专题3.2代数式的概念(6大题型+典题专练) 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

专题3.2代数式的概念 题型梳理 [题型一 列代数式].......................................................................................................................2 [题型二 代数式表示的实际意义与代数式概念].......................................................................9 [题型三 已知字母的值,求代数式的值].....................................................................................13 [题型四 已知式子的值,求代数式的值].....................................................................................20 [题型五 程序流程图与代数式求值]..........................................................................................26 [题型六 用代数式表示数.图形规律]..........................................................................................32 一、定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）连接数和表示数的字母的式子，不含等号（=）和不等号（>、< 等）。例：3x、a²+2b、(m-n)/4（是）；2x=7、3a<5（不是，是等式 / 不等式）。 二、组成要素 1.已知数：固定的数（如 3、1/2、π，π 是常数）； 2.字母：表不确定的数（如 x、y），取值需使代数式有意义（如分母≠0、开偶次方被开方数≥0）； 3.运算符号：乘号可省略（如 a×b 写 ab），除号写成分数（如 a÷2 写 a/2）。 三、分类（按运算复杂度） 类别 特征 示例 .整式 分母无字母、无开方 5（单独数）、x（单独字母）、2a+3b 分式 分母有字母（分母≠0） 1/x、(a+1)/(b-2) 根式 含开方，被开方数有字母 √x（x≥0）、³√(2y) 四、整式的细分（单项式、多项式） 单项式：数与字母的乘积（无加减），如 - 4x（系数 - 4，次数 1）、a³b（系数 1，次数 4）； 多项式：几个单项式的和 / 差，如 2x²+3x-1（3 项，最高次项 2x²，是二次三项式）。关系：代数式⊇整式⊇单项式、多项式。 五、代数式的值（计算步骤） 代入：字母换具体数（负数 / 分数加括号，如 x=-2 时写 2×(-2)）； 运算：先乘方，再乘除，最后加减；例：求 2x+1（x=3）的值：2×3+1=7。 六、常见误区 单独的数 / 字母是代数式（如 8、m）； π 是常数，含 π 的式子是整式（如 2πr）； 字母不同，代数式不同（如 2x+3y≠2a+3b）。 （练习题） [题型一 列代数式]. 1．下列数量关系中，成正比例关系的是（   ） A．飞机飞行路程一定，飞行速度和时间 B．运送一批货物，运走的吨数和剩下的吨数 C．买同样的书，应付的钱数与所买的本数 D．减数一定，被减数和差 【答案】C 【分析】本题考查正比例关系的判断，熟练掌握正比例关系的定义是解题的关键，根据正比例关系逐一分析各选项是否满足比值一定． 【详解】解：A、飞机飞行路程一定，则速度×时间=路程（常数）， ∵速度与时间成反比例，故此项错误； B、运送一批货物，总吨数一定，则运走的吨数+剩下的吨数=总吨数（常数）， ∵和一定，不是比值一定，故此项错误； C、买同样的书，单价一定，则应付的钱数÷所买的本数=单价（常数）， ∵比值一定，故此项正确； D、减数一定，则被减数−差=减数（常数）， ∵差一定，不是比值一定，故此项错误； 故选：C． 2．某商场针对一款服装给出两个调价方案： ①先提价10％，再降价10％； ②先降价20％，再提价20％． 下列说法正确的是(   ) A．①②两种方案的调价结果相同 B．方案①的售价比方案②的售价低 C．方案①的售价比方案②的售价高 D．无法比较，调整后的售价高低取决于服装原售价 【答案】C 【分析】本题主要考查列代数式，熟练掌握代数式是解题的关键．根据题意列出代数式解题即可． 【详解】解：设原来售价为， 方案①， 方案②， 故方案①的售价比方案②的售价高． 故选C． 3．如图，直角三角尺中阴影部分的面积可以表示为（　　） A．ab﹣πr2 B．﹣πr2 C．ab﹣2πr D．﹣2πr2 【答案】B 【分析】用三角形的面积减去圆的面积即可得阴影部分的面积． 【详解】解：∵S△=，S圆=πr2， ∴S阴= S△- S圆=﹣πr2． 故选B． 【点睛】本题考查了用代数式表示图形的面积，熟记基本图形的面积公式是解题的关键． 4．一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字为b，那么用代数式表示这个两位数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列代数式；根据两位数的位值原理，十位上的数字a表示a个十，个位上的数字b表示b个一，再用代数式表示即可． 【详解】解：∵十位数字a代表，个位数字b代表b， ∴该两位数为． 故选：C． 5．甲、乙两人同时出发从A地到B地，甲骑自行车，乙乘坐汽车．已知A、B两地的距离是千米，甲骑自行车的速度是千米/时，乙乘坐汽车的速度是甲骑自行车速度的3倍，那么乙比甲可以早到 （用含，的代数式表示）时． 【答案】 【分析】该题考查了列代数式，根据速度、时间和距离的关系，分别计算甲和乙所需时间，再求时间差． 【详解】解：甲的速度为千米/时，距离为千米，则甲所需时间为时． 乙的速度为千米/时，则乙所需时间为时． 乙比甲早到的时间为甲的时间减去乙的时间：， 故答案为：． 6．已知正方形的边长为． （1）如图1-1，正方形各边的中点分别为E，F，G，H，依次连接四个中点，得到四边形的面积为 ； （2）如图1-2，点分布在正方形的边上，且有．连接，得到八边形．设，则八边形的面积为 （用含的代数式表示）． 【答案】 50 【分析】本题考查了列代数式，熟练利用作差法求面积是解题的关键． （1）利用正方形面积减去四个直角三角形的面积即可解答； （2）利用正方形面积减去四个直角三角形的面积即可解答． 【详解】解：（1）正方形各边的中点分别为E，F，G，H， ， 四边形的面积为， （2）， ， 则八边形的面积为， 故答案为：；． 7．如图，在矩形中，．设阴影部分的宽为，则图1中 ，图2中 ，图3中 ． 【答案】 【分析】图1：将图1中与平行的阴影部分向上平移到靠近，与平行的阴影部分向左平移到靠近，空白部分形成一个新矩形，其长为，宽为，据此利用面积公式即可求解． 图2：平移阴影部分后：空白部分是一个长为，宽为的矩形，据此利用面积公式 即可求解． 图3：将横向与竖向的阴影部分经过平移后，空白部分可整合成与图2类似矩形，其长为，宽为的矩形，据此利用面积公式即可求解． 【详解】解：图1中，在矩形中，通过平移横竖方向的阴影部分，空白部分形成一个长为，宽为的矩形，得：． 图2：空白矩形长：，宽为得：． 图3中，参考图的平移方法：空白部分形状与图相同，其长为，宽为． 得：． 故答案为：①   ②    ③ 【点睛】本题考查了通过平移“割补法”求面积问题，掌握平移的性质是解题的关键． 