专题3.3整式的加减(15大题型+典题专练) 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

专题3.3整式的加减 题型梳理 [题型1同类型得判断] [题型8整式的加减应用] [题型2已知同类项求指数中字母或代数式的值] [题型9单项式的判断.系数.次数] [题型3合并同类项] [题型10单项式的规律] [题型4去括号添括号] [题型11多项式系数.项数或次数] [题型5整式的加减运算] [题型12多项式系数,指数中字母求值] [题型6整式加减中的化简求值] [题型13数字类规律探索] [题型7整式加减中的无关型问题] [题型14图形类规律探索] [题型15带有字母的绝对值化简问题] (整式的加减：核心知识点与解题指南) 整式的加减是代数运算的基础,以下从核心概念、运算法则、解题步骤、易错点、经典例题五个维度，系统梳理整式加减的相关知识。 一、核心概念：明确整式的构成 概念 定义 示例 注意事项 单项式 由数或字母的积组成的代数式（单独的一个数或一个字母也叫单项式） 3x、−5、xy2 *.单项式的系数：数字部分; *单项式的次数：所有字母的指数和 多项式 几个单项式的和（或差） 2x+3y、x2−4x+5 *多项式的项：每个单项式；多项式的次数：次数最高的项的次数 整式 单项式和多项式的统称 上述单项式、多项式均为整式 整式中分母不含字母 同类项 所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式（常数项都是同类项） 3x与−5x、2xy2与xy2、7与−3 同类项与系数无关、与字母顺序无关。 二、核心运算法则：整式加减的 “两步走” 整式加减的最终目标是将代数式化简，核心步骤为 “去括号” 和 “合并同类项”，两个步骤可灵活结合（先去括号，再合并同类项；或部分去括号，部分合并）。 1. 第一步：去括号法则（关键前提） 去括号时需根据括号前的 “+”“-” 号判断符号变化，避免符号错误： *括号前是 “+” 号：去掉括号和 “+” 号，括号内各项符号不变； 示例：+(2x−3y+1)=2x−3y+1。 *括号前是 “-” 号：去掉括号和 “-” 号，括号内各项符号都要改变（“+” 变 “-”，“-” 变 “+”）； 示例：−(x−2y−3)=−x+2y+3。 *括号前有数字因数：先将数字因数乘到括号内，再按上述规则去括号（或直接利用乘法分配律去括号）； 示例：2(3x−y)=6x−2y（分配律：2×3x−2×y）；−3(x+2y)=−3x−6y（分配律 + 符号变化）。 2. 第二步：合并同类项法则（化简核心） 合并同类项是将同类项的 “系数相加”，字母和字母的指数保持不变，本质是 “逆用乘法分配律”： **步骤：①找出同类项（用不同标记区分，如波浪线、横线）； ②将同类项的系数相加； ③保留同类项的字母和指数。 三、整式加减的完整解题步骤（通用模板） 无论是 “单项式加减”“多项式加减”，还是 “整式的化简求值”，均可遵循以下步骤： 1. 写算式：根据题意列出整式加减的算式（注意：“减去一个整式” 需加括号，如 “A减B” 写作A−B，若B是多项式，需写A−(B)）； 2. 去括号：按去括号法则去掉所有括号（若有多层括号，可从内到外或从外到内，建议从内到外逐步去）； 3. 找同类项：将所有同类项归类（可在原式中标注，避免遗漏）； 4. 合并同类项：按法则合并同类项，得到最简整式（若结果中无同类项，即为最终化简结果）； 5. 求值（若需）：若题目给出字母的具体值，将值代入最简整式中计算（代入前需确认化简正确，避免复杂运算） 四、高频易错点提醒（避坑指南） 整式加减的错误多集中在 “符号” 和 “同类项判断”，需重点关注： 1. 去括号符号错误：括号前是 “-” 时，漏变括号内部分项的符号； 2. 同类项判断错误：误将 “字母不同” 或 “指数不同” 的项当作同类项； 3. 合并同类项时系数计算错误：忽略系数的正负号，或加减计算失误； 4. 多层括号处理混乱：建议从内到外逐步去括号，每去一层括号后可先合并同类项，减少后续步骤的复杂度； （练习题) [题型1同类型得判断] 1．请写出一个能与合并成一项的单项式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由于单项式能与合并成一项，可知这个单项式与是同类项，据此写出单项式即可． 【详解】解：因为所求单项式能与合并成一项， 所以这个单项式与是同类项， 所以这个单项式可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 2．下列各组单项式中是同类项的是（   ） A．与a B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】此题考查了同类项的概念．根据同类项的概念，对选项逐个判断即可，所含字母相同并且相同字母的次数相等的单项式为同类项． 【详解】解：A、所含字母不相同，不是同类项，不符合题意； B、所含字母不相同，不是同类项，不符合题意； C、所含字母相同，相同字母的次数相等，是同类项，符合题意； D、所含字母相同，但是相同字母的次数不相等，不是同类项，不符合题意； 故选：C． 3．下列说法中，正确的有（    ） ①有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数；②如果 ，那么 ；③是八次单项式；④是七次二项次；⑤是单项式；⑥与是同类项． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类，绝对值的意义，整式的有关概念，根据有理数的分类，绝对值的意义，整式的有关概念逐项判断即可求解，掌握有理数的分类、绝对值的意义及整式的有关概念是解题的关键． 【详解】解：①有理数分为正整数、负整数、、正分数、负分数，该选项错误，不合题意； 如果 ，那么，该选项错误，不合题意； ③是六次单项式，该选项错误，不合题意； ④是四次二项次，该选项错误，不合题意； ⑤是多项式，该选项错误，不合题意； ⑥与是同类项，该选项正确，符合题意； ∴正确的只有个， 故选：． 【点睛】本题考查了合并同类项：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变． 4．单项式和是同类项，关于的多项式中项的系数是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类项的定义，合并同类项，多项式的定义，先根据同类项的定义得出，再由项的系数是得出，求出的值，然后代入求值即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵单项式和是同类项， ∴， ∵关于的多项式中项的系数是， ∴， 解得：，， ∴， 故答案为：． 5．关于x，y的单项式，若x的指数与y的指数是相等的正整数，则称该单项式是“等次单项式”．给出下面四个结论：①是“等次单项式”；②“等次单项式”的次数可能是奇数；③两个次数相等的“等次单项式”的和一定是“等次单项式”；④若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则它们中必有同类项．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查同类项，合并同类项，单项式的次数，根据新定义，结合同类项以及合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：中x的指数与y的指数是相等的正整数，是“等次单项式”；故①正确； “等次单项式”的次数必为偶数，不可能是奇数；故②错误； 两个次数相等的“等次单项式”的和不一定是“等次单项式”，可能为0，故③错误； 若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则，y的最大为4，则它们中必有同类项．故④正确； 故选B． 6．先化简，再求值，，其中． 【答案】，48 【分析】首先根据整式的加减运算法则化简，再把字母的值代入计算． 【详解】解：原式= = =， ∴当时， 原式= =48． 【点睛】本题考查整式加减运算的化简与求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． . [题型2已知同类项求指数中字母或代数式的值] 7．如果单项式与是同类项，那么的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查同类项的定义，由同类项的定义求出、的值，进而求出的值解题的关键． 根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项．因此，两个单项式中x的指数和y的指数必须分别相等． 【详解】由同类项的定义，得，， 解得， 所以． 故答案为：3． 8．若单项式与的和是单项式，则的值是（   ） A．3 B．10 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了同类项，根据同类项的定义求出m，n的值是关键． 根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，求出m，n的值，代入计算即可． 【详解】解：∵单项式与的和是单项式， ∴单项式与是同类项， ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A 9．若单项式与是同类项，则的值为（   ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了同类项的定义，解题的关键是根据同类项定义求出、的值． 根据同类项定义得，，代入计算． 【详解】解： 单项式与是同类项， ，， ． 故选：A． 10．在下列说法中，正确的是（    ） A．若与是同类项，则 B．的次数为6 C．是四次三项式 D．的系数为 【答案】A 【分析】本题主要单项式次数和系数的定义 ，多项式的次数和项的定义，同类项的定义，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；几个单项式的和的形式叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此可得答案． 【详解】解；A、若与是同类项，则，则，原说法正确，符合题意； B、的次数为5，原说法错误，不符合题意； C、是三次三项式，原说法错误，不符合题意； D、的系数为，原说法错误，不符合题意； 故选；A． 11．已知与的差为单项式，则的值为（   ） A． B．1 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查了同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题关键． 两个单项式的差为单项式，说明它们是同类项，因此相同字母的指数必须相等． 【详解】∵ 两个单项式的差为单项式， ∴ 它们是同类项， ∴ 的指数相等：， 的指数相等：， 代入 ，得，∴， ∴ 故选C． 12．已知和是同类项，则 ，此时的值为 ． 【答案】 2 13 【分析】本题考查同类项定义及去绝对值，解题的关键是根据字母及字母指数都相同的项列式解出x的值．然后代入去绝对值即可得到答案． 【详解】解：∵和是同类项， ∴， 将代入得， ， 故答案为：2，． 13．如图是某手机的摄像头的大致图象，在长为，宽为的长方形中，三个半径为的大圆是摄像头，右侧的小圆为照明灯且面积是一个大圆面积的． (1)求阴影部分的面积（用含的代数式表示）； (2)若与是同类项，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式，代数式求值，同类项，正确的列出代数式，熟练掌握同类项的定义，是解题的关键： （1）用长方形的面积减去4个圆的面积，列出代数式即可； （2）根据同类项的定义，求出的值，代入（1）中的代数式求值即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为； （2）与是同类项， ， 阴影部分的面积为． [题型3合并同类项] 14．下列运算一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的运算和合并同类项，需根据运算法则逐一验证每个选项是否恒成立． 【详解】解： A、，不成立； B、，不成立； C、，仅当时成立，不一定成立； D、，恒成立． 故选：D． 15．下面结果相等的一组式子是（   ） A．和2a B．和 C．2a和 【答案】C 【分析】本题考查代数式的意义及运算，解题关键是理解不同代数式（乘方、乘法分配律、加法）的运算规则，通过分析或举例判断式子是否相等； 通过化简各选项中的代数式，判断其是否相等． 【详解】A．表示的平方，而是的两倍．当时，两者均为4，但时，，，结果不相等，故本选项不符合题意； B．，显然，故本选项不符合题意； C．和：合并同类项后为，与完全一致，无论取何值均相等，故本选项符合题意； 故选：C． 16．代数式的值（   ） A．只与字母a有关 B．与字母a、b都有关 C．只与字母b有关 D．与字母a、b都无关 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握合并同类项的计算是解题的关键． 通过合并同类项简化代数式，根据简化结果判断与字母的关系即可． 【详解】解： ， 则代数式的值与字母、都有关， 故选：B． 17．若多项式与多项式的差不含二次项，则m等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握整式加减运算法则． 先求两个多项式的差，合并同类项后，令二次项的系数为零，解方程即可． 【详解】解：计算两个多项式的差： ， 由于差不含二次项，则二次项系数， 解得 ． 故答案为：． 18．如图，6张全等的小长方形纸片放置于矩形中，设小长方形的长为，宽为，若要求出两块黑色阴影部分的周长差，则只要测出下面哪个数据（    ） （小蜜蜂提醒：小长方形有部分重叠） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式加减的应用，准确识图，利用平移思想分析得出两块阴影部分的周长之差即为长方形和长方形的周长之差是解题关键．延长交于点K，根据图形得出，，，，根据题意得出，两块阴影部分的周长差为：，然后去括号，合并同类项得出结果，作出判断即可． 【详解】解：延长交于点K，如图所示： 由题意可得：，，，， 结合平移思想可得两块阴影部分的周长之差即为长方形和长方形的周长之差， 两块阴影部分的周长差为： ， 若要求出两块黑色阴影部分的周长差，则只要测出数据b， 故选：B． 19．合并同类项的结果为（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查合并同类项，根据题意弄清式子的规律是解本题的关键． 与结合，与结合，依此类推相减结果为，得到506个，计算即可得到结果． 【详解】解： ， 故选：A． 20．已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（    ） ①若，则 ② ③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查整式的规律，理解题意并根据已有代数式归纳出规律是解题的关键． 根据题目找出规律逐个判断即可解答． 【详解】解：由题意得：，，，，，，，，，， 若，则，故①正确； ，故②正确； 推理得：奇，偶，奇，三个为一个周期，故前2024个式子中，，则a的系数为偶数的代数式有675个，故③错误． 记前n个式子的和为，则，， 所以， 因为 ， ∴， 故④错误． 故选B． 21．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则；“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值； 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）9；（3） 【分析】本题考查的是合并同类项，求解代数式的值，添括号的应用，熟练的利用整体代入法求解代数式的值是解本题的关键． （1）把看作是整体，再合并同类项即可； （2）把化为，再用整体代入法求解代数式的值即可； （3）先去括号，再整体代入计算即可． 【详解】解：（1）∵． （2）∵， ． （3）∵，，， ∴， ∴     ． 22．现有2021个关于x、y、z三个字母一起构成的十次单项式，每个单项式的三个字母的指数都不相同，则这些单项式之和的项数最大不会超过 ． 【答案】24 【分析】根据题意依次列举出所有符合题意的单项式（系数假设为1），由此即可求得答案． 【详解】解：由题意可得： 若x的次数为1，则符合题意的单项式有，共6种； 若x的次数为2，则符合题意的单项式有，共4种； 若x的次数为3，则符合题意的单项式有，共4种； 若x的次数为4，则符合题意的单项式有，共2种； 若x的次数为5，则符合题意的单项式有，共4种； 若x的次数为6，则符合题意的单项式有，共2种； 若x的次数为7，则符合题意的单项式有，共2种； 由上可得：关于x、y、z三个字母一起构成的十次单项式，每个单项式的三个字母的指数都不相同，且互不为同类项的一共有6+4+4+2+4+2+2＝24（种）， ∴若有2021个关于x、y、z三个字母一起构成的十次单项式，每个单项式的三个字母的指数都不相同，则这些单项式之和的项数最大不会超过24， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了单项式的定义以及同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解决本题的关键． [题型4去括号添括号] 23．下列去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查去括号、添括号．根据去括号和添括号的规则：括号前是“”号，去括号后各项符号不变；括号前是“”号，去括号后各项符号改变．依次验证各选项即可． 【详解】解：A，∵ ，而右边为 ，∴ A错误； B，∵ ，而右边为 ，∴ B错误； C，∵ ，与左边 相等，∴ C正确； D，∵ ，而左边为 ，∴ D错误． 故选：C． 24．（1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． （1）“被减数=差+减数”，合并同类项即可； （2）“减数=被减数-差”，展开被减数合并同类项即可． 【详解】解：（1） 故答案为：． （2） 故答案为：． 25．已知，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值、去括号、添括号等知识点，将原式变形成是解题的关键． 先运用去括号、添括号将原式变形成，然后将已知等式代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 26．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，添括号，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 将待求式子通过逆用分配律，再整体代入求值． 【详解】解：当时， ， 故选：D． 27．已知，，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加减和用代数式求值，关键将整式变形为含有所给数值的代数式．用提取公因式的方法将代数式进行变形，再将数值代入求值． 【详解】解： ， 把，代入， 则： ， 故选：D． 28．在多项式：中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如：选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第（）轮“加括号操作”． 下列相关说法正确的个数是： ①存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； ②不存在第（）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； ③对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了推理能力，整式加减混合运算，根据说法举出例子论证，以证明其正确与否即可解答，解题的关键是能根据其说法举出相应的正例或反例． 【详解】解：选择进行“加括号操作”得到， 与原多项式相等，故说法正确； ∵无论选择哪两个字母，的正负是不发生改变的， ∴任何一轮“加括号操作”与原多项式相加是无法消去， ∴不存在第轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为是正确的； 对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果， 举出反例：选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 选择进行“加括号操作”，得到， 结果数大于四种，故说法错误； ∴正确的个数为 故选：． 29．在多项式中，先任意添加一个括号，再交换括号内首项和末项的符号，最后将所得式子化简，称之为“加换操作”．例如：，，…给出下列说法： ①存在某种“加换操作”，使其结果为； ②不存在某种“加换操作”，使其结果与原多项式的和为0； ③所有的“加换操作”共有8种不同的结果． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，直接罗列出所有的可能，作答即可． 【详解】∵ ∴①说法正确； 若要使结果与原多项式的和为0， 则末项的必须变号，则括号之前的符号必须是负号， 如果括号前是负号，则添加的括号必定不含首项， 则此时如何添加括号，无法使得的符号为负号， 所以不可能使得结果与原多项式的和为0， ∴②说法正确 第1种：； 第2种：； 第3种：； 第4种：，与第2种重复； 第5种：； 第6种：； 第7种：； 第8种：； 第9种：，与第2种重复； 第10种：； 减去重复的结果，总计有8种结果， ∴③说法正确 ∴正确的个数为3 故选：D． [题型5整式的加减运算] 30．已知 ，则整式A 是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据题意可得，据此根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C． 31．小莹回到家拿出自己的课堂笔记复习，她突然发现一道题目：空格的地方被墨水弄脏了，请问空格中的一项是 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握移项、去括号法则是解题的关键． 将等式右边的已知项移到左边，再去括号，合并同类项即可解答． 【详解】解：依题意，空格中的一项是： ． 故答案为：． 32．如果A是一个五次整式，B是一个四次整式，则一定是（    ） A．次数大于五次的整式 B．五次整式 C．九次整式 D．次数小于五次的整式. 【答案】B 【分析】本题考查整式的加减.多项式的次数由最高次项决定. 【详解】解：∵整式相减后的次数不超过原式中较高的次数， 又∵A是五次整式，B是四次整式， ∴的次数至多为五次， 并且A的五次项系数在减法中不会被B影响，因为B最高为四次项， ∴中仍存在五次项， ∴一定是五次整式. 故选：B. 33．下列说法中正确的个数有（   ） ①是次单项式；②整式是四次五项式；③任何数的零次幂都等于；④两个五次整式的和是一个不大于次的整式或整式． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查单项式的次数、多项式的次数与项数、零指数幂以及整式的加法，关键是熟练应用知识点解题；根据定义逐项判断正误即可. 【详解】解：对于①： ∵ ，是常数，单项式的次数为0， ∴ 不是2次单项式，说法错误； 对于②： ∵ 整式 可化简为 ，最高次项 的次数为3，项数为4， ∴ 不是四次五项式，说法错误； 对于③： ∵ 零指数幂规定中， 无意义， ∴ 不是任何数的零次幂都等于1，说法错误； 对于④： ∵ 两个五次整式相加，最高次项系数可能互为相反数而抵消， ∴ 它们的和的次数不大于5次或为整式， ∴ 说法正确； 综上，只有④正确， 故答案选：A. 34．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式的加减．根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可得，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即． 故选：D． 35．已知正整数a，b，c满足，，则的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，整式的加减运算，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键．由已知等式相加得，则的值随的增大而减小，根据 为正整数，确定的最小值和最大值，进而求出的最大值和最小值，并计算其差． 【详解】解：∵ ，， ∴ ， 即 ， ∴ ． ∵ 均为正整数， 由 ，得 ，， 由 ，得 ，， 综上，的最小值为1，最大值为． 当 时，（最大值）， 当 时，（最小值）， ∴ 最大值与最小值的差为 ． 故答案为：. 36．如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第个图形比第个图形多几枚棋子（其中是正整数），正确答案是（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类规律探索，以及整式的加减混合运算，发现规律是解答本题的关键． 观察前个图形可知每个图形需要的棋子数为序号的倍，进而得到第个图形有枚棋子，第个图形有枚棋子，再作差求解，即可解题． 【详解】解：由图知，第个图形有枚棋子， 第个图形有枚棋子， 第个图形有枚棋子， ，依此类推， 第个图形有枚棋子，第个图形有枚棋子， 因为， 所以摆第个图形比第个图形多枚棋子； 故选：B． 37．我市某乡，两村盛产柑橘，村有柑橘200吨，村有柑橘300吨．现将这些柑橘运到，两个冷藏仓库，已知仓库可存储240吨，仓库可存储260吨；从村运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从村运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从村运往仓库的柑橘重量为x吨．请分别求出、两村运往两仓库的柑橘的运输费用 ， ； 【答案】 从村运往，两处的费用为元 从村运往，两处的费用为元 【分析】本题考查代数式的应用，代数式求值，整式的运算，读懂题意，找到等量关系是解题的关键． 村有柑橘200吨，村有柑橘300吨．现将这些柑橘运到，两个冷藏仓库， 村运到村的柑橘有吨， 已知仓库可存储240吨，仓库可存储260吨，村运到村的柑橘有吨，村运到村的柑橘有吨，填表即可；根据第中表格数据和题中给出的运输费用列式求解即可． 【详解】解：村有柑橘200吨，村有柑橘300吨．现将这些柑橘运到，两个冷藏仓库， 村运到村的柑橘有吨， 已知仓库可存储240吨，仓库可存储260吨， 村运到村的柑橘有吨，村运到村的柑橘有吨， 故填表如下： 总计 200 300 总计 240 260 500 从村运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从村运往，两处的费用分别为每吨15元和18元， 那么从村运往，两处的费用为：元 那么从村运往，两处的费用为：元 故答案为：从村运往，两处的费用为元，从村运往，两处的费用为元． 38．将1，2，3，…，50这50个整数，任意分为25组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，代入代数式 中进行计算，求出其结果，25组数代入后可求得25个值，则这25个值的和的最大值是 ． 【答案】950 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，绝对值的化简，解题的关键是理解题意，找出规律． 分析出代数式 的值等于a和b中的较大数，将较大的数配对较小的数，然后求和即可． 【详解】解：对于每组两个数a和b，当时，； 当时，同理可得值为b； 因此，该代数式的值等于a和b中的较大数， 25个值的和等于25组中每组较大数的和，要最大化这个和，应将较大的数配对较小的数，使得每组较大数尽可能大， 故将26至50这25个数与1至25这25个数配对，此时每组较大数均为26至50中的数，这些数构成等差数列，首项为26，末项为50，项数为25，和为， 故答案为：950． [题型6整式加减中的化简求值] 39．若，则多项式的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先简化多项式，然后利用条件代入求值即可． 【详解】解： ． 故选：A． 40．若代数式的值为，则代数式的值为 ． 【答案】14 【分析】先对原式进行去括号，化简整理，然后根据条件变形后整体代入求解即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：14． 【点睛】本题考查整式加减运算与化简求值，掌握整式的加减运算法则，熟练使用添、去括号法则是解题关键． 41．在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算和代数式求值，本题先将化简为，然后再逐一核对选项，即可求解． 【详解】解： ， A、甲说：“当时，原式”，错误，原式应该，符合题意； B、 乙说：“当时，原式”，正确，不符合题意； C、丙说：“当时，原式”， 正确，不符合题意； D、丁说：“当取1或时，原式的值都是”，正确，不符合题意； 故选：A． 42．若单项式与是同类项，则的值为 ． 【答案】64 【分析】先根据同类项的定义求出的值，然后化简原式，把的值代入化简后的原式求解即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 又∵ ∴原式 ． 故答案为：64． 【点睛】本题主要考查了整式的化简求值以及同类项的定义，利用同类项的定义求出的值是解题的关键． 43．已知，若的值与a的取值无关，则b的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式运算，利用“与某字母无关”的条件建立方程求解参数是解题的关键．首先计算的表达式，合并同类项后，根据其值与无关的条件，令所有含的项的系数为零，解方程求出的值即可． 【详解】解： 的值与a的取值无关， ，解得：． 故选：A． 44．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)结果的大小与的取值无关，0 【分析】本题主要考查整式的加减，涉及的知识有：去括号、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）由得，将C、A代入计算可得； （2）将A、B代入计算即可； （3）由化简后的代数式中无字母c可知其值与c无关，将a、b的值代入计算即可. 【详解】（1）解：∵ ∴ . 故的表达式为. （2）解： . 故正确的结果的表达式为. （3）解：由（2）得 ∵代数式中无字母c ∴其值与c无关是对的 将，代入得： . 45．已知整式N：，其中系数，，，，均为整数，满足，且（其中，1，2，3），下列说法正确的个数是（    ） ①存在满足条件的整式N，当时，； ②若整式N满足，当时，，则的值为6； ③若，则满足条件的整式N共有8个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查整式系数的条件限制，需根据差值范围和平和条件逐一验证三个说法的正确性 【详解】解：①当时，，即， 取，，，，，满足且差值均为（即 ），总和为，故①正确； ②已知且时，即， 设（），且， 由（推导自总和方程），解得仅有两种可能： ，则 ； ，则 ， 故恒成立，②正确； ③已知，且，则，可能为 、、（无效因差值）， 差值，需满足且， 设为的个数，则，故， 当为时：，，则有个整式； 当为时：，，则有6个整式； 当为时：，，则有个整式， 则，故③正确。 综上，①②③均正确， 故选：D [题型7整式加减中的无关型问题] 46．小明准备完成题目，化简，发现系数“▇”印刷不清楚，小明妈妈说：“我看到该题的标准答案不含的二次项，”则系数“▇”是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握合并同类项法则，根据不含某一项则其系数为是解题的关键．通过设“■”为未知数，对原式进行化简，根据不含的二次项这一条件，令二次项系数为，进而求解未知数． 【详解】解：设“■”为， ∵ 原式为， ∴ 展开得， ∴ 合并同类项得， ∵ 化简后不含的二次项， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 47．多项式与多项式的和不含的二次项，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，将两个多项式相加，合并同类项后，根据和不含二次项，令二次项的系数为零，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， 又∵和不含二次项， ∴ 解得： 故选：C． 48．定义：任意两个数a、b，按规则扩展得到一个新数c，称所得的新数c为“理想数”．若，，“理想数”c的值与x的值无关，则y的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查整式加减中无关类型，根据“理想数”的定义，代入和的表达式，得到关于和的表达式，再根据的值与无关，即的表达式中的项系数必须为零，从而解出的值． 【详解】解：由，， 则 ， ∵的值与无关，故的系数为零， ∴， 解得． 故答案为：． 49．已知，． （1）当时，化简： ． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，牢记运算顺序“先合并同类项，再代入求值”是解题关键． 【详解】解：（1） 将代入得： ． （2） 的值与x的值无关， ， 50．已知，则下列说法： ①若的值与的取值无关，则； ②当时，若，则或； ③当时，若有最小值． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式的加减混合运算，解绝对值方程，解一元一次不等式组等知识，掌握多项式的加减混合运算以及分类讨论的思想是解答本题的关键． ①先表示出，根据的值与x的取值无关，即可知含x的项的系数为0，据此即可计算；②代入，可得，解方程即可求解；③根据题意得出，代入原式得，然后分情况分析求解即可． 【详解】解： ① ， ∵的取值无关， ∴， ∴，故①错误； ② 当时， 解得：或；故②错误； ③∵， ∴当时，， ∴， 当时，即， 原式， 此时时，有最小值为， 当时，即， 原式， 此时， 当时， 原式， 当时，即， 原式， 此时时，原式有最小值为， 综上，当时，若有最小值，故③错误； 综上分析可知：正确的有0个． 故选：A． 51．把4张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1，长为b，宽为a）不重叠地放在如图2所示长方形盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分面积分别为．记的长为x，若的值与x无关，则可表示为 ．（用含a的式子表示） 【答案】 【分析】此题考查了整式加减的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．根据，可求面积为的长方形的另一条边长为，面积为的长方形的另一条边长为，表示出，根据的值与无关，可得，依此用含的式子表示的值． 【详解】解：， ∴面积为的长方形的另一条边长为，面积为的长方形的另一条边长为， ∴ ， 的值与无关， ∴， ∴． 故答案为：． 52．图1是长为a，宽为b（a，b为常数，且）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，且S为定值，则S的定值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，面积分别为，的两个长方形知道其中一边，于是设这两个长方形的另一边，则其面积可以表示出来，再由面积差为定值，可求得与的关系，根据这个关系即可求得定值． 【详解】由题意知，面积为的长方形一边为，设另一边为；面积为的长方形一边为，设另一边为，则， 由图知：，即， ∴， ∵为定值， ∴， 即， ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式及多项式中的无关问题，关键是设两个长方形的另一边长，并表示其面积，由面积差为定值求得与的关系． 53．已知3个多项式分别为：，，． ①若，则； ②无论x取何值，一定都有； ③若的值与x无关，则，； ④代数式化简后共有3种不同的表达式． 其中正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了去绝对值，整式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．将、、按要求代入各选项计算即可． 【详解】解：①∵， ， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：，故①不正确； ②∵， ∴，故②正确； ③ ， ∵的值与x无关， ∴，，则， 即：， 解得：，，故③正确； ④ ， 当时，原式， 当时，原式， 当时，原式， ∴代数式化简后共有3种不同的表达式，故④正确； 故答案为：②③④． [题型8整式的加减应用] 54．从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开，然后拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的加减．根据题意以及图形列出代数式，进行化简即可． 【详解】解：根据题意，得该长方形的长为， 故选：B． 55．某文具店先以每本m元的价格购进了120本笔记本，后又以每本n元的价格购进了100本另一款笔记本，其中．若在“双11”促销活动中，将这220本笔记本以每本元的价格全部售出，则该文具店的盈亏情况是（   ）． A．亏损了 B．盈利了 C．不盈不亏 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查的是列代数式，计算总成本与总收入的差值，根据判断盈亏． 【详解】解：总成本为元，总收入为 元． ∴利润， 又∵ ， ∴ ， ∴ ，即利润为正． ∴ 盈利了． 故选：B 56．已知有理数a，b，且，下列选项中最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，掌握相关知识是解决问题的关键．两式比较大小可用做差法，若差为正数，则被减式大；若差为负数，则减式大；若差为零，则两式的值相等． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即C选项式子的值大于A选项式子的值； ∵， ∴， 即C选项式子的值大于B选项式子的值； ∵， ∴， 即C选项式子的值大于D选项式子的值； 综上所述，C选项式子的值最大， 故选：C． 57．有一道数学题“已知两个多项式A、B，且，求．”小华在做这道题时，误把“”看成了“”，结果得到，则A的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键是掌握整式加减的运算法则． 根据误算得到的的结果和已知B，通过直接计算A的表达式． 【详解】解：∵ ，且， ∴ 故A的表达式为， 故选：C． 58．我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的实际应用，设右下角的数为，则左下角的数为，即得中间的数为，进而得到，即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设右下角的数为，则左下角的数为， ∴中间的数为， ∴， 解得， 故答案为：． 59．已知整式，其中为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（    ） ①若，则多项式可以为二次三项式； ②若，满足条件的所有整式的和为； ③若，满足条件的整式共有7个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了整式的定义、正整数的严格递增分解及分类讨论思想的应用，解题的关键是根据系数为正整数且严格递增、系数乘积为A的条件，全面分解A的正整数组合，对应整式的项数与次数，逐一验证每个说法的正确性． 先明确整式M的系数特征，再针对每个说法中A的值，梳理所有符合条件的系数组合及对应整式，进而判断说法是否成立． 【详解】解：①时，二次三项式对应3个系数(分别对应常数项、x项、项)，需满足为正整数、且 6分解为3个严格递增正整数的乘积：，对应整式为，该式是二次三项式，符合条件，故①正确； ②时，符合条件的系数组合及对应整式： 2个系数(一次二项式)：对应，对应，对应； 3个系数(二次三项式)：对应，对应； 所有整式的和为：，该结果与不相等，故②错误； ③时，符合条件的系数组合及对应整式数量： 2个系数：、、、，共4个； 3个系数：、、、，共4个； 4个系数：，共1个； 总计个，与“7个”不符，故③错误； 综上，正确的说法个数为1． 故选：B． 60．某居民楼共有三层，据调查发现：第一层有成年女子9人，男孩儿2人，女孩儿5人；第二层住有18人，其中成年男子10人，女孩儿1人；第三层有成年男子8人，成年女子4人，男孩儿6人；成年男子总数比成年女子总数多4人，男孩儿与女孩儿总数一样．则该居民楼共有居民 人． 【答案】60 【分析】本题考查了代数式应用，熟练是读懂题意，找到关键描述语，表示出相互关系是解题的关键， 设出第三层有女孩人，分别表示出第二次男孩人数，第二次成年女子人数，然后表示出所有成年女子人数及整个居民楼的居民数，化简即可得到答案． 【详解】解：设第三层有女孩人， 则第二层有男孩人， 第二层有成年女子人． 该居民楼成年女子总数为人， 该居民楼共有居民： 故答案为：60 61．对于任意一个四位数m，若它的个位数字不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数m为“顺利数”，将“顺利数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换得，并记．例如：4512不是“顺利数”，因为，；5621是“顺利数”，因为，，则 ．若A、B都为“顺利数”，记A的千位数字与个位数字分别为x、y，B的千位数字与个位数字分别为a、b（其中，、，x、y、a、b均为整数），若能被8整除，，则所有可能的值的和为 ． 【答案】 44 【分析】本题以新定义为背景，考查了整式的运算，因式分解，解题的关键是正确理解题意，明确题目所给“顺利数”的定义．对于，直接根据新定义求解即可；对于：先根据题意，得出，，再将化简，根据能被8整除，得出x和y的值，最后进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：； 设A的百位数为m，十位数为n， 则， ∴， ∴ ， ∵A为“顺利数”， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 整理得：， ∵能被8整除，，x、y均为非0整数， ∴， ∴， ∴，整理得：， ∴， ∵、，a、b均为整数， ∴， ， ∴，解得，此时， 或，解得，此时， 或，解得（不合题意，舍去）， 或，解得，此时， ∴所有的可能值的和为， 故答案为：44；． 62．对于一个四位正整数，若它的十位数字与个位数字的和等于千位数字与百位数字的和，则称这个四位数为“段和数”．现将的末尾数字放在首位，得到一个新的数字记为，再将的末尾数字放在首位得到，以此类推得到．记，则 ．已知、均为“段和数”，其中，（，，，，，且，，，，为整数），若，则当取最大值时，的值为 ． 【答案】 165 7557 【分析】本题主要考查整数的数字规律，整式加减的应用，正确理解题意是解题的关键．根据题目规律对进行计算即可；先由题得、，根据，得出，根据、均为“段和数”，得出， 最后分类讨论即可． 【详解】解： ． ∵， ∴， ， ， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ， ∴， ∵、均为“段和数”， ∴， ∴， ∵，，，，，且，，，，为整数，且p取最大值， 当，，时， ， 则，不符合题意； 当，，时， ， 则， ∵， ∴，，符合题意； ∴此时． 故答案为：165；7557． [题型9单项式的判断.系数.次数] 63．下列说法正确的是（   ） A．的次数是3 B．12是单项式 C．的系数为4 D．3是单项式的系数 【答案】B 【分析】本题考查的是单项式，正确理解单项式的系数和次数的概念是解题的关键． 根据单项式的系数和次数的概念判断． 【详解】解：A．的次数是4，故本选项说法错误，不符合题意； B．12是单项式，说法正确，符合题意； C．的系数为，故本选项说法错误，不符合题意； D．不是单项式，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 64．下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．任何一个有理数的偶次幂是正数 C．是六次单项式 D．一个数的平方是，这个数一定是 【答案】A 【分析】本题考查的是乘方的含义，单项式的概念与次数；根据单项式的定义与次数的含义可判断A，C，根据乘方及其逆运算可判断B，D，从而可得答案． 【详解】解：A． 是单项式，故符合题意． B． 任何一个有理数的偶次幂是非负数，故不符合题意． C． 是四次单项式，故不符合题意． D． 一个数的平方是，这个数是．故不符合题意． 故选：A． 65．单项式与单项式的和是单项式，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了同类项的概念，根据单项式与单项式的和是单项式可求，的值，从而求出代数式的值，解题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”：（）所含字母相同；（）相同字母的指数相同． 【详解】∵单项式与单项式的和是单项式， ∴单项式与单项式是同类项， ∴，，解得：，， ∴， 故选：． 66．若单项式与的和仍是单项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式的定义、同类项、代数式求值等知识点，利用同类项定义确定出m与n的值是解题的关键． 由题意得到两单项式为同类项，再利用同类项定义确定出m与n的值，最后代入代数式求解即可． 【详解】解：∵单项式与的和仍是单项式， ∴单项式与为同类项， ∴，， ∴ ∴． 故答案为：． 67．观察下列单项式：，则第个单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式规律探究，总结归纳出单项式的规律是解答本题的关键； 观察单项式序列的符号、系数和指数变化规律：符号正负交替，系数为偶数序列，指数与项数相同，由此归纳第个单项式的表达式； 【详解】解：给定单项式序列：，，，，，， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 由此类推，第个单项式为； 故答案为：； 68．已知代数式，，从第三个式子开始，每一个式子都等于前两个式子的和，，，下列说法：①；②前2023个式子中，的系数为奇数的式子有1349个；③．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了数字的变化规律以及单项式，找出规律是解题的关键．分别计算到的值，相加可判断（1）；找到各项的的系数，判断奇偶性，得到规律，即可判断（2）；将逐步拆分，根据结果即可判断（3）． 【详解】解：，，，， ， ， ， ， ， ， ，故（1）正确； 中的系数为奇数， 中的系数为奇数， 中的系数为偶数， 中的系数为奇数， 中的系数为奇数， 中的系数为偶数， 中的系数为奇数， 中的系数为奇数， 中的系数为偶数， 中的系数为奇数， ， 以3个式子为一周期，的系数分别为奇数、奇数、偶数， ， 前2023个式子中，的系数为奇数的代数式有个，故（2）正确； 故（3）错误； 综上所述，正确的有2个， 故选：C． 69．一个关于x的单项式，系数为正整数．甲将x换成2x后计算了所得单项式系数与次数之差（系数减次数）；乙将x换成x2后也计算了所得单项式系数与次数之差．现知甲得到的结果是2013，乙得到的结果是偶数，则乙得到的结果是 ． 【答案】246 【分析】本题考查了单项式的有关计算． 设原来的单项式为（a为正整数），则甲：，则①，乙：，则偶数②，结合a、n的奇偶性分类讨论即可． 【详解】解：设原来的单项式为（a为正整数）， 甲：，则 ①， 乙：，则偶数 ②， 由②知，a是正偶数，又由①知，n是奇数， 当时，，则，，不合题意； 当时，，则，； 当时，，则，不合题意； 当时，，则，不合题意； 当时，，则，不合题意； 当时，，则，不合题意； 综上所述，． 故答案为：246． 70．如果两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”．如多项式与多项式，，3是单项式，则与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为3；又如多项式与多项式，，不是单项式，则与不是“孪生多项式”． (1)分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”；如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由： ①与；        ②与． (2)若与互为“孪生多项式”，和为常数，求的值； (3)在（2）问的条件下，若多项式（，，为常数且）与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，直接写出满足条件的多项式． 【答案】(1)①不是；理由见解析  ②是； (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式四则混合运算、求代数式值，准确理解新定义是解题的关键． （1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； （2）先运用题目中的定义求得m，n的值，再代入求解； （3）根据先求得，，再根据C与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，求出a，b的值，结合求出c的值，即得C表达式 【详解】（1）① 不是，理由： ∵，不是单项式， ∴①组多项式不是互为“孪生多项式”；， ②是， ∵，是单项式， ∴②组多项式是互为“孪生多项式”， 它们的“孪生式”为 （2）∵与互为“孪生多项式”， ∴，且， ∴， 故； （3）∵， ∴， ∴， ∵与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关， ∴，且， ∴， ∵， ∴， ∴． [题型10单项式的规律] 71．按一定规律排列的单项式第n个单项式是 ． 【答案】 【分析】根据题意，可得：奇数项为正，偶数项为负，其系数的数字为，从而得出第个单项式． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴第个单项式为：． 故答案为：. 【点睛】本题考查了单项式、数字的变化规律，解本题的关键在根据题中所给的单项式，分析出其存在的规律． 72．有一组单项式：，，，，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了数字变化规律，根据题意得出各项变化规律是解题关键．根据题意得出各项系数以及次数和分母的变化规律，即可得出答案． 【详解】解：注意观察各单项式系数和次数的变化， 系数依次是1（可以看成是），，，据此推测，第10项的系数为； 次数依次是2，3，4，5…据此推出，第10项的次数为11． 所以第10个单项式为． 故选：D． 73．按一定规律排列的一组式子依次为：，，，，，，按此规律排列下去，则这组式子中第个式子为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据这组式子的特点，对组成每个多项式的两个单项式系数和次数分别探索即可解决问题． 【详解】解：由题知：在这列式子中， 含的单项式的系数依次为：，，，，， 则第个式子中的系数为， 又的次数依次加， 则第个式子中的次数为； 含的单项式的系数依次为：，，，，，， 则第个式子中的系数为， 又的次数依次加， 则第个式子中的次数为； 综上所述：第个式子为， ∴第个式子为． 故选：A． 【点睛】本题考查数式的排列规律，能发现各项的系数和次数的特征是解题的关键． 74．观察下三行单项式： ，…；① ，…；② ，…．③ (1)第二行第6个单项式为________； (2)第三行第n个单项式为________； (3)取每行第8个单项式，求这三个单项式的和，记为M．并求出当时，M的值． 【答案】(1) (2)或 (3)；1 【分析】本题主要考查了单项式规律题、代数式求值、有理数的混合运算等知识，解题的关键是准确寻找单项式的变化规律． （1）根据给出示例，找出规律，进行求解即可； （2）根据给出示例，找出规律，进行求解即可； （3）根据找出的规律，列出代数式，然后进行化简整理，最后代数求值即可． 【详解】（1）解：根据给出的数列规律可得，第二行第个的单项式为， 第6个单项式为， 故答案为：； （2）解：根据给出的数列规律可得，第三行第n个单项式为或， 故答案为：或； （3）解：根据题意得， ， 当时，代入上式得， ． 75．观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． (4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． 【答案】(1)这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，第个单项式的系数的绝对值可表示为 (2)次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为 (3)第个单项式是 (4)第2023个单项式是，第2024个单项式是 【分析】（1）观察题目中的单项式，写出几个单项式的系数，发现系数的绝对值的规律是从1开始的连续奇数，用含的代数式表示第个单项式的系数的绝对值即可； （2）观察题目中的单项式，发现次数的规律是从1开始的连续自然数，用表示第个单项式的次数即可； （3）根据（1）、（2）发现的规律，用含的代数式表示第个单项式即可； （4）根据（3）中的表示第个单项式的代数式，写出第2023个，第2024个单项式即可． 【详解】（1）这组单项式的系数依次为，3，，7，，，，；系数为奇数且奇次单项式的系数为负数，故单项式的系数的符号是，系数的绝对值的规律是； （2）这组单项式的次数的规律是从1开始的连续自然数，第个单项式的次数表示为； （3）根据（1）、（2）发现的规律，第个单项式是； （4）根据（3）中的第个单项式是， 当时，代入写出第2023个单项式是， 当时，代入写出第2024个单项式是． 【点睛】本题考查了单项式的书写、单项式的系数和次数，观察题目中的单项式发现规律是解题的关键． [题型11多项式系数.项数或次数] 76．在多项式中，次数最高项的系数是（  ） A．4 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查多项式的定义，熟练掌握多项式的定义是解题的关键． 首先计算多项式中各项的次数，次数最高的项是，其系数即为答案． 【详解】解：多项式各项及其次数： ：次数为，系数为； ：次数为，系数为； ：次数为，系数为； ：次数为，系数为； 因此，次数最高项为，系数为， 故选：A． 77．下列关于整式的说法，正确的是（  ） A．单项式的次数是2 B．和是同类项 C．多项式是四次三项式 D．是单项式 【答案】C 【分析】本题考查了同类项、单项式和多项式的相关定义，根据同类项、单项式和多项式的相关知识点逐项分析即可得解，熟练掌握同类项、单项式和多项式的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、单项式的次数是3，故原说法错误，不符合题意； B、和不是同类项，故原说法错误，不符合题意； C、多项式是四次三项式，故原说法正确，符合题意； D、是多项式，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 78．以下四个选项是小丽同学的四道作业，其中有一道不正确，你认为是（   ） A．和m都是单项式 B．单项式的系数是 C．多项式的次数是4 D．多项式按的降幂排列为 【答案】D 【分析】本题考查了单项式与多项式，正确把握相关定义是解题的关键． 分别利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，进而得出答案． 【详解】解：A．和m都是单项式，故该选项正确，不合题意； B．单项式的系数是，故该选项正确，不合题意； C．多项式的次数是4，故该选项正确，不合题意； D．多项式按的降幂排列为，故该选项错误，符合题意； 故选：D． 79．若多项式是关于x的四次二项式，则m的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了多项式的次数，项数的定义，利用多项式的定义求参数，正确掌握多项式的定义是解题的关键． 根据四次三项式的定义得到，计算即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 故答案为：3． 80．已知整式，其中，，，，，均为不等于的整数．若，下列说法：满足条件的整式中只有个一次二项式；当时，满足条件的整式中，有个多项式使得成立；对于任意的正整数，所有满足条件的整式的和为．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的有关概念，根据，满足逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是一次二项式， ∴， ∴， ∴，或，或，或，； ∴满足条件的整式中只有个，故正确； 当时，，， ∴，，或，，或，，或，，或，，或，，， ∴满足条件的整式中有个，故正确； 若，满足， 则，也满足， ∴所有满足条件的整式的和为，故正确； 综上可知：正确， 故选：． 81．若整式化简后是关于、的三次二项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式，难度适中，注意先化简代数式，再求解． 根据三次二项式的定义，整式化简后应为两项，且最高次数为3．通过合并同类项后，令高次项系数为零，并调整另一项的次数至3． 【详解】解：． ∴ ， ， 解得 ，． ∴ ． 故答案为 ． 82．如图，若一个表格的行数代表关于x的整式的次数，列数代表关于x的整式的项数（规定单项式的项数为1），那么每个关于x的整式均会对应表格中的某个小方格．若关于x的整式A是三次二项式，则A对应表格中标★的小方格．已知B也是关于x的整式，下列说法正确的有 ．（写出所有正确的序号） ①若B对应的小方格行数是4，则对应的小方格行数一定是4； ②若对应的小方格列数是5，则B对应的小方格列数一定是3； ③若B对应的小方格列数是3，且对应的小方格列数是5，则B对应的小方格行数不可能是3． 【答案】①③/③① 【分析】根据多项式的次数与项数，整式的加减，逐项分析判断即可 【详解】解：是三次二次项式， 对应的行数是3，列数是2 ①若B对应的小方格行数是4，则是四次多项式，则也是四次多项式，则对应的小方格行数一定是4，故①正确； ②若对应的小方格列数是5，则说明是五项多项式，不一定是三项，有可能四项或五项，通过合并同类项之后仍为五项，故②不正确； ③若B对应的小方格行数为3，则与中存在的三次项，通过合并同类项之后的多项式的项数不可能为5，即的列数不为5， 所以B对应的小方格行数不可能是3；故③正确； 故答案为：①③ 【点睛】本题考查了多项式的次数与项数，合并同类项，弄起题意中的行数和列数分别对应次数和项数是解题的关键． [题型12多项式系数,指数中字母求值] 83．若多项式的次数是7，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式，解题关键是熟练掌握多项式的有关概念．根据题意得到，解方程求出即可． 【详解】解：多项式的次数是7， ∴ ∴． 故选：D． 84．已知多项式是五次四项式，单项式与多项式的次数相同．求m，n的值． 【答案】， 【分析】本题主要考查了多项式，单项式，掌握多项式，单项式的定义是关键．由多项式次数定义“多项式中次数最大项的次数称为多项式的次数”得到，由单项式次数定义“所有字母次数的和称为单项式次数”得到，解方程即可求出m、n的值． 【详解】解：∵是五次四项式， ∴， 解得：， ∵单项式与多项式的次数相同， ∴， 解得：． 85．若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式定义，代数式求值，熟练掌握多项式定义，是解题的关键．根据二次三项式的定义，多项式最高次项为二次且共有三项，因此三次项系数为零，且二次项指数为2，从而求出a和b的值，再代入计算多项式的值． 【详解】解：∵多项式为二次三项式， ∴三次项系数为零，即， ∴， 且最高次项为二次， ∴， 此时多项式为：， 当时，多项式的值为： ． 故选：D． 86．已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的次数和项数定义，根据三次三项式的定义，多项式需满足最高次数为3且共有三个项。通过分析各项的次数及存在性，确定有理数m的值，进而求出常数项． 【详解】解：∵多项式是三次三项式， ∴且， ∴且， 解得：． ∴该多项式的常数项为． 故选：B． 87．多项式与多项式相等，则 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，多项式相等的定义，多项式相等的条件为对应项系数相等，据此分别求出a、b、c的值并代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵多项式与多项式相等， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 88．若恒成立，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，求代数式的值，解题的关键是先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：∵， 又∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴， 即的值为． 故答案为：． 89．已知整式，其中n，为小于21的自然数．满足，且相邻两数之差不小于3．①若，则n的最大值为4；②若，则满足条件的整式有12个；③若，则满足条件的整式有28个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查多项式的系数规律问题，理解题意，根据递减条件、相邻系数差以及取值范围的约束条件，结合题干中的具体条件逐个分析解答即可． 【详解】解：①由题意，当时，，，，超出范围， 则n的最大值为4，故①正确； ②当时，，可取2，1，0，有3种情况； 当时，，可取1，0，有2种情况； 当，可取0，有1种情况； 当时，可取18，19，20，有3种情况，但当时，超出范围， ∴若，则满足条件的整式有个，故②错误； ②由题意，，则， ∴，又，超出范围， ∴，，， 当时，可取9、10、11、12、13、14、15，有7种情况； 当时，可取10、11、12、13、14、15，有6种情况； 当时，可取11、12、13、14、15，有5种情况； 当时，可取12、13、14、15，有4种情况； 当时，可取13、14、15，有3种情况； 当时，可取14、15，有2种情况； 当时，可取15，有1种情况； 当时，有0种情况， 故满足条件的整式有个，故③正确； 正确的个数有2个， 故选：C． [题型13数字类规律探索] 90．观察下列等式：，，，，，，解答下列问题：的末位数字是（    ） A．0 B．2 C．3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，3的幂的末位数字以4为周期循环，依次为．每个周期末位数字之和为20，末位为0．而，因此有506个完整周期和一项余项．506个完整周期末位和为0，故总和的末位数字为3． 【详解】解：∵，，，，，，， ∴个位数字以循环， 而，即506个完整周期，余1项． 每个完整周期末位数字之和为，末位为0． ∴ 506个完整周期末位和为0． ∴， ∴的末位数为3． 故选：C． 91．有一列数，记第个数为，已知，当时，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律，解题的关键是找出这一列数的规律． 计算数列的前几项，发现数列呈现周期性变化规律，周期为4，再根据2026除以4的余数确定对应项的值． 【详解】解：， ， ， ， ， ， …… 可见，数列从开始，以为周期循环，周期为4， 由于余，故， 故答案为：． 92．现有一根长的铁丝，小明第一次剪去铁丝的，第二次剪去剩下铁丝的，第三次再剪去剩下铁丝的，…，如此剪下去，则第次剪完后剩下铁丝的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，明确题意，准确得到规律是解题的关键．根据题意可得第一次剪去铁丝剩下的铁丝长度，依次求得第二次剪去铁丝剩下的铁丝长度，第三次剪去铁丝剩下的铁丝长度， 由此发现规律，即可求解第次剪完后剩下铁丝的长度． 【详解】解： 第一次剪去铁丝的，剩下的铁丝长度为， 第二次剪去剩下铁丝的，剩下的铁丝长度为， 第三次再剪去剩下铁丝的，剩下的铁丝长度为， ， 则第次剪完后剩下铁丝的长度是． 故选：C ． 93．用一个数对表示从左到右排列的两个数，把变换成称为1次“对调变换”．如：经过1次“对调变换”变成，即为，再经过1次“对调变换”变成．按照这样的规律，经过2025次对调变换后变成数对（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类规律题．根据题意求出前5次“对调变换”的结果，可得到规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得：经过1次“对调变换”变成，即为， 经过2次“对调变换”变成，即为， 经过3次“对调变换”变成，即为， 经过4次“对调变换”变成，即为， 经过5次“对调变换”变成，即为， ……， 由此发现，4次“对调变换”为一个循环， ∵， ∴经过2025次对调变换后变成数对． 故选：A 94．将一串有理数按下列规律排列，则数字排在对应于、、、中的什么位置（   ） A．位于位置 B．位于位置 C．位于位置 D．位于位置 【答案】B 【分析】本题考查图形变化的规律，理解题意是解决本题的关键． 观察有理数的排列顺序，将从开始的连续四个有理数看成一组即可解决问题． 【详解】解：将从开始的连续四个有理数看成一组， 由题意得，数字是第2025个数， ∴， ∴第2025个数所在位置与第1个数所在位置相同， 而由图可得第1个数为，位于位置B， ∴数也位于B位置， 故选B． 95．观察以下数组：，，，，……问2017在第（    ）组． A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】C 【分析】我会先明确本题考查的知识点和解题关键，再梳理，最后按照推导答案．围绕数组分组规律，先确定每组数字个数和最后一个数的表达式，再判断2017所在组． 本题考查了数列的规律探究及不等式的应用，解题的关键是找出每组数字的个数规律以及每组最后一个数字的表达式，通过建立不等式确定2017所在的组．首先观察数组可知，第组有个连续的奇数；接着推导第组最后一个数的表达式，前组共有个奇数，而第个奇数可以表示为，所以第组最后一个数为；然后设2017在第组，根据第组最后一个数大于等于2017，第组最后一个数小于2017，建立不等式，求解该不等式即可确定的值． 【详解】解： 第组有个连续奇数； 前组奇数的总个数为； 第个奇数为，故第组最后一个数为 设2017在第组，则满足： 即① ∵，即 ∴计算时：，此时①不成立； 计算时：，，此时① 成立． 故2017在第45组，故选：C． 96．将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”图案中，恰好能使四个三角形中的每个三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．如图2所示的“幻方”图案也具有图1中的规律，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对题干中“幻方”特征的理解和有理数的四则运算，根据“每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等”可得，，进一步即可解题． 【详解】解：∵， ， 由题知，，整理得， ，整理得， ∴原式． 故答案为：． [题型14图形类规律探索] 97．如图是由火柴拼成的一组图案，第1个图案中共有12根火柴，第2个图案中共有20根火柴，第3个图案中共有28根火柴，……依此规律，第20个图案中共有 根火柴． 【答案】164 【分析】本题考查图形类规律探究，观察可知，后一个图形比前一个图形多8根火柴，进行求解即可． 【详解】解：观察可知，后一个图案比前一个图案多8根火柴， ∴第个图案中共有根火柴， ∴第20个图案中共有根火柴． 故答案为：164 98．用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，第③个图案用了8个正方形，按此规律排列下去，则第2025个图案中用的（   ） A．4044 B．4046 C．4048 D．4052 【答案】D 【分析】本题考查图形变化的规律，寻找规律列出代数式是解题的关键． 根据所给图形，依次求出正方形的个数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：第1个图案中有4个正方形； 第2个图案中有个正方形； 第3个图案中有个正方形； 第4个图案中有个正方形； …… 第个图案中有个正方形； 故第2025个图案中有个正方形， 故选：D． 99．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有个正方形，第②个图案中有个正方形，第③个图案中有个正方形，第④个图案中有个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，由已知图案可得第个图案中正方形的个数为，据此解答即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵第①个图案中有个正方形， 第②个图案中有个正方形， 第③个图案中有个正方形， 第④个图案中有个正方形， ， ∴第个图案中正方形的个数为， 当时，， ∴第⑨个图案中正方形的个数为， 故选：． 100．如图，一种圆环的外圆直径是，环宽．若把个这样的圆环扣在一起并拉紧（接触面无缝隙），其长度为．当时， ． 【答案】 【分析】本题考查了图形规律，解答本题的关键是找出图中的规律，列出关系式； 看图找出相应的规律，得出与的关系式，然后代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得：， 当时，， 故答案为：． 101．我国末朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”、图1有1颗弹珠：图2有3颗弹珠：图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；若用表示图n的弹珠数，其中，2， 3， …，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，由图可知：图1有1颗弹珠，图2有颗弹珠，图3有颗弹珠，推出，即可求解． 【详解】解：由图可知：图1有1颗弹珠，图2有颗弹珠，图3有颗弹珠， …， ∴， ∴ ． 故选D． 102．如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q，如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母是（    ） A．m B．n C．p D．q 【答案】D 【分析】本题考查数轴，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 根据题意可以得到字母q、p、n、m为一个循环，从而可以得到数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母． 【详解】解：由题意可得， 与q对应，与p对应，与n对应，与m对应， ， ∴数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母是q， 故选D． 103．如图，过点画直线，若点，按如图所示规律排列，则点落在（   ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．直线上 【答案】D 【分析】本题考查图形的变化问题，解答本题的关键是明确题意． 根据图形可以发现点的变化规律，从而可以得到点落在哪条直线上． 【详解】解：由图可得，到顺时针，到逆时针，每8个点为一周期循， ， 点落在直线上， 故选：D． 104．毕达哥拉斯用平面上的点代表正整数，将这些点排列成各种几何图形——形数．通过直接计数，我们可以得到简单的形数．面对更加复杂的形数，我们可以采取先分割再统计的方案．例如： 以此类推，在二十角形数中，第八个数字应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是图形及数字类规律探索，根据图形特征结合数字规律找出数字变化规律是解题关键，先确定三角形数第n个数为，再确定四边形数第n个数为，五边形数第n个数为，类比得出二十角形数第n个数为，进而求出结论即可． 【详解】解：由图可知， 三角形数：第1个数为1， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 第n个数为， 四边形数：第1个数为1， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 第n个数为， 五边形数：第1个数为1， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 第n个数为， 由以上规律得：在二十角形数中， 第1个数为1， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 第n个数为， 当时，， 则在二十角形数中，第八个数字应该是， 故答案为：． [题型15带有字母的绝对值化简问题] 105．当时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了化简绝对值．熟练掌握绝对值的意义，是解题的关键，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它相反数，0的绝对值是0． 根据 的条件，确定 和 的符号，从而去掉绝对值符号，化简即得． 【详解】解：∵ , ∴ 且 , ∴ , , ∴ . 故选：C． 106．将1，2，3，，80这80个自然数，任意分成40组，每组两个数，现将每组中的两个数记为，代入中进行计算，求出结果，可得到40个值． （1）当时，化简得 ． （2）上述40个值的和的最大值为 ． 【答案】 1210 【分析】（1）先去绝对值符号，再进行化简即可； （2）设将代数式化简可知：将每组中的两个数，分别代入代数式后计算的结果等于两个数中较大的数的．如果求这40个值的和的最大值，每组中的两个数应为相邻的两数，如果按1和2，3和4，5和6，……，79和80这样分组，则这40个值的和的最大值为：，计算这个算式即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， 故答案为：； （2）每组中的两个数记为，，设， 则． 将每组中的两个数，，分别代入代数式后计算的结果等于两个数中较大的数的． 如果求这40个值的和的最大值，每组中的两个数应为中的一个数和中的一个数， 这样，这40个值的和的最大值为： ． 故答案为：1210． 【点睛】本题主要考查了数字变化类，求和的最大值，找出分组的规律是解题的关键． 107．当，，求的值是 ． 【答案】4或0或 【分析】本题考查绝对值的代数意义，有理数的乘法与除法，根据条件分析a与b同号，c与d同号，再分类讨论即可求解. 【详解】解：∵， ∴a与b同号，c与d同号 ①当a与b同号，c与d同号，都是正数时，原式 ②当a与b同号，c与d同号，两正数，两负数时，原式 ③当a与b同号，c与d同号，都是负数时，原式                                 综上所述：的值为：4或0或；         故答案为：4或0或. 108．已知，，为3个自然数，满足，其中，试求的最大值． 【答案】1010 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，化简绝对值等，先由题意得到，则可求出，则要满足c尽可能的大，a尽可能的小，据此可确定，从而得到，再根据题意可得b要尽可能的小，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∵要使的值最大， ∴的值最大，即的值最大， ∴要满足c尽可能的大，a尽可能的小， ∵，，为3个自然数， ∴， ∵， ∴， ∵c要尽可能的大， ∴b要尽可能的小， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴的最大值为． 109．在多项式（其中）中，任意添加绝对值符号且绝对值符号内至少包含两项（不可绝对值符号中含有绝对值符号），添加绝对值符号后仍只有加减法运算，然后进行去绝对值符号运算，称此运算为“对绝操作”．例如：，…，下列说法正确的是（ ） ①存在“对绝操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ②共有8种“对绝操作”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“对绝操作”共有5种不同运算结果． A．①② B．②③ C．①②③ D．③ 【答案】B 【分析】本题考查新定义“对绝操作”的理解与绝对值计算，根据条件，分析各说法：①中结果的系数恒为正，无法得到相反数；②通过枚举可得8种方式结果与原式相同；③所有操作结果只有5种不同值，理解题意，熟练掌握绝对值的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 任何“对绝操作”结果中的系数均为正， 而原多项式的相反数为， 故不存在结果与之和为0，①错误， ∵使结果与原多项式相等的操作有： ，，，，，，，，共8种，②正确； ∵所有“对绝操作”结果只有5种：，，，，，故③正确； 综上所述，说法②③正确， 故选：B． 110．下列说法中，错误的是 ． ①若，则； ②若，则有是负数； ③、、三点在数轴上对应的数分别是、4、，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式值为2025； ⑤若，，则的值为． 【答案】②③④⑤ 【分析】本题考查有理数的混合运算、绝对值的意义，整式的加减，根据绝对值的意义和分母不能为0可判断①；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断②；根据两点间的距离可判断③；根据与无关化简后可判断④；根据绝对值的意义和有理数的运算法则可判断⑤． 【详解】解：①若，则，故①正确； ②若，则或或或， 当时，，，则有是正数， 当时，，，则有是正数， 当时，，，则有是正数， 当时，，，则有是正数， 由上可得，是正数，故②错误； ③三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等， 若，则，解得（不合题意，舍去）或； 若，则，解得（不合题意，舍去）或； 若，则，解得； 综上可得或或10，故③错误； ④若代数式的值与x无关，则，故④错误； ⑤∵，， ∴中一定是一负两正， 不妨设， ∴ ，故⑤错误； ∴错误的是②③④⑤， 故答案为：②③④⑤ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3整式的加减 题型梳理 [题型1同类型得判断] [题型8整式的加减应用] [题型2已知同类项求指数中字母或代数式的值] [题型9单项式的判断.系数.次数] [题型3合并同类项] [题型10单项式的规律] [题型4去括号添括号] [题型11多项式系数.项数或次数] [题型5整式的加减运算] [题型12多项式系数,指数中字母求值] [题型6整式加减中的化简求值] [题型13数字类规律探索] [题型7整式加减中的无关型问题] [题型14图形类规律探索] [题型15带有字母的绝对值化简问题] (整式的加减：核心知识点与解题指南) 整式的加减是代数运算的基础,以下从核心概念、运算法则、解题步骤、易错点、经典例题五个维度，系统梳理整式加减的相关知识。 一、核心概念：明确整式的构成 概念 定义 示例 注意事项 单项式 由数或字母的积组成的代数式（单独的一个数或一个字母也叫单项式） 3x、−5、xy2 *.单项式的系数：数字部分; *单项式的次数：所有字母的指数和 多项式 几个单项式的和（或差） 2x+3y、x2−4x+5 *多项式的项：每个单项式；多项式的次数：次数最高的项的次数 整式 单项式和多项式的统称 上述单项式、多项式均为整式 整式中分母不含字母 同类项 所含字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式（常数项都是同类项） 3x与−5x、2xy2与xy2、7与−3 同类项与系数无关、与字母顺序无关。 二、核心运算法则：整式加减的 “两步走” 整式加减的最终目标是将代数式化简，核心步骤为 “去括号” 和 “合并同类项”，两个步骤可灵活结合（先去括号，再合并同类项；或部分去括号，部分合并）。 1. 第一步：去括号法则（关键前提） 去括号时需根据括号前的 “+”“-” 号判断符号变化，避免符号错误： *括号前是 “+” 号：去掉括号和 “+” 号，括号内各项符号不变； 示例：+(2x−3y+1)=2x−3y+1。 *括号前是 “-” 号：去掉括号和 “-” 号，括号内各项符号都要改变（“+” 变 “-”，“-” 变 “+”）； 示例：−(x−2y−3)=−x+2y+3。 *括号前有数字因数：先将数字因数乘到括号内，再按上述规则去括号（或直接利用乘法分配律去括号）； 示例：2(3x−y)=6x−2y（分配律：2×3x−2×y）；−3(x+2y)=−3x−6y（分配律 + 符号变化）。 2. 第二步：合并同类项法则（化简核心） 合并同类项是将同类项的 “系数相加”，字母和字母的指数保持不变，本质是 “逆用乘法分配律”： **步骤：①找出同类项（用不同标记区分，如波浪线、横线）； ②将同类项的系数相加； ③保留同类项的字母和指数。 三、整式加减的完整解题步骤（通用模板） 无论是 “单项式加减”“多项式加减”，还是 “整式的化简求值”，均可遵循以下步骤： 1. 写算式：根据题意列出整式加减的算式（注意：“减去一个整式” 需加括号，如 “A减B” 写作A−B，若B是多项式，需写A−(B)）； 2. 去括号：按去括号法则去掉所有括号（若有多层括号，可从内到外或从外到内，建议从内到外逐步去）； 3. 找同类项：将所有同类项归类（可在原式中标注，避免遗漏）； 4. 合并同类项：按法则合并同类项，得到最简整式（若结果中无同类项，即为最终化简结果）； 5. 求值（若需）：若题目给出字母的具体值，将值代入最简整式中计算（代入前需确认化简正确，避免复杂运算） 四、高频易错点提醒（避坑指南） 整式加减的错误多集中在 “符号” 和 “同类项判断”，需重点关注： 1. 去括号符号错误：括号前是 “-” 时，漏变括号内部分项的符号； 2. 同类项判断错误：误将 “字母不同” 或 “指数不同” 的项当作同类项； 3. 合并同类项时系数计算错误：忽略系数的正负号，或加减计算失误； 4. 多层括号处理混乱：建议从内到外逐步去括号，每去一层括号后可先合并同类项，减少后续步骤的复杂度； （练习题) [题型1同类型得判断] 1．请写出一个能与合并成一项的单项式 ． 2．下列各组单项式中是同类项的是（   ） A．与a B．与 C．与 D．与 3．下列说法中，正确的有（    ） ①有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数；②如果 ，那么 ；③是八次单项式；④是七次二项次；⑤是单项式；⑥与是同类项． A．个 B．个 C．个 D．个 4．单项式和是同类项，关于的多项式中项的系数是，则 ． 5．关于x，y的单项式，若x的指数与y的指数是相等的正整数，则称该单项式是“等次单项式”．给出下面四个结论：①是“等次单项式”；②“等次单项式”的次数可能是奇数；③两个次数相等的“等次单项式”的和一定是“等次单项式”；④若五个“等次单项式”的次数均不高于8，则它们中必有同类项．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．①③④ 6．先化简，再求值，，其中． [题型2已知同类项求指数中字母或代数式的值] 7．如果单项式与是同类项，那么的值为 ． 8．若单项式与的和是单项式，则的值是（   ） A．3 B．10 C． D．7 9．若单项式与是同类项，则的值为（   ） A． B．8 C． D．9 10．在下列说法中，正确的是（    ） A．若与是同类项，则 B．的次数为6 C．是四次三项式 D．的系数为 11．已知与的差为单项式，则的值为（   ） A． B．1 C． D．8 12．已知和是同类项，则 ，此时的值为 ． 13．如图是某手机的摄像头的大致图象，在长为，宽为的长方形中，三个半径为的大圆是摄像头，右侧的小圆为照明灯且面积是一个大圆面积的． (1)求阴影部分的面积（用含的代数式表示）； (2)若与是同类项，求阴影部分的面积． [题型3合并同类项] 14．下列运算一定成立的是（    ） A． B． C． D． 15．下面结果相等的一组式子是（   ） A．和2a B．和 C．2a和 16．代数式的值（   ） A．只与字母a有关 B．与字母a、b都有关 C．只与字母b有关 D．与字母a、b都无关 17．若多项式与多项式的差不含二次项，则m等于 ． 18．如图，6张全等的小长方形纸片放置于矩形中，设小长方形的长为，宽为，若要求出两块黑色阴影部分的周长差，则只要测出下面哪个数据（    ） （小蜜蜂提醒：小长方形有部分重叠） A． B． C． D． 19．合并同类项的结果为（   ） A． B． C． D．无法确定 20．已知代数式，，从第三个式子开始，每一个代数式都等于前两个代数式的和，，，…，则下列说法正确的是（    ） ①若，则 ② ③前2024个式子中，a的系数为偶数的代数式有674个 ④记前n个式子的和为，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．阅读材料：我们知道，，类似地，我们把看成一个整体，则；“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： （1）把看成一个整体，合并的结果是______． （2）已知，求的值； 拓广探索： （3）已知，，，求的值． 22．现有2021个关于x、y、z三个字母一起构成的十次单项式，每个单项式的三个字母的指数都不相同，则这些单项式之和的项数最大不会超过 ． [题型4去括号添括号] 23．下列去括号或添括号正确的是（   ） A． B． C． D． 24．（1） ； （2） ． 25．已知，那么的值为 ． 26．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 27．已知，，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 28．在多项式：中，任选两个字母，在两侧加括号，称为第一轮“加括号操作”．例如：选择，进行“加括号操作”，得到．在第一轮“加括号操作”后的式子中进行同样的操作，称为第二轮“加括号操作”，按此方法，进行第（）轮“加括号操作”． 下列相关说法正确的个数是： ①存在某种第一轮“加括号操作”的结果与原多项式相等； ②不存在第（）轮“加括号操作”，使得结果与原多项式的和为； ③对原多项式进行第一轮“加括号操作”后，共有种不同结果． 其中正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 29．在多项式中，先任意添加一个括号，再交换括号内首项和末项的符号，最后将所得式子化简，称之为“加换操作”．例如：，，…给出下列说法： ①存在某种“加换操作”，使其结果为； ②不存在某种“加换操作”，使其结果与原多项式的和为0； ③所有的“加换操作”共有8种不同的结果． 以上说法中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 [题型5整式的加减运算] 30．已知 ，则整式A 是（  ） A． B． C． D． 31．小莹回到家拿出自己的课堂笔记复习，她突然发现一道题目：空格的地方被墨水弄脏了，请问空格中的一项是 32．如果A是一个五次整式，B是一个四次整式，则一定是（    ） A．次数大于五次的整式 B．五次整式 C．九次整式 D．次数小于五次的整式. 33．下列说法中正确的个数有（   ） ①是次单项式；②整式是四次五项式；③任何数的零次幂都等于；④两个五次整式的和是一个不大于次的整式或整式． A．个 B．个 C．个 D．个 34．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．7 35．已知正整数a，b，c满足，，则的最大值与最小值的差为 ． 36．如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第个图形比第个图形多几枚棋子（其中是正整数），正确答案是（    ） A．4 B．8 C． D． 37．我市某乡，两村盛产柑橘，村有柑橘200吨，村有柑橘300吨．现将这些柑橘运到，两个冷藏仓库，已知仓库可存储240吨，仓库可存储260吨；从村运往，两处的费用分别为每吨20元和25元，从村运往，两处的费用分别为每吨15元和18元．设从村运往仓库的柑橘重量为x吨．请分别求出、两村运往两仓库的柑橘的运输费用 ， ； 38．将1，2，3，…，50这50个整数，任意分为25组，每组两个数，现将每组的两个数中任一数值记作，另一个记作，代入代数式 中进行计算，求出其结果，25组数代入后可求得25个值，则这25个值的和的最大值是 ． [题型6整式加减中的化简求值] 39．若，则多项式的值为（   ） A． B． C．1 D．2 40．若代数式的值为，则代数式的值为 ． 41．在学习了整式的加减后，老师给出下面这道课堂练习题：选择的一个值，求的值.学生甲、乙、丙、丁对此题说法错误的是：（   ） A．甲说：“当时，原式．” B．乙说：“当时，原式．” C．丙说：“当时，原式．” D．丁说：“当取1或时，原式的值都是．” 42．若单项式与是同类项，则的值为 ． 43．已知，若的值与a的取值无关，则b的值为（   ） A．1 B． C．0 D． 44．已知，晓风错将“”看成“”，算得结果． (1)计算的表达式； (2)求正确的结果的表达式； (3)晓华说（2）中的结果的大小与的取值无关，对吗？若，，求（2）中代数式的值． 45．已知整式N：，其中系数，，，，均为整数，满足，且（其中，1，2，3），下列说法正确的个数是（    ） ①存在满足条件的整式N，当时，； ②若整式N满足，当时，，则的值为6； ③若，则满足条件的整式N共有8个． A．0 B．1 C．2 D．3 [题型7整式加减中的无关型问题] 46．小明准备完成题目，化简，发现系数“▇”印刷不清楚，小明妈妈说：“我看到该题的标准答案不含的二次项，”则系数“▇”是（    ） A．0 B．1 C． D． 47．多项式与多项式的和不含的二次项，则的值为（   ） A．2 B． C．3 D． 48．定义：任意两个数a、b，按规则扩展得到一个新数c，称所得的新数c为“理想数”．若，，“理想数”c的值与x的值无关，则y的值为 ． 49．已知，． （1）当时，化简： ． （2）若的值与x的值无关，则代数式的值为 ． 50．已知，则下列说法： ①若的值与的取值无关，则； ②当时，若，则或； ③当时，若有最小值． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 51．把4张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1，长为b，宽为a）不重叠地放在如图2所示长方形盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分面积分别为．记的长为x，若的值与x无关，则可表示为 ．（用含a的式子表示） 52．图1是长为a，宽为b（a，b为常数，且）的小长方形纸片，将6张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形）的面积分别表示为，，若，且S为定值，则S的定值为（　　） A． B． C． D． 53．已知3个多项式分别为：，，． ①若，则； ②无论x取何值，一定都有； ③若的值与x无关，则，； ④代数式化简后共有3种不同的表达式． 其中正确的是 ． [题型8整式的加减应用] 54．从边长为的正方形纸片中剪去一个边长为的正方形，剩余部分沿虚线剪开，然后拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则该长方形的长为（   ） A． B． C． D． 55．某文具店先以每本m元的价格购进了120本笔记本，后又以每本n元的价格购进了100本另一款笔记本，其中．若在“双11”促销活动中，将这220本笔记本以每本元的价格全部售出，则该文具店的盈亏情况是（   ）． A．亏损了 B．盈利了 C．不盈不亏 D．不能确定 56．已知有理数a，b，且，下列选项中最大的是（   ） A． B． C． D． 57．有一道数学题“已知两个多项式A、B，且，求．”小华在做这道题时，误把“”看成了“”，结果得到，则A的表达式为（　　） A． B． C． D． 58．我国古代的“九宫图”是由的方格构成的，每个方格均有不同的数，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．如图给出了“九宫图”的一部分，请推算的值是 59．已知整式，其中为正整数，且，且，下列说法正确的个数是（    ） ①若，则多项式可以为二次三项式； ②若，满足条件的所有整式的和为； ③若，满足条件的整式共有7个． A．0 B．1 C．2 D．3 60．某居民楼共有三层，据调查发现：第一层有成年女子9人，男孩儿2人，女孩儿5人；第二层住有18人，其中成年男子10人，女孩儿1人；第三层有成年男子8人，成年女子4人，男孩儿6人；成年男子总数比成年女子总数多4人，男孩儿与女孩儿总数一样．则该居民楼共有居民 人． 61．对于任意一个四位数m，若它的个位数字不为0，且满足千位数字与个位数字的差等于百位数字与十位数字的差，则称这个四位数m为“顺利数”，将“顺利数”m的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换得，并记．例如：4512不是“顺利数”，因为，；5621是“顺利数”，因为，，则 ．若A、B都为“顺利数”，记A的千位数字与个位数字分别为x、y，B的千位数字与个位数字分别为a、b（其中，、，x、y、a、b均为整数），若能被8整除，，则所有可能的值的和为 ． 62．对于一个四位正整数，若它的十位数字与个位数字的和等于千位数字与百位数字的和，则称这个四位数为“段和数”．现将的末尾数字放在首位，得到一个新的数字记为，再将的末尾数字放在首位得到，以此类推得到．记，则 ．已知、均为“段和数”，其中，（，，，，，且，，，，为整数），若，则当取最大值时，的值为 ． [题型9单项式的判断.系数.次数] 63．下列说法正确的是（   ） A．的次数是3 B．12是单项式 C．的系数为4 D．3是单项式的系数 64．下列说法正确的是（    ） A．是单项式 B．任何一个有理数的偶次幂是正数 C．是六次单项式 D．一个数的平方是，这个数一定是 65．单项式与单项式的和是单项式，则的值是（    ） A． B． C． D． 66．若单项式与的和仍是单项式，则的值为 ． 67．观察下列单项式：，则第个单项式是 ． 68．已知代数式，，从第三个式子开始，每一个式子都等于前两个式子的和，，，下列说法：①；②前2023个式子中，的系数为奇数的式子有1349个；③．其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 69．一个关于x的单项式，系数为正整数．甲将x换成2x后计算了所得单项式系数与次数之差（系数减次数）；乙将x换成x2后也计算了所得单项式系数与次数之差．现知甲得到的结果是2013，乙得到的结果是偶数，则乙得到的结果是 ． 70．如果两个多项式的和为单项式，则称它们互为“孪生多项式”，这个单项式称为它们的“孪生式”．如多项式与多项式，，3是单项式，则与互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”为3；又如多项式与多项式，，不是单项式，则与不是“孪生多项式”． (1)分别判断下列两组多项式是否互为“孪生多项式”；如果是，写出它们的“孪生式”；如果不是，请说明理由： ①与；        ②与． (2)若与互为“孪生多项式”，和为常数，求的值； (3)在（2）问的条件下，若多项式（，，为常数且）与多项式互为“孪生多项式”，它们的“孪生式”的取值与无关，直接写出满足条件的多项式． [题型10单项式的规律] 71．按一定规律排列的单项式第n个单项式是 ． 72．有一组单项式：，，，，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式为（   ） A． B． C． D． 73．按一定规律排列的一组式子依次为：，，，，，，按此规律排列下去，则这组式子中第个式子为（　　） A． B． C． D． 74．观察下三行单项式： ，…；① ，…；② ，…．③ (1)第二行第6个单项式为________； (2)第三行第n个单项式为________； (3)取每行第8个单项式，求这三个单项式的和，记为M．并求出当时，M的值． 75．观察下列单项式：，，，，，，，，写出第个单项式，为了解决这个问题，特提供下面的解题思路． (1)这组单项式的系数依次为多少，系数的绝对值的规律是什么？ (2)这组单项式的次数的规律是什么？ (3)请你根据上面的归纳猜想出第个单项式． (4)请你根据猜想，写出第2023个，第2024个单项式． [题型11多项式系数.项数或次数] 76．在多项式中，次数最高项的系数是（  ） A．4 B． C．3 D． 77．下列关于整式的说法，正确的是（  ） A．单项式的次数是2 B．和是同类项 C．多项式是四次三项式 D．是单项式 78．以下四个选项是小丽同学的四道作业，其中有一道不正确，你认为是（   ） A．和m都是单项式 B．单项式的系数是 C．多项式的次数是4 D．多项式按的降幂排列为 79．若多项式是关于x的四次二项式，则m的值为 ． 80．已知整式，其中，，，，，均为不等于的整数．若，下列说法：满足条件的整式中只有个一次二项式；当时，满足条件的整式中，有个多项式使得成立；对于任意的正整数，所有满足条件的整式的和为．其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 81．若整式化简后是关于、的三次二项式，则的值为 ． 82．如图，若一个表格的行数代表关于x的整式的次数，列数代表关于x的整式的项数（规定单项式的项数为1），那么每个关于x的整式均会对应表格中的某个小方格．若关于x的整式A是三次二项式，则A对应表格中标★的小方格．已知B也是关于x的整式，下列说法正确的有 ．（写出所有正确的序号） ①若B对应的小方格行数是4，则对应的小方格行数一定是4； ②若对应的小方格列数是5，则B对应的小方格列数一定是3； ③若B对应的小方格列数是3，且对应的小方格列数是5，则B对应的小方格行数不可能是3． [题型12多项式系数,指数中字母求值] 83．若多项式的次数是7，则m的值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．8 84．已知多项式是五次四项式，单项式与多项式的次数相同．求m，n的值． 85．若关于的多项式为二次三项式，则当时，这个二次三项式的值是（   ） A． B． C．4 D．2 86．已知为有理数，若多项式是三次三项式，则该多项式的常数项为（    ） A．或 B． C． D． 87．多项式与多项式相等，则 88．若恒成立，则的值为 ． 89．已知整式，其中n，为小于21的自然数．满足，且相邻两数之差不小于3．①若，则n的最大值为4；②若，则满足条件的整式有12个；③若，则满足条件的整式有28个．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 [题型13数字类规律探索] 90．观察下列等式：，，，，，，解答下列问题：的末位数字是（    ） A．0 B．2 C．3 D．9 91．有一列数，记第个数为，已知，当时，，则的值为 ． 92．现有一根长的铁丝，小明第一次剪去铁丝的，第二次剪去剩下铁丝的，第三次再剪去剩下铁丝的，…，如此剪下去，则第次剪完后剩下铁丝的长度是（    ） A． B． C． D． 93．用一个数对表示从左到右排列的两个数，把变换成称为1次“对调变换”．如：经过1次“对调变换”变成，即为，再经过1次“对调变换”变成．按照这样的规律，经过2025次对调变换后变成数对（    ） A． B． C． D． 94．将一串有理数按下列规律排列，则数字排在对应于、、、中的什么位置（   ） A．位于位置 B．位于位置 C．位于位置 D．位于位置 95．观察以下数组：，，，，……问2017在第（    ）组． A．43 B．44 C．45 D．46 96．将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”图案中，恰好能使四个三角形中的每个三角形三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．如图2所示的“幻方”图案也具有图1中的规律，则的值是 ． [题型14图形类规律探索] 97．如图是由火柴拼成的一组图案，第1个图案中共有12根火柴，第2个图案中共有20根火柴，第3个图案中共有28根火柴，……依此规律，第20个图案中共有 根火柴． 98．用边长相等的正方形和等边三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了4个正方形，第②个图案用了6个正方形，第③个图案用了8个正方形，按此规律排列下去，则第2025个图案中用的（   ） A．4044 B．4046 C．4048 D．4052 99．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有个正方形，第②个图案中有个正方形，第③个图案中有个正方形，第④个图案中有个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（   ）． A． B． C． D． 100．如图，一种圆环的外圆直径是，环宽．若把个这样的圆环扣在一起并拉紧（接触面无缝隙），其长度为．当时， ． 101．我国末朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”、图1有1颗弹珠：图2有3颗弹珠：图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；若用表示图n的弹珠数，其中，2， 3， …，则 的值为（   ） A． B． C． D． 102．如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q，如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示的点与圆周上重合的点对应的字母是（    ） A．m B．n C．p D．q 103．如图，过点画直线，若点，按如图所示规律排列，则点落在（   ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．直线上 104．毕达哥拉斯用平面上的点代表正整数，将这些点排列成各种几何图形——形数．通过直接计数，我们可以得到简单的形数．面对更加复杂的形数，我们可以采取先分割再统计的方案．例如： 以此类推，在二十角形数中，第八个数字应该是 ． [题型15带有字母的绝对值化简问题] 105．当时，的值是（   ） A． B． C． D． 106．将1，2，3，，80这80个自然数，任意分成40组，每组两个数，现将每组中的两个数记为，代入中进行计算，求出结果，可得到40个值． （1）当时，化简得 ． （2）上述40个值的和的最大值为 ． 107．当，，求的值是 ． 108．已知，，为3个自然数，满足，其中，试求的最大值． 109．在多项式（其中）中，任意添加绝对值符号且绝对值符号内至少包含两项（不可绝对值符号中含有绝对值符号），添加绝对值符号后仍只有加减法运算，然后进行去绝对值符号运算，称此运算为“对绝操作”．例如：，…，下列说法正确的是（ ） ①存在“对绝操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ②共有8种“对绝操作”，使其运算结果与原多项式相等； ③所有的“对绝操作”共有5种不同运算结果． A．①② B．②③ C．①②③ D．③ 110．下列说法中，错误的是 ． ①若，则； ②若，则有是负数； ③、、三点在数轴上对应的数分别是、4、，若相邻两点的距离相等，则； ④若代数式的值与无关，则该代数式值为2025； ⑤若，，则的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $