ∴这个棱柱的表面积为：， 故选：D． 6．1000个体积为1立方厘来的小正方体和在一起成为一个边长是10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后在分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被涂过的数目是 个． 【答案】488 【分析】本题考查正方体的表面积，表面涂漆的小正方体都在大正方体的表面上，由此可以先求得内部没有涂色的小正方体的个数，再利用小正方体的总个数减去没有涂色的个数即可． 【详解】解：小正方体总个数：（个）， 其中没有涂色的为：（个）， 所以至少有一面被涂过的小正方体为：（个）， 故答案为：488． 7．阅读材料，解决下面的问题： 柏拉图体 柏拉图体即为正多面体，它的所有面都是完全相同的正多边形． 正多边形有无数种，而正多面体只有五种，均以面的数量来命名——正四面体、正六面体（立方体）、正八面体、正十二面体、正二十面体．如图1、就是一个六个面均为正方形的正六面体． （注：各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形．如等边三角形也叫正三角形，正方形也叫正四边形…） (1)如图2，连接正六面体中相邻面的中心，可得到一个柏拉图体． ①它是正______面体，有______个顶点，______条棱；②已知该正多面体的体积与原正方体体积的比为，若原正方体的棱长为，该正多面体的体积为______： (2)如图3，用6个棱长为1的小正方体搭成一个几何体．小明要再用一些完全相同的小正方体搭一个几何体，若要使新搭的几何体恰好能与原几何体拼成一个无空隙的正六面体，则小明至少需要_____个小正方体，他新搭几何体的表面积最小是______； (3)小华用4个棱长为1的小正四面体搭成一个如图4所示的造型，可以看做是一个不完整的大四面体．小华发现此造型中间空缺部分也是一个柏拉图体！请写出该柏拉图体的名称：______． 【答案】(1)①八，6，12；②4.5 (2)21，50 (3)正四面体 【分析】（1）①根据图形可数出该正多面体的面数，顶点数和棱数；②先求出正方体的体积，然后根据该正多面体的体积与原正方体体积的比为求解即可； （2）根据第1层需要4个，第2层需要8个，第3层需要9个即可求出所需的小正方体的个数，然后即可求出表面积； （3）直接根据图形解答即可． 【详解】（1）解：①由图可知，它是正八面体，有6个顶点，12条棱； ②． 故答案为：①八，6，12；②4.5； （2）解：至少需要个， 表面积最小是． 故答案为：21，50； （3）解：由图可知，周围有3个空缺的面，与上面小正四面体还有1个相邻的面，所以该柏拉图体的名称是正四面体． 故答案为：正四面体． 【点睛】本题考查了新定义，正方体的体积，正方体的表面积，以及学生的空间想象能力，正确理解柏拉图体的定义是解答本题的关键． [题型二 组成几何体的构成] 8．观察下列由长为1的小正方体摆成的图形，如图①所示共有1个小立方体，其中1个看得见，0个看不见：如图②所示：共有8个小立方体，其中7个看得见，1个看不见：如图③所示：共有27个小立方体，其中19个看得见，8个看不见…按照此规律继续摆放： （1）第④个图中，看不见的小立方体有 个： （2）第n个图中，看不见的小立方体有 个． 【答案】 27 【分析】（1）根据规律可以得第④个图中，看不见的小立方体有27个． （2）由题意可知，共有小立方体个数为序号数×序号数×序号数，看不见的小正方体的个数=（序号数-1）×（序号数-1）×（序号数-1），看得见的小立方体的个数为共有小立方体个数减去看不见的小正方体的个数． 【详解】解：∵当第1个图中，1=1，0=（1-1）3=03； 当第2个图中，8=23，1=13=（2-1）3； 当第3个图中，27=33，8=（3-1）3=23； 当第4个图中，64=43，27=（4-1）3=33； 当第5个图中，125=53，64=（5-1）3=43； ∴当第n个图中，看不见的小立方体的个数为（n-1）3个． 故答案为：（1）27；（2）（n-1）3． 【点睛】本题考查的是立体图形，分别根据排成的立方体的高为1个立方体、2个立方体、3个立方体、4个立方体时看见的正方体与看不见的正方体的个数，找出规律即可进行解答． 9．有甲、乙、丙三种三角形木片，其边长如图所示，阿林、小博打算利用这三种木片各自组合成一个正三棱锥．首先两人皆选一片甲当作底面，接着阿林选三片乙当作侧面，小博选三片丙当作侧面，关于两人选的木片能不能组合成一个正三棱锥，下列判断何者正确？（　　） A．两人皆能 B．两人皆不能 C．阿林能，小博不能 D．阿林不能，小博能 【答案】D 【分析】本题考查了正三棱锥，熟练掌握正三棱锥的特点是解题关键．根据正三棱锥的特点解答即可得． 【详解】解：因为图甲是边长为3的等边三角形，作底面， 所以正三棱锥的侧面是底边长为3的等腰三角形， 所以阿林选三片乙当作侧面，不能组合成一个正三棱锥；小博选三片丙当作侧面能组合成一个正三棱锥． 故选：D． 10．如图中的长方体是由三个部分拼接而成，每一部分都是由四个同样大小的小正方体组成，其中第三部分所对应的几何体应是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，找到长方体中第三部分所对应的几何体的形状是解题的关键．观察长方体，可知第三部分所对应的几何体在长方体中，上面有二个正方体，下面有二个正方体，再在各个选项中根据图形作出判断． 【详解】解：由长方体和第三部分所对应的几何体可知， 第三部分所对应的几何体上面有二个正方体，下面有二个正方体，并且与选项C相符． 故选：C． 11．玻璃杯内盛有一些水，斜放杯子时测得的数据如图所示，则杯中水的体积为 ． 【答案】 【分析】本题考查组合体的体积，将图中组合体分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱，再根据圆柱的体积公式即可求解． 【详解】解：如图，将水的体积分成上下两部分，上面部分为圆柱的一半，下半部分为圆柱， 上半部分的体积为：， 下半部分的体积为：， 故杯中水的体积为：， 故答案为：． 12．如图，模块①由15个棱长为1的小正方体构成，模块②﹣⑥均由4个棱长为1的小正方体构成．现在从模块②﹣⑥中选出三个模块放到模块①上，与模块①组成一个棱长为3的大正方体．下列四个方案中，符合上述要求的是（    ） A．模块②，④，⑤ B．模块③，④，⑥ C．模块②，③，⑥ D．模块③，⑤，⑥ 【答案】C 【分析】根据正方体的结构特征进行选择即可． 【详解】解：根据正方体的结构特征，可选择模块⑥放在模块①上的右下角，再将模块③放在模块①上在右上角，最后将模块②放在模块①上在左边，就使得模块①组成一个棱长为3的正方体， 故选：C． 【点睛】本题考查正方体的结构特征，主要培养学生的空间想象能力和动手拼接图形的能力． 13．下图由个棱长为厘米的正方体搭成的，将这个立方图形表面涂上红色．其中只有三个面涂上红色的正方体有( )个，只有四面涂上红色的正方体有( )个． 【答案】 【分析】本题考查了涂色问题的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据正方形的排列特点，找到露出在外面的面既是涂色面，依次即可得出答案． 【详解】解：观察图形可得：三个面涂上红色的正方体有个，四面涂上红色的正方体有个， 故答案为：，． 14．如图，把一个棱长8厘米的正方体的六个面都涂上红色，再将它的棱四等分，然后从等分点把正方体锯开． (1)能得到多少个棱长为2厘米的小正方体？ (2)三个面有红色的小正方体有多少个？ (3)两个面有红色的小正方体有多少个？ (4)一个面有红色的小正方体有多少个？ (5)有没有各面都没有红色的小正方体？如果有，那么有多少个？ 【答案】(1)64个 (2)8个 (3)24个 (4)24个 (5)有，8个 【分析】（1）棱长是8cm的立方体体积512cm3，棱长为2cm的小正方体体积为8cm3，由此能求出共得到多少个棱长为2cm的小正方体； （2）三面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的顶点处的小正方体，由此能求出三面涂色的小正方体有多少个； （3）二面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个； （4）一个面有红色的小正方体位于棱长是8cm的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方体有多少个； （5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是8cm的立方体中心的正方体，由此能求出六个面均没有涂色的小正方体有多少个． 【详解】（1）棱长是8cm的立方体体积为：8×8×8=512（cm3）， 棱长为2cm的小正方体体积为8cm3， ∴共得到512÷8=64个小正方体． （2）三面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的顶点处的小正方体， ∵立方体共有8个顶点， ∴三面涂色的小正方体有8个， （3）二面涂色的小正方体是位于棱长是8cm的立方体的各边上的正方体， ∵立方体共有12条边，每边有2个正方体， ∴二面涂色的小正方体有24个， （4）一面涂色的小正方体在棱长是8cm的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体， ∵立方体共有6个面，每个面有4个正方体， ∴一面涂色的小正方体有24个， （5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是8cm的立方体中心的正方体，共有64-8-24-24=8个， 【点睛】本题考查大正方体分割成小正方体的计算，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握正方体的结构特征． [题型三 立体图形的分类] 15．