8．甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 【答案】D 【分析】设每杯售价元，分别计算每个选项中的花费，再进行比较即可．本题考查了整式加减的应用，读懂题意并根据题意表示出所花费用是解题的关键． 【详解】解：设每杯售价x元， 在甲店购买12杯的费用为（元）； 在甲店买8杯，在乙店买4杯的费用为（元）； 在甲店买6杯，在乙店买6杯的费用为（元）； 在乙店购买12杯的费用为（元）； 在乙店买12杯花钱最少， 故选：D． 9．一个四位数M，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位数M为“雁塔数”．一个“雁塔数”M的千位数字与百位数字和的2倍与十位数字及个位数字的和记为P，千位数字与3的差记为Q，若能被7整除，则满足条件的M最大为 ． 【答案】8474 【分析】本题主要考查了代数式表示数， 先设千位数是a，十位数是b，则百位数是，个位数是，则，根据题意，得，再根据能被7整除，设，可得，接下来结合题意讨论k只能取奇数，且要保证a是正整数，则是的正因数，即可得出k的取值范围，最后结合定义得出答案. 【详解】解：设千位数是a，十位数是b，则百位数是，个位数是，则，根据题意，得， 由能被7整除，设， 则， ∴. ∵，且是奇数， ∴最小只能取7，最大只能取19，一共有7个奇数. 当k取偶数时，为偶数，而不可能是整数，从而a不是整数， 所以k只能取奇数； 要保证a是正整数，则是的正因数，因而最大是19，最小是1， 即， 解得. 由k为正整数，且不是偶数，只能或3， 当时，， 当时，，此时M为6241； 当时，，此时M为8474； 当时，， 则，得， 此时，M为4085， ∴满足条件的M的最大值为8474. 故答案为：8474. 10．如果一个三位数m满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“互异数”．将“互异数”m的个位数字去掉，得到一个两位数，将其与m的个位数字的差记为，将m的十位数字与个位数字的差记为．已知一个三位正整数(其中x、y都是整数，且)是“互异数”， 与的商为整数且能被13整除，则满足条件的“互异数”m的最大值 ． 【答案】932 【分析】分，两种情况分别讨论，进而求得的值即可． 【详解】解：， ①当时，， ∴m的十位数为，个位为， ∴， ∴，， ∴， ∵与的商为整数， ∴为整数， ∵m是互异数， ∴， ∵求“互异数”m的最大值， ∴百位数字尽可能的大， 令，则， ∵是13的倍数， ∴是13的倍数， ∵， ∴ ∴， 解得：，此时（符合题意）， ∴，， 即当时，互异数”m的最大值为． ②当时，， ∴m的十位数为2，个位为， ∴， ∴， ∴， ∵与的商为整数， ∴为整数， ∵m是互异数， ∴， 令∵求“互异数”m的最大值， ∴百位数字尽可能的大， 令，则， ∵是13的倍数， ∴是13的倍数， ∵， ∴ ∴此时无解，即当时，不存在百位是9且满足条件的互异数m． 综上所述：满足条件的互异数m的最大值是932； 故答案为：932． 【点睛】本题主要考查了列代数式、整除等知识点，掌握分类讨论思想是关键． [题型二 代数式表示的实际意义与代数式概念] 11．下列式子中，代数式有 个． 【答案】4 【分析】此题主要考查了代数式的定义：代数式是由运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子．单独的一个数或者一个字母也是代数式．利用代数式的定义分别分析进而得出答案． 【详解】解：中， 代数式有：，5，，共有4个． 故答案为：4． 12．关于代数式的意义，说法错误的是（    ） A．表示的2倍与3的差 B．比的2倍少3的数 C．表示与3的差的2倍 D．两数的积与3的差 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的意义．明确代数式的运算顺序，分析每个选项与原式运算顺序的匹配度． 【详解】解：，其意义是的2倍与3的差或比的2倍少3的数或两数的积与3的差． 与3的差的2倍表示，故选项C符合题意， 故选：C． 13．下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 【答案】D 【分析】利用代数式的意义逐项分析判断即可获得答案． 【详解】解：A. 表示2和相乘，故本选项错误，不符合题意； B. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； C. 例如，当时，，故本选项错误，不符合题意； D. 的值随的增大而增大，该说法正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了代数式的知识，理解代数式的意义是解题关键． 14．某班选举班干部，全班每1名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为，，，．老师规定：同意某同学当选的记“”，不同意（含弃权）的记“”． 如果令 表示第号同学同意第号同学当选，表示第号同学不同意第号同学当选， 其中，， ，； ， ， ，． 则，表示的实际意义是 （     ） A．同意第1号或者第2号同学当选的人数 B．同时同意第1号和第2号同学当选的人数 C．不同意第1号或者第2号同学当选的人数 D．不同意第1号和第2号同学当选的人数 【答案】B 【分析】本题考查代数式表示的实际意义． 先写出同意第1号同学当选的同学，再写出同意第2号同学当选的同学，那么同时同意1，2号同学当选的人数是他们对应相乘再相加． 【详解】解： 1名同学同意第1号同学当选依次由，，，表示， 1名同学同意第2号同学当选依次由，，，表示， ∴，表示的实际意义是同时同意第 1号和第2号同学当选的人数． 故选： B． 15．下列关于“代数式”的意义有如下叙述： ①的4倍与的和的2倍是； ②小明以的速度走了，再以的速度走了，小明一共走了； ③小华买了苹果和橘子，已知苹果的单价为元，橘子的单价为元，小华一共花费元． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了代数式的实际意义，根据每个叙述的含义判断是否与代数式相符即可求解． 【详解】解：①中“x的4倍与y的和的2倍”表示为，故①错误； ②中总路程为，与代数式相符，故②正确； ③中总花费为，故③错误； 综上，正确的个数是1个； 故选：C． 16．如图，该图形由四个半径为的圆组成，请用含有的代数式表示图中阴影部分的面积 【答案】/ 【分析】点A、B、C、D分别为四个圆的圆心，连接，，，；根据题意，得，根据代数式、正方形、圆形面积公式计算，即可得到答案． 【详解】如下图，点A、B、C、D分别为四个圆的圆心，连接，，， 根据题意， ∴正方形面积 ∴阴影部分的面积 故答案为：． 【点睛】本题考查了代数式的知识；解题的关键是熟练掌握代数式、正方形和圆形面积计算的性质，从而完成求解． 17．有几个同学搬砖，不知道每人搬几块，只知道剩下14块，如果每人搬9块，最后一人只搬6块，搬砖的一共几人？ 【答案】搬砖的一共17人 【分析】该题考查了代数式的应用，设共有人，总砖数不变：无论哪种分配方式，总砖数相同．新情况：前人各搬 9 块，最后 1 人搬 6 块，得出总砖数为，原情况：每人搬砖数为（总砖数剩余14 块）人数，据此解答即可． 【详解】解：设共有人， 则总砖数为块， ∴原来每人搬砖块， ∵，必须为正整数，因此需为整数，即是 17 的约数． 结合实际意义，唯一合理的解为． 答：搬砖的一共17人． [题型三 已知字母的值,求代数式的值] 18．关于两个有理数的运算如下：当时，运算结果为，当时，运算结果为．则是以下哪组数值时运算结果为1（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算；根据题意，逐一代入进行计算即可求解． 【详解】解：A、∵，，∴ 结果为，该选项不符合题意； B、∵，，∴ 结果为，该选项不符合题意； C、∵，，∴ 结果为，该选项符合题意； D、∵，，∴ 结果为，该选项不符合题意； 故选：C． 19．摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系可以用公式表示，其中F表示华氏度()，C表示摄氏度()，那么将转换为华氏度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接将摄氏度代入转换公式计算即可． 本题考查代数式求值，熟练进行代入求值计算是解题的关键． 【详解】解：∵ 转换公式为 ， ∴将 代入，得 ， 即转换为华氏度为， 故选：A． 20．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则的值为（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．0 【答案】D 【分析】根据条件可分别求得a、b、c的值，然后代入即可求得代数式的值． 【详解】∵是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数 ∴a=−1，b=0，c=1 ∴ 故选：D 【点睛】本题考查了求代数式的值，知道最大的负整数、绝对值最小的数及倒数等于它本身的自然数，关键是根据题意求得a、b、c的值． 21．阅读材料，并解决问题． 莱昂哈德·欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，瑞士著名的数学家、物理学家．在数学成就上，欧拉最先把关于x的多项式用记号的形式来表示（f可用其他字母来代替，但不同的字母表示不同的多项式），例如，当时，多项式的值用来表示，即；当时，多项式的值用来表示，即为．已知，． 请你根据材料中代入求值的方法解决下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，代数式求值，理解材料中代入求值的方法是解题关键． （1）将代入计算即可； （2）将代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．已知打开某种密码箱需要输入四位数密码，其中是三个静态密码(是小于10的自然数)，是动态密码，它是利用密钥计算生成的(是不大于5的正整数)，是的个位数字，现在小明打开这个密码箱的密码是2020，则所有符合的密钥的乘积是（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 【答案】A 【分析】本题考查了代数式求值．根据密码2020，可得，，，．d是M的个位数字，其中．要求M的个位为0，分别计算至5时M的个位数，找出使个位为0的m值，并求其乘积． 【详解】∵密码为2020， ∴，，，． 要求M的个位数字为0． 当时，，个位为； 当时，，个位为0； 当时，，个位为0； 当时，，个位为； 当时，，个位为0． ∴符合的m为2、3、5，其乘积为． 故选：A． 23．当时，代数式的值是，那么当时，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求代数式的值．根据题意可得，再代入，即可求解． 【详解】解：当时，代数式的值是， ， ， ， 当时， ， 故答案为：． 24．若，则我们叫作集合，其中1，2，叫作集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，则我们说．已知集合，集合，若，则的值是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了代数式求值，根据集合的定义和性质求出x，y的值是解题的关键． 根据集合相等的条件和元素的互异性，由可得，从而；再通过比较A和B中的元素，解出x的值，再代入表达式计算即可． 【详解】解：∵，且A中含有元素0， ∴B中必须有一个元素为0． ∵， ∴，即． ∴，． 比较元素，有两种情况： ①若且，解得，符合题意； ②若且， 解可得或， 又∵集合元素具有互异性， ∴， 当时，，不符合题意， ∴，． ∴． 故答案为10． 25．有一种密码的明文（真实文）是将字母表A，B，C，…，Y，Z这26个字母依次对应1，2，3，…，25，26这26个自然数，加密的过程是这样的：将明文字母对应的自然数设为x，将加密后的密文字母对应的自然数设为y，当时，；当时，；当时，；时，．如：D对应为4，经过加密，16对应P，即D变为P；又如K对应11，经过加密，17对应Q，即K变为Q． A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 明文“强国有我”首字母“”对应的密文字母为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求代数式的值，解题的关键是理解明文与密文之间的转化关系． 根据加密规则，分别计算明文字母Q、G、Y、W对应的数字x，再根据x所在范围应用相应的加密公式求出y，最后将y转换为对应的字母． 【详解】明文“”对应的数字分别为：． 对于Q：，满足，应用，得，对应字母N． 对于G：，满足，应用，得，对应字母A． 对于Y：，满足，应用，得，对应字母S． 对于W：，满足，应用，得，对应字母K． 故明文“”加密后为“”． 故答案为：． 26．如图，大正方形内有四个形状大小完全相同的长方形，且每个长方形的两条边分别在大正方形的四条边上，大正方形内有个小正方形与四个长方形有重叠（阴影部分），若两个正方形的周长分别为46和34，且四个阴影部分的周长为16，则长方形的周长为 ． 【答案】10 【分析】根据小正方形的周长减去阴影部分周长的一半等于4个长方形之间的长可求出AB的长，再根据两正方形的周长可得DA和BC的长即可得出结论． 【详解】解：由图形可得：小正方形的周长减去阴影部分周长的一半等于4个长方形之间的长，即4个AB的长， 即：， ∴， 长方形的长为DA，宽为BC， ∴ ∴长方形的周长=（长+宽）×2 = 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查了列代数式，求出AB的长是解答此题的关键． 27．某公司为了确保安全，信息需要加密传输．规则如下：加密后是加密后是 ； 加密后． 【答案】 【分析】本题考查了代数运算的应用和逆向思维，解题的关键是知道新运算的原理及计算方法．根据题目给出的加密规则：，对于第一个问题，求将加密后的结果，只需将，代入计算即可，对于第二个问题，找到原始数据，使得加密后为． 【详解】解：①根据加密规则： 第一个分量， 第二个分量， 加密后是； ②根据加密规则逆运算： ，由，可判断为4， ， 故加密后是． [题型四 已知式子的值,求代数式的值]. 28．已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了代数式求值．熟练掌握整体代入法求代数式的值是解决问题的关键． 根据已知条件推出式子与的值，代入计算即得． 【详解】解：∵， ∴， 即，， ∴． 故选：D． 29．如果我们把关于的多项式用来表示，即．则当等于某数时，多项式的值用来表示．例如：时，多项式的值记为．若，则的值为 ． 【答案】1 【分析】由列出的代数式可知，即，然后列出的代数式，将整体代入计算即可． 本题考查了代数式的求值，利用整体法代入求值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：1． 30．当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，根据题意准确列出代数式是解决问题的关键． 将代入代数式求得，再利用整体代入法将代入时的代数式计算即可得到答案． 【详解】解：∵ 当时，， ∴， 当时，， 将代入代数式可得，原式， 故选：A． 31．当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值为（   ） A．2022 B． C．2024 D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值．将代入，得到，再利用整体思想进行求值即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴时，； 故选：D． 32．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是（    ）    A． B． C．0 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、求代数式的值，理解题意是解题的关键． 根据每个三角形的三个顶点上的数字之和相等得出，，得出，，整体代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，， ，， ， 故选C． 33．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式的化简求值，理解新定义是解题关键．先根据“相伴数对”的定义得出关于m、n的等式，再化简所求代数式，然后代入求解即可． 【详解】解：由“相伴数对”的定义得： 解得 ． 故答案为：． 34．一个三位自然数，百位数字比个位数字多，十位数字为，则称这个数为“二九数”，则最大的“二九数”是 ．若是“二九数”，将的百位数字作为新数的个位数字，将的十位数字作为新数的百位数字，将的个位数字作为新数的十位数字．若满足与的差是的倍数，则的值是 【答案】 【分析】本题考查了代数式的实际应用，根据题意列出代数式是解题的关键． 根据题意，百位上最大的数字为，即可得到最大的“二九数”；设的个位数字为，求出，转化成，即是的倍数，即可求出的值，再代入运算即可． 【详解】解：最大的“二九数”百位数字最大为，则个位数字为，十位数字为，故为； 设的个位数字为，则百位数字为，十位数字为， ∴，， ∴与的差为：， ∵差是的倍数，且， ∴是的倍数， ∵， ∴时，符合题意 则， 故答案为：；． 35．数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题： 题目：已知，，求代数式的值． 小云：哈哈！两个方程有三个未知数，不能求具体字母的值．不过，好在两个方程以及所求值代数式中p，q互换都不受影响 小王：嗯，消元思想，肯定要用；运用整体思想把关于p，q的对称式，等优先整体考虑，运算应该会简便． 通过你的运算，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】运用整体思想,计算p+q，pq即可． 【详解】∵， ∴， ∴ ∴① ∵， ∴② 把②代入①得， ∴， ∴ ∴ ． 故答案是：-2． 【点睛】本题考查了整体思想的运用，熟练运用整体思想，完全平方公式是解题的关键． 36．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、p，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列2，，a，，b，…，是理想数列，则　　，　　； (2)若数列x，，4，…，是理想数列，求代数式的值． (3)若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且，求代数式的值． 【答案】(1)5，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据理想数列的定义代入计算即可； （2）根据理想数列的定义代入计算，求出，再整体代入整式计算即可； （3）m，n，p，q，是理想数列，所以，，求出， 结合得，结合问题变形为或，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：5，； （2）由题意可知： ， 即， ； （3）m，n，p，q，…，是理想数列， ， ， ， ， ， ， ， 即或， ． 【点睛】本题考查了新定义下的有理数的运算和整式的化简求值；正确理解新定义、根据所求整式整体代入求值是解题的关键． [题型五 程序流程图与代数式求值] 37．按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为11的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查程序流程图．按照程序流程图的运算流程，进行计算，是解题的关键． 根据程序流程图，分别代值计算即可． 【详解】解：①，由，得输出结果为，不符合题意； ②，，由，得输出结果为，不符合题意； ③，由，得输出结果为，符合题意； ④，由，得输出结果为，不符合题意； 故选C． 38．有一数值转换机，原理如图所示，若输入的的值是1，则第一次输出的结果是6，第二次输出的结果是，，请你写出第2024次输出的结果是（    ） A．6 B．3 C．1 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查数字的变化规律及代数式求值，正确记忆相关知识点是解题关键．根据数值转换机中的规律，确定出第2024次输出的结果即可． 【详解】解：把代入程序中得： 第1次的输出的结果为：； 第2次的输出的结果为：； 第3次的输出的结果为：； 第4次的输出的结果为：； 第5次的输出的结果为：； 第6次的输出的结果为：； 第7次的输出的结果为：， ， 则该数列以6，3，8，4，2，1这6个数循环出现， ， 第2024次输出的结果为3． 故选：B． 39．如图是某运算程序，该程序是循环迭代的一种．根据该程序的指令，如果输入 的值是 ，那么第 次输出的值是 ；把第 次输出的值再次输入，那么第 次输出的值是 ；把第 次输出的值再次输入，那么第 次输出的值是 ；；则第 次输出的值是（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据如图的程序，分别求出前8次的输出结果各是多少，总结出规律，求出第2021次输出的结果为多少即可． 【详解】解：第1次输出的结果为5，第2次输出的结果为6，第3次输出的结果为：，第4次输出的结果为：，第5次输出的结果为：，第6次输出的结果为：，第7次输出的结果为：，第8次输出的结果为：，…，从第5次开始，输出的结果每2个数一个循环：2、1． ∵， ∴第2023次输出的结果为2． 故选C． 【点睛】本题考查了代数式求值问题，根据求出的数据、观察总结出规律，并能利用总结出的规律解决实际问题是关键． 40．按下面的程序计算：                                        当输入时，输出结果是299；当输入时，输出结果是446；如果输入的值是正整数，输出结果是257，那么满足条件的的值最多有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据程序计算解答即可． 本题考查了程序式计算，熟练掌握程序式计算是解题的关键． 【详解】解：第一次直接输出结果时，则有， 解得， 第二次才能输出结果时，输入x，计算结果，小于251，作为新值再次输入，此时输出结果为257，故， 解得； 第三次才能输出结果时，输入x，计算结果，小于251，作为新值再次输入，此时新值为，继续输入，此时输出结果为257， 故， 解得； 第四次才能输出结果时，输入x，计算结果，小于251，作为新值再次输入，此时新值为，继续输入，还小于251，此时新值为， 继续输入，此时输出结果为257， 故， 解得；不符合题意，舍去， 故选：C． 41．小明运用所学的知识设计了一个计算程序， 例如：小明输入，计算，因为，所以按照程序将6作为新的值代入，重新计算，因为，所以输出结果为30． ①若输入的值为，则永远无法输出结果； ②若输入的值为，则输出结果为30； ③若最后输出的结果是30，则共有两种取值； ④该计算程序能够输出的最小值为12． 上述四个结论中，正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了程序流程图与代数式求值，读懂程序流程图是解题关键．输入，则计算结果是0，再输入，则计算结果还是0，永远无法输出结果；结论①正确；输入，则计算结果是6，再输入，则计算结果是，输出结果为30，结论②正确；根据当输入、和时，输出结果都为30可得结论③错误；先判断出通过计算输出的结果也是整数，且大于10，再结合可得结论④正确． 【详解】解：输入，则， 输入，则，循环往复，计算结果都等于，则永远无法输出结果；结论①正确； 输入，则， 输入，则，则输出结果为30；结论②正确； 由上可知，当输入、和时，输出结果都为30， 所以若最后输出的结果是30，则不止两种取值；结论③错误； ∵为整数， ∴通过计算输出的结果也是整数，且大于10， 又∵， ∴该计算程序能够输出的最小值为12；结论④正确； 综上，四个结论中，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 42．在学习代数式的值时，介绍了计算程序：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． (1)如图，当输入时，输出 ；如图，第一个运算框“”内应填 ；第二个运算框“”内应填 ． (2)如图，当输入时，输出 ；如图，当输出时，输入的值 ． (3)为鼓励节约用水，政府决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过（含）时，以元的价格收费；当每月用水量超过时，超过部分以元的价格收费．请设计出一个“计算程序”，使得输入数为每月用水量，输出数为水费． 【答案】(1)；， (2)；42或 (3)见解析 【分析】本题考查了代数式求值，有理数的混合运算，理解题意是解决本题的关键． （1）①由图1列出关系式，将代入计算即可求出值； ②根据即可得到处的结果； （2）①将代入计算得到结果为大于，将代入计算得到结果为大于，将代入计算得到结果为小于，输出即可； ②分两种情况考虑：当大于时，即可得到的值；小于时，根据开方求出负数的值； （3）因为当每月用水量不超过15吨时（含15吨），以2元/吨的价格收费；当每月用水量超过15吨时，超过部分以元/吨的价格收费，所以水费收缴分两种情况，和，分别计算，则可以设计计算程序如详解所示． 【详解】（1）解：①； ②∵， ∴先给乘，然后再给输出结果减，即可得到， ∴应填、； 故答案为：，，； （2）解：①当时，， ∵， ∴继续运算， ， ∵， ∴继续运算， ∴， ∵， ∴输出，则； ②若，则，解得， 若，则，解得（正值舍去）， 即输入的值或， 故答案为：或； （3）解：设计如框图如图： [题型六 用代数式表示数.图形规律] 43．观察下列一组数：，，，，…，按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，从符号和数值两个方面进行规律分析是解题关键． 该组数的规律从两方面分析：（1）符号：第奇数个数是负数，第偶数个数是正数；（2）分子和分母，据此即可得到答案． 【详解】解：∵该组数第奇数个数是负数，第偶数个数是正数，第个数符号为， 分子是，第个数分子为， 分母是，第个数分母为， ∴第个数为， 故选：B． 44．把一些规格相同的杯子叠起来，如图，4个杯子叠起来高，6个杯子叠起来高．n个杯子叠起来的高度是 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了算术法解决叠放物体高度的实际问题，解题的关键是先求出单个杯子叠加时增加的高度，再算出杯子的基础高度，进而推导n个杯子叠放的高度表达式． 先通过对比不同数量杯子叠放的高度差，求出增加1个杯子所增加的高度；再根据其中一组已知数据，算出单个杯子的基础高度（不叠加时的高度）；最后结合基础高度和叠加高度规律，得出n个杯子叠放的高度公式． 【详解】解：6个杯子比4个杯子多个，高度多， 则1个杯子叠加增加的高度为； 4个杯子叠放时，叠加部分高度为， 总高度减去叠加高度得基础高度：； 基础高度固定为，n个杯子的叠加部分高度为， 总高度为基础高度加叠加高度，即． 故答案为：． 45．如图，小明用相同的小棒搭房子，他搭间房子用了根小棒，搭间房子用（   ）根小棒． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是用代数式表示数、图形的规律，已知字母的值 ，求代数式的值，解题关键是找到规律，并用代数式归纳出式子． 用代数式表示出图形的规律，再代入具体的值即可得解． 【详解】解：依题得：搭间房用根小棒； 搭间房用根小棒； 搭间房用根小棒； 搭间房用根小棒； …… 搭间房用根小棒； 搭间房子，即当时，用根小棒． 故选：． 46．如图，将一张等边三角形纸片剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个小三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个小三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；……，根据以上操作，操作17次可以得到的三角形（    ）个 A．49 B．50 C．52 D．68 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形变化规律问题， 根据前四次操作得出数字变化规律，再根据此规律解答即可. 【详解】解：第一次操作剪成4个小三角形； 第二次操作剪成个小三角形； 第三次操作剪成个小三角形； 第四次操作剪成个小三角形， 第17次操作剪成个小三角形. 故选：C. 47．如图，A，B两地之间有一条东西向的道路．在A地的东处设置第一个广告牌，之后每往东就设置一个广告牌．一汽车在A地的东处出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用代数式表示规律问题，解题的关键是发现汽车所行驶的路程的变化规律，并能用代数式表示出来． 根据题意，经过第一个广告牌时行驶了千米；经过第2个广告牌时行驶了千米；经过第3个广告牌时行驶了千米，从而推出经过第n个广告牌时行驶的路程． 【详解】经过第1个广告牌时所行驶的路程为； 经过第2个广告牌时所行驶的路程为； 经过第3个广告牌时所行驶的路程为； 经过第4个广告牌时所行驶的路程为； ⋯ 经过第n个广告牌时所行驶的路程为． 故选：D 48．如图，红黄绿三块一样大的正方形纸片放在一个正方形盒内，它们之间互相重叠．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是13，绿色的面积是11，则正方形盒子的面积为 ． 【答案】 【分析】先将黄色部分向左平移，黄色部分减少的面积为绿色部分增加的面积，即可得出平移后黄色部分与绿色部分面积相等，设大正方形边长为b，红色部分边长为a，则黄色部分和绿色部分的长为a，宽为b-a，可得a2=20，a (b-a) =12，从而可得ab=32，则a2b2=322，即可求出b2 【详解】解∶如图，将黄色部分向左平移， ∴黄色部分减少的面积为绿色部分增加的面积， ∵红黄绿三块一样大的正方形，整个盒子为正方形， ∴平移后，黄色部分与绿色部分面积相等， ∴平移前，黄色的面积是13，绿色的面积是11， ∴平移后黄色部分与绿色部分面积为∶ ( 13+11) 2=12， 设大正方形边长为b，红色部分边长为a，则黄色部分和绿色部分的长为a，宽为b-a， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为∶． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，正确平移图形，明确平移后黄色部分与绿色部分面积相等是解题的关键． 49．化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图是部分碳氢化合物的结构式，第个结构式中有个和个，第个结构式中有个和个，第个结构式中有个和个，按照此规律，则第个结构式中，的个数之和为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了找规律列代数式，分析每个元素个数的变化规律是解题的关键． 先分别找出第个结构式中原子个数和原子个数的规律，再将两者相加得到个数之和的代数式． 【详解】解：∵第个结构式中的个数为， 第个为， 第个为， ， ∴第个结构式中的个数为． ∵第个结构式中的个数为， 第个为， 第个为， ， ∴第个结构式中的个数为． ∴第个结构式中、个数之和为：， 故答案为：． .50．将正整数1，2，3，…，n按顺时针方向依次排在一个圆上，然后从1开始，按顺时针方向，每个数删除一个数，直至剩余一个数为止，最终剩余的一个数记为．例如：若，，依次删除2，4，1，5，则；若，，依次删除3，6，4，2，5，则；下列说法中正确的个数是（   ） ①； ②当时，； ③当时，或． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，涉及代数式求值，难度较大，正确理解题意是解题的关键． 对于①表示这8个数每2个数删除1个数，则依次删除，还剩下1，故；对于②，分别把代入，发现均成立；对于③，分别把代入，计算出结果，进行验证即可． 【详解】解：①表示这8个数每2个数删除1个数， ∴依次删除，还剩下1， ∴，够①正确，符合题意； ②当时，，由上知，符合； ∴当时，，则表示这9个数每2个数删除1个数， ∴依次删除，还剩下3， ∴，符合； 同理可求：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 代入计算发现均，故②正确，符合题意； ③当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合； 当时，同理可求：，，符合， ∴③正确，符合题意， ∴正确的有①②③， 故选：D． 51．将正方形（如图1）作如下划分： 第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形； 第次划分：将图左上角正方形再作划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若每次都把左上角的正方形一次划分下去，则第次划分后，图中共有______ 个正方形； (2)继续划分下去，第几次划分后能有个正方形？写出计算过程； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由； (4)如果设原正方形的边长为，通过不断地分割该面积为的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果吧． 计算．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2) (3)不能；理由见解析 (4) 【分析】本题考查了用代数式表示数、图形的规律，一元一次方程的应用，掌握从特殊到一般的探究规律的方法是解答本题的关键． （1）探究每次划分所得正方形个数的规律，即可得到答案； （2）利用第（1）题得到的规律列方程求解，即可得到答案； （3）利用第（1）题得到的规律列方程求解，可判断是否符合题意，即可得出答案； （4）由题干的划分方法得到启发，作类似的分割，利用数形结合的思想，计算每次分割后左上角正方形的面积和剩余部分图形的面积，即可从所得规律中得出答案． 【详解】（1）解：第一次划分可得个正方形，第二次划分可得个正方形，第三次划分可得个正方形， 第次划分可得个正方形， 第次划分可得正方形：个； 故答案为：； （2）解：根据题意得：， 解得：， 第次划分后能有个正方形； （3）解：不能， ， 解得：， 不是整数，不合题意， 不能将正方形划分成有个正方形的图形； （4）解：由题意，我们也将正方形进行如上相同得分割， 那么第一次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为，第二次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为，第三次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为， 所以第次分割后，左上角正方形的面积为，剩余图形的面积为， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2代数式的概念 题型梳理 [题型一 列代数式].......................................................................................................................2 [题型二 代数式表示的实际意义与代数式概念].......................................................................9 [题型三 已知字母的值,求代数式的值].....................................................................................13 [题型四 已知式子的值,求代数式的值].....................................................................................20 [题型五 程序流程图与代数式求值]..........................................................................................26 [题型六 用代数式表示数.图形规律]..........................................................................................32 一、定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）连接数和表示数的字母的式子，不含等号（=）和不等号（>、< 等）。例：3x、a²+2b、(m-n)/4（是）；2x=7、3a<5（不是，是等式 / 不等式）。 二、组成要素 1.已知数：固定的数（如 3、1/2、π，π 是常数）； 2.字母：表不确定的数（如 x、y），取值需使代数式有意义（如分母≠0、开偶次方被开方数≥0）； 3.运算符号：乘号可省略（如 a×b 写 ab），除号写成分数（如 a÷2 写 a/2）。 三、分类（按运算复杂度） 类别 特征 示例 .整式 分母无字母、无开方 5（单独数）、x（单独字母）、2a+3b 分式 分母有字母（分母≠0） 1/x、(a+1)/(b-2) 根式 含开方，被开方数有字母 √x（x≥0）、³√(2y) 四、整式的细分（单项式、多项式） 单项式：数与字母的乘积（无加减），如 - 4x（系数 - 4，次数 1）、a³b（系数 1，次数 4）； 多项式：几个单项式的和 / 差，如 2x²+3x-1（3 项，最高次项 2x²，是二次三项式）。关系：代数式⊇整式⊇单项式、多项式。 五、代数式的值（计算步骤） 代入：字母换具体数（负数 / 分数加括号，如 x=-2 时写 2×(-2)）； 运算：先乘方，再乘除，最后加减；例：求 2x+1（x=3）的值：2×3+1=7。 六、常见误区 单独的数 / 字母是代数式（如 8、m）； π 是常数，含 π 的式子是整式（如 2πr）； 字母不同，代数式不同（如 2x+3y≠2a+3b）。 （练习题） [题型一 列代数式]. 1．下列数量关系中，成正比例关系的是（   ） A．飞机飞行路程一定，飞行速度和时间 B．运送一批货物，运走的吨数和剩下的吨数 C．买同样的书，应付的钱数与所买的本数 D．减数一定，被减数和差 2．某商场针对一款服装给出两个调价方案： ①先提价10％，再降价10％； ②先降价20％，再提价20％． 下列说法正确的是(   ) A．①②两种方案的调价结果相同 B．方案①的售价比方案②的售价低 C．方案①的售价比方案②的售价高 D．无法比较，调整后的售价高低取决于服装原售价 3．如图，直角三角尺中阴影部分的面积可以表示为（　　） A．ab﹣πr2 B．﹣πr2 C．ab﹣2πr D．﹣2πr2 4．一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字为b，那么用代数式表示这个两位数为（ ） A． B． C． D． 5．甲、乙两人同时出发从A地到B地，甲骑自行车，乙乘坐汽车．已知A、B两地的距离是千米，甲骑自行车的速度是千米/时，乙乘坐汽车的速度是甲骑自行车速度的3倍，那么乙比甲可以早到 （用含，的代数式表示）时． 6．已知正方形的边长为． （1）如图1-1，正方形各边的中点分别为E，F，G，H，依次连接四个中点，得到四边形的面积为 ； （2）如图1-2，点分布在正方形的边上，且有．连接，得到八边形．设，则八边形的面积为 （用含的代数式表示）． 7．如图，在矩形中，．设阴影部分的宽为，则图1中 ，图2中 ，图3中 ． 8．甲、乙两店卖豆浆，每杯售价均相同．已知甲店的促销方式是：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价；乙店的促销方式是；每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费．若东东想买12杯豆浆，则下列所花的钱最少的方式是（    ） A．在甲店买12杯 B．在甲店买8杯，在乙店买4杯 C．在甲店买6杯，在乙店买6杯 D．在乙店买12杯 9．一个四位数M，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位数M为“雁塔数”．一个“雁塔数”M的千位数字与百位数字和的2倍与十位数字及个位数字的和记为P，千位数字与3的差记为Q，若能被7整除，则满足条件的M最大为 ． 10．如果一个三位数m满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个三位数为“互异数”．将“互异数”m的个位数字去掉，得到一个两位数，将其与m的个位数字的差记为，将m的十位数字与个位数字的差记为．已知一个三位正整数(其中x、y都是整数，且)是“互异数”， 与的商为整数且能被13整除，则满足条件的“互异数”m的最大值 ． [题型二 代数式表示的实际意义与代数式概念] 11．下列式子中，代数式有 个． 12．关于代数式的意义，说法错误的是（    ） A．表示的2倍与3的差 B．比的2倍少3的数 C．表示与3的差的2倍 D．两数的积与3的差 13．下列说法正确的是（　 ） A．表示和相乘 B．的值一定比的值大 C．的值一定比2大 D．的值随的增大而增大 14．某班选举班干部，全班每1名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为，，，．老师规定：同意某同学当选的记“”，不同意（含弃权）的记“”． 如果令 表示第号同学同意第号同学当选，表示第号同学不同意第号同学当选， 其中，， ，； ， ， ，． 则，表示的实际意义是 （     ） A．同意第1号或者第2号同学当选的人数 B．同时同意第1号和第2号同学当选的人数 C．不同意第1号或者第2号同学当选的人数 D．不同意第1号和第2号同学当选的人数 15．下列关于“代数式”的意义有如下叙述： ①的4倍与的和的2倍是； ②小明以的速度走了，再以的速度走了，小明一共走了； ③小华买了苹果和橘子，已知苹果的单价为元，橘子的单价为元，小华一共花费元． 其中正确的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 16．如图，该图形由四个半径为的圆组成，请用含有的代数式表示图中阴影部分的面积 17．有几个同学搬砖，不知道每人搬几块，只知道剩下14块，如果每人搬9块，最后一人只搬6块，搬砖的一共几人？ [题型三 已知字母的值,求代数式的值] 18．关于两个有理数的运算如下：当时，运算结果为，当时，运算结果为．则是以下哪组数值时运算结果为1（    ） A． B． C． D． 19．摄氏度与华氏度是两种常用的温度计量单位，它们之间的转换关系可以用公式表示，其中F表示华氏度()，C表示摄氏度()，那么将转换为华氏度是（　　） A． B． C． D． 20．若是最大的负整数，是绝对值最小的有理数，是倒数等于它本身的自然数，则的值为（    ） A．2017 B．2018 C．2019 D．0 21．阅读材料，并解决问题． 莱昂哈德·欧拉是十八世纪数学界最杰出的人物之一，瑞士著名的数学家、物理学家．在数学成就上，欧拉最先把关于x的多项式用记号的形式来表示（f可用其他字母来代替，但不同的字母表示不同的多项式），例如，当时，多项式的值用来表示，即；当时，多项式的值用来表示，即为．已知，． 请你根据材料中代入求值的方法解决下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 22．已知打开某种密码箱需要输入四位数密码，其中是三个静态密码(是小于10的自然数)，是动态密码，它是利用密钥计算生成的(是不大于5的正整数)，是的个位数字，现在小明打开这个密码箱的密码是2020，则所有符合的密钥的乘积是（   ） A．30 B．60 C．90 D．120 23．当时，代数式的值是，那么当时，代数式的值是 ． 24．若，则我们叫作集合，其中1，2，叫作集合的元素．集合中的元素具有确定性（如必然存在），互异性（如，），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合，则我们说．已知集合，集合，若，则的值是 ． 25．有一种密码的明文（真实文）是将字母表A，B，C，…，Y，Z这26个字母依次对应1，2，3，…，25，26这26个自然数，加密的过程是这样的：将明文字母对应的自然数设为x，将加密后的密文字母对应的自然数设为y，当时，；当时，；当时，；时，．如：D对应为4，经过加密，16对应P，即D变为P；又如K对应11，经过加密，17对应Q，即K变为Q． A B C D E F G H I J K L M 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 N O P Q R S T U V W X Y Z 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 明文“强国有我”首字母“”对应的密文字母为 ． 26．如图，大正方形内有四个形状大小完全相同的长方形，且每个长方形的两条边分别在大正方形的四条边上，大正方形内有个小正方形与四个长方形有重叠（阴影部分），若两个正方形的周长分别为46和34，且四个阴影部分的周长为16，则长方形的周长为 ． 27．某公司为了确保安全，信息需要加密传输．规则如下：加密后是加密后是 ； 加密后． [题型四 已知式子的值,求代数式的值]. 28．已知 ，那么代数式的是（　　） A． B．0 C．3 D．9 29．如果我们把关于的多项式用来表示，即．则当等于某数时，多项式的值用来表示．例如：时，多项式的值记为．若，则的值为 ． 30．当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值为（    ） A． B． C． D． 31．当时，代数式的值为2024，则当时，代数式的值为（   ） A．2022 B． C．2024 D． 32．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是（    ）    A． B． C．0 D．3 33．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：．我们称使得成立的一对数为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则的值为 ． 34．一个三位自然数，百位数字比个位数字多，十位数字为，则称这个数为“二九数”，则最大的“二九数”是 ．若是“二九数”，将的百位数字作为新数的个位数字，将的十位数字作为新数的百位数字，将的个位数字作为新数的十位数字．若满足与的差是的倍数，则的值是 35．数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题： 题目：已知，，求代数式的值． 小云：哈哈！两个方程有三个未知数，不能求具体字母的值．不过，好在两个方程以及所求值代数式中p，q互换都不受影响 小王：嗯，消元思想，肯定要用；运用整体思想把关于p，q的对称式，等优先整体考虑，运算应该会简便． 通过你的运算，代数式的值为 ． \36．我们把按一定规律排列的一列数，称为数列，若对于一个数列中依次排列的相邻的三个数m、n、p，总满足，则称这个数列为理想数列． (1)若数列2，，a，，b，…，是理想数列，则　　，　　； (2)若数列x，，4，…，是理想数列，求代数式的值． (3)若数列…，m，n，p，q…，是理想数列，且，求代数式的值． \[题型五 程序流程图与代数式求值] 37．按照如图所示的运算程序，下列输入的数据中，能使输出的结果为11的是（   ） A．， B．， C．， D．， \38．有一数值转换机，原理如图所示，若输入的的值是1，则第一次输出的结果是6，第二次输出的结果是，，请你写出第2024次输出的结果是（    ） A．6 B．3 C．1 D．4 \39．如图是某运算程序，该程序是循环迭代的一种．根据该程序的指令，如果输入 的值是 ，那么第 次输出的值是 ；把第 次输出的值再次输入，那么第 次输出的值是 ；把第 次输出的值再次输入，那么第 次输出的值是 ；；则第 次输出的值是（  ）    A． B． C． D． \40．按下面的程序计算：                                        当输入时，输出结果是299；当输入时，输出结果是446；如果输入的值是正整数，输出结果是257，那么满足条件的的值最多有（      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 \41．小明运用所学的知识设计了一个计算程序， 例如：小明输入，计算，因为，所以按照程序将6作为新的值代入，重新计算，因为，所以输出结果为30． ①若输入的值为，则永远无法输出结果； ②若输入的值为，则输出结果为30； ③若最后输出的结果是30，则共有两种取值； ④该计算程序能够输出的最小值为12． 上述四个结论中，正确的是 ．（填序号） \42．在学习代数式的值时，介绍了计算程序：用“”表示数据输入、输出框；用“”表示数据处理和运算框；用“”表示数据判断框（根据条件决定执行两条路径中的某一条）． (1)如图，当输入时，输出 ；如图，第一个运算框“”内应填 ；第二个运算框“”内应填 ． (2)如图，当输入时，输出 ；如图，当输出时，输入的值 ． (3)为鼓励节约用水，政府决定对用水实行“阶梯价”：当每月用水量不超过（含）时，以元的价格收费；当每月用水量超过时，超过部分以元的价格收费．请设计出一个“计算程序”，使得输入数为每月用水量，输出数为水费． \[题型六 用代数式表示数.图形规律] 43．观察下列一组数：，，，，…，按此规律，第n个数是（   ） A． B． C． D． \44．把一些规格相同的杯子叠起来，如图，4个杯子叠起来高，6个杯子叠起来高．n个杯子叠起来的高度是 厘米． \45．如图，小明用相同的小棒搭房子，他搭间房子用了根小棒，搭间房子用（   ）根小棒． A． B． C． D． \46．如图，将一张等边三角形纸片剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个小三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个小三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作；……，根据以上操作，操作17次可以得到的三角形（    ）个 A．49 B．50 C．52 D．68 \47．如图，A，B两地之间有一条东西向的道路．在A地的东处设置第一个广告牌，之后每往东就设置一个广告牌．一汽车在A地的东处出发，沿此道路向东行驶．当经过第n个广告牌时，此车所行驶的路程为（　　） A． B． C． D． \48．如图，红黄绿三块一样大的正方形纸片放在一个正方形盒内，它们之间互相重叠．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是13，绿色的面积是11，则正方形盒子的面积为 ． \49．化学中把仅由碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图是部分碳氢化合物的结构式，第个结构式中有个和个，第个结构式中有个和个，第个结构式中有个和个，按照此规律，则第个结构式中，的个数之和为 ．（用含的代数式表示） \.50．将正整数1，2，3，…，n按顺时针方向依次排在一个圆上，然后从1开始，按顺时针方向，每个数删除一个数，直至剩余一个数为止，最终剩余的一个数记为．例如：若，，依次删除2，4，1，5，则；若，，依次删除3，6，4，2，5，则；下列说法中正确的个数是（   ） ①； ②当时，； ③当时，或． A．0 B．1 C．2 D．3 \51．将正方形（如图1）作如下划分： 第次划分：分别连接正方形对边的中点（如图2），得线段和，它们交于点，此时图中共有个正方形； 第次划分：将图左上角正方形再作划分，得图，则图中共有个正方形； (1)若每次都把左上角的正方形一次划分下去，则第次划分后，图中共有______ 个正方形； (2)继续划分下去，第几次划分后能有个正方形？写出计算过程； (3)能否将正方形划分成有个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由； (4)如果设原正方形的边长为，通过不断地分割该面积为的正方形，并把数量关系和几何图形巧妙地结合起来，可以很容易得到一些计算结果，试着探究求出下面表达式的结果吧． 计算．（直接写出答案即可） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $