6.5相似三角形的性质 分层练习 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

2025-2026学年苏科版数学九年级下册 6.5相似三角形的性质 (分层练习) 【典型例题】 【例1】若两个相似三角形的相似比是1：3，则这两个相似三角形的面积比是() A.1:3 B.1:4 C.1:6 D.1:9 【例2】在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE,交BD于点F,若DE:EC=3:2,则 △DEF的面积与△BAF的面积之比为() B A.3:5 B.9:4 C.9:25 D.3:2 【例3】如图，在△ABC中，D、E分别是BC,AC的中点，AD与BE相交于点G,若DG=1, 则AD= G D 【例4】如图，△ABC在平面直角坐标系中，AB与y轴交于点D,已知点A(1,4),C(3,0), D(O,3),M是线段BC上一点，连接DM,若△ODM与aCAD相似，则CM的长为一 D 第1页共27页 【例5】小宏在学习相似三角形时，提出问题：三角形的一条内角角平分线，将其对边所分成 的两条线段与这个角的两边是否对应成比例？为了解决问题，他展开了以下探究. (I)用尺规完成以下基本作图：作△ABC的角平分线BM交AC于点D,在射线BM上取一点E,使 得AE=AB,连接AE(保留作图痕迹，不写作法，不下结论). (2)求证：铝=器 证明：BM平分∠ABC ① 又：AE=AB ·∠AEB=∠ABE ② ..AElBC ·△AEDM△CBD :铝-器 又：AE=AB ③ 依据上述证明，小宏可以得出结论：④ 【例6】如图①，在Rt△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D为BC边上的一点，连接AD,过点 第2页共27页 C作CELAD于点F,交AB于点E,连接DE 图① 图② (1)若AE=2BE,求证：AF=2CF; (2)如图②，若AB=V2,DE1BC,求噩的值. 【举一反三】 【变式1】如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为() A.4:9 B.2:3 C.3:2 D.√2：√5 【变式2】如图，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC,AD:DB=I:2,则SDEr:SEFC=(） A.1:2 B.1:4 C.1:3 D.1:9 【变式3】己知△ABC△DEF,若∠A=50°，∠E=70°，则∠F的度数为 第3页共27页 【变式4】如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于点E,BF⊥CD于点F,且DE BF交于点H,AD、BF的延长线交于点G. D G H E ①∠A十∠EDC=90;②BG平分∠DBC;③△ABG∽△HEB,④若FC=2DF,则 S四边形ABCD=11SADG,⑤若点F为DC中点，则BE=(2+1)CE。则上述结论正确的是 .(填序号即可) 【变式5】如图，已知梯形ABCD中，ADIBC.E是边AB上一点，CE与对角线BD交于点F,且 BE2-EF.EC A D E B 求证： (1)△ABD~△FCB; (2)BD-BE-AD-CE. 【变式6】在△ABC中，D,E分别为AB,AC上一点，BE,CD交于点F. 第4页共27页 A E D E B 图① 图② 图① (1)设△ABE的面积为S1,△ACD的面积为S2,且S1=S2: ①如图①，连接DE.若∠A=90°，求证：DEBC: ②如图②，若∠FBC=45°，∠FCB=30,求票的值. (2)如图③，若∠A=90,CE=kAB,BD=kAB,DC=2BE,直接写出k的值. 【巩固练习】 1.若△ABC∽△DEP,△ABC与△DEP的面积比为25：36，则△ABC与△DEP的对应边的比 是() A.5:6 B.6:5 C.25:36 D.36:25 2.如图，在正方形网格中，△ABC、△EDF的顶点都在正方形网格的格点上，△ABC∽△EDF, 则∠ABC+∠ACB的度数为() y A.75° B.60° C.55° D.45° 3.如图，点A、B、C、D的坐标分别是(1,0)(5,0)(3,2(4,1)，如果以点C、D、E为顶点的直角三 角形与△ABC相似，则E点的坐标可能是下列的() 第5页共27页 ①2,1②3,1③4,2)④5,2) 3 56x A.①③ B.②④ C.①②③ D.①②③④ 4.如图，已知△ABC∽△AED且是=2.若S△ADe=1,则SABC值为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，在正方形ABCD中，AD=6,E为AD边上一点，DE-青AD,F为AB延长线上一点，BF=DE, 连接EF,交对角线BD于点O.以下结论：①△CEF是等腰三角形；②△OED∽△OFB;③ 0D=20B:⑤0C=25.其中，正确结论的个数是() D A.1 B.2 C.3 D.4 6.把一个三角形的各边长扩大为原来的3倍，则它的面积扩大为原来的 倍. 7.已知△ABC与△A'B′C是相似图形，若S△BC:S△ABC=1:4,则△ABC与△A'B′C的周 长比是 8.如图，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B,AD=1,AC=2,BD长为 第6页共27页 B 9.如图，△ABC的中线AD、CE交于点G,点F在边AC上，GFBC,那么GF:BC=一 10.如图，在菱形ABCD中，点EEG,H分别是边AB,BC,CD,AD上的点，且BE=BF=CG=AH, 若菱形的面积等于120，BD=24,则EF+GH的值为 G 11.如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比k=2,器=器，求铝的值. B B'D' 12.如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，且AE⊥EF (1)求证：△ABE∽△ECF; (2)若BE=3,EC=7,求CF的长. B E 13.如图，已知DEJ BC,A0、DF交于点C,且∠EAB=∠BCF.求证： 第7页共27页 (1)AB II DF; (2)0B2=0E.0F. 14.已知：如图，在四边形ABCD中，AB IICD,连接AC、BD,△ABC是等边三角形，DEBC, DE与AC交于点E,△ADE∽△DBC (1)请写出∠ADB与∠DBC之间的数量关系，并证明： (2)求证：点E是线段AC的黄金分割点. 15.(1)如图1，在△OAB和△0CD中，OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=39°，连接 第8页共27页 AC,BD交于点M,填空： AC的值为 ,∠AMB的度数为 BD (2)如图2，在△OAB和△0CD中，LA0B=∠C0D=90°，∠OBA=∠ODC=60°，连接AC交 BD的延长线于点M，请判断AC 的值，并说明理由； BD (3)在(2)的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC,BD所在直线交于点M,若 OD=1,OB=√6；点Q为CD的中点，则在旋转的过程中，AQ的最大值为 D M D B A B 图1 图2 备用图 第9页共27页 答案解析 【典型例题】 【例1】若两个相似三角形的相似比是1：3，则这两个相似三角形的面积比是() B.1:3 B.1:4 C.1:6 D.1:9 【答案】D 【例2】在平行四边形ABCD中，点E在DC边上，连接AE,交BD于点F,若DE:EC=3:2,则 △DEF的面积与△BAF的面积之比为() A.3:5 B.9:4 C.9:25 D.3:2 【答案】C 【例3】如图，在△ABC中，D、E分别是BC,AC的中点，AD与BE相交于点G,若DG=1, 则AD= G B D 【答案】3 【例4】如图，△ABC在平面直角坐标系中，AB与y轴交于点D,已知点A(1,4),C(3,0), D(O,3),M是线段BC上一点，连接DM,若△ODM与aCAD相似，则CM的长为一 第10页共27页