下列实物：①篮球；②圆柱形笔筒；③地球仪；④课本；⑤热水瓶；⑥粉笔盒．其中形状类似棱柱的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查棱柱的定义，熟记定义并正确识别各种物体的形状是解题的关键． 棱柱有两个平行且全等的多边形底面，侧面是矩形，据此判断即可． 【详解】解：∵①篮球是球体，不符合棱柱特征；②圆柱形笔筒是圆柱体，底面是圆，侧面是曲面，不符合棱柱特征；③地球仪是球体，不符合棱柱特征；④课本是长方体，底面是矩形，侧面是矩形，符合棱柱特征；⑤热水瓶是圆柱体，不符合棱柱特征；⑥粉笔盒是长方体，符合棱柱特征． ∴类似棱柱的有④和⑥，共2个． 故选B 16．如图所示的几何体，下列说法正确的是（    ） A．几何体是三棱锥 B．几何体的侧面是三角形 C．几何体的底面是三角形 D．几何体有6条侧棱 【答案】C 【分析】本题主要考查了常见几何体的特点，侧面是长方形，底面是三角形，则该几何体是三棱柱，故该几何体有3条侧棱，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，该几何体是三棱柱，侧面都是长方形，底面是三角形，且共有3条侧棱， ∴四个选项中只有C选项说法正确，符合题意， 故选：C． 17．一个长方体的表面积是40平方厘米，把这个长方体平均分成两个相等的正方体，每个正方体的表面积是 平方厘米． 【答案】24 【分析】把一个长方体平均分开，正好成为两个相同的正方体，即长方体的表面积相当于一个正方体的10个面的面积和，先求出正方体的一个面的面积，即可得解． 【详解】解：一个长方体的表面积是40平方厘米，把这个长方体平均分成两个相等的正方体， 正方体的一个面的面积为：（平方厘米）； 每个正方体的表面积是：（平方厘米）； 故答案为：24． 【点睛】此题考查了长方体与正方体表面积的计算，长方体与两个相同正方体的表面积之间的关系是解答此题的关键． 18．要锻造一个直径为，高为的圆柱形毛坯， 至少应截取直径为的圆钢（　　）cm． A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】此题主要考查了认识立体图形，根据题意可知，圆柱形毛坯与圆钢的体积相等， 利用此相等关系列方程,即可求解. 【详解】解：设应截取直径的圆钢， 由题意得： 解得：． 故选：B． 19．如图，三棱柱的每条棱上放置相同数目的小球，设每条棱上的小球数为，用含的代数式表示三棱柱的棱上小球总数为 ． 【答案】 【分析】每条棱上有m个小球，9条棱就有9m个小球，这时，每个顶点处的小球被多计算了2次，于是可得答案． 【详解】解：因为三棱柱有9条棱， 所以9条棱上有9m个小球， 但每个顶点处的小球被多计算2次，6个顶点就被多计算2×6=12次， 所以三棱柱上小球总数为， 故答案为：． 【点睛】本题考查三棱柱的特征、列代数式等知识，掌握正方体的特征是解决问题的前提，考虑每个顶点处的小球被重复计算是解决问题的关键． 20．物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（    ）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】3分钟后可以注满容器A，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案． 【详解】解：3分钟后可以注满容器A，A容器的体积为． 则6分钟的注入水量为， 设6分钟后容器A中水的高度是， 当时，，注入水量． 当时，，注入水量． 当时，，注入水量 故选：B． 【点睛】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想． 21．淘气和笑笑去参观温室无土蔬菜养植园．    (1)养植园是个长方形，画在的图纸上，长，宽，这个养植园实际的长和宽各是多少米？ (2)养植园外形是一个半圆柱形（如图1），半圆柱形外覆盖了一层塑料薄膜，需要多少平方米的塑料薄膜？ (3)利用如图2中的阴影部分铁皮，刚好能做成一个园区内的圆柱形营养液蓄储桶（接口处忽略不计），这个营养液蓄储桶的容积是多少？ 【答案】(1)100米；30米 (2)5416.5平方米 (3)803.84升 【分析】（1）根据实际距离等于图上距离除以比例尺，进行换算即可； （2）养殖园的长等于圆柱的高，养殖园的宽等于圆柱底面直径，塑料薄膜面积等于圆柱底面积和侧面积的和除以2，据此列式解答； （3）圆柱侧面沿高展开是个长方形，观察可知，长方形的长等于圆柱底面周长，底面直径乘以2等于圆柱的高，设底面直径是x分米，根据底面直径加底面周长等于33.12分米，列出方程求出底面直径，再根据圆柱体积等于底面积乘以高，求出容积即可． 【详解】（1）解；， ， 答：这个养植园实际的长和宽各是100米、30米； （2）解： （平方米） 答：需要5416.5平方米的塑料薄膜； （3）解：解：设底面直径是x分米， （立方分米） （升） 答：这个营养液蓄储桶的容积是803.84升． 【点睛】关键是掌握图上距离与实际距离的换算方法，熟悉圆柱特征，掌握并灵活运用圆柱表面积和体积公式． [题型四 几何体中的点.棱.面] 22．若一个直四棱柱侧棱长为3，底面的边长均为2，则这个直四棱柱的所有侧面的面积之和为（   ） A．24 B．18 C．12 D．6 【答案】A 【分析】本题考查直四棱柱侧面积，熟记直四棱柱空间结构特征是解决问题的关键． 直四棱柱的侧面由四个矩形组成，每个矩形的宽为底面边长，高为侧棱长，底面是边长为2，周长为8，侧面积之和等于底面周长乘以侧棱长即可得到答案． 【详解】解：∵ 直四棱柱底面边长均为2， ∴ 底面周长， ∵ 侧棱长， ∴ 所有侧面的面积之和为， ∴ 故选：A． 23．小明在国庆假期参与了“变废为宝”实践活动，他用废旧扑克牌、胶带和彩纸制作了一个实用的笔筒．下列关于该笔筒的描述，错误的是（   ） A．笔筒可以近似地看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了六棱柱的相关知识，根据六棱柱所有侧棱长都相等，有12个顶点，侧面的形状都是长方形一一判断即可． 【详解】解：．笔简可以近似的看成六棱柱，说法正确，故该选项不符合题意； ．它的所有侧棱长都相等，说法正确，故该选项不符合题意； ．它有12个顶点，原说法错误，故该选项符合题意； ．侧面的形状都是长方形，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 24．将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现． 【详解】解：严格按照图中的顺序进行操作，展开得到的图形如选项B中所示， 故选：B． 【点睛】本题考查了剪纸问题，动手能力及空间想象能力，解题的关键是学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现． 25．某智能家居公司设计了一款可折叠的创意灯罩，展开后形成一个正十二面体．已知该多面体的每个面都是正五边形，那么它的顶点数是（） A．20 B．30 C．32 D．60 【答案】A 【分析】本题考查正多面体与多边形，掌握知识点是解题的关键． 利用欧拉公式，其中，每个面为正五边形，先计算总边数，再求解顶点数． 【详解】解：∵每个面是正五边形，有5条边，总面数， ∴总边数（每条边被两个面共享）． 代入欧拉公式：， ∴， ∴， ∴． 故选A． 26．如图，我国南北朝时期官员独孤信的印章表面由若干个相同的正方形和等边三角形围成．若正方形的边长为m，等边三角形的高为h，则印章的表面积为 ．（用含m，h的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查列代数式，立体图形的识别，先根据图形确定正方形和等边三角形的块数，再根据正方形的面积边长边长，三角形的面积底高，正方形和等边三角形的边长都为m，等边三角形的高为，所以个正方形的面积是，个等边三角形的面积是，即可得解．正解理解题意是解题的关键． 【详解】解：由图可知，该印章共有个面，其中正方形有个，等边三角形有个， ∴这个印章的表面积是， 故答案为：． 27．一个长方体，表面全部涂上红色后，被分割成若干个体积都等于1立方厘米的小正方体．如果在这些小正方体中，不带红色的小正方体的个数有7个，则两面带红色的小正方体有（　　）个． A．20 B．25 C．28 D．36 【答案】D 【分析】本题考查了立体图形，由不带红色的小正方体的个数等于7 ，说明这个长方体是的长方体，那么三面涂色的顶点处，两面带红色的小正方体都在这个长方体的棱上，正确理解立体图形的特点是解题的关键． 【详解】解：因为7是质数， 所以不带红色的小正方体只能是排成一排， 所以这个长方体由即个小正方体组成， 把它看成3层，第一层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 第二层两面带红色的小正方体个数为：4个， 第三层两面带红色的小正方体个数为：（个）， 所以两面带红色的小正方体个数为：（个）， 故选D． 28．十八世纪数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数，面数，棱数之间存在一个有趣的数量关系：，这就是著名的欧拉定理．某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形拼接而成，且有28个顶点，每个顶点都3条棱，设该多面体外表面三角形个数是x个，八边形的个数是y，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．难点是熟练掌握欧拉定理．得到多面体的棱数，求得面数即为的值． 【详解】解：有28个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； 共有条棱， 那么，解得， ． 故答案为：16． 29．用一个平面截一个直n棱柱，得到的截面边数最多是8条边，且这个n棱柱的每个侧面都是正方形，正方形的面积为4，则这个n棱柱的棱长之和为 ． 【答案】36 【分析】本题考查截一个几何体，掌握棱柱的形体特征，理解截面数最多的含义是正确解答的关键．根据“用一个平面截一个直n棱柱，截面边数最多为棱柱的面数，即个面，两个底面和个侧面，得到的截面边数最多是8条边”可得这个棱柱的面数，再根据“这个棱柱的每个侧面都是正方形，正方形的面积为4”可得这个棱柱的底面是边长为2的正6边形，侧面为边长2的正方形，进而求出所有棱长之和即可． 【详解】解：∵用一个平面截一个直n棱柱，得到的截面边数最多是8条边， ∴这个几何体是棱柱， ∵这个棱柱的每个侧面都是正方形，正方形的面积为4， ∴这个正六棱柱有6个边长为2的正方形的侧面和边长为2的正六边形的底面， ∴八棱柱的所有棱的长度之和为， 故答案为：36． 30．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）．面数（F）．棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； (2)你发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是___________； (3)一个多面体的顶点数比面数大4，且有18条棱，则这多面体的顶点数是___________； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由四边形和六边形两种多边形拼接而成，且有12个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面四边形的个数为个，六边形的个数为个，求的值． 【答案】(1)表格见解析 (2) (3)12 (4)8 【分析】本题考查了多面体顶点、面数、棱数之间的关系，解决本题的关键是有表格得到这三者之间的关系． （1）根据四面体，长方体，正八面体，正十二面体的顶点数，面数以及棱数计算填表即可； （2）观察表格中顶点数，面数以及棱数的数字即可得解； （3）根据顶点数比面数大4，可列，再由有18条棱，可列，根据求解即可； （4）先求解出该玻璃饰品的棱数，再根据可求解该玻璃饰品的面数，由此可求． 【详解】（1）解：表格如下： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 长方体 8 6 12 正八面体 6 8 12 正十二面体 20 12 30 （2）解：根据表格，可以发现顶点数（）、面数（）、棱数（）之间存在的关系式是； 故答案为：； （3）解：∵顶点数比面数大4， ∴，即， ∵有18条棱， ∴， ∵； ∴，解得， ∴这多面体的顶点数是12； 故答案为：12； （4）解：∵该玻璃饰品有12个顶点，每个顶点处都有3条棱， ∴共有条棱， 设该多面体表面四边形的个数为个，六边形的个数为个， ∵， ∴，， ∴，解得， ∴． [题型五 截一个几何体] 31．如图，将装有一半水的圆柱形桶水平放置，此时桶中水面的形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了几何体的截面，沿圆柱底面直径截圆柱所得的截面是矩形． 【详解】解：将装有一半水的圆柱形桶水平放置，此时桶中水面的形状是矩形． 故选：A． 32．如图是一根横截面为正方形的长方体木料，表面积为74平方厘米，锯去一个正方体后，剩下的长方体表面积为54平方厘米．锯下正方体木料的表面积是 平方厘米． 【答案】30 【分析】此题考查的目的是理解长方体、正方体的表面积的应用，关键是求出原来长方体木料的底面的面积，即锯下的正方体的一个面的面积． 根据题意可知，把这根长方体木料锯下一个正方体，这个正方体的棱长等于原来长方体的底面边长．表面积减少的是锯下的正方体的4个面的面积，由此可以求出锯下的正方体的一个面的面积，再根据正方体的表面积公式：，把数据代入公式解答． 【详解】解： （平方厘米）． 答：锯下正方体木料的表面积是30平方厘米． 故答案为：30． 33．一个底面直径27厘米，高是9厘米的圆锥形木块，分成形状、大小完全相同的两个木块后，表面积比原来增加了（      ）． A．81平方厘米 B．121.5平方厘米 C．243平方厘米 D．23.3平方厘米 【答案】C 【分析】圆锥形木块，沿高分成形状大小完全相同的两个木块后，增加的是两个三角形的面积，只要这求出两个三角形的面积即可． 【详解】解： ， =， =243(平方厘米)； 答：表面积比原来增加243平方厘米． 故选：C． 【点睛】此题考查了学生对立体图形和平面图形的分析，运用学过的知识解决实际问题，掌握三角形的面积公式是解题的关键． 34．一个长方体的所有棱长之和为米，长、宽、高的比是．把这个长方体截成两个小长方体，表面积最多可以增加 平方米． 【答案】 【分析】根据长、宽、高的比是分别求出长、宽、高，再求出横切增加的面积和纵切增加的面积，最后增加的面积进行比较即可得到答案． 【详解】解：求一条长、宽、高的长度和：（米）； 求一条长、宽、高的长度份数：； 求长方体的长：（米）；求长方形的宽：（米）； 求长方形的高：（米）； 如果把这个长方体横切，表面积可增加：（平方米）；如果纵切，表面积可增加：（平方米）， 平方米平方米， 故答案为：． 【点睛】本题考查长方体的分割，清楚把一个大长方体截成两个小长方体，表面积增加个面是解题的关键． 35．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，剩下的几何体的顶点数不可能是（   ）． A．10 B．7 C．9 D．6 【答案】D 【分析】本题考查正方体的截面与顶点数，解题的关键是分析平面截正方体时不同的截取位置对顶点数的影响． 分析平面截正方体得到三棱锥时，不同截取位置下剩余几何体的顶点数，从而判断不可能的顶点数． 【详解】 解：如图所示，如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形，剩下的几何体可能有7个顶点、或8个顶点、或9个顶点、或10个顶点，不可能有6个顶点， 故选：D． 36．如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面的个数记为，棱的条数记为，顶点数记为，则为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】此题考查了截一个几何体，解决本题的关键是找到在原来几何体的基础上增加的面和棱数和顶点数． 分别求出截去一个角后，剩下的几何体面、棱、顶点的个数即可． 【详解】解：如图，一个正方体截去一个角后，剩下的几何体面的个数是，棱的条数是，顶点数， ∴ 故选：A． 37．“检查”的原理是通过扫描和计算，把人体从不同角度“切”成无数薄层，每一层就是一个截面图像，医生通过这些图像能精准看到内部细节．已知一个物体外形是圆柱体，如图1所示．为探明其内部构造，我们可以给这个物体做“检查”，即用一个竖直的平面从左到右截这个物体，得到一组自左向右的截面（如图2），则这个物体的内部构造可能为一个 体． 【答案】圆锥 【分析】本题考查了几何体的认识，熟练掌握几何体的特征是解题的关键．观察图形，除第四个图形外都是一条曲线，可以判断几何体内部是由曲面围成的，而且上小下大；再由第四个图形内部是一个三角形，可推断这个几何体是圆锥，即可得出结论． 【详解】解：由题意可知，这个物体的内部构造可能为一个圆锥体， 故答案为：圆锥． 38．找规律填空 (1)一个正方体，用刀沿一个平面截去一个角后，所得的几何体有__________个顶点． (2)下图中每个正方体的棱长都是a厘米．各图的表面积分别是多少？（按图形顺序依次将答案填在对应的括号内） （         ）平方厘米；  （       ）平方厘米；  （        ）平方厘米；  （       ）平方厘米； (3)观察下面的几个算式： ； ； ； ； 根据你所发现的规律，直接写出下面式子的结果∶ __________ 【答案】(1)7或8或9或10 (2)；；； (3) 【分析】本题主要考查了截一个几何体，图形类的规律探索，数字类的规律探索，正确理解题意是解题的关键． （1）可分图1，图2，图3，图4四种情况，分别计算出对应的顶点数即可； （2）每增加一个正方形，那么就增加表面积就增加4个边长为a厘米的正方形面积，据此求解即可； （3）观察可知对应算式的结果等于加数中最大的数的平方，据此求解即可． 【详解】（1）解：按照图1的截法可知有7个顶点， 按照图2的截法可知有8个顶点， 按照图3的截法可知有9个顶点， 按照图4的截法可知有10个顶点， 综上所述，一个正方体，用刀沿一个平面截去一个角后，所得的几何体有7个或8个或9个或10个顶点； （2）解：平方厘米； 平方厘米； 平方厘米； 平方厘米； （3）解：； ； ； ； ……， 以此类推可知，； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $