专题3.1 用字母表示数(重难点梳理+典题专练) 2025-2026学年苏科版七年级数学上册

专题3.1 用字母表示数 用字母表示数：核心知识点 “用字母表示数” 是代数的基础，它将具体数值抽象为字母，能更简洁地表达数量关系、运算规律和实际问题，是从算术到代数的关键过渡。以下从核心概念、书写规则、常见应用、易错点四个维度，系统梳理相关知识。 一、核心概念：为什么要用字母表示数？ 用字母表示数的本质是 “抽象化”，解决了 “具体数值无法概括普遍规律” 的问题，主要作用包括： 1.表示未知量：如 “小明的年龄是x岁”“一个数比5大a”，这里的x、a都是未知量。 2.表示普遍规律：如加法交换律 “a+b=b+a”、乘法分配律 “a(b+c)=ab+ac”，用字母可概括所有符合条件的数，无需逐一举例。 3.表示数量关系：如 “路程 = 速度 × 时间”，用字母表示为s=vt，能直接反映三个量之间的关联，适用于所有匀速运动场景。 4.表示公式：如正方形面积S=a2、三角形面积S=ah，用字母可简洁书写几何、物理等领域的公式。 二、代数式书写规则：规范表达是关键 用字母表示数时，需遵循统一规则，避免歧义，核心规则如下（结合前文题目高频考点）： 规则类别 具体要求 错误示例 正确示例 乘号处理 乘号可省略或简写成 “・”，但数字与字母、字母与字母相乘时，不能用 “×” 3×a、a×b 3a、a⋅b（或ab） 数字位置 数字与字母相乘时，数字必须写在字母前面（1 可省略） a3、1x 3a、x 除法表达 除法运算需写成分数形式，不能用 “÷” a÷2、3÷b . 带分数处理 带分数与字母相乘时，需先转化为假分数 2a a 多项式括号 若代数式后接单位，多项式需加括号 a+2米 (a+2)米 三、常见应用场景：从基础到实际 1. 用字母表示数量关系（高频考点） 通过 “分析已知量与未知量的关联” 列代数式，是最基础的应用，常见场景： 年龄问题：如 “小强y岁，小明比小强大2岁，小华比小明大4岁”，则小明年龄为y+2，小华年龄为(y+2)+4=y+6 倍数关系：如 “绘画小组有a人，比书法小组的2倍少4”，则书法小组人数为2a+4​ 价格变化：如 “商品原价a元，先提价20%，再连续两次降价10%”，则最终价格为a(1+20%)(1−10%)(1−10%)=0.972a 2. 用字母表示公式与规律 数学公式： 正方形周长C=4a、面积S=a2； 圆的周长C=2πr、面积S=πr2； 路程公式s=vt、工作总量公式W=pt（p为工作效率，t为时间）。 运算规律： 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 3. 用字母表示数位（易错点） 一个多位数的表示需结合 “数位的权重”： 两位数：十位数字为a，个位数字为b，则两位数为10a+b（如a=4，b=5，则为45=10×4+5）； 三位数：百位数字为a，十位为b，个位为c，则为100a+10b+c 4. 用字母表示正反比例关系 当两个量的 “乘积一定” 时，成反比例；“比值一定” 时，成正比例 反比例示例：每天造雪量x与造雪天数y，总造雪量固定，则xy=k（定值），如5200×50=6500×y，可求y=40； 正比例示例：三角形高固定，面积S与底a的比值=h（定值），则S与a成正比例。 四、易错点提醒：避免常见错误 1.混淆 “字母表示的数” 与 “具体数” 2.数位表示错误 3.公式记忆错误 4.运算律应用错误 （练习题） 1．下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的书写，解题的关键是掌握代数式的书写要求：（1）在代数式中出现的乘号，通常简写成“”或者省略不写；（2）数字与字母相乘时，数字要写在字母的前面；（3）在代数式中出现的除法运算，一般按照分数的写法来写．带分数要写成假分数的形式． 【详解】解：A．不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； B．符合代数式的书写要求，故此选项符合题意； C．不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； D．不符合代数式的书写要求，应为，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．n是任意整数，我们常用2n表示偶数，由此想到奇数可以表示为 ，比2n小的最大奇数为 ． 【答案】 2n＋1或2n－1 2n－1 【分析】根据偶数和奇数的意义：整数中，是2的倍数的数是偶数，不是2的倍数的数是奇数，偶数可用2n表示，奇数可用2n＋1表示，故可求解． 【详解】n是任意整数，我们常用2n表示偶数，由此想到奇数可以表示为2n＋1或2n－1，比2n小的最大奇数为2n－1． 故答案为：2n＋1或2n－1; 2n－1． 【点睛】解答此题的关键：应明确偶数和奇数的含义． 3．下列说法中，不正确的是（   ） A．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 B．正方形的边长为a，则表示正方形的周长 C．若葡萄的价格是4元/千克，则表示买a千克葡萄的金额 D．若三角形的一边长为3，面积为，则表示这条边上的高 【答案】A 【分析】本题考查了用字母表示数，理解题意，掌握用字母表示数是解题的关键．根据用字母表示数的概念，对题目中的说法逐一分析判断即可． 【详解】解：若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数，故A选项说法不正确，符合题意； 正方形的边长为a，则表示正方形的周长，故B选项说法正确，不符合题意； 若葡萄的价格是4元/千克，则表示买a千克葡萄的金额，故C选项说法正确，不符合题意； 若三角形的一边长为3，面积为，则表示这条边上的高，故D选项说法正确，不符合题意． 故选：A． 4．下表中和两个量成反比例关系，则 “”处应填______． 8 5 20 【答案】 【分析】本题考查反比例关系的定义，有理数的混合运算，抓住乘积相等是解题的关键． 若两个量乘积一定，则它们成反比例关系，据此列式解答即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 【答案】D 【分析】本题考查了用字母表示数，先表示出小明岁，再表示出小华岁，问题得解． 【详解】解：小强y岁，小明比小强大2岁，则小明岁；小明比小华小4岁，则小华岁． 故选：D 6．青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路．青藏铁路上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段行驶的速度是，列车在冻土地段行驶时，根据已知数据求出列车行驶的路程． (1)行驶的路程是多少？呢？呢？呢？ (2)字母表示时间有什么意义？如果用表示速度，列车行驶的路程是多少？ (3)回顾以前所学过的知识，你还能举出用字母表示数或数量关系的例子吗？ 【答案】(1)；；；； (2)字母表示列车在冻土地段行驶的时间； (3)圆的面积（为圆的半径）．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了列代数式，根据路程与速度、时间之间关系，列出代数式是解题关键． （1）根据路程时间速度即可列出式子计算，即可； （2）根据路程时间速度解答即可； （3）根据圆的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：行驶的路程是； 行驶的路程是； 行驶的路程是； 行驶的路程是； （2）解：字母表示列车在冻土地段行驶的时间； 用表示速度，列车行驶的路程是路程； （3）解：圆的面积（为圆的半径）． 7．下列选项中的两个量成反比例关系的是（　　） A．三角形的高一定，三角形的面积和底 B．总路程一定，已走的路程和剩下的路程 C．圆柱的底面积一定，它的体积和高 D．工作总量一定，工作时间和工作效率 【答案】D 【分析】本题考查了辨识反比例，解题的关键是看这两种相关联的量中相对应的两个数的乘积是否一定； 判断两个相关联的量之间成反比例，就看这两个量如果是乘积一定，则成反比例，逐项判断即可． 【详解】A．这三角形的面积底高2(一定)，商一定，所以这三角形的面积和底成正比例关系； B．已走路程剩下的路程总路程(一定)，和一定所以已走路程和剩下的路程不成比例关系； C．圆柱体积高圆柱的底面积(一定)，商一定，所以圆柱的体积和高成正比例关系； D．工作时间工作效率工作总量(一定)，乘积一定，所以工作时间和工作效率成反比例关系． 故选∶D． 8．打一篇稿子，每分打字个数与所需的时间如下表 每分打字个数和所需时间成什么比例关系？为什么？ 每分打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 【答案】反比例，见解析 【分析】本题考查正比和反比．两种相关联的量，如果它们的比值或商一定，则这两种量成正比例关系；如果它们的乘积一定，则这两种量成反比例关系．据此解答． 【详解】解：每分打字个数和所需时间成反比例关系． 因为（一定），乘积一定， 故每分打字个数和所需时间成反比例关系． 9．人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查用字母表示代数式的方法，理解题目含义，掌握字母表示代数式的方法是解题的关键．根据材料提示可知，甲，乙，丙，丁，┈对应的字母是；一，二，三，四，五，┈┈对应的数字是；表示减法，表示加法；的分子与分母交换位置是我们所学的代数式形式，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，“”的代数式为． 故答案为：． 10．若，则 （用含式子表示）． 【答案】/ 【分析】将14改写成，再利用乘法分配律进行计算即可得． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了利用字母表示数、有理数乘法的分配律，熟练掌握乘法分配律是解题关键． 11．四年级同学参加兴趣小组，其中参加绘画小组的有a人，比参加书法小组的2倍少4，参加书法小组的有多少人？正确的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查列代数式：参加书法人数参加绘画的人数，不要写成了．由题意可知书法小组人数=（参加绘画的人数，依此列出算式即可作出选择． 【详解】解：根据题意，书法小组的人数为， 故选：C． 12．北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．在冬季奥运会前，某赛场计划造雪，每天造雪量与造雪天数成反比例关系．具体如下表，则表中的值是（    ）． 每天造雪量 5000 5200 6500 造雪天数 50 40 A．50 B．52 C．60 D．65 【答案】B 【分析】本题考查了用字母表示数，根据每天造雪量与造雪天数成反比例关系，得出,即可求解． 【详解】解：依题意，, 解得：， 故选：B． 13．夕夕总结了以下结论，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】此题考查了字母表示数，根据加法交换律、加法结合律，乘法交换律、乘法结合律判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：、，原结论正确，不符合题意； 、，原结论错误，符合题意； 、，原结论正确，不符合题意； 、，原结论正确，不符合题意； 故选：． 14．某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a米． (1)用含a的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度； (2)若米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25元/平方米，木条20元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（值取3，计算结果精确到个位）． 【答案】(1)窗户的面积为（4a2πa2）米2，总长度（15+π）a（米） (2)498（元） 【分析】（1）窗户的面积包括一个正方形面积一个半圆面积，相加即可．材料总长度就是求图形中线段的总长度，将所有线段长度相加即可； （2）将a＝1代入25（4a2πa2）+20（15+π）a计算可得． 【详解】（1）S＝2a×2aπa2＝4a2πa2 即窗户的面积为（4a2πa2）米2． 15a+πa＝（15+π）a（米） 即制作这种窗户所需材料的总长度（15+π）a（米）． （2）a＝1时，25（4a2πa2）+20（15+π）a ≈25×（4×13×1）+20×（15+3）×1 ＝137.5+360 ＝497.5 ≈498（元），即制作这扇窗户需要498元． 【点睛】本题考查了根据实际情况列代数式，一方面要掌握面积和周长的计算公式，另一方面要做好计算准确，不遗漏． 15．我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图所示的“幻方”，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了用字母表示数，有理数乘方，中间正方形的两个数分别为，，根据该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，得出，，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，中间正方形的两个数分别为，， ∵该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．一个三位自然数的各个数位上的数字互不相同且均不为零，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字的4倍，则称为“谐和数”．例如：172满足，所以172是“谐和数”，显然712也是“谐和数”．最大的“谐和数”与最小的“谐和数”之差为 ． 【答案】802 【分析】本题考查新定义，读懂题意，理解新定义是解决问题的关键． 根据“谐和数”的定义，百位数字与十位数字之和是个位数字的4倍，且各位数字互不相同，通过分析个位数字的可能取值，列举所有满足条件的数，并找出最大和最小者求差即可得到答案． 【详解】解：设百位数字为，十位数字为，个位数字为， 则，且均为的整数且互不相同， ， 则，解得， 故可取1、2、3、4， 当时，，由于均为的整数且互不相同，故排除131、311、221，即没有满足条件的数； 当时，，故满足条件的数有172、352、532、712； 当时，，故满足条件的数有483、573、753、843； 当时，，故满足条件的数有794、974； “谐和数”中最小者为172，最大者为974，其差为， 故答案为：802． 17．形如这样表示的数就是百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字为c．已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查用代数式表示数，整数的运算，熟练根据整数乘法的特征进行推理是解题的关键．利用个位推理得出，再利用积的十位上的数是由两个因数的个位和十位的组成的数的积决定的，且，得出，最后利用最高位推出即可． 【详解】解：由， 得， 可知积个位上的数是的积的个位数， 则， 得， 由积的十位上的数是由两个因数的个位和十位的组成的两位数的积决定的，且， ∴， 得， 由积是10位数，最高位是6，因数是5位数，可知因数最高数位相乘有进位， 由最高数位的两位数是66，则我们可以尝试用验证， 由，成立， 故， 故答案为：8． 18．若四个实数，，，满足，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用字母表示数，比较数的大小，熟练掌握相关知识点是解题关键． 设，得，，，的表达式，通过比较常数项与的关系即可确定大小． 【详解】解：设， ，，，， ， ． 故选：C． 19．某商品原价为a元，先提高20%，然后连续两次降价，每次降价10%．则该商品的价格是（　　） A．元 B．元 C．元 D． 元 【答案】B 【分析】根据题目要求列出代数式化简计算即可． 【详解】依题意，该商品经过一次的升价，再经过两次的降价，目前的价格为： ． 故选：B． 【点睛】本题考查用字母表示数，较为简单；另外本题为选择题，在化简计算时可采用尾数判别法（即的结果应有三位小数且尾数是）可快速选出答案． 20．小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（　　） A．78 B．87 C．23 D．12 【答案】A 【分析】设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为，则，化简可得，据此即可得出答案． 【详解】解：设小明心里想的那个两位数的十位数字为，个位数字为， 由题意得：， 整理得：， 即小明心里想的那个两位数是78， 故选：A． 【点睛】本题考查了用字母表示数，正确列出等式是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 用字母表示数 用字母表示数：核心知识点 “用字母表示数” 是代数的基础，它将具体数值抽象为字母，能更简洁地表达数量关系、运算规律和实际问题，是从算术到代数的关键过渡。以下从核心概念、书写规则、常见应用、易错点四个维度，系统梳理相关知识。 一、核心概念：为什么要用字母表示数？ 用字母表示数的本质是 “抽象化”，解决了 “具体数值无法概括普遍规律” 的问题，主要作用包括： 1.表示未知量：如 “小明的年龄是x岁”“一个数比5大a”，这里的x、a都是未知量。 2.表示普遍规律：如加法交换律 “a+b=b+a”、乘法分配律 “a(b+c)=ab+ac”，用字母可概括所有符合条件的数，无需逐一举例。 3.表示数量关系：如 “路程 = 速度 × 时间”，用字母表示为s=vt，能直接反映三个量之间的关联，适用于所有匀速运动场景。 4.表示公式：如正方形面积S=a2、三角形面积S=ah，用字母可简洁书写几何、物理等领域的公式。 二、代数式书写规则：规范表达是关键 用字母表示数时，需遵循统一规则，避免歧义，核心规则如下（结合前文题目高频考点）： 规则类别 具体要求 错误示例 正确示例 乘号处理 乘号可省略或简写成 “・”，但数字与字母、字母与字母相乘时，不能用 “×” 3×a、a×b 3a、a⋅b（或ab） 数字位置 数字与字母相乘时，数字必须写在字母前面（1 可省略） a3、1x 3a、x 除法表达 除法运算需写成分数形式，不能用 “÷” a÷2、3÷b . 带分数处理 带分数与字母相乘时，需先转化为假分数 2a a 多项式括号 若代数式后接单位，多项式需加括号 a+2米 (a+2)米 三、常见应用场景：从基础到实际 1. 用字母表示数量关系（高频考点） 通过 “分析已知量与未知量的关联” 列代数式，是最基础的应用，常见场景： 年龄问题：如 “小强y岁，小明比小强大2岁，小华比小明大4岁”，则小明年龄为y+2，小华年龄为(y+2)+4=y+6 倍数关系：如 “绘画小组有a人，比书法小组的2倍少4”，则书法小组人数为2a+4​ 价格变化：如 “商品原价a元，先提价20%，再连续两次降价10%”，则最终价格为a(1+20%)(1−10%)(1−10%)=0.972a 2. 用字母表示公式与规律 数学公式： 正方形周长C=4a、面积S=a2； 圆的周长C=2πr、面积S=πr2； 路程公式s=vt、工作总量公式W=pt（p为工作效率，t为时间）。 运算规律： 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)； 乘法结合律：(ab)c=a(bc) 3. 用字母表示数位（易错点） 一个多位数的表示需结合 “数位的权重”： 两位数：十位数字为a，个位数字为b，则两位数为10a+b（如a=4，b=5，则为45=10×4+5）； 三位数：百位数字为a，十位为b，个位为c，则为100a+10b+c 4. 用字母表示正反比例关系 当两个量的 “乘积一定” 时，成反比例；“比值一定” 时，成正比例 反比例示例：每天造雪量x与造雪天数y，总造雪量固定，则xy=k（定值），如5200×50=6500×y，可求y=40； 正比例示例：三角形高固定，面积S与底a的比值=h（定值），则S与a成正比例。 四、易错点提醒：避免常见错误 1.混淆 “字母表示的数” 与 “具体数” 2.数位表示错误 3.公式记忆错误 4.运算律应用错误 （练习题） 1．下列各式中，符合代数式书写规则的是（    ） A． B． C． D． 2．n是任意整数，我们常用2n表示偶数，由此想到奇数可以表示为 ，比2n小的最大奇数为 ． 3．下列说法中，不正确的是（   ） A．若4和a分别表示一个两位数中的十位数字和个位数字，则表示这个两位数 B．正方形的边长为a，则表示正方形的周长 C．若葡萄的价格是4元/千克，则表示买a千克葡萄的金额 D．若三角形的一边长为3，面积为，则表示这条边上的高 4．下表中和两个量成反比例关系，则 “”处应填______． 8 5 20 5．小明比小强大2岁，比小华小4岁．如果小强y岁．则小华（    ） A．岁 B．岁 C．岁 D．岁 6．青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路．青藏铁路上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段行驶的速度是，列车在冻土地段行驶时，根据已知数据求出列车行驶的路程． (1)行驶的路程是多少？呢？呢？呢？ (2)字母表示时间有什么意义？如果用表示速度，列车行驶的路程是多少？ (3)回顾以前所学过的知识，你还能举出用字母表示数或数量关系的例子吗？ 7．下列选项中的两个量成反比例关系的是（　　） A．三角形的高一定，三角形的面积和底 B．总路程一定，已走的路程和剩下的路程 C．圆柱的底面积一定，它的体积和高 D．工作总量一定，工作时间和工作效率 8．打一篇稿子，每分打字个数与所需的时间如下表 每分打字个数和所需时间成什么比例关系？为什么？ 每分打字个数（个） 120 100 75 60 所需时间（分） 25 30 40 50 9．人们学习数学，通常是从学习数学符号开始的．现代数学符号系统的建立经历了长期的演变和发展．我国清朝学堂课本《代徽积拾级》中用“”来表示相当于的代数式，按此方法，符号“”所表示的代数式为 ． 10．若，则 （用含式子表示）． 11．四年级同学参加兴趣小组，其中参加绘画小组的有a人，比参加书法小组的2倍少4，参加书法小组的有多少人？正确的算式是（   ） A． B． C． D． 12．北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．在冬季奥运会前，某赛场计划造雪，每天造雪量与造雪天数成反比例关系．具体如下表，则表中的值是（    ）． 每天造雪量 5000 5200 6500 造雪天数 50 40 A．50 B．52 C．60 D．65 13．夕夕总结了以下结论，不正确的是（   ） A． B． C． D． 14．某种窗户由上下两部分组成，其上部是用木条围成的半圆形，且半圆形内部由三根等长的木条分隔，下部是用木条围成的边长相等的四个小正方形，木条的宽度和厚度不计．已知下部每个小正方形的边长为a米． (1)用含a的代数式分别表示窗户的面积和所用木条的总长度； (2)若米，窗户上安装的是玻璃，玻璃25元/平方米，木条20元/米，求制作这个窗户需要的总钱数（值取3，计算结果精确到个位）． 15．我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图所示的“幻方”，则的值是 ． 16．一个三位自然数的各个数位上的数字互不相同且均不为零，若满足百位数字与十位数字之和是个位数字的4倍，则称为“谐和数”．例如：172满足，所以172是“谐和数”，显然712也是“谐和数”．最大的“谐和数”与最小的“谐和数”之差为 ． 17．形如这样表示的数就是百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字为c．已知，则 ． 18．若四个实数，，，满足，则，，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 19．某商品原价为a元，先提高20%，然后连续两次降价，每次降价10%．则该商品的价格是（　　） A．元 B．元 C．元 D． 元 20．小明心里想好了一个两位数，他将十位数字乘2，然后加3，再将所得的新数乘5，最后将所得的数加个位数字，结果是93，小明心里想的那个两位数是（　　） A．78 B．87 C．23 D．12 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $