专题4.3用一元一次方程解决问题(14大题型+典题专练) 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

专题4.3用一元一次方程解决问题 题型梳理 [题型1一元一次方程应用之配套问题] [题型2一元一次方程应用之工程问题] [题型3一元一次方程应用之销售问题] [题型4一元一次方程应用之比赛积分问题] [题型5一元一次方程应用之方案选择问题] [题型6一元一次方程应用之数学问题] [题型7一元一次方程应用之几何问题] [题型8一元一次方程应用之动点问题] [题型9一元一次方程应用之和差积分问题] [题型10一元一次方程应用之水电费问题] [题型11一元一次方程应用之行程问题] [题型12一元一次方程应用之日历问题] [题型13一元一次方程应用之古代问题] [题型14一元一次方程应用之其他问题] 一、核心知识点梳理 1. 定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1，等号两边都是整式的方程，形式为：ax+b=0（a≠0，a、b为常数）。 2. 解题核心思想 建模思想：将实际问题转化为数学方程，通过求解方程得到实际问题的答案。 步骤 具体操作 注意事项 1. 审 审题，明确题目中的已知量、未知量及数量关系 找出 “关键词”（如多、少、倍、几分之几、相遇、配套等） 2. 设 设未知数（直接设元或间接设元） 直接设元：问什么设什么；间接设元：设中间量更简便 3. 列 根据数量关系列一元一次方程 用含未知数的式子表示相关量，确保等式两边意义一致 4. 解 解一元一次方程 遵循等式性质，步骤规范（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1） 5. 验 检验解的正确性和实际意义 既要满足方程，也要符合实际场景（如人数、长度不能为负数） 6. 答 写出完整的答语 对应题目问题，语言简洁明了 二、常见题型分类（按知识点 + 难度梯度） （一）基础题（难度★☆☆）—— 直接套用数量关系 题型 1：和差倍分问题 核心关系：A=B±n（和差）；A=k⋅B（倍分）（n为常数，k为倍数） .题型 2：数字问题 核心关系： 两位数：10×十位数字个位数字 三位数：100×百位数字十10×位数字个位数字 题型 3：行程问题（基础相遇 / 追及） 核心公式：路程 = 速度 × 时间（s=vt） 相遇问题：s甲+s乙=总路程 追及问题：s快-s慢=初始距离 (二）中档题（难度★★☆）—— 需分析复杂数量关系 题型 4：工程问题 核心关系： 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 合作效率 = 各部分效率之和 总工作量 = 已完成工作量 + 未完成工作量（通常设总工作量为 1） 题型 5：利润折扣问题 核心公式： 利润 = 售价 - 进价（成本） 利润率 = ×100% 折扣价 = 标价 × 折扣率 题型 6：浓度问题（基础稀释 / 浓缩） 核心关系：溶质质量 = 溶液质量 × 浓度（浓度 =×100%） 题型 7：行程问题（分段行驶 / 相遇追及综合） 解题关键：注意 “先出发”“中途休息” 等隐含条件，分段分析路程。 题型 8：配套问题 核心关系：两种部件的数量比 = 配套比例（如 1 个零件配 2 个螺丝，则零件数：螺丝数 = 1:2） 题型 9：分段计费问题. 核心关系：总费用 = 各段费用之和（不同区间收费标准不同） 三、重难点提炼 1. 重点 掌握一元一次方程的建模过程（审、设、列、解、验、答）。 能准确分析和差倍分、行程、工程、利润等问题的数量关系，列出方程。 2. 难点 间接设元的选择（当直接设元导致方程复杂时，需设中间量）。 隐含条件的挖掘（如配套问题中的比例关系、分段计费的区间判断）。 解的实际意义检验（排除不符合实际的解，如负数、小数在整数场景中的应用）。 四、易错点警示 1.设未知数时未带单位，或方程中单位不统一。 2.列方程时等式两边意义不一致（如左边是 “路程”，右边是 “速度”）。 3.解方程时步骤错误（如移项未变号、去分母时漏乘常数项）。 4.忽略验根步骤，导致解不符合实际场景（如人数为小数、时间为负数）。 （练习题） [题型1一元一次方程应用之配套问题] 1．建水某紫陶坊有7名工人，每人每天可以制作茶壶8个或茶杯24个，1个茶壶和4个茶杯配成一套．为使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，设有名工人制作茶壶，余下工人制作茶杯，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设有名工人制作茶壶，则制作茶杯的工人为名．每天制作的茶壶数量为个，茶杯数量为个．根据配套要求，1个茶壶需配4个茶杯，故茶杯数量应为茶壶数量的4倍，可得出关于x的一元一次方程，即可得出结论． 【详解】解：设有名工人制作茶壶，则制作茶杯的工人为名． 每天制作的茶壶数量为个，茶杯数量为个． 根据配套要求，1个茶壶需配4个茶杯，故茶杯数量应为茶壶数量的4倍，即： 解得：． 故选D． 2．某车间有工人名，生产一种有一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，如果你是这个车间的主任，你应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产的螺栓和螺母刚好配套？若设人生产螺栓，则所列方程正确的是（    ） A．） B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握根据配套关系列方程的方法是解题的关键．根据题意可知人生产螺栓，则有人生产螺母，然后根据螺栓总数螺母总数，即可列出相应的方程． 【详解】解：设人生产螺栓，则有人生产螺母， ， 故选：A． 3．学校需要定制一批3条腿的桌子．已知某工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿．为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则生产桌面的工人应安排（   ） A．18名 B．21名 C．20名 D．16名 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键． 设需要安排名工人生产桌面，则安排名工人生产桌腿，再根据1个桌面配3条桌腿列出方程即可． 【详解】解：设需要安排名工人生产桌面，则安排名工人生产桌腿，根据题意得： 解得： 答：需要安排名工人生产桌面． 故选：． 4．一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用钢材能做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，恰好配成若干套仪器，则下列说法正确的是（   ） A．用钢材做B部件 B．用做A部件 C．配成仪器480套 D．配成仪器160套 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意、设出未知数、找出合适的等量关系、列方程是解题的关键．设用钢材做A部件，钢材做B部件，再根据等量关系“共有钢材”和“一个A部件和三个B部件刚好配成套”列方程求解即可． 【详解】解：设用钢材做A部件，钢材做B部件， 由题意得，， 解得， ∴， 刚好配成：（套）． 答：用钢材做A部件，钢材做B部件，配成仪器160套． 故选：D． 5．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个等边三角形底面组成，硬纸板以如图所示的方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面，现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法，则有以下说法：①裁剪出的侧面的个数为个；②裁剪出的底面个数为个；③若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，最多可以做的盒子个数为30个．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】由x张用A方法，就有张用B方法，皆可以分别表示出侧面个数和底面个数，再构建方程求出x，可得结论． 【详解】由题意得，裁剪出的侧面的个数为个， 底面的个数为个 故①②正确； 解得 故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决实际问题的运用、解一元一次方程、列代数式，找到等量关系列出方程是解题的关键． [题型2一元一次方程应用之工程问题] 6．一件工作，师傅单独做要15小时完成，现在师徒合作4小时完成了，余下的工作，由徒弟去做，徒弟还需要 小时完成． 【答案】18 【分析】本题考查了工程问题．熟练掌握工作总量与工作效率和工作时间的关系，列式或列方程计算是解题的关键． 师傅的工作效率为，师傅与徒弟的工作效率和为，则徒弟的工作效率为，根据剩下的工作量为 ，列式即可解答；或设徒弟还需要x小时完成，得，解方程即可． 【详解】解：算术法： （小时）． 答：还需要18小时完成． 故答案为：18 代数法： 解：设徒弟还需要x小时完成， ， 解得，． 答：还需要18小时完成． 故答案为：18 7．某件工程甲独做需7天完成，乙独做需11天完成．现甲和乙合作共同完成此项工程．中途乙因病少做了4天，若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设完成此项工程共需天，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】解：设完成此项工程共需天，根据题意得： ． 故选：C 8．灌满一个水池，只打开 A 管要 8 小时，只打开 B 管要 10 小时，只打开 C 管要 15 小时，开始时只打开 A 管和 B 管，中途关掉 A、B 两管，然后打开 C 管，前后共用了 10 小时 15 分钟， 那么 C 管打开了 小时． 【答案】 【分析】本题考查了工程问题的基本计算，解题的关键是将灌满水池的工作总量看作单位“1”，先求出A、B、C三管各自的工作效率，再通过设C管打开时间为未知数，利用“A、B两管工作总量C管工作总量”列方程求解． 先统一时间（10小时15分钟小时），再列方程求解． 【详解】解：小时分钟小时． A管效率，B管效率，C管效率； A、B同时开的效率和．   设C管打开了x小时， 根据题意得：， 化简得：， 解得．   故答案为：． 9．某项工作由甲、乙两人单独做分别需要和．如果让甲、乙两人一起工作，再由乙单独完成剩余部分，一共需要多长时间？以下四种做法正确的是（   ） A．设一共需要完工，根据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”得 B．设一共需要完工，根据相等关系“甲的工作量+乙的工作量”得 C．设乙单独工作h，根据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”得 D．设乙单独工作，根据相等关系“甲的工作量乙的工作量”得 【答案】C 【分析】本题考查了列方程解应用题得实际问题，准确找出等量关系列出一元一次方程是解题的关键；先分别求出甲、乙的工作效率，再根据不同的设未知数方式，结合工作总量工作时间工作效率来分析各个选项． 【详解】解：A．设一共需要完工，表示甲1小时的工作量，表示乙1小时的工作量，因为甲只工作了1小时，根据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”，得，此选项列方程错误，不符合题意； B．设一共需要完工，甲工作了1小时，甲的工作效率是，所以甲的工作量是；乙工作了x小时，乙的工作效率是，所以乙的工作量是． 根据相等关系“甲的工作量+乙的工作量”，得：，此选项列方程错误，不符合题意； C．设乙单独工作h， 表示甲、乙一起工作1小时的工作量，表示乙单独工作x小时的工作量，根据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”， 得，此选项列方程正确，符合题意； D．设乙单独工作，甲工作了1小时，甲的工作量是；乙一共工作了 小时，乙的工作量是．根据相等关系“甲的工作量乙的工作量”得，可得，此选项列方程错误，不符合题意． 故选：C． 10．整理一批数据，由一个人做要40小时完成，计划安排5人完成此项工作，在工作一段时间后需提前按完成任务，因此增加了3人和他们一起又做了30分钟，完成这项任务．假设这些人的工作效率相同，设实际完成这项工作花了x小时，可列方程为（　　） A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 【答案】B 【分析】根据题意找出等量关系式列式即可． 【详解】解：设实际完成这项工作花了x小时， 依题意，得：， 即． 故选：B． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系式列出方程． [题型3一元一次方程应用之销售问题] 11．一家商店某种裤子按成本价提高50%后标价，又以八折优惠卖出，结果每条裤子获利10元，则这条裤子的成本是（    ）元 A．30 B．20 C．25 D．50 【答案】D 【分析】本题为一元一次方程的应用-销售利润问题，设这条裤子的成本是x元，根据“实际售价-销售成本=利润”列方程，解方程即可﹒ 【详解】解：设这条裤子的成本是x元， 由题意得, 解得 答：这条裤子的成本是50元﹒ 故选：D 12．一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？解：如果设每件服装的成本价为元，那么每件服装的标价为 元，每件服装的实际售价为 元，每件服装的利润为 元． 由此列出方程 ，解得 ． 因此每件服装的成本价是 元． 列方程解应用题的关键： ． 【答案】 125 125 找出题目中的等量关系 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意可得每件衣服的标价、售价、利润关于x的代数式，根据售价-成本价=利润列出方程求解即可． 【详解】解：设每件服装的成本价为x元，那么每件服装的标价为，每件服装的实际售价为，每件服装的利润为，根据题意得： 解方程，得； 因此每件服装的成本价是125元． 列方程解应用题的关键：找出题中的等量关系． 故答案为：；；； ；125；125；找出题中的等量关系． 13．商店以80元一件的价格购进一批衬衫，并以的利润率出售，过了一段时间发现还剩下150件，于是打九折出售，又过了一段时间发现一共卖掉了总量的，于是将最后几件按进货价出售，最后商店共获利2300元，则商店一共进了（   ）件衬衫． A．180 B．200 C．240 D．300 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设商店一共进了x件衬衫，则第一次卖出去，则二次售出件，根据商店一共获利2300元列出一元一次方程求解即可得出答案． 【详解】解：， 设商店一共进了x件衬衫，则第一次卖出去，则第二次售出件， 根据题意可知： ， 整理得：， 解得：， 答：商店一共进了200件衬衫． 故选：B 14．某商场对顾客实行优惠，规定如下： ①一次购买不超过元，不予折扣；②一次购物超过元但不超过元，按标价给予九折优惠；③一次购物超过元的，其中元按第②条给予优惠，超过元的部分则给予八折优惠． 王叔叔第一次购物付了元，第二次购物付了元，如果他将两次所购物品一次购买，那么可比两次分别购买省 元． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，运用分类讨论思想确定所付金额是优惠前还是优惠后，并找出等量关系列出正确方程是解题的关键． 先判断出王叔叔第一次购物优惠前超过元，第二次购物需要分优惠前不超过元和优惠前超过元两种情况讨论，再根据等量关系列方程，求出两次购物优惠前的金额，即可求解． 【详解】解：∵（元），， ∴王叔叔第一次购物优惠前超过元， 设王叔叔第一次购物优惠前为x元，则： ， 解得， ∵（元），， ∴王叔叔第二次购物可能有优惠，也可能没有优惠， ①当王叔叔第二次购物有优惠， 设王叔叔第二次购物优惠前为y元，则： ， 解得， ∴两次所购物品一次购买应实际付款为：（元）， ∴节省的费用为：（元）， ②当王叔叔第二次购物没有优惠， 则两次所购物品一次购买应实际付款为：（元）， ∴节省的费用为：（元）， 综上：王叔叔将两次所购物品一次购买可比两次分别购买省或元． 故答案为：或． ..15．春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为元、元和元．已知销售每束“眷恋”的利润率为，每束“永恒”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查利润、进价与利率关系，利用等式的基本性质求解未知数之间的等量关系，先根据三种花束的利润之和除以三种花束的进价之和等式，进行整理可得，，，即可求得，，进而可得答案．掌握利润、进价与利润率关系，列出等式是解决问题的关键． 【详解】解：三种花束的每一束成本分别为元、元和元， 则三种花束的每一束利润分别为，，， 当售出的三种花束数量之比为时，三种花束的数量分别为，，， 根据题意得：， 整理得：， 当售出的三种花束数量之比为时，三种花束的数量分别为，，， 根据题意：， 整理得：，则：， 将代入得：，则：， ∴， 故选：A． [题型4一元一次方程应用之比赛积分问题] 16．一张试卷有25道题，做对1道得4分，做错1道倒扣1分．小李做了所有题，共得70分，他做对的题目数量是（    ） A．17道 B．18道 C．19道 D．20道 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 设他做对了道题，根据得分规则列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设他做对了道题，那么他做错了道题， 根据题意得：， 解得：， 则他做对了道题． 故选：C． 17．足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（   ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是要掌握胜的场数平的场数负的场数总得分． 设共胜了场，本题的等量关系为：胜的场数平的场数负的场数总得分，解方程即可得出答案． 【详解】解：设共胜了场，则平了场， 由题意得：， 解得：，即这个队胜了5场． 故选：C． 18．某试卷由26道题组成，答对一题得8分，答错一题倒扣5分．有一位同学虽然做了全部的26道题，但所得总分为零，假设他答对了题，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设他做对了x道题，题中有等量关系：得分-扣分=0，据此可得关于x的方程． 【详解】设他做对了x道题，则他做错了道题， ∵答对一题得8分，答错一题倒扣5分，总分为零， ∴ 故答案为：． 19．某次篮球比赛计分规则为：胜一场积2分，负一场积1分，没有平场，八一队在篮球联赛共14场比赛中积23分，那么八一队胜了 场． 【答案】9 【分析】设八一队胜了场，则负了场，根据八一队在篮球联赛共14场比赛中积23分列方程，即可求解． 【详解】解：设八一队胜了场， 由题意得：， 解得：， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 20．某校文艺部招聘主持人，有甲、乙、丙三名同学参加，学校设置了五轮比赛，规定：每一轮比赛分别决出第一、二、三名（不并列），对应名次的得分分别为（且均为正整数）．三名同学最后得分为五轮比赛得分之和，得分最高者中选，下表是三名同学在五轮比赛中的部分得分情况如下： 一轮 二轮 三轮 四轮 五轮 总分 甲 9 乙 22 丙 9 则的值为 ，三名同学在五轮比赛中 获得的第二名最多． 【答案】 5 甲 【分析】本题考查了不定方程在实际问题中的应用．合理假设是解题关键．根据“每轮分别决出第一二三名（不并列）”及“乙的得分最高为”可计算出的值．假设甲有一轮获得第一，分析三人的实际得分情况即可求解． 【详解】解： 每轮分别决出第一二三名（不并列）， ， ， 乙的得分最高为， ，均为正整数， ， ，均为正整数， 的最小值分别为， ， ，，， ， 乙4轮得第一，1轮得第二， 设甲有一轮得第一，则甲的得分至少， 与甲的实际得分不符合 故甲没有一轮得第一，丙有一轮得第一， ，即丙剩下的三轮总分为3分， 剩下的三轮丙只能是3轮都是第三， 丙1轮得第一，4轮得第三， 又 乙4轮得第一，1轮得第二，三人第一、第二和第三的总数都是5， 甲4轮得第二，1轮得第三，即甲获得的第二名最多． 故答案为：5，甲． [题型5一元一次方程应用之方案选择问题] 21．某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买x本图书，两种方案费用相等时x的值为：（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系并列出一元一次方程是解题的关键． 通过列代数式，表示出两种方案的费用，当两种费用相等时，解方程求出x即可． 【详解】解：设购买x本图书时方案和方案费用相等， 方案费用：元， 方案费用：元， ， ， ， ． 当时，两种方案费用相等． 故选：C． 22．下表是某地移动公司推出的两种话费收费方式： 收费方式 方式一 方式二 月租费 元/月 本地通话费 元/分 元/分 当本地通话 分钟时，两种收费方式一样；当通话时间为分钟时，选择 比较合算． 【答案】 方式一 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式以及求代数式的值，根据题意建立一元一次方程是解答本题的关键； 【详解】解：设本地通话为分钟，方式一每月收费元，方式二每月收费元； 两种收费方式一样时，， 解得， 当时，，， 因此选择方式一比较合算． 故答案为：；方式一． 23．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 通过建立方程比较两种付费方式在不同条件下的总费用或次数，逐一验证各结论的正确性即可． 【详解】解：结论①：设方式一的游泳次数为，则总费用为，解得．方式二的次数为．因，结论①错误． 结论②：游泳25次时，方式一总费用为元，方式二为元．因，结论②错误． 结论③：设游泳次数为，由，解得．此时两种方式费用相等，结论③正确． 综上，正确结论仅1个， 故选：B． 24．某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上一律享受八折优惠； 小明在该超市两次购物分别付款60元和288元．若小明把这两次购物改为一次性购物，则应付款 元． 【答案】304或336 【分析】要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过100元，即是60元．第二次就有两种情况，一种是超过100元但不超过350元一律9折；一种是购物不低于350元一律8折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数． 【详解】解：第一次购物显然没有超过100元，即在第一次消费60元的情况下，他的实质购物价值只能是60元． 第二次购物消费288元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同）： 第一种情况：他消费超过100元但不足350元，这时候他是按照9折付款的． 设第二次实质购物价值为x元，那么依题意有：，解得：． 第二种情况：他消费不低于350元，这时候他是按照8折付款的． 设第二次实质购物价值为a元，那么依题意有：，解得：． 即在第二次消费288元的情况下，他的实际购物价值可能是320元或360元． 综上所述，他两次购物的实质价值为或，均超过了350元．因此均可以按照8折付款：（元），（元）． 故答案为:304或336． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，解题关键是第二次购物的288元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种． 25．梦洁和嘉丽是邻居，星期天他们两家人准备去郊外的农家乐游玩，早上两家人同时乘坐了两辆不同价格的出租车，梦洁家乘坐的是起步4公里8元，以后每公里收1.2元，嘉丽家乘坐的是起步3公里6元，以后每公里收1.3元，两家人几乎同时到达农家乐，付款后梦洁发现两家人的车费仅差1.5元．则两家住地离公园的路程为 公里． 【答案】26 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，利用方程的知识解答． 根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得两家住地离公园的路程，注意路程为正数． 【详解】解：设两家住地离公园的路程为x公里， 由题意得：或， 解得：或， ∵x为正数， ∴， 故答案为：26． [题型6一元一次方程应用之数学问题] 26．一个两位数，十位上的数字是个位上的，把十位上数字与个位上数字调换后，新数比原数大18，则原数个位数字和十位数字之和是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系并列出方程即可求解． 设原数个位数字为，则十位数字为，根据新数比原数大18列方程求解． 【详解】解：设原数个位数字为，则十位数字为， 由题意得：，解得：． 十位数字为， 故数字之和为． 故答案为：10． 27．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则图中m的值为（    ）． A．2 B．4 C．7 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设正中间的数为x，根据每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等列出方程求解即可． 【详解】解：设正中间的数为x， 则， 解得， ∴， 解得． 故选：A． 28．小李同学学习幻方后，自己设计了一个新的“幻方”，他将这九个数填入的格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的积都相等，如图是他填写了一部分的“幻方”，则的值是 ；的值是 ． 16 32 【答案】 2 4 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的积都相等，可得，进一步得到，，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图， 依题意有， 解得， 由题意可得，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， 则． 故答案为：，． 29．下表12个方格中，每个方格内都有一个数，若任意相邻三个数的和都是21，则的值是（   ） 11 A B C D E F G H P A．13 B．15 C．18 D．21 【答案】B 【分析】利用任意相邻三个数的和都是21的条件，列出等式，通过比较相邻等式消去未知数，逐步推导出x的值． 【详解】解：设各位置的值分别为11， A， B， C， D， E， F， x， G， H， P，． ∵任意相邻三个数的和都是21， ∴ 有以下等式： 位置∶ 位置∶ 位置∶ 位置∶ 位置∶ 位置∶ 位置∶ 位置∶ 位置∶ 位置∶ 由位置∶ ，即 由位置∶，代入，可得出，即 由位置∶ ，代入可得出，即可得 由位置∶，代入可得出，即可得 由位置∶，代入可得出，解得 由位置∶，代入可得出 ，即可得 由位置∶，代入 可得出 ，可得出 由位置∶，代入 可得出 ，解得 由位置∶，代入可得出 ，即可得 由位置∶，代入 可得出 ，即可得，解得 代入 可得出 ，解得 由位置∶ ，代入， 可得出 ，即可得，解得 由位置∶ ，代入， ，可得出，则有 ，解得 由 ，可得出 ，解得 ∴ x的值为15， 故选B． 30．将连续的奇数1，3，5，7，9，…，按如图所示方式排列．图中的7字框框住了四个数，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是（   ） A．22 B．70 C．182 D．206 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及规律型，设T字框内处于左上方的数为，则框内各数分别为，，，所以T字框内四个数的和为，逐一代入建立方程求解即可判断． 【详解】解：设T字框内处于左上方的数为，则框内各数分别为，，， ∴T字框内四个数的和为． 令框住的四个数的和为22，则，解得，故选项A不符合题意； 令框住的四个数的和为70，则，解得，故选项B不符合题意； 令框住的四个数的和为182，则，解得，故选项C不符合题意； 令框住的四个数的和为206，则，解得，此时框不住完整的四个数，故选项D符合题意； 故选：D． [题型7一元一次方程应用之几何问题] 31．一个长方形的长减少，宽增加后，面积保持不变，已知这个长方形的长为，则它的宽为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，设长方形的宽为，根据长减少、宽增加后，面积保持不变，列出方程求解。 【详解】解：设宽为，则原面积为，新面积为．根据题意，得方程， 展开右边：， 移项：， 即， 解得， 即它的宽为． 故答案为：4． 32．如图是一枚长方形庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其周长是260，长和宽的比为．问这枚纪念币的长和宽?设这枚纪念币的长为，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据这枚纪念币的长为，得到宽为，再结合“其周长是”建立方程，即可解题． 【详解】解：因为长方形纪念币长和宽的比为， 设这枚纪念币的长为，则宽为， 因为其周长是， 可列方程为； 故选：A． 33．如图中长方形的周长是，圆的半径是( )． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形周长公式以及圆与长方形的关系，熟练掌握长方形周长公式是解题的关键．从图中可知长方形的长是圆直径的倍，宽等于圆的直径，设圆的半径为，则直径为，长方形的长为，宽为，再根据长方形周长公式列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为，则圆的直径为，长方形的长为，宽为．则 ， ， ， ， 故答案为：． 34．如图，把两个大小相同的长方形拼在一起，再把上面一个长方形平均分成2份，把下面一个长方形平均分成3份，若图中阴影部分的面积为，则整个图形的面积为 ． 【答案】9 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．先设下面长方形每份的面积为未知数，根据两个长方形面积相同及阴影部分面积列出方程，求解后计算整个图形的面积． 【详解】解：设下面长方形每份为，则下面长方形面积为，则上面长方形面积也为， 由于把上面一个长方形平均分成2份，则上面长方形每份为， 由题意得， 解得， 则整个图形的面积为． 故答案为：9． 35．有一张正六边形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……如此下去，若最后得到100张纸片，其中有15张五边形纸片，30张三角形纸片，50张四边形纸片，4张7边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为（    ） A．4 B．7 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：图形的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键， 根据纸片的剪法，可知每剪一次增加4条边、增加1张多边形纸片，进而可得出从1张到100张共剪了次，再根据剪完后的总边数固定，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设还有一张多边形纸片的边数为x， 根据题意得：， 解得：， ∴还有一张多边形纸片的边数为9． 故选：C． [题型8一元一次方程应用之动点问题] 36．如图所示，的边上有一动点P从距离O点的点M处出发，沿M→O→B方向运动，速度为；动点Q从O点出发，沿射线运动，速度为．P，Q同时出发，设运动时间是t（s），当点P追上点Q时t的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用．由题意可知点P在上，根据题意可列出关于t的等式，解出t即可． 【详解】解：根据题意可知点P在上，则点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴， 解得：． 故当t的值为6时，点P追上点Q． 故选：C． 37．电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是30，则电子跳蚤的初始位置点所表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解决此题的关键是读懂题意列出方程；先根据题意设出起始点表示的数为a，根据向左减去，向右加上列出方程算出答案即可； 【详解】解：设电子跳蚤的初始位置点所表示的数为a， 则：， ， ， ∴， ∴电子跳蚤的初始位置点所表示的数为； 故答案为：． 38．已知在数轴上点A、点B所表示的数分别是和5，蚂蚁甲、乙分别从点A、点B处同时出发向数轴正方向运动，甲的速度为每秒3个单位长度，乙的速度为每秒2个单位长度．当蚂蚁乙到达点C处时，如果此时蚂蚁甲与蚂蚁乙相距4个单位长度，那么点C到原点的距离是 ． 【答案】31或47/47或31 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是根据题意设未知数列方程求解．设运动时间为秒，由题意得，，或，解得的值，可得点到原点的距离． 【详解】解：设运动时间为秒， 由题意得，或， 解得：或， ∴点到原点的距离为47或31， 故答案为：47或31． 39．对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据点恰好是点，的“2倍点”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 根据题意得：或， 解得：或， 的值为或1． 故选：D． 40．如图，、、、为直线上的个动点，其中，．在直线上，线段以每秒个单位的速度向左运动，同时线段以每秒个单位的速度向右运动，则运动 秒时，点到点的距离与点到点的距离相等． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的和差，一元一次方程. 设运动时间为t，分当C和F都在线段上时，当C在线段上，F在的延长线上时，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t， 当C和F都在线段上时， 由题意得：， 解得； 当C在线段上，F在的延长线上时， 由题意得， 解得 故答案为：或． [题型9一元一次方程应用之和差积分问题] 41．为美化校园环境，践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，礼嘉中学初一年级某班积极响应学校劳动教育课程要求，在劳动实践基地开展植树活动．活动开始前，班长负责统计树苗需求，他发现若每人植2棵树，则树苗余下21棵；若每人植3棵树，则树苗还差24棵．设该班有x名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据树苗总数不变，分别列出两种情况下树苗总数的表达式，并令其相等． 【详解】解：每人植2棵树，树苗余下21棵，即共棵树苗， ∵每人植3棵树，树苗还差24棵，即共棵树苗， ∴． 故选：A． 42．沪苏通长江公铁大桥南起苏州市张家港市、北至南通市通州区，大桥全长千米，比南京长江大桥公路桥的2倍还多1894米．南京长江大桥公路桥长 米． 【答案】 【分析】本题考查了列方程解实际问题． 将沪苏通长江公铁大桥的长度千米换算成11072米，设南京长江大桥公路桥长度为x米，根据题意列出方程，解方程求出x． 【详解】解：千米米 设南京长江大桥公路桥长为x米， 根据题意得： 移项得： 计算得： 两边同时除以2得： 计算得： 故答案为：． 43．大小两数之和为，大数的倍与小数的2倍之和是16，那么大数是 ． 【答案】 【分析】本题考查列一元一次方程解决问题，设大数为，根据大小两数之和为得小数为，再根据大数的倍与小数的2倍之和是16列出方程进行求解即可． 【详解】解：设大数为，则小数为， 由题意得， 解得． 故答案为：． 44．妈妈买了一盒牛奶．妈妈和爸爸在早餐时喝了一半，明明喝了剩余部分的，这时还剩下，则这盒牛奶原来有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 设原来牛奶量为，根据题意逐步计算剩余量，最后利用剩余建立方程求解． 【详解】解：设原来牛奶量为， ∵妈妈和爸爸喝了一半， ∴剩余量为， ∵明明喝了剩余部分的， ∴明明喝了， ∴此时剩余量为， ∵剩余， ∴， ∴， 故原来牛奶量为． 故选：A． 45．过完清明小长假后即将迎来“五一”劳动节，劳动使人快乐，艾霸舒同学决定让自己劳动起来，思来想去发现刷数学题是一种劳逸结合的劳动方式，于是针对自己的短板决定五一节前刷满足够的题．艾霸舒同学准备刷几何证明、二次函数、阅读理解三种题型：第一次刷题时几何题和二次函数平均每道题得分分别为3分和5分，且几何题和二次函数题得分占总得分的，几何证明题和阅读理解题得分占总得分的；第二次刷题，艾霸舒发现自己每道题得分情况都增长了，其中几何题和阅读理解每道题平均得分提高了x%，二次函数题每道题平均得分提高50%，第二次刷题时几何证明、二次函数、阅读理解的数量分别是第一次的2倍、1.2倍、1倍，且刷题总分比第一次刷题时提升了40%，则x＝ ． 【答案】6 【分析】设第一次刷几何题、二次函数、阅读题的题量依次为a，b，c，求出第一次刷题时阅读题的得分，再依据第二次刷题的题量与得分列出方程求解即可． 【详解】解：设第一次刷几何题、二次函数、阅读题的题量依次为a，b，c，第一次阅读题平均每题得y分，得分为n分， ∵几何题的得分+二次函数的得分=总得分的 几何题的得分+阅读题的得分=总得分的 ∴ ∴ 又 ∴ ∴ 第二次刷题几何题、二次函数、阅读题的题量依次为：2a，1.2b，c，几何题每道得分，二次函数每道得分，阅读题每道得分，根据题意得， 把代入上式，整理得， 解得， ∴ 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程解应用题，本题阅读量大，数量关系复杂，弄清数量关系并找到等关系是解答此题的关键． [题型10一元一次方程应用之水电费问题] 46．收费标准如下：用水每月不超过，按0.8元收费，如果超过，超过部分按1.2元收费．已知某用户某月交水费6元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，该用户这个月用水超过，设这个月用水，列方程求解即可． 【详解】解：（元）元， ∴该用户这个月用水超过， 设这个月用水， 则， 解得：， 即该用户这个月用水． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答． 47．某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设他家这个月共用天然气，先计算出用天然气的费用是150元，可知他家这个月用天然气超过，超过的部分所需费用为元，根据题意列出方程，解方程求出x的值即可． 【详解】解：设他家这个月共用天然气， （元），且， 他家这个月用天然气超过， 根据题意得：， 解得， 答：他家这个月共用天然气， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识与方法，解决本题的关键是正确地用代数式表示用天然气超过部分所需的费用． 48．某地居民每月用水收费标准如图：李阿姨家11月份用水5立方米，交水费16元．若李阿姨12月份交水费39.6元，则李阿姨12月份的用水量是 立方米 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 【答案】12 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．根据李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，可知，根据李阿姨12月份交水费38.8元，可知李阿姨12月份用水量大于10立方米，设李阿姨家12月份用水量为立方米，列出方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：因为李阿姨家11月份用水5立方米，交水费16元， 所以， 解得， ∴李阿姨家12月份用水量大于10立方米， 设李阿姨家12月份用水量为立方米， 则， 解得， 所以李阿姨家12月份用水量是12立方米． 故答案为：12． 49．随着通讯市场的竞争日益激烈，某通讯公司的收费标准按原标准每分钟降低了a元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为 元． 【答案】 【分析】设原收费标准每分钟为x元，则根据题意找到等量关系，列出等式(x−a)(1−25%)=b，解此方程即可． 【详解】解：设原收费标准每分钟为x元， 由题意得，(x−a)(1−25%)=b， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据实际问题列代数式，列代数式实质是实现从基本数量关系的语言表述到代数式的一种转化，列代数式时，可以借助方程，设出未知数，列出等式，从而表达出所求代数式． 50．某市居民用电电费目前实行梯度价格表： 用电量（单位：千瓦⋅时，统计为整数） 单价（单位：元） 及以内 （含） 及以上 若居民童大爷家、月份共用电千瓦⋅时（其中月份用电量少于月份），共交电费元，则童大爷家月份的用电量为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．根据题意分情况列一元一次方程是解题的关键． 设月份的用电量为千瓦⋅时，则月份的用电量为千瓦⋅时，由题意知，，解得，，分①当时，②当时，③当时，三种情况列方程计算求解即可． 【详解】解：设月份的用电量为千瓦⋅时，则月份的用电量为千瓦⋅时， 由题意知，，解得，， ①当时， 依题意得，， 解得：， ∴月份的用电量为千瓦⋅时； ②当时， 依题意得，， 解得：，不合题意，舍去； ③当时， 依题意得，， 方程无解； 综上所述，月份的用电量为千瓦⋅时； 故答案为：． [题型11一元一次方程应用之行程问题] 51．一列火车长 160 米，每秒行 20 米，全车通过 440 米的大桥，需要（    ）秒． A．8 B．22 C．30 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设需要x秒，利用路程=速度×时间，结合路程为火车与大桥的长度之和，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设需要x秒， 根据题意得：， 解得：， ∴需要30秒． 故选：C． 52．小明参加1000米比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米/秒的速度跑完了剩余的路程，一共用时4分钟．求小明以5米/秒的速度跑了多少米？设小明以5米/秒的速度跑了x米，根据题意可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次方程，设以5米/秒的速度跑了米，则以4米/秒的速度跑了米，根据速度、路程和时间的关系，分别求出两段路程所用时间，总时间为4分钟（即240秒），列出方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设以5米/秒的速度跑了米，则以4米/秒的速度跑了米， ∴两段路程的时间分别为秒和秒， ∵总时间为4分钟（即240秒）， ∴方程为， 故答案为：． 53．小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米 分钟能追上． 【答案】45 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系． 设小明每小时走千米，根据题意可得，解出，再计算出追及距离，根据速度差计算追及时间即可． 【详解】设小明每小时走千米， 可得：， 解得， 追及距离为 (千米)， 汽车去追的话需要（小时）， 小时（分钟）． 故答案为：45． 54．甲、乙两人从A、B两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一路线相向匀速行驶，出发后经3小时两人相遇，已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后经1小时乙到达A地．以下说法不正确的是（   ） A．乙行驶的速度是甲行驶速度的3倍 B．相遇时甲行驶了135千米 C．乙每小时比甲多行驶30千米 D．两地相距180千米 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，熟悉掌握路程的关系式是解题的关键． 利用路程关系试列出方程判断即可． 【详解】解：∵相遇后经1小时乙到达A地， ∴此路程甲一共行驶了3小时， ∴乙行驶的速度是甲行驶速度的3倍，故A正确； 设甲的速度为千米每小时，则乙的速度为千米每小时， 由题意可得：， 解得： ∴，即相遇时甲行驶了千米，故B错误； 乙每小时比甲多行驶：，故C正确； 两地相距：，故D正确； 故选：B． 55．A，B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设两车相距时，行驶的时间为小时，相距要从相遇前和相遇后； 追及前和追及后，快车已到终点几个方面考虑，共计种情况，经计算检验数据是否符合题意． 【详解】解：设两车相距时，行驶的时间为小时，依题意得： 当快车从地开往地，慢车从地开往地，两车相距时， 则有：，解得； ②当快车继续开往地，慢车继续开往地，相遇后背离而行，两车相距时，，解得 ； ③快车从地到地全程需要(小时)，此时慢车从地到地行驶， ， ∴快车又从地返回地是追慢车，则有：， 解得 ； ④快车追上慢车后并超过慢车相距时，则有，解得 ； ⑤快车返回地终点所需时间是小时，此刻慢车行驶了 ，距终点还需行驶，则有：，解得 ； 综上所述，两车恰好相距的次数为次． 故选：B． [题型12一元一次方程应用之日历问题] 56．如图，吉姆同学在某月的月历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么这四个数是 ． 某月有个星期日，它们的日期之和是，则这个月中最后一个星期日是 号． 【答案】 ，，， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设正方形的方框内的四个数分别为，，，，根据题意列出方程求出可得出这四个数；设个星期日对应的数分别为，，，，，根据题意列出方程求出进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设正方形的方框内的四个数分别为，，，， 由题意得，， 解得， ∴四个数分别为，，，， 设个星期日对应的数分别为，，，，， 由题意得，， 解得， ∴， ∴这个月中最后一个星期日是号， 故答案为：，，，；． 57．小王在某月的日历上圈出了如图所示的四个数a、b、c、d，已知这四个数的和等于34，则a等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，用含a的代数式表示出b，c，d的值，将四个数相加可得出，由a为正整数结合四个选项即可得出结论． 【详解】解：依题意，可知：，，， ∴，即． 解得， 故选：C． 58．如图，在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期之和不可能是（   ） A．24 B．45 C．60 D．81 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设最上面那行的数字为x，则剩下两个数字分别为，则这三个日期之和为，再令分别等于四个选项中的数，解方程求出x的值，看x的值是否符合日历的特点即可得到答案． 【详解】解：设最上面那行的数字为x，则剩下两个数字分别为， ∴这三个日期之和为， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； ∴由日历的特点可知或或时都符合题意，当时，，不符合日历的特点，不符合题意， 故选：D． 59．如图是2025年元月的日历，用图1中的“工”型图案盖住图2中的7个数，若“工”型图案盖住的7个数的和为154，则“工”型图案最中间的数为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设“工”型图案最中间的数为x，则另外几个数为， ， ， ， ，，根据“工”型图案盖住的7个数的和为154，列方程求解即可． 【详解】解：设“工”型图案最中间的数为x，则另外几个数为， ， ， ， ，， 根据题意，得， 即， 解得， 故答案为：22． 60．如图为2025年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为，中间位置上的数记为．下列所给的数据中，可能是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查日历中数字的规律以及一元二次方程的求解． 解题的关键在于找出日历中正方形方框内最小数、最大数与中间数的关系，然后根据已知条件列出方程求解． 【详解】在日历中，同一列相邻两个数相差，同一行相邻两个数相差， 那么最小的数是，最大的数是， 已知最小的数与最大的数的积记为，则， 可得． 选项A：当时，，移项可得，则， 因为日历中的数不是正整数， 所以不符合实际情况，该选项不可能． 选项B：当时，，移项可得，则， 因为日历中的数是正整数，而不是正整数， 所以该选项不可能． 选项C：当时，，移项可得，则， 因为日历中的数是正整数，而不是正整数， 所以该选项不可能． 选项D：当时，，移项可得，则， 因为日历中的数是正整数，而是正整数， 所以该选项可能． 故选：D． [题型13一元一次方程应用之古代问题] 61．鸡兔同笼， 有个头，条腿， 兔的只数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设兔有只，则鸡有只，根据“有条腿”列出一元一次方程，求解即可．正确理解题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】解：设兔有只，则鸡有只， 依题意，得：， 解得：， 则兔的只数是只． 故选：D． 62．《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作．其中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：有若干人共同购买某种物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱，问共有多少人？物品的价格是多少钱？用一元一次方程的知识解答上述问题，设共有x人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一元一次方程的应用，正确理解“盈”和“不足”的含义是关键． 根据物品价格相等列方程即可． 【详解】解：∵每人出8钱，盈3钱， ∴物价为； ∵每人出7钱，不足4钱， ∴物价为． ∴． 故选：A． 63．《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三、问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5枚钱，则差枚钱；每人出7枚钱，则差3枚钱．求羊价是 枚钱． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设买羊的人数为x人，则羊价为枚钱，根据题意列出方程，求出x的值，从而求得答案． 【详解】解：设买羊的人数为x人，则羊价为枚钱， 根据题意得：， 解得：， （枚钱）， ∴羊价为枚钱． 故答案为：． .64．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长8尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，该问题中的竿子长为尺，则绳索长为尺，依题意得，求解即可，掌握一元一次方程的应用是解题的关键． 【详解】解：该问题中的竿子长为尺，则绳索长为尺，依题意得： ， 解得：， ∴该问题中的竿子长为尺， 故答案为：． 65．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方—九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，则的值为（   ） y b a 3 x A．6 B．8 C．-6 D．-8 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 通过幻方中每一行、每一列及对角线上的数字之和相等，建立方程求解出变量值，再代入代数式计算． 【详解】解：∵ 幻方中每一行、每一列及对角线上的数字之和相等， 设公共和为 S． 第二行：， ∴． 第一列：， ∴， 解得； 主对角线：， ∴，即， 第二列：（为第三行第二列未知数）， ∴， 第三行：， ∴， ∴， 第三行：， 第三列：，设第一行第三列的数为， ∴， ∴， ∴另一对角线：， ∴，， ∴，，． ∴． 故选：C． [题型14一元一次方程应用之其他问题] 66．与之间的数量关系如表，若与成反比例关系，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据反比例关系的定义，与的乘积为常数，利用表中已知数据求常数，再代入另一组数据求解．正确理解题意及掌握相关的定义是解题的关键． 【详解】解：∵与成反比例关系， ∴（为常数）． 由表中数据知：当时，， ∴， ∴ 当时，， ∴， 解得：， 故选：C． 67．某校组织学生前往素质教育基地开展研学活动，共有名学生租用了若干辆车，若每辆车坐40人，则还有7人不能上车；若每辆车坐45人，则最后一辆车空了6个座位．则表示租用车辆的代数式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】题目主要考查列代数式，理解题意，列出相应代数式是解题关键． 根据题意，学生总数为 ，租用车辆数为 ，第一种情况：每辆车坐40人，还有7人不能上车，因此 ，可得 ；第二种情况：每辆车坐45人，最后一辆车空了6个座位，因此 ，可得 ；即可求解． 【详解】解：设租用车辆数为 ， ∵ 每辆车坐40人，还有7人不能上车， ∴ ， ∴ ， 又∵ 每辆车坐45人，最后一辆车空了6个座位， ∴ ， ∴ ， 比较选项，A为 ，与第一种情况推导一致， 故选：A． 68．十一黄金周关门山景区，在开门前有人排队等候，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入口每分钟可以进入个游客，如果开放4个入口，分钟后就没有人排队．现在开放6个入口，那么开门 分钟后就没有人排队． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．理解题意建立正确的一元一次方程是解题的关键． 可先求出开门后每分钟来的游客人数，再计算开放6个入口时，没人排队所需的时间． 【详解】解：4个入口分钟进入人数是：（人）， 开门后分钟来的人数是：（人）， 开门后每分钟来的人数是：（人）， 设开6个入口分钟后没有人排队，由题意列方程得：， 解得， 故答案为：． 69．酒精一瓶，第一次倒出又10克，然后倒回25克；第二次再倒出其中的，这时瓶中还剩酒精50克，原来瓶中盛有酒精 克． 【答案】255克 【分析】本题考查了一元一次方程的应用题，找到等量关系是解题关键，根据第二次再倒出其中的，这时瓶中还剩酒精50克，即可列出等式，求解即可. 【详解】解：设来瓶中盛有酒精克， 解得：， 故答案为：255克. 70．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平称物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ） A．大于 B．小于 C．大于或等于 D．小于或等于 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是杠杆原理以及利用作差法比较大小．本题通过设天平两臂长度，利用杠杆原理分别求出两次称得黄金的质量，再通过作差法比较两次称得黄金总质量与的大小，得出顾客实际所得黄金大于． 【详解】解：由于天平的两臂不相等，设天平左臂长为，右臂长为()， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为， 由杠杆的平衡原理：，， 解得，， 则 ， ∵， ∵， ∴， 即， 这样可知称出的黄金质量大于． 故选：A． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3用一元一次方程解决问题 题型梳理 [题型1一元一次方程应用之配套问题] [题型2一元一次方程应用之工程问题] [题型3一元一次方程应用之销售问题] [题型4一元一次方程应用之比赛积分问题] [题型5一元一次方程应用之方案选择问题] [题型6一元一次方程应用之数学问题] [题型7一元一次方程应用之几何问题] [题型8一元一次方程应用之动点问题] [题型9一元一次方程应用之和差积分问题] [题型10一元一次方程应用之水电费问题] [题型11一元一次方程应用之行程问题] [题型12一元一次方程应用之日历问题] [题型13一元一次方程应用之古代问题] [题型14一元一次方程应用之其他问题] 一、核心知识点梳理 1. 定义 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1，等号两边都是整式的方程，形式为：ax+b=0（a≠0，a、b为常数）。 2. 解题核心思想 建模思想：将实际问题转化为数学方程，通过求解方程得到实际问题的答案。 步骤 具体操作 注意事项 1. 审 审题，明确题目中的已知量、未知量及数量关系 找出 “关键词”（如多、少、倍、几分之几、相遇、配套等） 2. 设 设未知数（直接设元或间接设元） 直接设元：问什么设什么；间接设元：设中间量更简便 3. 列 根据数量关系列一元一次方程 用含未知数的式子表示相关量，确保等式两边意义一致 4. 解 解一元一次方程 遵循等式性质，步骤规范（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1） 5. 验 检验解的正确性和实际意义 既要满足方程，也要符合实际场景（如人数、长度不能为负数） 6. 答 写出完整的答语 对应题目问题，语言简洁明了 二、常见题型分类（按知识点 + 难度梯度） （一）基础题（难度★☆☆）—— 直接套用数量关系 题型 1：和差倍分问题 核心关系：A=B±n（和差）；A=k⋅B（倍分）（n为常数，k为倍数） .题型 2：数字问题 核心关系： 两位数：10×十位数字个位数字 三位数：100×百位数字十10×位数字个位数字 题型 3：行程问题（基础相遇 / 追及） 核心公式：路程 = 速度 × 时间（s=vt） 相遇问题：s甲+s乙=总路程 追及问题：s快-s慢=初始距离 (二）中档题（难度★★☆）—— 需分析复杂数量关系 题型 4：工程问题 核心关系： 工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间 合作效率 = 各部分效率之和 总工作量 = 已完成工作量 + 未完成工作量（通常设总工作量为 1） 题型 5：利润折扣问题 核心公式： 利润 = 售价 - 进价（成本） 利润率 = ×100% 折扣价 = 标价 × 折扣率 题型 6：浓度问题（基础稀释 / 浓缩） 核心关系：溶质质量 = 溶液质量 × 浓度（浓度 =×100%） 题型 7：行程问题（分段行驶 / 相遇追及综合） 解题关键：注意 “先出发”“中途休息” 等隐含条件，分段分析路程。 题型 8：配套问题 核心关系：两种部件的数量比 = 配套比例（如 1 个零件配 2 个螺丝，则零件数：螺丝数 = 1:2） 题型 9：分段计费问题. 核心关系：总费用 = 各段费用之和（不同区间收费标准不同） 三、重难点提炼 1. 重点 掌握一元一次方程的建模过程（审、设、列、解、验、答）。 能准确分析和差倍分、行程、工程、利润等问题的数量关系，列出方程。 2. 难点 间接设元的选择（当直接设元导致方程复杂时，需设中间量）。 隐含条件的挖掘（如配套问题中的比例关系、分段计费的区间判断）。 解的实际意义检验（排除不符合实际的解，如负数、小数在整数场景中的应用）。 四、易错点警示 1.设未知数时未带单位，或方程中单位不统一。 2.列方程时等式两边意义不一致（如左边是 “路程”，右边是 “速度”）。 3.解方程时步骤错误（如移项未变号、去分母时漏乘常数项）。 4.忽略验根步骤，导致解不符合实际场景（如人数为小数、时间为负数）。 （练习题） [题型1一元一次方程应用之配套问题] 1．建水某紫陶坊有7名工人，每人每天可以制作茶壶8个或茶杯24个，1个茶壶和4个茶杯配成一套．为使每天制作的茶壶和茶杯刚好配套，设有名工人制作茶壶，余下工人制作茶杯，则的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．某车间有工人名，生产一种有一个螺栓和两个螺母的配套产品，每人每天平均生产螺栓个或螺母个，如果你是这个车间的主任，你应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产的螺栓和螺母刚好配套？若设人生产螺栓，则所列方程正确的是（    ） A．） B． C． D． 3．学校需要定制一批3条腿的桌子．已知某工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿．为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则生产桌面的工人应安排（   ） A．18名 B．21名 C．20名 D．16名 4．一套仪器由一个A部件和三个B部件构成，用钢材能做40个A部件或240个B部件．现要用钢材制作这种仪器，恰好配成若干套仪器，则下列说法正确的是（   ） A．用钢材做B部件 B．用做A部件 C．配成仪器480套 D．配成仪器160套 5．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个长方形侧面和2个等边三角形底面组成，硬纸板以如图所示的方式裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面，现有19张硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法，则有以下说法：①裁剪出的侧面的个数为个；②裁剪出的底面个数为个；③若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，最多可以做的盒子个数为30个．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 [题型2一元一次方程应用之工程问题] 6．一件工作，师傅单独做要15小时完成，现在师徒合作4小时完成了，余下的工作，由徒弟去做，徒弟还需要 小时完成． 7．某件工程甲独做需7天完成，乙独做需11天完成．现甲和乙合作共同完成此项工程．中途乙因病少做了4天，若设完成此项工程共需天，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 8．灌满一个水池，只打开 A 管要 8 小时，只打开 B 管要 10 小时，只打开 C 管要 15 小时，开始时只打开 A 管和 B 管，中途关掉 A、B 两管，然后打开 C 管，前后共用了 10 小时 15 分钟， 那么 C 管打开了 小时． 9．某项工作由甲、乙两人单独做分别需要和．如果让甲、乙两人一起工作，再由乙单独完成剩余部分，一共需要多长时间？以下四种做法正确的是（   ） A．设一共需要完工，根据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”得 B．设一共需要完工，根据相等关系“甲的工作量+乙的工作量”得 C．设乙单独工作h，根据相等关系“前1小时工作量后一段时间工作量”得 D．设乙单独工作，根据相等关系“甲的工作量乙的工作量”得 10．整理一批数据，由一个人做要40小时完成，计划安排5人完成此项工作，在工作一段时间后需提前按完成任务，因此增加了3人和他们一起又做了30分钟，完成这项任务．假设这些人的工作效率相同，设实际完成这项工作花了x小时，可列方程为（　　） A．＝1 B．＝1 C．＝1 D．＝1 [题型3一元一次方程应用之销售问题] 11．一家商店某种裤子按成本价提高50%后标价，又以八折优惠卖出，结果每条裤子获利10元，则这条裤子的成本是（    ）元 A．30 B．20 C．25 D．50 12．一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价，又以八折（即按标价的80%）优惠卖出，结果每件仍获利15元，这种服装每件的成本是多少元？解：如果设每件服装的成本价为元，那么每件服装的标价为 元，每件服装的实际售价为 元，每件服装的利润为 元． 由此列出方程 ，解得 ． 因此每件服装的成本价是 元． 列方程解应用题的关键： ． 13．商店以80元一件的价格购进一批衬衫，并以的利润率出售，过了一段时间发现还剩下150件，于是打九折出售，又过了一段时间发现一共卖掉了总量的，于是将最后几件按进货价出售，最后商店共获利2300元，则商店一共进了（   ）件衬衫． A．180 B．200 C．240 D．300 14．某商场对顾客实行优惠，规定如下： ①一次购买不超过元，不予折扣；②一次购物超过元但不超过元，按标价给予九折优惠；③一次购物超过元的，其中元按第②条给予优惠，超过元的部分则给予八折优惠． 王叔叔第一次购物付了元，第二次购物付了元，如果他将两次所购物品一次购买，那么可比两次分别购买省 元． ..15．春节来临之际，某花店老板购进大量的康乃馨、百合、玫瑰，打算采用三种不同方式搭配成花束，分别取名为“眷恋”、“永恒”、“守候”．三种花束的每一束成本分别为元、元和元．已知销售每束“眷恋”的利润率为，每束“永恒”的利润率为，每束“守候”的利润率为，当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为；当售出的三种花束数量之比为时，老板得到的总利润率为，则为（    ） A． B． C． D． [题型4一元一次方程应用之比赛积分问题] 16．一张试卷有25道题，做对1道得4分，做错1道倒扣1分．小李做了所有题，共得70分，他做对的题目数量是（    ） A．17道 B．18道 C．19道 D．20道 17．足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（   ） A．3场 B．4场 C．5场 D．6场 18．某试卷由26道题组成，答对一题得8分，答错一题倒扣5分．有一位同学虽然做了全部的26道题，但所得总分为零，假设他答对了题，则可列方程 ． 19．某次篮球比赛计分规则为：胜一场积2分，负一场积1分，没有平场，八一队在篮球联赛共14场比赛中积23分，那么八一队胜了 场． 20．某校文艺部招聘主持人，有甲、乙、丙三名同学参加，学校设置了五轮比赛，规定：每一轮比赛分别决出第一、二、三名（不并列），对应名次的得分分别为（且均为正整数）．三名同学最后得分为五轮比赛得分之和，得分最高者中选，下表是三名同学在五轮比赛中的部分得分情况如下： 一轮 二轮 三轮 四轮 五轮 总分 甲 9 乙 22 丙 9 则的值为 ，三名同学在五轮比赛中 获得的第二名最多． [题型5一元一次方程应用之方案选择问题] 21．某书店推出两种购书方案：①单买，每本按标价10元销售；②会员制，缴纳20元会员费后每本按标价的8折销售．若小明购买x本图书，两种方案费用相等时x的值为：（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 22．下表是某地移动公司推出的两种话费收费方式： 收费方式 方式一 方式二 月租费 元/月 本地通话费 元/分 元/分 当本地通话 分钟时，两种收费方式一样；当通话时间为分钟时，选择 比较合算． 23．某游泳馆在每年的夏季推出两种游泳付费方式．方式一：先购买会员证，每张会员证200元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费10元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费20元．有下列结论： ①若小明计划今年夏季游泳的总费用为300元，则他选择方式一游泳的次数比较多； ②若小明计划今年夏季游泳的次数为25次，则他选择方式二游泳的总费用比较少； ③若小明今年夏季在该游泳馆游泳，两种付费方式的总费用相同，则他计划游泳的次数为20． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 24．某超市在“五一”活动期间，推出如下购物优惠方案： ①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠； ②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠； ③一次性购物在350元（含350元）以上一律享受八折优惠； 小明在该超市两次购物分别付款60元和288元．若小明把这两次购物改为一次性购物，则应付款 元． 25．梦洁和嘉丽是邻居，星期天他们两家人准备去郊外的农家乐游玩，早上两家人同时乘坐了两辆不同价格的出租车，梦洁家乘坐的是起步4公里8元，以后每公里收1.2元，嘉丽家乘坐的是起步3公里6元，以后每公里收1.3元，两家人几乎同时到达农家乐，付款后梦洁发现两家人的车费仅差1.5元．则两家住地离公园的路程为 公里． [题型6一元一次方程应用之数学问题] 26．一个两位数，十位上的数字是个位上的，把十位上数字与个位上数字调换后，新数比原数大18，则原数个位数字和十位数字之和是 ． 27．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格，将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则图中m的值为（    ）． A．2 B．4 C．7 D．9 28．小李同学学习幻方后，自己设计了一个新的“幻方”，他将这九个数填入的格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数的积都相等，如图是他填写了一部分的“幻方”，则的值是 ；的值是 ． 16 32 29．下表12个方格中，每个方格内都有一个数，若任意相邻三个数的和都是21，则的值是（   ） 11 A B C D E F G H P A．13 B．15 C．18 D．21 30．将连续的奇数1，3，5，7，9，…，按如图所示方式排列．图中的7字框框住了四个数，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数，则框住的四个数的和不可能是（   ） A．22 B．70 C．182 D．206 [题型7一元一次方程应用之几何问题] 31．一个长方形的长减少，宽增加后，面积保持不变，已知这个长方形的长为，则它的宽为 ． 32．如图是一枚长方形庆祝中国共产党成立100周年纪念币，其周长是260，长和宽的比为．问这枚纪念币的长和宽?设这枚纪念币的长为，根据题意，可列方程（    ） A． B． C． D． 33．如图中长方形的周长是，圆的半径是( )． 34．如图，把两个大小相同的长方形拼在一起，再把上面一个长方形平均分成2份，把下面一个长方形平均分成3份，若图中阴影部分的面积为，则整个图形的面积为 ． 35．有一张正六边形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片；……如此下去，若最后得到100张纸片，其中有15张五边形纸片，30张三角形纸片，50张四边形纸片，4张7边形纸片，则还有一张多边形纸片的边数为（    ） A．4 B．7 C．9 D．11 [题型8一元一次方程应用之动点问题] 36．如图所示，的边上有一动点P从距离O点的点M处出发，沿M→O→B方向运动，速度为；动点Q从O点出发，沿射线运动，速度为．P，Q同时出发，设运动时间是t（s），当点P追上点Q时t的值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．9 37．电子跳蚤落在数轴上的某点，第一步从向左跳1个单位到，第二步由向右跳2个单位到，第三步由向左跳3个单位到，第四步由向右跳4个单位到，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是30，则电子跳蚤的初始位置点所表示的数为 ． 38．已知在数轴上点A、点B所表示的数分别是和5，蚂蚁甲、乙分别从点A、点B处同时出发向数轴正方向运动，甲的速度为每秒3个单位长度，乙的速度为每秒2个单位长度．当蚂蚁乙到达点C处时，如果此时蚂蚁甲与蚂蚁乙相距4个单位长度，那么点C到原点的距离是 ． 39．对于数轴上的三点，给出如下定义：若点P在线段上，且点P与A，B两点的距离恰好满足2倍关系时，即或，则称点P是A，B两点的“2倍点”．如图，若点A以每秒1个单位长度的速度从表示数的点向右运动，点B以每秒4个单位长度的速度从表示数4的点向右运动，若点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，三个点同时出发，设出发t秒后，若点P恰好是点A，B的“2倍点”，则t的值是（   ） A．2 B．1 C．2或 D．或1 40．如图，、、、为直线上的个动点，其中，．在直线上，线段以每秒个单位的速度向左运动，同时线段以每秒个单位的速度向右运动，则运动 秒时，点到点的距离与点到点的距离相等． [题型9一元一次方程应用之和差积分问题] 41．为美化校园环境，践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，礼嘉中学初一年级某班积极响应学校劳动教育课程要求，在劳动实践基地开展植树活动．活动开始前，班长负责统计树苗需求，他发现若每人植2棵树，则树苗余下21棵；若每人植3棵树，则树苗还差24棵．设该班有x名学生，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 42．沪苏通长江公铁大桥南起苏州市张家港市、北至南通市通州区，大桥全长千米，比南京长江大桥公路桥的2倍还多1894米．南京长江大桥公路桥长 米． 43．大小两数之和为，大数的倍与小数的2倍之和是16，那么大数是 ． 44．妈妈买了一盒牛奶．妈妈和爸爸在早餐时喝了一半，明明喝了剩余部分的，这时还剩下，则这盒牛奶原来有（   ） A． B． C． D． 45．过完清明小长假后即将迎来“五一”劳动节，劳动使人快乐，艾霸舒同学决定让自己劳动起来，思来想去发现刷数学题是一种劳逸结合的劳动方式，于是针对自己的短板决定五一节前刷满足够的题．艾霸舒同学准备刷几何证明、二次函数、阅读理解三种题型：第一次刷题时几何题和二次函数平均每道题得分分别为3分和5分，且几何题和二次函数题得分占总得分的，几何证明题和阅读理解题得分占总得分的；第二次刷题，艾霸舒发现自己每道题得分情况都增长了，其中几何题和阅读理解每道题平均得分提高了x%，二次函数题每道题平均得分提高50%，第二次刷题时几何证明、二次函数、阅读理解的数量分别是第一次的2倍、1.2倍、1倍，且刷题总分比第一次刷题时提升了40%，则x＝ ． [题型10一元一次方程应用之水电费问题] 46．收费标准如下：用水每月不超过，按0.8元收费，如果超过，超过部分按1.2元收费．已知某用户某月交水费6元，那么这个用户这个月用水（    ） A． B． C． D． 47．某城市按以下规定收取每月的天然气费：用气不超过，按每立方米2.5元收费；如果超过，超过部分按每立方米3元收费．已知小明家某月共缴纳天然气费210元，那么他家这个月共用天然气（    ） A． B． C． D． 48．某地居民每月用水收费标准如图：李阿姨家11月份用水5立方米，交水费16元．若李阿姨12月份交水费39.6元，则李阿姨12月份的用水量是 立方米 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 49．随着通讯市场的竞争日益激烈，某通讯公司的收费标准按原标准每分钟降低了a元后，再次下调了25%，现在的收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟为 元． 50．某市居民用电电费目前实行梯度价格表： 用电量（单位：千瓦⋅时，统计为整数） 单价（单位：元） 及以内 （含） 及以上 若居民童大爷家、月份共用电千瓦⋅时（其中月份用电量少于月份），共交电费元，则童大爷家月份的用电量为 ． [题型11一元一次方程应用之行程问题] 51．一列火车长 160 米，每秒行 20 米，全车通过 440 米的大桥，需要（    ）秒． A．8 B．22 C．30 D．无法确定 52．小明参加1000米比赛，他以4米/秒的速度跑了一段路程后，又以5米/秒的速度跑完了剩余的路程，一共用时4分钟．求小明以5米/秒的速度跑了多少米？设小明以5米/秒的速度跑了x米，根据题意可列出方程 ． 53．小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米 分钟能追上． 54．甲、乙两人从A、B两地出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一路线相向匀速行驶，出发后经3小时两人相遇，已知在相遇时乙比甲多行驶了90千米，相遇后经1小时乙到达A地．以下说法不正确的是（   ） A．乙行驶的速度是甲行驶速度的3倍 B．相遇时甲行驶了135千米 C．乙每小时比甲多行驶30千米 D．两地相距180千米 55．A，B两地相距，一列快车以的速度从A地匀速驶往B地，到达B地后立刻原路返回A地，一列慢车以的速度从B地匀速驶往A地．两车同时出发，截止到它们都到达终点时，两车恰好相距的次数是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 [题型12一元一次方程应用之日历问题] 56．如图，吉姆同学在某月的月历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么这四个数是 ． 某月有个星期日，它们的日期之和是，则这个月中最后一个星期日是 号． 57．小王在某月的日历上圈出了如图所示的四个数a、b、c、d，已知这四个数的和等于34，则a等于（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 58．如图，在一张普通的月历中，相邻三行里同一列的三个日期之和不可能是（   ） A．24 B．45 C．60 D．81 59．如图是2025年元月的日历，用图1中的“工”型图案盖住图2中的7个数，若“工”型图案盖住的7个数的和为154，则“工”型图案最中间的数为 ． 60．如图为2025年某月日历，现用一个正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，若最小的数与最大的数的积记为，中间位置上的数记为．下列所给的数据中，可能是（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 [题型13一元一次方程应用之古代问题] 61．鸡兔同笼， 有个头，条腿， 兔的只数是（    ） A． B． C． D． 62．《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作．其中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：有若干人共同购买某种物品，如果每人出8钱，则多3钱；如果每人出7钱，则少4钱，问共有多少人？物品的价格是多少钱？用一元一次方程的知识解答上述问题，设共有x人，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 63．《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三、问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5枚钱，则差枚钱；每人出7枚钱，则差3枚钱．求羊价是 枚钱． .64．中国古代数学著作《增删算法统宗》中记载的“绳索量竿”问题，大意是：现有一根竿子和一条绳索，用绳索去量竿子，绳索比竿子长8尺；若将绳索对折去量竿子，绳索就比竿子短5尺，问绳索、竿子各有多长？该问题中的竿子长为 尺． 65．我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方—九宫图，如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及每条对角线上的数字之和都相等，则的值为（   ） y b a 3 x A．6 B．8 C．-6 D．-8 [题型14一元一次方程应用之其他问题] 66．与之间的数量关系如表，若与成反比例关系，则的值为（   ） A． B． C． D． 67．某校组织学生前往素质教育基地开展研学活动，共有名学生租用了若干辆车，若每辆车坐40人，则还有7人不能上车；若每辆车坐45人，则最后一辆车空了6个座位．则表示租用车辆的代数式正确的是（   ） A． B． C． D． 68．十一黄金周关门山景区，在开门前有人排队等候，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入口每分钟可以进入个游客，如果开放4个入口，分钟后就没有人排队．现在开放6个入口，那么开门 分钟后就没有人排队． 69．酒精一瓶，第一次倒出又10克，然后倒回25克；第二次再倒出其中的，这时瓶中还剩酒精50克，原来瓶中盛有酒精 克． 70．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平称物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积．某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ） A．大于 B．小于 C．大于或等于 D．小于或等于 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $