专题08等式与方程及一元一次方程的解法精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版七年级数学上册

本初中数学讲义聚焦等式与方程及一元一次方程解法，系统梳理等式定义与基本性质，方程及解的概念，一元一次方程的判定四要点与标准形式，构建从等式到方程再到解法的学习支架，详解去分母等五步规范步骤。 资料以避开高频丢分陷阱为核心，设计14种梯度题型，从基础判断到拔高压轴，每种题型附解题思路，培养运算能力与推理意识，列方程题型强化模型意识。课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，提升解题规范性。

专题08等式与方程及一元一次方程的解法精讲学案 核心立意 认识等式、方程、方程的解；掌握等式两条基本性质，理解解方程原理；会识别一元一次方程，熟练按规范步骤解方程，避开去分母、移项、去括号高频丢分陷阱。 等式： 含有等号“=”的式子叫等式；等号左右两侧代数式，分别称为等式左边、右边。 等式基本性质 性质1：等式两边同时加（或减）同一个数/整式，结果仍是等式；（移项的理论依据） 性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，结果仍是等式；⚠不能除以0。 方程、方程的解、解方程 方程：含有未知数的等式（两个关键点：①有未知数 ②是等式） 方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值 解方程：求方程解的过程；解后可代入原式检验 一元一次方程 定义：只含一个未知数，未知数次数为1，等号两边都是整式的方程； 标准最简形式：ax+b=0 (a≠0) 判定四要点： ①整式方程 ②只1个未知数 ③未知数最高次数为1 ④一次项系数a≠0 解一元一次方程标准五步（顺序不能乱） ①去分母：两边同乘分母最小公倍数；不含分母项也要乘；分子是多项式，去分母后整体加括号 ②去括号：括号前负号，括号内各项全变号；利用分配律，不漏乘 ③移项：移项要变号，不移不变号（依据等式性质1） ④合并同类项 ⑤系数化为1 1. 使用等式性质2，忽略除数不能为0； 2. 去分母时常数项漏乘最小公倍数、分子多项式不加括号； 3. 移项不变号，混淆“移项”和“同一边交换项位置”； 4. 去括号：括号前负号，只改变第一项符号；括号外系数漏乘； 5. 判断一元一次方程，遗漏“整式方程”、忽略隐藏条件a≠0； 6. 解方程结束不检验，出错无法自查。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 等式的性质 1 ★ 题型三 等式的性质 2 ★ 题型四 列方程 ★★ 题型五 判断是否是方程的解 ★ 题型六 已知方程的解，求参数 ★★ 题型七 判断是否是一元一次方程 ★ 题型八 判断是否是一元一次方程解 ★ 题型九 合并同类项与移项 ★★ 题型十 去括号 ★★ 题型十一 去分母 ★★ 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 ★★★ 题型十三 一元一次方程解的关系 ★★★ 题型十四 绝对值方程 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档基础；★★★中档综合；★★★★拔高压轴 题型一：判断各式是否是方程 解题思路：需要同时满足2个条件：①含有未知数；②是等式（有等号），缺一就不是方程。 1．下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程． 根据方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．，不是等式，故不是方程，不符合题意； B．，是等式但不含未知数，故不是方程，不符合题意； C．，不是等式，故不是方程，不符合题意； D．是等式且含有未知数x，故是方程，符合题意； 故选：D． 2．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，根据定义即可选出答案． 【详解】解：A．选项式子不是等式，不符合题意； B．选项式子是方程，故符合题意； C．选项式子没有未知数，不符合题意； D．选项式子不是等式，故不符合题意． 故选：B． 3．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；是方程的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义， 含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：根据方程的定义可得：①③④⑥是方程，②是不等式，⑤，不是等式，不是方程， 故方程有4个， 故选：B． 题型二：等式的性质 1 解题思路：等式两边同时加（或减）同一个数/整式，等式仍然成立；它是移项的理论依据。 4．如果，那么，其依据为（     ） A．方程两边可以交换 B．相等关系可以传递 C．方程两边都加上同一个整式，方程的解不变 D．方程两边都乘以同一个数，方程的解不变 【答案】C 【分析】本题考查等式的性质，观察题干中等式的变形过程，对应匹配变形依据即可得到答案． 【详解】解： 由变形得到，是给方程左右两边同时加上同一个整式， 该变形的依据是等式两边都加上同一个整式，等式仍成立， 对应选项C． 5．如图所示，因为，由此可以用推理说明图中，其划线的这一变化过程运用了（     ） A．加法的意义 B．加法交换律 C．加法结合律 D．等式的性质 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立．直接判断即可． 【详解】∵， ∴， 利用了等式的性质，符合等式两边同时加上（或减去）同一个整式，等式仍然成立， 故答案为：D． 6．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现将，，，，，，，填入如图②所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为_____． 【答案】 【分析】先根据题意列出等式，求出的值，然后再利用转化思想求出的值． 【详解】解：由题意得，，即， ∵， ∴四个三角形的三个顶点上的数字之和减去正方形四个顶点的数字之和为， ∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴，即， ∴． 题型三：等式的性质 2 解题思路：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立；注意：不能用0做除数。 7．通过学习科学课中杠杆平衡的知识，可以得到杠杆原理的公式：．若，，则_____． 【答案】3 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据杠杆原理公式，代入已知值求解． 【详解】解：由杠杆原理公式，代入，，， 得， 即， 解得， 故答案为：． 8．根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】解：A选项，若，等式两边同除以得，∴A错误，不符合题意； B选项，若，等式两边同乘以得，∴B错误，不符合题意； C选项，若，则，不一定满足，∴C错误，不符合题意； D选项，若，分式有意义可推出，等式两边同乘以得，∴D正确，符合题意． 9．若，则在：①；②；③；④；⑤中，正确的有______．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】根据等式的基本性质对每个式子逐一判断． 【详解】解：①，等式两边同时加，得，故①正确； ②，等式两边乘不同的数，可得，故②不正确； ③，等式两边乘不同的数，可得，故③不正确； ④，等式两边同时乘，再同时加，根据等式的基本性质，故④正确； ⑤，分母不为零，则有，等式两边乘相同的数可得，故⑤正确． 综上，正确的有①④⑤． 10．下列由等式的性质进行的变形中，不一定成立的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查等式的基本性质，需根据等式的两个性质逐一分析各选项的变形是否一定成立． 【详解】解：A、若，两边同时减，得，变形一定成立，不符合题意； B、若，当时，和可以为任意不相等的数，此时不一定成立，符合题意； C、，，两边同时除以，得，变形一定成立，不符合题意； D、若，两边同时减再加1，得，变形一定成立，不符合题意； 故选：B． 题型四：列方程 解题思路：①读懂题目，找到等量关系；②设未知数；③用代数式表示等式左右两边，列出方程。 11．若m的2倍与n的倍的和等于6，则可列方程为___________． 【答案】 【分析】将题目中的文字描述转化为代数式，根据等量关系列出方程． 【详解】解：∵ 的倍可表示为，的倍可表示为，二者的和等于， ∴ 可列方程为． 12．根据“的3倍与5的差比的多2”可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列方程． 根据题意，“x的3倍与5的差”即，“的”即，进而根据“的3倍与5的差比的多2”列方程即可． 【详解】解：x的3倍与5的差为， 的为， ∵的3倍与5的差比的多2， ∴． 故选：B． 13．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答． 【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示； B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示． C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示； D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示； 故选：D． 题型五：判断是否是方程的解 解题思路：①把数值代入原方程；②分别计算左边、右边；③左右相等，就是方程的解。 14．是下列哪个方程的解（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，熟练掌握“使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解”是解题的关键． 将代入每个选项的方程，分别计算左右两边的值，判断两边是否相等，从而确定哪个方程以为解． 【详解】、当时，左边，右边，∴左边右边，成立． 、当时，左边−，右边，，不成立． 、当时，左边，右边−，，不成立． 、当时，左边，右边−，，不成立． 是方程的解． 故选：． 15．下列哪个方程的解不是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方程的解，通过将代入每个方程，验证等式是否成立，确定是否是方程的解． 【详解】解：A选项：当时，左边，右边，左边右边，是方程的解，故A选项不符合题意； B选项：当时，左边，右边，左边右边，不是方程的解，故B选项符合题意； C选项：当时，左边，右边，左边右边，是方程的解，故C选项不符合题意； D选项：当时，左边，右边，左边右边，是方程的解，故D选项不符合题意． 故选：B． 16．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】把原方程变形为，根据题意可得当时，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴关于的一次方程的解为． 题型六：已知方程的解，求参数 解题思路：①把已知解代入原方程；②得到只含参数的新方程；③解方程求出参数。 17．若是方程的解，则的值为_____． 【答案】1 【详解】解：将代入方程， 得：， 解得：. 18．关于的方程的一个解是，则____________． 【答案】 【详解】解：∵关于的方程的一个解是， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 19．已知m，n为常数，整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式对应的值．则关于t的方程的解是（） x 0 1 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求方程变形，结合表格中整式的对应值即可求解． 【详解】解：令，方程可变形为， 由表格可知，当时，对应的， ∴， 解得． 20．若关于x的方程的解是整数，则整数k的取值个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查根据一元一次方程解的情况求参数，先解方程得到x关于k的表达式，再根据x为整数确定k的取值，注意. 【详解】解：∵， ∴， 当时，方程为，无解，不合题意， ∴， ∴， ∵ x为整数，且k为整数， ∴ k整除2，即k是2的因数， ∴或， 共4个整数k满足条件． 故选：C． 题型七：判断是否是一元一次方程 解题思路：4个条件必须同时满足：①整式方程；②只含1个未知数；③未知数次数为1；④一次项系数≠0。 21．下列式子中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据一元一次方程的定义判断，一元一次方程需满足：是等式，只含一个未知数，未知数的最高次数为，且两边为整式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，未知数的次数都是，等号两边都是整式的方程， 、不是等式，不属于方程，故选项不符合题意； 、中只含个未知数，未知数次数为，两边均为整式且是等式，符合一元一次方程的定义，故选项符合题意； 、中含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，故选项不符合题意； 、是不等式，不是方程，故选项不符合题意． 22．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（     ） A． B．0 C．1 D．或1 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的定义列出关于的限制条件，求解即可得到的值． 【详解】解：∵方程是一元一次方程， ∴， 解，得或， 由，得， ∴． 23．在已知下列方程：，，，，，，其中是一元一次方程的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，未知数的次数为，且为整式方程）逐一判断各方程即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：，右边为分式，不是整式方程，不符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，仅含未知数，次数为，不符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，含未知数、，不符合题意； 综上，符合条件的有，共个， 故选：． 题型八：判断是否是一元一次方程解 解题思路：①将数值代入一元一次方程；②分别计算左右两边；③两边相等，则为方程的解。 24．下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤和一元一次方程解的定义． 按照解一元一次方程的一般步骤，解各个选项中的方程，然后根据所求的解进行判断即可． 【详解】解∶A． ，，此选项中的方程的解不是，故此选项不符合题意； B．，，，∴此选项中的方程的解是，故此选项符合题意； C．，，，，∴此选项中的方程的解不是，故此选项不符合题意； D．，，，此选项中的方程的解不是，故此选项不符合题意； 故选∶B． 25．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为． 【详解】解：由表格可知：当时，， ∴的解为． 故选C． 26．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 题型九：合并同类项与移项 解题思路：①移项要变号，不移不变号；②合并同类项；③系数化为1。 27．若，则________． 【答案】 【分析】根据等式的基本性质，将未知数的系数化为1即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴等式两边同时除以，得． 28．现定义一种新运算：对任意实数，，规定，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 解得． 29．已知实数x，y满足，，则的值为_________． 【答案】8 【分析】先由得，由得到，则，然后根据绝对值的性质化简得到关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 解得， ∴由得， 解得，符合， ∴． 30．定义运算：，例如：，，若，则x的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．2或0 【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，解一元一次方程，以及乘方的意义，分①当时和②当时两种情况求解即可． 【详解】解：∵，且 ∴分两种情况讨论： ①当时， 解得，符合的条件． ②当时， 即 解得（不符合的条件，舍去）． 综上，的值为0或2． 故选D． 题型十：去括号 解题思路：①用乘法分配律去括号；②括号前是负号，括号内所有项变号；③不要漏乘。 31．若，则_____________ . 【答案】 【分析】去括号，解方程即可. 【详解】解：， ， ， . 32．将2阶行列式定义为，若，则______． 【答案】3 【分析】根据题中给出的2阶行列式定义列出方程，再利用整式乘法法则化简方程，解一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：根据2阶行列式的定义得： ， ， 化简得：． 33．关于的一元一次方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为______ 【答案】16 【分析】本题考查一元一次方程的解，先解方程，得到，再根据有正整数解，求出m的值，相加即可得到答案． 【详解】解：， ， 当时，， ∵是正整数， ∴整数， 所以，它们的和为； 故答案为：16． 34．下列解方程过程中的变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】B 【分析】本题主要的考查了一元一次方程的解法，根据解法的步骤一步步计算一一判断即可； 【详解】解： 由移项，故选项A错误，不符合题意； 由去括号可得，故选项B正确，符合题意； 由系数化为1可得，故选项C错误，不符合题意； 由去分母可得：，由去括号可得：,故选项D错误，不符合题意； 故选：B 题型十一：去分母 解题思路：①两边同乘分母最小公倍数；②无分母项也要乘；③分子是多项式，去分母后整体加括号。 35．已知与相等，则m的值为________． 【答案】2 【分析】根据题意，由两个代数式相等，可建立关于的一元一次方程，按照一元一次方程的解法求解即可得到结果． 【详解】解：根据题意列方程得， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 36．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分母2和3的最小公倍数为6，去分母时需方程两边每一项同乘6，不可漏乘常数项． 【详解】解：方程两边同乘以6， 得． 37．一段路程分为平路和上坡两段，平路和上坡的路程之比为，总路程为．汽车在平路匀速行驶的速度为，在上坡匀速行驶的速度为，行驶该路程的总用时可表示为．若把该等式变形为已知，，，求，可得__________． 【答案】 【分析】将，，看作已知数，根据等式的性质对等式变形求解即可． 【详解】解：， 等式两边同乘得， 提取公因式得， 系数化为得． 38．方程，可以化成（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，能正确根据分数的基本性质进行变形是解此题的关键． 通过将方程中每个分数的分子和分母同时乘以10，将小数分母化为整数分母，得到等价方程． 【详解】解：，， ∴原方程化为， 故选A． 题型十二：已知一元一次方程的解，求参数 解题思路：①把已知解代入方程；②留意隐藏条件：一次项系数≠0；③求参数并检验。 39．若是关于的一元一次方程的解，则的值为__________． 【答案】5 【分析】根据方程解的定义，将代入原一元一次方程，得到关于的一元一次方程，解该方程即可求出的值． 【详解】解：将代入得： ， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得． 40．已知关于x的一元一次方程的解是，则m的值为（     ） A．2 B．3 C． D．0 【答案】A 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵一元一次方程的解为， ∴将代入原方程，得， 化简得， 移项合并同类项得， 解得． 41．某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘3，因而求得方程的解为，则的值为_____． 【答案】2 【分析】方程右边的忘记了乘3，则所得的式子是：，再把代入即可得到一个关于的方程，即可求得的值． 【详解】解：方程右边的忘记了乘3，则所得的式子是：， 把代入方程，得， 解得：． 42．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用换元思路，通过变形第一个方程，使两个方程结构一致，得到与的对应关系，结合已知的解即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． 题型十三：一元一次方程解的关系 解题思路：①先分别求出两个方程的解；②根据题意（相等/相反数/倍数）列等式；③求参数。 43．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的特殊解法，熟练掌握换元法是解题关键．设，根据已知方程的解可得，则，据此求解即可得． 【详解】解：设， 则关于的一元一次方程可化为， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 解得， 即关于的一元一次方程的解为， 故答案为：． 44．代数式的值随x的取值而发生变化（a、b表示非零常数），如表，则关于x 的一元一次方程的解为（   ） x …… 0 1 …… …… 2 4 6 …… A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题考查了一元一次方程的解，先将给定的一元一次方程变形为，再根据表格中的值推出的值，找到对应时的值，即为方程的解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，，即， 由表格可知，当时，， ∴关于的一元一次方程的解为， 故选：C． 45．若关于的方程的解为，则关于的方程的解为________． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将第二个方程中的看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解求解． 【详解】解：设，则方程可化为， ∵方程的解为， ∴方程的解为， 即， 解得． 46．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握新定义，是解题的关键：先求出的解，根据新定义，得到的解，再利用换元法求出的解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程与是“美好方程”， ∴方程的解为：， ∴关于y的方程即：的解为：， ∴； 故选A． 题型十四：绝对值方程 解题思路：①利用绝对值定义：|A|=B，前提B≥0；②拆成A=B、A=-B两个一元一次方程；③分别求解并检验。 47．若，则x的值为______． 【答案】0或2 【分析】本题考查了解含有绝对值的方程；将等式化为，再根据绝对值的意义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为0或2． 48．方程的解是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】利用绝对值的性质将原方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴方程两边同乘，得 ， ∴或， 解，得； 解，得． ∴原方程的解为或． 49．若，且满足，则的值为__________． 【答案】或 【分析】本题考查有理数的乘方，有理数的加减运算，绝对值的意义，正确计算是解题的关键． 先求出，或，再根据可得x、y异号，即可得，或，，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，或， 又∵， ∴， ∴，或，， ∴或 ∴的值为或． 故答案为：或． 50．方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，根据题意进行正确的分类讨论是解题的关键． 根据题意，分，，，四种情况，分别去绝对值列方程求解即可． 【详解】解：当时， 原方程化为， 解得：； 当时， 原方程化为， 解得：，不符合题意； 当时， 原方程化为， 此时方程无解； 当时， 原方程化为， 解得：； 综上，原方程的解为或，共个， 故选：C． 解答题 1．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ． 2．【背景材料】 有规律的跑步训练有利于身体健康．以最大心率的几分之几作为运动时的“目标心率”，可以更有效地达到不同的训练目的，常见的运动强度与目标心率存在的对应关系如下表所示．已知计算最大心率的通用公式为：最大心率年龄． 运动强度 脂肪燃烧 有氧耐力 无氧耐力 目标心率（次/分钟） 最大心率的 最大心率的 最大心率的 【问题解决】 (1)某女士40岁，若她想以脂肪燃烧的运动强度跑步，则她的目标心率为多少次/分钟？ (2)小明在健身时，教练要求他以有氧耐力的运动强度进行跑步．如果小明当前的目标心率是150次/分钟，那么他的年龄是多少岁？ 【答案】(1) 117 (2) 20 【分析】本题主要考查了方程的应用． 对于（1），根据目标心率等于最大心率乘以计算； 对于（2），设他的年龄为x岁，根据题意列出方程，求出解． 【详解】（1）解：（次/分钟）， 所以，她的目标心率为117次/分钟； （2）解：设他的年龄为x岁，根据题意，得 ， ， ， 所以，他的年龄是20岁． 3．解方程 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 4．解方程：． 解：①当时，解得； ②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查了解绝对值方程，理解题意，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，是解题的关键． （1）根据绝对值意义，得出，然后解一元一次方程即可； （2）根据绝对值意义，得出或，然后解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：由得：， 当时，； 当时，； 所以原方程的解是或． （2）解：， 或， 解方程，得， 解方程，得， 所以原方程的解是或． 5．已知关于的方程． (1)若，求方程的解； (2)若方程有无数个解，求，的值； (3)若为正整数，时，求方程的整数解． 【答案】(1) (2)， (3)方程的整数解为或或 【分析】本题主要考查解一元一次方程： （1）根据解一元一次方程的步骤求解即可； （2）将方程变形得，因为方程有无数个解，所以且； （3）方程变形可得，因为为正整数，方程的解为整数，所以是的因数． 【详解】（1）解：等量代换，得 移项，得 合并同类项，得 因为， 所以 系数化为，得； （2）解：将方程变形，得 因为方程有无数个解， 所以且． 解得，； （3）解：将代入方程，得 移项，得 合并同类项，得 因为为正整数，方程的解为整数， 所以是的因数． 因为的因数为，， 当时，可得，则． 当时，可得 ，则． 当时，可得，则． 当时，可得，不符合为正整数，舍去． 综上所述，方程的整数解为或或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08等式与方程及一元一次方程的解法精讲学案 核心立意 认识等式、方程、方程的解；掌握等式两条基本性质，理解解方程原理；会识别一元一次方程，熟练按规范步骤解方程，避开去分母、移项、去括号高频丢分陷阱。 等式： 含有等号“=”的式子叫等式；等号左右两侧代数式，分别称为等式左边、右边。 等式基本性质 性质1：等式两边同时加（或减）同一个数/整式，结果仍是等式；（移项的理论依据） 性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，结果仍是等式；⚠不能除以0。 方程、方程的解、解方程 方程：含有未知数的等式（两个关键点：①有未知数 ②是等式） 方程的解：能使方程左右两边相等的未知数的值 解方程：求方程解的过程；解后可代入原式检验 一元一次方程 定义：只含一个未知数，未知数次数为1，等号两边都是整式的方程； 标准最简形式：ax+b=0 (a≠0) 判定四要点： ①整式方程 ②只1个未知数 ③未知数最高次数为1 ④一次项系数a≠0 解一元一次方程标准五步（顺序不能乱） ①去分母：两边同乘分母最小公倍数；不含分母项也要乘；分子是多项式，去分母后整体加括号 ②去括号：括号前负号，括号内各项全变号；利用分配律，不漏乘 ③移项：移项要变号，不移不变号（依据等式性质1） ④合并同类项 ⑤系数化为1 1. 使用等式性质2，忽略除数不能为0； 2. 去分母时常数项漏乘最小公倍数、分子多项式不加括号； 3. 移项不变号，混淆“移项”和“同一边交换项位置”； 4. 去括号：括号前负号，只改变第一项符号；括号外系数漏乘； 5. 判断一元一次方程，遗漏“整式方程”、忽略隐藏条件a≠0； 6. 解方程结束不检验，出错无法自查。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 等式的性质 1 ★ 题型三 等式的性质 2 ★ 题型四 列方程 ★★ 题型五 判断是否是方程的解 ★ 题型六 已知方程的解，求参数 ★★ 题型七 判断是否是一元一次方程 ★ 题型八 判断是否是一元一次方程解 ★ 题型九 合并同类项与移项 ★★ 题型十 去括号 ★★ 题型十一 去分母 ★★ 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 ★★★ 题型十三 一元一次方程解的关系 ★★★ 题型十四 绝对值方程 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档基础；★★★中档综合；★★★★拔高压轴 题型一：判断各式是否是方程 解题思路：需要同时满足2个条件：①含有未知数；②是等式（有等号），缺一就不是方程。 1．下列式子是方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 3．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥；是方程的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型二：等式的性质 1 解题思路：等式两边同时加（或减）同一个数/整式，等式仍然成立；它是移项的理论依据。 4．如果，那么，其依据为（     ） A．方程两边可以交换 B．相等关系可以传递 C．方程两边都加上同一个整式，方程的解不变 D．方程两边都乘以同一个数，方程的解不变 5．如图所示，因为，由此可以用推理说明图中，其划线的这一变化过程运用了（     ） A．加法的意义 B．加法交换律 C．加法结合律 D．等式的性质 6．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图①所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现将，，，，，，，填入如图②所示的“幻方”中，部分数据已填入，则的值为_____． 题型三：等式的性质 2 解题思路：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数，等式仍然成立；注意：不能用0做除数。 7．通过学习科学课中杠杆平衡的知识，可以得到杠杆原理的公式：．若，，则_____． 8．根据等式的性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．若，则在：①；②；③；④；⑤中，正确的有______．（填序号） 10．下列由等式的性质进行的变形中，不一定成立的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 题型四：列方程 解题思路：①读懂题目，找到等量关系；②设未知数；③用代数式表示等式左右两边，列出方程。 11．若m的2倍与n的倍的和等于6，则可列方程为___________． 12．根据“的3倍与5的差比的多2”可列方程（    ） A． B． C． D． 13．下面不能用方程“”来表示的是（    ）． A． B． C． D． 题型五：判断是否是方程的解 解题思路：①把数值代入原方程；②分别计算左边、右边；③左右相等，就是方程的解。 14．是下列哪个方程的解（） A． B． C． D． 15．下列哪个方程的解不是（   ） A． B． C． D． 16．整式的值随取值的变化而变化，下表是当取不同值时所对应的整式的值，则关于的一次方程的解为（     ） 0 1 2 0 2 A． B． C．0 D．2 题型六：已知方程的解，求参数 解题思路：①把已知解代入原方程；②得到只含参数的新方程；③解方程求出参数。 17．若是方程的解，则的值为_____． 18．关于的方程的一个解是，则____________． 19．已知m，n为常数，整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同值时整式对应的值．则关于t的方程的解是（） x 0 1 2 0 A． B． C． D． 20．若关于x的方程的解是整数，则整数k的取值个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型七：判断是否是一元一次方程 解题思路：4个条件必须同时满足：①整式方程；②只含1个未知数；③未知数次数为1；④一次项系数≠0。 21．下列式子中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 22．已知关于x的方程是一元一次方程，则m的值是（     ） A． B．0 C．1 D．或1 23．在已知下列方程：，，，，，，其中是一元一次方程的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型八：判断是否是一元一次方程解 解题思路：①将数值代入一元一次方程；②分别计算左右两边；③两边相等，则为方程的解。 24．下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 25．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（　　） 0 1 2 9 7 5 3 1 A． B． C． D． 26．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型九：合并同类项与移项 解题思路：①移项要变号，不移不变号；②合并同类项；③系数化为1。 27．若，则________． 28．现定义一种新运算：对任意实数，，规定，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 29．已知实数x，y满足，，则的值为_________． 30．定义运算：，例如：，，若，则x的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．2或0 题型十：去括号 解题思路：①用乘法分配律去括号；②括号前是负号，括号内所有项变号；③不要漏乘。 31．若，则_____________ . 32．将2阶行列式定义为，若，则______． 33．关于的一元一次方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之和为______ 34．下列解方程过程中的变形正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 题型十一：去分母 解题思路：①两边同乘分母最小公倍数；②无分母项也要乘；③分子是多项式，去分母后整体加括号。 35．已知与相等，则m的值为________． 36．解方程，以下去分母正确的是（     ）． A． B． C． D． 37．一段路程分为平路和上坡两段，平路和上坡的路程之比为，总路程为．汽车在平路匀速行驶的速度为，在上坡匀速行驶的速度为，行驶该路程的总用时可表示为．若把该等式变形为已知，，，求，可得__________． 38．方程，可以化成（） A． B． C． D． 题型十二：已知一元一次方程的解，求参数 解题思路：①把已知解代入方程；②留意隐藏条件：一次项系数≠0；③求参数并检验。 39．若是关于的一元一次方程的解，则的值为__________． 40．已知关于x的一元一次方程的解是，则m的值为（     ） A．2 B．3 C． D．0 41．某同学在解方程去分母时，方程右边的忘记了乘3，因而求得方程的解为，则的值为_____． 42．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型十三：一元一次方程解的关系 解题思路：①先分别求出两个方程的解；②根据题意（相等/相反数/倍数）列等式；③求参数。 43．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为_______． 44．代数式的值随x的取值而发生变化（a、b表示非零常数），如表，则关于x 的一元一次方程的解为（   ） x …… 0 1 …… …… 2 4 6 …… A． B． C． D． 45．若关于的方程的解为，则关于的方程的解为________． 46．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”，则关于y的方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型十四：绝对值方程 解题思路：①利用绝对值定义：|A|=B，前提B≥0；②拆成A=B、A=-B两个一元一次方程；③分别求解并检验。 47．若，则x的值为______． 48．方程的解是（   ） A． B．或 C． D．或 49．若，且满足，则的值为__________． 50．方程解的个数是（   ） A． B． C． D．无数个 解答题 1．计算 (1) (2) (3) (4) 2．【背景材料】 有规律的跑步训练有利于身体健康．以最大心率的几分之几作为运动时的“目标心率”，可以更有效地达到不同的训练目的，常见的运动强度与目标心率存在的对应关系如下表所示．已知计算最大心率的通用公式为：最大心率年龄． 运动强度 脂肪燃烧 有氧耐力 无氧耐力 目标心率（次/分钟） 最大心率的 最大心率的 最大心率的 【问题解决】 (1)某女士40岁，若她想以脂肪燃烧的运动强度跑步，则她的目标心率为多少次/分钟？ (2)小明在健身时，教练要求他以有氧耐力的运动强度进行跑步．如果小明当前的目标心率是150次/分钟，那么他的年龄是多少岁？ 3．解方程 (1) (2) (3) 4．解方程：． 解：①当时，解得； ②当时，解得． 所以原方程的解是或． (1)解方程：； (2)解方程：． 5．已知关于的方程． (1)若，求方程的解； (2)若方程有无数个解，求，的值； (3)若为正整数，时，求方程的整数解． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $