精品解析：安徽省滁州市定远县育才学校2025-2026学年高三上学期11月期中检测数学试题

定远育才学校2025-2026学年高三（上）期中检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则中所有元素之和为（ ） A. 3 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分式及一元二次不等式求出集合A，再应用交集的定义运算即可. 【详解】因为， 又因为，所以 则中所有元素之和为. 故选：C. 2. 已知复数，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数除法运算求得，然后求得. 【详解】， . 故选：C 3. 已知 p：0≤2x-1≤1， q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　 　) A. [0，] B. (0，) C. (－∞，0]∪[，＋∞) D. (－∞，0)∪(，＋∞) 【答案】A 【解析】 【分析】若p是q的充分不必要条件，则p所代表的范围是q所代表范围的真子集，解出不等式，即可得解. 【详解】由0≤2x-1≤1得：， 由(x－a)(x－a－1)≤0得：， 若p是q的充分不必要条件， 则， 即：，解的：， 故选：A. 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，考查了命题语言和集合语言的转化，考查了转化思想，属于基础题. 4. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，利用导数分析函数单调性，数形结合可得出的单调性，可得出、、的大小关系，利用作差法可得出与的大小关系，由此可得出、、的大小关系. 【详解】令，该函数的定义域为，， 由可得或，由可得， 且当时，，当时，. 所以，函数的单调递减区间为、，增区间为， 作出函数的图象如下图所示： 由图可知，函数的增区间为、，减区间为， 因为，则， 因为，即， 接下来比较与的大小， 作差得， 所以，，因此，. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数之间关系得到，再利用二倍角公式得到以及的值，最后根据两角差的余弦公式得到结果. 【详解】因为，所以， 即，所以， 所以，， 即． 故选：B． 6. 若点为的外心，且满足，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用将整理得到，利用余弦定理得到，得到角的范围，从而求出的最大值. 【详解】设， ，， ， ， ， ，， ， ， ， . 故选：C. 7. 定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设为坐标原点，四点的横坐标依次为，则函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先辨别出图象中实线部分为函数的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数的导数为，由，得出，只需在图中找出满足不等式对应的的取值范围即可. 【详解】若虚线部分为函数的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与轴有三个交点，不合乎题意； 若实线部分为函数的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与轴恰好也只有两个交点，合乎题意. 对函数求导得，由得， 由图象可知，满足不等式的的取值范围是， 因此，函数的单调递减区间为. 故选：B 【点睛】本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查学生的逻辑推理能力，考查了数形结合的思想. 8. 已知函数的图象与的图象关于轴对称，若将的图象向左至少平移个单位长度后可得到的图象，则（ ） A. 的图象关于原点对称 B. C. 在上单调递增 D. 的图象关于点对称 【答案】B 【解析】 【分析】先设，，从而根据图象关于轴对称，得到方程，求出，A选项，根据，得到A错误；B选项，化简得到B正确；C选项，利用整体法判断函数的单调性；D选项，由得到D错误. 【详解】由题意，可设，， 因为与的图象关于轴对称， 所以， 则，解得， 由于，，故的最小值为， 因为的图象向左至少平移个单位长度后可得到的图象， 所以，解得， 则. 对于A，因为的定义域为，而，所以不是奇函数， 图象不关于原点对称，错误； 对于B， ，B正确； 对于C，由，得， 又在上不单调，C错误； 对于D，， 故不是图象的对称中心，D错误. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先代入表格数据中的前2组数据，求，判断A，再根据解析式，代入求，判断B，根据解析式，结合，求的范围，判断C，根据不等关系，结合对数运算公式，判断D. 【详解】由题意可得.即，解得.所以，故A正确； 因为，所以，解得，故B错误； 由，得，故C正确； 设烟花噪声､鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为，由题意知，，，所以，所以，所以，即，所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是以4为周期的周期函数 C. 的图象关于直线对称 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，令即可求解判断；对于D，根据题设推导可得，进而得到，进而求解判断即可；对于BC，举例判断即可. 【详解】对于A，由题意，为偶函数，为奇函数， 则，， 由，令，得，则，故A正确； 对于D，由，得， 而， 则，即， 则， 由于，则，，依次类推：， 所以，故D正确； 对于BC，当时，满足偶函数，为奇函数， 而， ， 则，满足题意， 而函数是以8为周期的周期函数，故B错误， 又，所以函数的图象不关于直线对称，故C错误. 故选：AD． 11. 设正实数x，y满足，则（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是9 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式一一求解最值即可. 【详解】对于A，， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B，， 当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，由A可得，又， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对于D，， 所以的最大值为，当且仅当，即时等号成立，故D不正确. 故选：BC. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数是奇函数，则_______． 【答案】1 【解析】 【详解】利用奇函数的定义恒成立，列出关于的方程求解． 【解答】解：函数是奇函数， ，即恒成立， 即恒成立， ． 故答案为：． 13. “中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中因剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为_________． 【答案】134 【解析】 【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被整除余的数，运用等差数列的通项公式，以及解不等式即可得到所求的项数. 【详解】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被整除余的数， 故， 由 ，解得 ， 当时，不符合， 故此数列的项数为， 故答案为：134 【点睛】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列通项公式的运用，属于基础题. 14. 在中，，，分别是角，，的对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角互化，结合余弦定理可得，再根据三角形面积公式可得， 【详解】因为， 所以由正弦定理可得，整理得， 故，因为，所以， 又，所以， 如图，由题意可得，， 因为，，三点共线， 故可设，， 又因，，三点共线，故，即， 所以， 因为， 所以， 于是，即 两边平方得：， 当且仅当时等号成立， 故，即， 所以的最小值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 复数是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、nR)的一个根． (1) 求m和n的值； (2) 若(uC)，求u． 【答案】（1）（2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）求出方程的两个根z==，，利用一元二次方程根与系数的关系求解；（2）设u=c+di(c,dR)，代入方程利用复数相等的概念求出c,d即可. 试题解析： (1)因为z==，所以， 由题意知：z、是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、nR)的两个根， 由， 解之得：， (2)设u=c+di(c,dR)，则(1+i)(c–di)+(c+di)=，2c+d+ci= ，， 所以u=． 16. 中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）延长至点，使得，试探究否为定值？并说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式和正、余弦定理计算可得或，若可得，即可证明； （2）由题意可得、，根据余弦定理化简计算，结合（1）可得，变形即可下结论. 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 由正弦定理和余弦定理，得， 所以，即， 解得或， 若，则，又，所以，， 此时，有，即，所以． 【小问2详解】 因为，所以． 因为，所以， 所以，即， 又，所以， 所以，所以，为定值． 17. 函数，若在处取得最值. （1）求的最小值； （2）当取最小值时，将函数的图象向右平移个单位后得到函数，在内求使得不等式成立的的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式化简函数，然后利用对称轴列方程，结合即可求解. （2）先利用图象平移法则求得，然后将不等式化为，结合，利用正弦函数图象与性质解不等式即可. 【小问1详解】 . 因为在处取得最值，所以是函数的一条对称轴，即. 所以， 因为，所以的最小值为2. 【小问2详解】 由（1）知， 则函数的图象向右平移个单位后得到函数 ， 不等式，即为， 所以 ， 当，又，所以， 当，又，所以， 综上所述：的取值范围为. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）记集合，，若中有3个元素，求的取值范围； （3）是否存在等差数列，使得对一切都成立？若存在，求出；若不存在，说明理由． 【答案】（1），；（2），；（3）存在等差数列且满足题意． 【解析】 【分析】（1）运用数列的递推式，结合等比数列的通项公式，即可得到所求通项； （2）由题意可得，设，求得（1），（2），（3），（4），结合图象，即可得到所求范围； （3）先假设存在等差数列，然后令，探求等差数列的通项，最后代入验证即可． 【详解】解：（1），可得时，， 解得； 时，可得， 相减可得， 即为， 可得，； （2）集合，， 若中有3个元素， 可得， 设， （1），（2），（3）， （4），（5）， 则当时, ， 又集合中有且仅有3个元素， 则， 故实数的取值范围是，； （3）设存在等差数列使得 对一切都成立， 则时有，； 则时有，， 等差数列的公差，， 设， 由， ， ， 存在等差数列且满足题意． 【点睛】本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和，累加法是求数列通项的常用方法，要熟练掌握，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要掌握． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，方程有三个不相等的实数根，分别记为. ①求的取值范围； ②证明. 【答案】（1）答案见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）应用导数讨论函数的单调性，分与讨论即可； （2）①结合函数的极值点即可求解；②构造函数与讨论即可. 【小问1详解】 函数的定义域为. 又，令，得. 当，即时，在恒成立，. 当，即时，方程有两根，可求得：， 因为所以， 当和时，，为增函数， 当时，，为减函数. 综上：当时，在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，. ①方程有三个不相等的实数根， 即方程在上有三个不相等的实数根. 令， 则， 令，求得：或， 则当或时，， 当时，， 则在和上单调递增，在上单调递减， 存在极大值为，存在极小值， 且当时，，当时，. 要使方程有三个不相等的实数根，则 的取值范围为. ②证明：设方程三个不相等的实数根分别为：，且， 由①可得，要证， 只需证，即证， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，. 由， 构造函数， ，当时，在上单调递增， ，即在上恒成立， 又，则有：， 又，且上单调递减， ，即. 构造函数， ，当时在上单调递增. ，即在上恒成立. 又，则.即， 由，则. 在上单调递增，. 又，则可证得：. 【点睛】关键点点睛：将证明转化为， ，结合极值点平移构造函数是本题关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年高三（上）期中检测 数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则中所有元素之和为（ ） A. 3 B. 8 C. 9 D. 12 2. 已知复数，为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知 p：0≤2x-1≤1， q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　 　) A. [0，] B. (0，) C. (－∞，0]∪[，＋∞) D. (－∞，0)∪(，＋∞) 4. 已知函数，若，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 若点为的外心，且满足，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 定义在上的函数与其导函数的图象如图所示，设为坐标原点，四点的横坐标依次为，则函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的图象与的图象关于轴对称，若将的图象向左至少平移个单位长度后可得到的图象，则（ ） A. 的图象关于原点对称 B C. 在上单调递增 D. 的图象关于点对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体､液体､气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强.但在实际生活中，常用声音的声强级来度量，声强级与声强的关系近似满足，经过多次测定，得到如下数据： 声强 声强级 10 20 30 已知烟花的噪声的声强级一般在，其声强为；鞭炮的噪声的声强级一般在，其声强为；飞机起飞时发动机的噪声的声强级一般在，其声强为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知定义在R上的偶函数和奇函数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是以4为周期的周期函数 C. 的图象关于直线对称 D. 11. 设正实数x，y满足，则（ ） A. 最大值是 B. 的最小值是9 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数是奇函数，则_______． 13. “中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中因剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为_________． 14. 在中，，，分别是角，，对边，已知，的面积，点是线段的中点，点在线段上，且，线段与线段交于点，若点是三角形的重心，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 复数是一元二次方程mx2+nx+1=0(m、nR)的一个根． (1) 求m和n的值； (2) 若(uC)，求u． 16. 中，内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）证明：； （2）延长至点，使得，试探究是否为定值？并说明理由． 17. 函数，若在处取得最值. （1）求的最小值； （2）当取最小值时，将函数的图象向右平移个单位后得到函数，在内求使得不等式成立的的取值范围. 18. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）记集合，，若中有3个元素，求的取值范围； （3）是否存在等差数列，使得对一切都成立？若存在，求出；若不存在，说明理由． 19. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，方程有三个不相等的实数根，分别记为. ①求取值范围； ②证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $