专题02 全等三角形4大考点（期末真题汇编，黑龙江专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题02 全等三角形 4大高频考点概览 考点01 添加一个条件使三角形全等问题 考点02 全等三角形的性质与判定 考点03 与角平分线有关的问题 考点04 与垂直平分线有关的问题 地 城 考点01 添加一个条件使三角形全等问题 一、单选题 1．(23-24八上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)如图，中，点在上，点在上，，要使，还需添加一个条件，下列四个条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24八上·黑龙江省绥化市第八中学校·期末)如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·黑龙江省佳木斯市·期末)如图，AB∥EF，AB＝EF，添加下面哪个条件不能使△ABC≌△EFD．（       ） A．BD＝FC B．∠A＝∠E C．AC∥DE D．AC＝ED 4．(24-25八上·黑龙江省绥化市绥棱县·期末)如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（     ）    A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC 5．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市风华中学·期末)在△ABC和△FED中，如果∠A=∠F，∠B=∠E，要使这两个三角形全等，还需要的条件是（　　） A．AB=DE B．BC=EF C．AB=FE D．∠C=∠D 二、填空题 6．(24-25八上·黑龙江七台河·期末)如图，已知，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使． 7．(23-24八上·黑龙江牡丹江第四中学·期末)如图所示，已知，，要使，只需增加一个条件是 ． 8．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市林口县·期末)如图，在和中，已知，，要使，还需添加一个条件，那么这个条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）． 9．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市·期末)如图，，只需补充一个条件 ，就可以根据“”得到． 10．(23-24八上·黑龙江牡丹江宁安·期末)如图，在和中，，，要使，则需添加的条件是 ．（只需添加一个即可） 11．(23-24八上·黑龙江牡丹江海林·期末)如图，在和中，，，请添加一个条件 ，使（添一种情况即可）． 12．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学·期末)如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，请补充条件： （写出一个即可），使．    13．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市风华中学·期末)如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 ． 14．(23-24八上·黑龙江省绥化市明水县·期末)如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立．你添加的条件是 ．(不再添加辅助线和字母) 地 城 考点02 全等三角形的性质与判定 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江省七台河市·期末)下列说法正确的是(　　) A．面积相等的两个直角三角形全等 B．周长相等的两个直角三角形全等 C．斜边相等的两个直角三角形全等 D．有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等 2．(24-25八上·黑龙江省绥化市绥棱县·期末)如图，为了测量池塘两岸相对的两点，之间的距离，小颖在池塘外取的垂线上两点，，使，再画出的垂线，使点与，在同一条直线上，这时，可得，因此，测得的长就是的长．这里判定的依据是（    ）    A． B． C． D． 3．(24-25八上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)如图，已知，E为的中点，若，，长为（    ）cm． A．6 B．7 C．12 D．13 4．(23-24八上·黑龙江省绥化市第八中学校·期末)下列语句：①顶角、底角都相等的两个等腰三角形一定全等；②两个等边三角形一定是全等图形；③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同； ④三个角一一对应相等的两个三角形一定全等．其中错误的说法有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．(23-24八上·黑龙江省齐齐哈尔市3校联考·期末)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（    ） A．80° B．70° C．60° D．45° 二、填空题 6．(23-24八上·黑龙江省黑河市北安市第八中学·期末)如图，一块三角形玻璃板破裂成①,②,③三块，现需要买另一块同样大小的一块三角形玻璃,为了方便,只需带第 块碎片比较好． 7．(23-24八上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)如图中，，平分交于D，点E在的延长线上，满足，若，，则线段的长为 8．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市风华中学·期末)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B= 度． 三、解答题 9．(23-24八上·黑龙江省绥化市庆安县·期末)如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 10．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学·期末)已知和位置如图，，，．求证：．    11．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学·期末)如图，中，于点，于点，与 相交于．求证：． 12．(23-24八上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末)如图，在中，平分交于点D，，分别交于点E、F．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 13．(23-24八上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，连接，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．(23-24八上·黑龙江哈尔滨呼兰区第四中学·期末)如图，四边形中，，E为的中点，连结并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连结，若，，，请判断与的数量关系，并说明理由． 15．(24-25八上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． 求证： (1)， (2)与的位置关系如何． 16．(24-25八上·黑龙江调研·期末)如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．        (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），，，平分交于点G，求的度数． 地 城 考点03 与角平分线有关的问题 一、单选题 1．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市联考·期末)如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．(24-25八上·黑龙江七台河·期末)如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 3．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市昂昂溪区·期末)如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(23-24八上·黑龙江省绥化市明水县·期末)如图所示，已知的周长是20，分别平分和于D，且，则的面积是 ． 5．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学·期末)如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD= ． 6．(23-24八上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末)如图，在中，，是角平分线，，，则的面积为 ． 7．(23-24八上·黑龙江省鸡西市虎林市·期末)如图，在中，，点O为的三条角平分线的交点，，，，垂足分别是D、E、F，且，，，则点O到的距离为 ． 8．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市宁安市·期末)如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ． 9．(23-24八上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)如图，在中，，是角平分线，若，，则点到的距离为 ． 三、解答题 10．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市·期末)如图，∠AOP=∠BOP=15°，PCOA，PD⊥OA，PE⊥OB，若PC=4，求PD的长． 11．(23-24八上·黑龙江省绥化市绥棱县·期末)作图：如图作出一点P，使点P到点A、点B的距离相等，且到两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） 12．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市联考·期末)如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD = CD，BE = CF． 求证： (1)AD平分∠BAC； (2)AC=AB+2BE. 地 城 考点04 与垂直平分线有关的问题 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学·期末)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下列结论中错误的是（    ） A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB＋BC C．AD＝BD＝BC D．△BCD的面积等于△BED的面积 2．(24-25八上·黑龙江绥化绥棱县·期末)如图所示，，若和分别垂直平分和，则（    ） A． B． C． D． 3．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)如图，在等腰三角形中，，的垂直平分线交于点，连接，，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 4．(23-24八上·黑龙江哈尔滨巴彦县·期末)如图，在底边为5，腰为3的等腰三角形中，垂直平分于点，交于点，则的周长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 5．(23-24八上·黑龙江省齐齐哈尔市3校联考·期末)如图，在中，的垂直平分线交的平分线于，若，，则的度数是 ． 6．(24-25八上·黑龙江省统考·期末)在中，，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∠DAE的度数为 ． 7．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市海林市·期末)如图，长方形中，请依据尺规作图的痕迹，求出等于 ．    8．(24-25八上·黑龙江调研·期末)如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D和点M，的垂直平分线分别交和于点E和点N，连接，则的度数为 ． 9．(23-24八上·黑龙江牡丹江海林·期末)如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，，则的长是 ． 10．(24-25八上·黑龙江绥化绥棱县·期末)如图，在，，点是上一点，、分别是线段、的垂直平分线，则 ．    三、解答题 11．(23-24八上·黑龙江省绥化市绥棱县·期末)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝6，在△ABC内取一点O，使得AB＝OB，∠CAO＝15°，AM⊥BO，M为垂足． （1）求AM的长； （2）求证：AO＝CO． 12．(23-24八上·黑龙江牡丹江宁安·期末)如图，在中，，是线段的垂直平分线，．    (1)求证：； (2)求的度数． 13．(23-24八上·黑龙江省绥化市望奎县第四中学·期末)作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点，表示大学，，表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 14．(23-24八上·黑龙江哈尔滨呼兰区第四中学·期末)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点在小正方形的顶点上． (1)在图中画一个以为腰的等腰直角三角形，点E在小正方形的顶点上； (2)在图中确定一点P，使点P到两边的距离相等，且点P与点C和点D的距离也相等，连接，并直接写出三角形的面积． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 全等三角形 4大高频考点概览 考点01 添加一个条件使三角形全等问题 考点02 全等三角形的性质与判定 考点03 与角平分线有关的问题 考点04 与垂直平分线有关的问题 地 城 考点01 添加一个条件使三角形全等问题 一、单选题 1．(23-24八上·黑龙江哈尔滨松北区·期末)如图，中，点在上，点在上，，要使，还需添加一个条件，下列四个条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定方法．根据三角形全等的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、，无法判断三角形全等，本选项符合题意； B、由，推出，可以根据，判断三角形全等，本选项不符合题意； C、由，推出，可以根据，判断三角形全等，本选项不符合题意； D、，可以根据判断三角形全等． 故选：A． 2．(23-24八上·黑龙江省绥化市第八中学校·期末)如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定方法只有共5种，主要培养学生的辨析能力．根据“”对A进行判断；根据“”对B进行判断；根据“”对C进行判断； D选项符合，不能证明． 【详解】解：由，利用可证明，所以A选项不符合题意； 由，利用可证明，所以B选项不符合题意； 由，利用可证明，所以C选项不符合题意； 由，符合，不能证明，所以D选项符合题意． 故选D． 3．(24-25八上·黑龙江省佳木斯市·期末)如图，AB∥EF，AB＝EF，添加下面哪个条件不能使△ABC≌△EFD．（       ） A．BD＝FC B．∠A＝∠E C．AC∥DE D．AC＝ED 【答案】D 【详解】【分析】由AB∥EF，可得∠B=∠F，再根据已知AB=EF逐项进行判断即可得. 【详解】∵AB∥EF， ∴∠B=∠F，且AB=EF， 当BD=CF时，可得BC=DF，在△ABC和△EFD中，满足SAS，故A可以判定； 当∠A=∠E时，在△ABC和△EFD中，满足ASA，故B可以判定； 当AC∥DE时，可得∠ACB=∠EDF，在△ABC和△EFD中，满足AAS，故C可以判定； 当AC=DE时，在△ABC和△EFD中，满足SSA，故D不可以判定， 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握和应用三角形全等的判定条件是解题的关键. 4．(24-25八上·黑龙江省绥化市绥棱县·期末)如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（     ）    A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC 【答案】A 【详解】解：∵AE∥DF， ∴∠A=∠D， ∵AE=DF， ∴要使△EAC≌△FDB，还需要AC=BD， ∴当AB=CD时，可得AB+BC=BC+CD，即AC=BD， 故选A． 5．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市风华中学·期末)在△ABC和△FED中，如果∠A=∠F，∠B=∠E，要使这两个三角形全等，还需要的条件是（　　） A．AB=DE B．BC=EF C．AB=FE D．∠C=∠D 【答案】C 【详解】解：A. 加上AB=DE，不能证明这两个三角形全等，故此选项错误； B. 加上BC=EF，不能证明这两个三角形全等，故此选项错误； C. 加上AB=FE，可用证明两个三角形全等，故此选项正确； D. 加上∠C=∠D，不能证明这两个三角形全等，故此选项错误； 故选C． 二、填空题 6．(24-25八上·黑龙江七台河·期末)如图，已知，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件 ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由平行线的性质得，，再由证明即可． 本题考查了全等三角形的判定以及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加，理由如下： ， ，， 又， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 7．(23-24八上·黑龙江牡丹江第四中学·期末)如图所示，已知，，要使，只需增加一个条件是 ． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，可以添加，再根据，，证明即可．解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【详解】解：添加条件：， 在和中， ， ∴； 添加， ∴，即， 在，中， ， ∴； 添加， 在中， ， ∴； 故答案为：或或（答案不唯一）． 8．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市林口县·期末)如图，在和中，已知，，要使，还需添加一个条件，那么这个条件可以是 （只需写一个，不添加辅助线）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的知识点是添加条件使两个三角形全等，熟记判定定理并根据题目条件灵活运用是解此题的关键． 要使，已知，，具备了一组边和一组角对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可． 【详解】解：要使，已知，， 则可以添加，运用来判定其全等； 也可添加一组角或来判定其全等． 故答案为：或或． 9．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市·期末)如图，，只需补充一个条件 ，就可以根据“”得到． 【答案】 【分析】本题考查三角形全等的判定，根据三角形全等的判定添加条件即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ∵ ，，根据“”得到， ∴， 故答案为：． 10．(23-24八上·黑龙江牡丹江宁安·期末)如图，在和中，，，要使，则需添加的条件是 ．（只需添加一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据全等三角形的判定定理添加条件即可求解． 【详解】解：∵在和中，，， 添加条件，则 ， 故答案为：（答案不唯一）． 11．(23-24八上·黑龙江牡丹江海林·期末)如图，在和中，，，请添加一个条件 ，使（添一种情况即可）． 【答案】或或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，根据判定定理添加条件即可． 【详解】解：∵，， ∴， 如果，，则； 如果，则； 如果，则； 故答案为：或或． 12．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学·期末)如图，点B，E，C，F在同一条直线上，，，请补充条件： （写出一个即可），使．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形的全等，熟练掌握全等的判定方法是解题关键． 可选择合适的三角形全等判定方法进行全等的判定，答案不唯一，写出一个符合条件的即可． 【详解】解：添加． ∵在和中， ， ∴． 故答案为： 13．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市风华中学·期末)如图，△ABC的两条高AD，BE相交于点F，请添加一个条件，使得△ADC≌△BEC （不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是 ． 【答案】AC=BC 【分析】添加AC=BC，根据三角形高的定义可得∠ADC=∠BEC=90°，再证明∠EBC=∠DAC，然后再添加AC=BC可利用AAS判定△ADC≌△BEC． 【详解】解：添加AC=BC， ∵△ABC的两条高AD，BE， ∴∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°， ∴∠EBC=∠DAC， 在△ADC和△BEC中 ， ∴△ADC≌△BEC（AAS）， 故答案为：AC=BC． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，解题的关键是注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 14．(23-24八上·黑龙江省绥化市明水县·期末)如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，∠BDE=∠CDF，请你添加一个条件，使DE=DF成立．你添加的条件是 ．(不再添加辅助线和字母) 【答案】∠B=∠C（答案不唯一） 【分析】答案不唯一根据AB=AC，推出∠B=∠C，根据ASA证出△BED和△CFD全等即可；添加∠BED=∠CDF，根据AAS即可推出△BED和△CFD全等；根据∠AED=∠AFD推出∠B=∠C，根据ASA证△BED≌△CFD即可． 【详解】解：答案不唯一，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD，或∠AED=∠AFD等； 理由是：①∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF； ②由∠B=∠C，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF； ③由∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据AAS证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF； ④∵∠AED=∠AFD，∠AED=∠B+∠BDE，∠AFD=∠C+∠CDF， 又∵∠BDE=∠CDF， ∴∠B=∠C， 即由∠B=∠C，∠BDE=∠CDF，BD=DC，根据ASA证出△BED≌△CFD，即可得出DE=DF； 故答案为答案不唯一，如AB=AC或∠B=∠C或∠BED=∠CFD或∠AED=∠AFD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目． 地 城 考点02 全等三角形的性质与判定 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江省七台河市·期末)下列说法正确的是(　　) A．面积相等的两个直角三角形全等 B．周长相等的两个直角三角形全等 C．斜边相等的两个直角三角形全等 D．有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等 【答案】D 【分析】利用三角形全等的判定定理:“SSS”、“SAS”、 “AAS”、 “ASA”、 “HL”逐个选项判断即可解答. 【详解】A. 面积相等的两个直角三角形全等，错误； B. 周长相等的两个直角三角形全等，错误； C. 斜边相等的两个直角三角形全等；错误 D. 有一个锐角和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等，正确； 故选D 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 2．(24-25八上·黑龙江省绥化市绥棱县·期末)如图，为了测量池塘两岸相对的两点，之间的距离，小颖在池塘外取的垂线上两点，，使，再画出的垂线，使点与，在同一条直线上，这时，可得，因此，测得的长就是的长．这里判定的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，即可根据证明． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有． 3．(24-25八上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)如图，已知，E为的中点，若，，长为（    ）cm． A．6 B．7 C．12 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握平行线的性质、全等三角形的性质和判定是解题的关键．先根据平行线的性质得，利用全等三角形的判定方法证出，根据全等三角形对应边相等得，再结合即可解答． 【详解】解：， ， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故选：B． 4．(23-24八上·黑龙江省绥化市第八中学校·期末)下列语句：①顶角、底角都相等的两个等腰三角形一定全等；②两个等边三角形一定是全等图形；③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同； ④三个角一一对应相等的两个三角形一定全等．其中错误的说法有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】根据三角形全等的判定及性质，进行解题即可. 【详解】①顶角、底角都相等的两个等腰三角形一定全等，错误； ②两个等边三角形一定是全等图形，错误； ③如果两个三角形全等，它们的形状和大小一定都相同，正确； ④三个角一一对应相等的两个三角形一定全等，错误. 故选D 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键. 5．(23-24八上·黑龙江省齐齐哈尔市3校联考·期末)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，AB上一点D，且AD＝BC，过点D作DE∥BC且DE＝AB，连接EC，则∠DCE的度数为（    ） A．80° B．70° C．60° D．45° 【答案】B 【分析】连接AE．根据ASA可证△ADE≌△CBA，根据全等三角形的性质可得AE=AC，∠AED=∠BAC=20°，根据等边三角形的判定可得△ACE是等边三角形，根据等腰三角形的判定可得△DCE是等腰三角形，再根据三角形内角和定理和角的和差关系即可求解． 【详解】如图所示，连接AE． ∵AB=DE，AD=BC ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠B，可得AE=DE ∵AB=AC，∠BAC=20°， ∴∠DAE=∠ADE=∠B=∠ACB=80°， 在△ADE与△CBA中， ， ∴△ADE≌△CBA（ASA）， ∴AE=AC，∠AED=∠BAC=20°， ∵∠CAE=∠DAE-∠BAC=80°-20°=60°， ∴△ACE是等边三角形， ∴CE=AC=AE=DE，∠AEC=∠ACE=60°， ∴△DCE是等腰三角形， ∴∠CDE=∠DCE， ∴∠DEC=∠AEC-∠AED=40°， ∴∠DCE=∠CDE=（180-40°）÷2=70°． 故选B． 【点睛】考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质，综合性较强，有一定的难度． 二、填空题 6．(23-24八上·黑龙江省黑河市北安市第八中学·期末)如图，一块三角形玻璃板破裂成①,②,③三块，现需要买另一块同样大小的一块三角形玻璃,为了方便,只需带第 块碎片比较好． 【答案】③ 【分析】根据三角形全等的判定方法解答即可． 【详解】解：由图可知，带③去可以利用“角边角”得到与原三角形全等的三角形． 故答案为：③． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟记三角形全等的判定方法是解题的关键． 7．(23-24八上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)如图中，，平分交于D，点E在的延长线上，满足，若，，则线段的长为 【答案】10 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义，补角的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．过点D作于H，由可证，可得，，由可证，可得，根据即可可求解． 【详解】解：如图，过点D作于H，如图所示： ∵平分， ∴， ， ，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴，   故答案为：10． 8．(23-24八上·黑龙江省哈尔滨市风华中学·期末)如图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A=36°，∠C′=24°，则∠B= 度． 【答案】120 【分析】根基三角形全等的性质得到∠C=∠C′=24°，再根据三角形的内角和定理求出答案. 【详解】∵， ∴∠C=∠C′=24°， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=36°， ∴∠B=120°， 故答案为：120. 【点睛】此题考查三角形全等的性质定理：全等三角形的对应角相等，三角形的内角和定理. 三、解答题 9．(23-24八上·黑龙江省绥化市庆安县·期末)如图，在四边形中，，连接，点E在上，连接，若，．    (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由题意，由证明即可； （2）由得，由三角形的外角性质即可求得结果． 【详解】（1）证明：， ， 在和中：， ∴， ． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，证明两个三角形全等是解题的关键． 10．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学·期末)已知和位置如图，，，．求证：．    【答案】证明见解析 【分析】由，，，可证出，再利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】证明：∵， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用全等三角形的判定定理证出是解题的关键． 11．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学·期末)如图，中，于点，于点，与 相交于．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定条件以及三角形的内角和定理，本题即可求解． 【详解】证明：∵，， ， ． 又 ， ， ， ． ． 12．(23-24八上·黑龙江齐齐哈尔梅里斯达斡尔族区·期末)如图，在中，平分交于点D，，分别交于点E、F．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平分，，得到，又由，即可证明，进而问题可求证； （2）由（1）可得，然后根据三角形外角的性质可求解． 本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的定义及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、三角形外角的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 13．(23-24八上·黑龙江哈尔滨通河县·期末)如图，在中，，是的平分线，于点E，点F在上，连接，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握角平分线的性质，三角形全等的判定与性质． （1）由角平分线的性质可得，证明，进而结论得证． （2）根据，证明，可得，根据计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵是的平分线，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）可得， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∴的长为5． 14．(23-24八上·黑龙江哈尔滨呼兰区第四中学·期末)如图，四边形中，，E为的中点，连结并延长交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连结，若，，，请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质和角所对直角边等于斜边的一半： （1）由，得，结合，即可根据“”证明； （2）根据全等三角形的性质及角所对直角边等于斜边的一半的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 15．(24-25八上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)如图：在中，、分别是、两边上的高，在上截取，在的延长线上截取，连接、． 求证： (1)， (2)与的位置关系如何． 【答案】(1)证明见解析 (2)垂直 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，涉及垂直定义、对顶角相等、三角形全等的判定定理、三角形全等的性质、三角形外角性质、垂直判定等知识、熟练掌握判定与性质是解本题的关键． （1）由垂直于，垂直于，利用垂直的定义得，由得对顶角相等得，所以．再由，，利用可得出与全等，由全等三角形的对应边相等可得出； （2）利用全等得出，再利用三角形的外角性质得到，又，利用等量代换可得出，即与垂直． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ， 在和中 ， ， （全等三角形的对应边相等）； （2）解：位置关系是， 理由如下： ， ， 又，， ， ． 16．(24-25八上·黑龙江调研·期末)如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，．        (1)如图（1），求证：； (2)如图（2），，，平分交于点G，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定方法，理解全等三角形的对应边相等，对应角相等是解决问题的关键． （1）先根据得，进而可依据判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）先求出，再由和全等得，再根据平分得，然后根据三角形外角性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中 ， ； （2）解：在中，， ， 由（1）可知：， ， 平分交于点G， ， 又是的一个外角， ， ， ． 地 城 考点03 与角平分线有关的问题 一、单选题 1．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市联考·期末)如图，在中，点M，N为AC边上的两点，，于点D，且，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据看垂直平分线的性质可得，和可得平分，进而得到，最后由三角形内角和求出即可． 【详解】∵，，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 2．(24-25八上·黑龙江七台河·期末)如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（ ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】B 【分析】先证明平分，则，再证明，即可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：，，， 平分， ， 在与中， ， ， ，故①正确， ， ， ， ， ，故②正确， 在与中，只能得到，不能判断三角形全等； 综上所述，正确的结论是①②， 故选：B 3．(24-25八上·黑龙江省齐齐哈尔市昂昂溪区·期末)如图，在中，，是的角平分线，若，则点D到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，熟知角平分线上的点到这个角的两边的距离相等是解答的关键． 过D作于E，根据角平分线的性质得到即可． 【详解】解：如图，过D作于E， ∵在中，，是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即点D到的距离为， 故选：B． 二、填空题 4．(23-24八上·黑龙江省绥化市明水县·期末)如图所示，已知的周长是20，分别平分和于D，且，则的面积是 ． 【答案】 【分析】连接，过作，根据角平分线的性质，利用 进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过作， 则：， ∴ 即： ∵的周长是20， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的性质和割补法求三角形面积．熟练掌握角平分线的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 5．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市实验中学·期末)如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD= ． 【答案】2 【分析】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=PC=2，从而得到PD的长． 【详解】解：过P点作PE⊥OB于E，如图， ∵∠AOP=∠BOP=15°， ∴OP平分∠AOB，∠AOB=30°， 而PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE=PD， ∵PC∥OA， ∴∠PCE=∠AOB=30°， ∴PE=PC=×4=2， ∴PD=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质． 6．(23-24八上·黑龙江哈尔滨阿城区·期末)如图，在中，，是角平分线，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据角平分线的定义得出，进而根据三角形的面积即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】如图，过点作于点， ∵， ∴， 又∵是角平分线，，，， ∴， ∵， ∴的面积为：， 故答案为：． 7．(23-24八上·黑龙江省鸡西市虎林市·期末)如图，在中，，点O为的三条角平分线的交点，，，，垂足分别是D、E、F，且，，，则点O到的距离为 ． 【答案】2 【分析】根据角平分线的性质得出，再根据全等三角形的判定与性质可得，，根据正方形的判定与性质可得，设，，，，再根据，即，求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵点O为的三条角平分线的交点，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 设，，，， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查角平分线的性质、全等直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质，设未知数，并用未知数表示各边是解题的关键． 8．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市宁安市·期末)如图，在中，平分，于点，交于点，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质．根据角平分线的定义可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，然后根据等角的余角相等求出，根据等角对等边可得，从而得到． 【详解】解：是的平分线， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ∴ ， ， ． 故答案为：4． 9．(23-24八上·黑龙江省绥化市海伦市·期末)如图，在中，，是角平分线，若，，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．过点E作，垂足为点F，先求出的长，再由角平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：过点E作，垂足为点F， ，， ． ，，是角平分线， ． 故答案为：． 三、解答题 10．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市·期末)如图，∠AOP=∠BOP=15°，PCOA，PD⊥OA，PE⊥OB，若PC=4，求PD的长． 【答案】PD=2 【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠CPO，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE=∠AOB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵PCOA， ∴∠AOP=∠CPO=15°， ∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=15°+15°=30°， 又∵PC=4， ∴PE=PC=×4=2， ∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE=2． 【点睛】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以及平行线的性质，作辅助线构造出含30°的直角三角形是解题的关键． 11．(23-24八上·黑龙江省绥化市绥棱县·期末)作图：如图作出一点P，使点P到点A、点B的距离相等，且到两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】由题意可得，为线段垂直平分线与的角平分线的交点，即可求解． 【详解】解：如图，点即为所求的点． 【点睛】此题考查了尺规作图－角平分线和垂直平分线，解题的关键是理解为线段垂直平分线与的角平分线的交点． 12．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市联考·期末)如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD = CD，BE = CF． 求证： (1)AD平分∠BAC； (2)AC=AB+2BE. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)先根据HL证明Rt△BDE≌Rt△CDF，则可得DE=DF，根据角平分线的判定方法即可得证； (2)先根据AAS证明△AED≌△AFD，则可得AE=AF，又由于BE=FC，则结论得证． 【详解】（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，     ∴∠E=∠DFC=90°， 在Rt△BDE与Rt△CDE中 ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)， ∴DE=DF， ∴AD平分∠BAC； （2）证明：由(1)可知AD平分∠BAC， ∴∠EAD=∠CAD， ∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠E=∠DFA=90° 又∵AD=AD， ∴△AED≌△AFD(AAS)， ∴AE=AF， ∵CF=BE， ∴AC=AF+CF=AE+BE=AB+BE+BE=AB+2BE． 【点睛】本题主要考查了角平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质.熟练掌握以上知识是解题的关键． 地 城 考点04 与垂直平分线有关的问题 一、单选题 1．(24-25八上·黑龙江省哈尔滨市南岗区萧红中学·期末)如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下列结论中错误的是（    ） A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB＋BC C．AD＝BD＝BC D．△BCD的面积等于△BED的面积 【答案】D 【分析】由等腰三角形的性质先求解，利用垂直平分线的性质证明，再求解，从而可判断，；再利用三角形的外角的性质求解，证明，从而可判断，如图，过作于 证明，从而可判断 【详解】解： AB＝AC，∠A＝36°， AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E， 平分，故正确； 故正确； 故正确； 如图，过作于 平分 故错误； 故选： 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，角平分线的定义与性质，三角形的内角和定理，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． 2．(24-25八上·黑龙江绥化绥棱县·期末)如图所示，，若和分别垂直平分和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键，根据线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用三角形内角和定理推出，则． 【详解】解：∵和分别垂直平分和， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．(23-24八上·黑龙江省佳木斯市富锦市·期末)如图，在等腰三角形中，，的垂直平分线交于点，连接，，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形和线段垂直平分线的性质即可得出答案. 【详解】∵AB=AC，∠A=45° ∴∠ABC=∠C=67.5° 又DM是AB的垂直平分线 ∴DA=DB ∴∠A=∠DBA=45° ∠DBC=∠ABC-∠DBA=22.5° 故答案选择A. 【点睛】本题考查的是等腰三角形和线段垂直平分线的性质，比较简单，需要熟练掌握相关基础知识. 4．(23-24八上·黑龙江哈尔滨巴彦县·期末)如图，在底边为5，腰为3的等腰三角形中，垂直平分于点，交于点，则的周长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、垂直平分线的性质等知识，理解并掌握垂直平分线的性质是解题关键．首先根据等腰三角形的定义可得，再根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，可得，然后求解即可． 【详解】解：∵为等腰三角形，腰，， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 故选：C． 二、填空题 5．(23-24八上·黑龙江省齐齐哈尔市3校联考·期末)如图，在中，的垂直平分线交的平分线于，若，，则的度数是 ． 【答案】58° 【分析】根据角平分线的性质可得∠DBC=∠ABD，再根据线段垂直平分线的性质可得BE=CE，可得出∠DBC=∠ECB =∠ABD，然后根据三角形内角和定理计算出∠DBC的度数，即可算出∠BEF的度数． 【详解】解：∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC=∠ABD， ∵的垂直平分线交的平分线于， ∴BE=CE， ∴∠DBC=∠ECB =∠ABD， ∵，， ∴∠DBC =(180°-60°-24°)=32°， ∴∠BEF =90°-32°=58°， 故答案为：58°． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 6．(24-25八上·黑龙江省统考·期末)在中，，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，∠DAE的度数为 ． 【答案】40°/40度 【分析】根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形的内角和定理可得，进而根据即可求得答案． 【详解】解：∵AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E， ∴ ∴ 在中，， 故答案为： 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，等角对等边求角度，三角形的内角和的定理，综合运用以上知识是解题的关键． 7．(23-24八上·黑龙江省牡丹江市海林市·期末)如图，长方形中，请依据尺规作图的痕迹，求出等于 ．    【答案】56°/56度 【分析】根据尺规作图的痕迹，作了的垂直平分线和的平分线，先根据矩形的性质和平行线的性质得到的度数，再利用角平分线和互余计算出的对顶角的度数，然后根据对顶角的性质得到的度数． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹，垂直平分，平分，    ∵在矩形中， ∴ ∴ ∴的度数为 故答案为： 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质． 8．(24-25八上·黑龙江调研·期末)如图，在中，，的垂直平分线分别交和于点D和点M，的垂直平分线分别交和于点E和点N，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 根据线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角得，然后根据三角形内角和定理得，进而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵分别是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．(23-24八上·黑龙江牡丹江海林·期末)如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半．连接，由题意得，由垂直平分线的性质得到，推出，由即可求． 【详解】解：如图，连接， ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， 故答案为：6． 10．(24-25八上·黑龙江绥化绥棱县·期末)如图，在，，点是上一点，、分别是线段、的垂直平分线，则 ．    【答案】/80度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．先根据线段的垂直平分线的性质得到，，则根据等腰三角形的性质得到，，然后利用平角的定义得，利用三角形内角和定理得到，所以． 【详解】解：∵、分别是线段、的垂直平分线， ，， ，， ， ，， ． 故答案为：． 三、解答题 11．(23-24八上·黑龙江省绥化市绥棱县·期末)如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝6，在△ABC内取一点O，使得AB＝OB，∠CAO＝15°，AM⊥BO，M为垂足． （1）求AM的长； （2）求证：AO＝CO． 【答案】（1）3；（2）见解析 【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的基本性质以及“等边对等角”求出∠BAO和∠OAM，即可得到∠BAM，从而可得到△BAM是含30°角的直角三角形，即可求解； （2）作OD⊥AC于D点，结合（1）的结论分别求出AD和CD的长度，即可证D为AC的中点，进而得到OD垂直平分AC，最终利用垂直平分线的性质即可证明． 【详解】（1）解：∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠BAC=90°， ∵∠CAO=15°， ∴∠BAO=90°-15°=75°， ∵AB=OB， ∴∠BAO=∠BOA=75°， ∴∠ABO=180°-2×75°=30°， ∵AM⊥BO，M为垂足， ∴∠AMO=∠AMB=90°， ∴Rt△ABM中，∠ABM=30°， ∵AB=6， ∴AM=AB=3； （2）证：如图所示，作OD⊥AC于D点，则∠ADO=90°， 由（1）可知，∠DAO=∠MAO， 在△AMO和△ADO中， ∴△AMO≌△ADO(AAS)， ∴AM=AD， 由（1）知，AM=3， ∴AD=3， ∵AC=6， ∴CD=6-3=3， ∴AD=CD， ∵OD⊥AC， ∴OD垂直平分AC， ∴AO=CO． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及中垂线的判定与性质，掌握基础知识，并熟练综合运用是解题关键． 12．(23-24八上·黑龙江牡丹江宁安·期末)如图，在中，，是线段的垂直平分线，．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质． （1）根据线段垂直平分线的性质，得到，进而得到，利用外角的性质，即可得解． （2）设，则：，根据三角形的内角和定理，求出的值即可． 掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴； （2）由（1）知：， ∵， ∴设，则：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 13．(23-24八上·黑龙江省绥化市望奎县第四中学·期末)作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点，表示大学，，表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂直平分线，角平分线的知识，解题的关键是根据题意，仓库到大学和大学的距离相等，应在线段的垂直平分线上，点到公路，的距离的相等，应该在公路，的角平分线上，仓库点即为两条线段的交点，即可． 【详解】如图所示：点即为所求 ∵仓库到大学和大学的距离相等， ∴仓库应在线段的垂直平分线上， ∵到公路，的距离的相等， ∴应该在公路，的角平分线上， ∴连接，分别以点，为圆心，大于为半径画圆弧，两圆弧相交于，连接，为线段的垂直平分线；以点为圆心，任意长为半径画圆，分别交，于，，再分别以，为圆心，大于为半径画圆，两圆相交于点，连接，则即为的角平分线；与交于点，点即为所求． 14．(23-24八上·黑龙江哈尔滨呼兰区第四中学·期末)如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段的端点在小正方形的顶点上． (1)在图中画一个以为腰的等腰直角三角形，点E在小正方形的顶点上； (2)在图中确定一点P，使点P到两边的距离相等，且点P与点C和点D的距离也相等，连接，并直接写出三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，三角形的面积，等腰直角三角形的性质等知识： （1）根据题中要求，画出三角形即可． （2）根据题中要求，画出图形，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，等腰直角三角形即为所求， （2）如图所求，点P即为所求， 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $