专题04 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型（7大题型）（专项训练）数学苏科版九年级下册

专题04 相似三角形中（双）A字型与（双）8字型模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、“A”字模型 1 题型二、反“A”字模型 3 题型三、同向双“A”字模型 5 题型四、“8”字模型 7 题型五、反“8”字模型 9 题型六、平行双“8”字模型 11 题型七、“A”字模型与“8”字模型综合 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 　 “A”字模型 条件：如图，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔＝＝. 1．（24-25九年级上·四川巴中·期中）如图，中，点D、E分别在AB、AC上，且，下列结论正确的是（   ） A． B．与的面积比为 C．与的周长比为 D．连接，则与的面积比为 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据题意得到，证明，通过相似三角形的性质判定A、B、C，再利用，即可判定D． 【详解】解：， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选项A错误； 与的面积比为，周长比为， 故选项B正确，选项C错误； 连接， ∵， ∴与的面积比为， 故选：B． 2．如图，在中，，，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质. （1）由可知，则，将数据代入计算即可； （2）由（1）知，根据计算即可. 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ，， ， ； （2）解：由（1）知，， ∴． 题型二、反“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔＝＝. 3．如图，，，，则的长 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，根据的比，可得的比，利用面积比是相似比的平方可得，从而可得答案． 【详解】解：， ， ∴相似比为，即， ， ， 故答案为：5． 4.如图，在中，，，D、E分别在、上，，． (1)求证：． (2)若，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握对应边成比例是解题关键． （1）根据两边成比例且夹角相等，可证明两个三角形相似； （2）根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）解：，，，， ，， ， 又， ； （2）解：由（1）可知，， ， ， ． 题型三、同向双“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似． 同向双“A”字模型 条件：如图，EF∥BC；结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔ 5．（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在中，，为上一点，连接交于点，． (1)求的值； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）掌握相似三角形判定，通过得到对应边成比例，即可计算得出结论； （2）利用得到，利用对应边成比例，即可计算得出结果． 【详解】（1）解：由题意可知，， 在和中， ， ． ． （2）由题意可知，， ，， 在和中， ， ， 由（1）可知，， ，即． 【点睛】本题的关键是掌握相似三角形的判定，两个三角形，对应的两个内角相等，则三角形相似；相似三角形的性质，两个三角形相似，则对应边成比例． 6.如图，D，E分别是上的点，于点G，于点F，． (1)求的值； (2)求与的周长之比； (3)若的面积为4，求的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握是是解决问题的关键． （1）由可证得，再根据相似三角形的性质即可求得结果； （2）由，相似三角形的周长比等于相似比，即可证得；　 （3）由，．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得结果． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵分别是和的高， ∴； （2）∵， ∴； 故与的周长之比为 （3）∵， ∴， ∵， ∴． 故的面积为． 题型四、“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． “8”字模型 条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔＝＝. 7．如图，平行四边形，E是延长线上一点，交于点F，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，由平行四边形的性质可得，，，则可判定，从而可得比例式，结合，及，可得答案，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 8．如图，已知：，垂足分别为，与交于点，过点作，垂足为． (1)求证：； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）证明和可得，，相加即可求证； （）证明可得，又由平行线等分线段定理得，即得，进而可得，即得到，即可得，即可求证； 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线等分线段定理，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平分． 题型五、反“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 反“8”字模型 条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔＝＝. 9.如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．先证明，根据相似三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， ， 的长为． 10.如图，，，， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平角和已知先说明，再通过相似三角形的判定说明； （2）利用相似三角形的性质，代入计算得结论． 本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定定理和相似三角形的性质是解决本题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，且， ∴； （2）解：∵， ∴，且，，， ∴． 题型六、平行双“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似． 平行双“8”字模型 条件：如图3，AB∥CD；结论： 11．如图，在平行四边形中，点E是上一点，连接并延长交于点G，交的延长线于点F，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．由平行四边形的性质可得、，根据平行线分线段成比例定理可得，再证，则可得，从而可得． 【详解】解：∵， 设，则，， ∵四边形是平行四边形， ，，， ，， ，， ， ， ， 故选：C． 12.如图，四边形是平行四边形， 点E是延长线上一点， 连结，，，分别与，交于点F， G． (1)若，， 求的长． (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解题的关键是利用平行四边形性质证三角形相似求解． （1）根据平行四边形的性质，可得，，，从而可证，利用相似三角形性质求解，即可求得的长； （2）根据平行四边形的性质，可证，，从而可得，，再可得，从而证得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：在平行四边形中，，， ，， ， ， ， ， ， ． 题型七、“A”字模型与“8”字模型综合 知识点总结 1.模型构成与判定：A字模型指有公共角且一组对边平行的两个三角形（如△ABC中，DE∥BC，形成△ADE与△ABC）；8字模型指两组对边分别平行的相交线构成的两个三角形（如AB∥CD，AD与BC相交于点O，形成△AOB与△COD），均通过“两角对应相等”判定相似。 2.比例线段关系：相似三角形对应边成比例，A字模型中AD/AB=AE/AC=DE/BC，8字模型中AO/OD=BO/OC=AB/CD，可用于线段长度计算或比例转化。 解题技巧 1.识别模型特征：抓住“平行线”或“公共角”关键标志，快速定位A字（含公共角+平行线）或8字（对边平行+交点）模型，明确相似三角形对应关系。 2.利用比例列方程：结合已知线段长度，根据相似比列出等式，通过方程求解未知线段，尤其注意多组比例式的灵活转换（如交叉相乘）。 13.如图，正方形，边长为4，点在边上，射线与射线交于点． (1)若，求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）通过证明，由相似三角形的性质可求解； （2）通过证明，可得，可得结论． 【详解】（1）解：四边形是边长为4的正方形， ， ， ， ，即 ； （2）证明：， ， ∵在正方形中，， ， ， ． 14.如图，在菱形中，点在边上，连接并延长，交对角线于点 、的延长线与点． (1)求证：是、的比例中项； (2)若，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）根据菱形的性质可得，则、可得，进而得到，从而证明结论； （2）根据菱形的性质可得，进而得到，再证明可得，再证明可得,即：；然后代入即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴是、的比例中项． （2）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴,即：， ∵， ∴，即， ∴． 15.如图，是的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． (1)若，求证：． (2)若，，求的长． (3)在（2）的条件下，若，求． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)15 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件． （1）依据等量代换得到，依据，即可证明； （2）依据，可得，依据，即可得出，再根据，可得，进而根据解题； （3）过点作于点H，由（2）知，由，求出，即可求出，再根据，得到，推出，证明，得到，推出，求出，从而求出，再根据平行四边形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵中，， ， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作于点H， 由（2）知， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，，，垂足分别为、，则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证明，再根据对应边成比例判断即可． 【详解】证明：，， ， ， ， ． 故选：D． 2．（25-26九年级上·北京·课后作业）如图有一块四边形草地，，其中，，由于连续降雨使与之间积满污水，现在的延长线的交点处测得，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定与性质求解即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形中，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 故选：． 3．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）如图，正方形的顶点分别在的边上．，则与面积之和等于（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】C 【分析】由，推出，设，，在中，则有，可得，求出，的面积即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， ， ∴， ，设，， 在中，则有， ， ， ， ， ， 故选：. 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，且，连接交于点，交于点，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得到，，，再证明，利用相似的性质得到，证明，利用相似比得到，所以，然后计算的值． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：A． 5．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在正方形 中， 为 的中点，连接 并延长，交 边的延长线于点 ，对角线 交 于点 ，已知 ，则线段 的长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合正方形的性质得出，，再证明，然后证明，即可作答． 【详解】∵四边形为正方形， ∴，， ∵ 为 的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 6．（2025·江苏南京·三模）如图，，与相交于点，过点的直线与，分别相交于点，，若，，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，熟记相关定理与性质是解本题的关键． 由得到，，，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∴，， ∴． 故选：C． 二、填空题 7．（2025·云南·模拟预测）如图，在中，点D，E分别在边，上，且 ，若，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先得出，相似比为，进而得出，即可得出答案． 【详解】∵，且， ∴，相似比为， ∴， ∴． 故答案为：15． 8．（25-26九年级上·全国·期中）如图，相交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，已知，和相交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，利用相似三角形的性质可，再证明可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（2025·宁夏·模拟预测）如图，，相交于点，，，，是的中位线，且，则的长为 ． 【答案】 【分析】先依据三角形中位线定理求出的长度，再由判定与相似，最后根据相似三角形对应边成比例求出的长．本题主要考查三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】∵是的中位线 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得 故答案为：2． 11．（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，，点在上，与交于点，，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握平行线分线段定理、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由平行线分线段定理可得，即；再证明可得，即，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，已知四边形是平行四边形，点是的中点，连接，相交于点，过作的平行线交于点，若，则的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，由四边形 是平行四边形，得 ，再证明 ，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵ 是 的中点， ， ∵四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故答案为：6． 三、解答题 13．（24-25九年级上·陕西榆林·期中）如图，的顶点A是线段的中点，，连接、，分别交、于M、N，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，可知，，从而有，，结合，推出，，结合，推出，根据相似三角形对应角相等，可知，从而得证． 【详解】证明：点A是线段的中点， ， ∵， ，， ∴，， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 【答案】秒和2秒 【分析】本题考查相似三角形的性质以及根据运动情况列方程求解时间，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键． 先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动． 可得，． 因为，所以． 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得． 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 15．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）如图，点D，C分别在上，交于点F，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．在应用相似三角形的性质时利用相似比进行几何计算． （1）根据等角的补角相等，由得到，加上对顶角相等得到，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）由于，则利用相似三角形的性质得到，从而根据比例的性质可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．（25-26九年级上·上海·课后作业）如图，在中，，交于，交于，为上的一点，交于，，，求： (1)； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段． （1）已知，，根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）根据平行线分线段成比例定理得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； （2），， ， ， ． 17．（24-25九年级上·四川眉山·期末）如图，平行四边形中，点E为边上任意一点（不与点C、D重合），连接并延长与的延长线交于点F． (1)图形中有哪几对相似三角形？请分别写出来． ， ， ， (2)若，，求的长及的值． 【答案】(1)；；；； (2)， 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据题意和图形可以直接写出图中的相似三角形； （2）根据，，平行四边形的性质和相似三角形的性质可以求得的长及的值． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，，，，，， ∴； 故答案为：；；；；； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，． 18．（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）在△ABC中，，BE是边上的中线，点D在射线上． (1)如图1，点D在边上，，与相交于点P，过点A作，交的延长线于点F，易得的值．请你写出求解过程． (2)如图2，点D在的延长线上，与边上的中线的延长线交于点P，，求的值． 【答案】(1)，过程见解析 (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，结合中点、作平行线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，则有．设，则，，由可得，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）如图：过点A作，交的延长线于点F，设，由得，．易证，则有，．易证，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图：过点A作，交的延长线于点F， 设，由得． ∵E是中点， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 19．（2025·广东佛山·三模）综合与实践 如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，垂线交平行四边形的边于另一点，且该点为所在边的三等分点，那么这个平行四边形叫做“垂对三等分平行四边形”，垂足叫做“垂三等分点”． (1)理解应用 如图1，在中，于点P，交于点E，若E为的三等分点，则是垂对三等分平行四边形，P是垂三等分点．若，，，则______；______． (2)问题探究 如图2，在垂对三等分平行四边形中，P是垂三等分点，且满足．若，试猜想与的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 已知四边形是矩形，过点A作于点P，交于点E，，当四边形是垂对三等分平行四边形时，直接写出的长度． 【答案】(1)2； (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由得到，得到，根据相似三角形的性质即可求出．根据勾股定理在中，求出，进而在中求出； （2）由得到，得到，因此，设，则，，在中，根据勾股定理求得，进而有，，即可得到； （3）分两种情况讨论：①若，则由，得到，设，则，，证明，得到，求得，即，在中，根据勾股定理即可求出．②若，同①思路即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ． ， 在中，， 在中，． 故答案为：2；； （2）解：，理由如下： 四边形是平行四边形， ，， ∵， ， ， ， ， 设，则，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ； （3）解：分两种情况讨论： ①如图，若， 在矩形中，， ， ， 设，则，， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ，即， 解得（负值舍去）， ， 在中，； ②如图，若， 在矩形中，， ， ， 设，则，， ， ， 在矩形中，， ， ， ， ，即， 解得（负值舍去）， ， 在中，； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查平行四边形与矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 20．（2025·吉林松原·二模）【模型学习】 构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图①，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到． 【初步运用】 （1）如图②，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，过点E作交于点M，则和的数量关系为__________； 【深入探究】 （2）如图②，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长； 【拓展迁移】 （3）如图③，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）正方形边长为15；（3） 【分析】（1）证明，可得出； （2）连接，，，证明，得出，由等腰三角形的性质得出，则是的中垂线，可得出，由勾股定理求出，设，则，得出方程，解得，然后由，求解即可； （3）过点作交于点，证明，得，从而可证明，然后证明，得，设，，则，，由勾股定理，得，，最后由，得，即，则，即可得出结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ， ； （2）如图2，连接，，， 正方形中，，， ， 又， ， ， 由（2）知， ， 是的中垂线， ， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， 解得，即， ，即正方形的边长为15； （3）， 理由如下：过点作交于点，如图3， ∵矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，， 由勾股定理，得，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04相似三角形中（双）A字型与（双)8字型模型 月录 A题型建模·专项突破 题型一、“A”字模型 题型二、反“A”字模型… .3 题型三、同向双“A”字模型 5 题型四、“8”字模型…。 题型五、反“8”字模型 .9 题型六、平行双“8”字模型… 11 题型七、“A”字模型与“8”字模型综合 13 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. “A”字模型条件：如图，DEBC;结论：△4DE~△4BC台ADAB=AEAC=DEBC. 1.(2425九年级上四川肥中期中)如图，ABC中，点D、E分别在AB、4C上，且4D=45=, 'DBE-2,下 列结论正确的是() B A.DE:BC=1:2 B.ADE与ABC的面积比为1：9 C.ADE与ABC的周长比为1：2 D.连接CD,则ADE与△DEC的面积比为I:3 2.如图，在ABC中，DE∥BC,AD=2,DB=4,BC=9. 1/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D )求DE C的值； (2)求DE的长. 题型二、反“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。 D 反“A”字模型条件：如图2，∠AED=∠B;结论：△4DE~△ACB⊙ADAC=AEAB=DEBC 3.如图，△ADEP△ACB，DE=3,S△4DE:S图边形BCED=9:16,则BC的长 D B 4.如图，在ABC中，AB=6,AC=8,D、E分别在AB、AC上，BD=2,CE=5. (I)求证：△AED∽△ABC. (2)若DE=5,求BC的长 题型三、同向双“A”字模型 “A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等 或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似. 2/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同向双“A”字模型 条件：如图，EFBC;结论：△4EF-△ABC,△4EG-△MBD,△MG-△4 DCe EG-FG=4G BD CD AD 5.(25-26九年级上·吉林长春·开学考试)如图，在ABC中，DE/BC,G为BC上一点，连接AG交DE于 点F,AF2 AG 5 G ()求D 的值： AB (2)当DE=6时，求BC的长度， 6.如图，D,E分别是AC,AB上的点，LADE=LB,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,AD=3,AB=5. E B G 1)求AG 的值， (2)求ADE与ABC的周长之比： (3)若ADE的面积为4，求ABC的面积. 题型四、“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这 两个三角形相似. 0 D 3/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 “8”字模型 条件：如图1，ABIICD;结论：△4OB~△CODABCD=OAOC=OBOD. 7.如图，平行四边形ABCD,E是AB延长线上一点，DE交BC于点F,若BE:AB=1:2,则FC:AD的 值为 D B E 8.如图，已知：AB⊥BC,CD⊥BC,垂足分别为B、C,AC与BD交于点E,过点E作EF⊥BC,垂足 为F. EFEF (1)求证： 十 =1 AB CD (2)连接AF、DF,求证：EF平分∠AFD. 题型五、反“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这 两个三角形相似.。 反“8”字模型 条件：如图2，∠A=∠D;结论：△4OB~△DOC台ABCD=OAOD=OBOC 9.如图，BD、AC相交于点P,连接BC、AD,且∠I=∠2，AD=3,DP=2,CP=1,求BC的长. D B Y2 10.如图∠ADE=∠ACB,BD=10,CE=6,CF=3, 4/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (I)求证：△DBF∽aCEF; (2)求DF的长. 题型六、平行双“8”字模型 “8”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这 两个三角形相似， A 平行双“8”字模型 条件：如图3，ABCD:结论：AE-BE-AB DF CF CD 11.如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点G,交CD的延长线于点 F,若DC=2DF,则 EG 的值为() BG G A.3 B. c.月 D. 12.如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是BA延长线上一点， 连结DE,BD,CE,CE分别与AD, BD交于点F,G 5/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E A B (1)若BE=3CD,BC=12,求AF的长， (2)求证：GC2=GF.GE. 题型七、“A”字模型与“8”字模型综合 知识点总结 1.模型构成与判定：A字模型指有公共角且一组对边平行的两个三角形（如△ABC中，DE∥BC,形成△ ADE与△4BC);8字模型指两组对边分别平行的相交线构成的两个三角形（如AB∥CD,AD与BC相交 于点O,形成△4AOB与△COD),均通过“两角对应相等”判定相似。 2.比例线段关系：相似三角形对应边成比例，A字模型中AD/AB=AE/ACDE/BC,8字模型中 AO/OD=BO/OC-AB/CD,可用于线段长度计算或比例转化。 解题技巧 1.识别模型特征：抓住“平行线”或“公共角”关键标志，快速定位A字（含公共角+平行线）或8字（对 边平行+交点)模型，明确相似三角形对应关系。 2.利用比例列方程：结合已知线段长度，根据相似比列出等式，通过方程求解未知线段，尤其注意多组比 例式的灵活转换（如交叉相乘)。 13.如图，正方形ABCD,边长为4，点E在边CD上，射线AE与射线BC交于点F. D E B C F (1)若CE=1,求CF的长； (2)求证：DE·BF=16. 14.如图，在菱形ABCD中，点F在边CD上，连接AF并延长，交对角线BD于点E、BC的延长线与点G 6/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B C G (I)求证：AE是EG、EF的比例中项： 2若BC=6,DF:4,求二的值. EG I5.如图，AC是口ABCD的对角线，在AD边上取一点F,连接BF交AC于点E,并延长BF交CD的延长线 于点G. G F D E B (I)若∠ABF=∠ACF,求证：△ECF∽△EGC. (2)若DG=DC,BE=6,求EF的长 (3)在(2)的条件下，若S△4EF=3,求S四边形cDFE· B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 1.(25-26九年级上·上海·课后作业)如图，AB⊥BD,ED⊥BD,垂足分别为B、D,则下列各式中正确 的是() D A.EC、BD AC DC B. ACBC AE DC C.tc-dc BD DC D.He-Bc EC DC 2.(25-26九年级上·北京·课后作业)如图有一块四边形草地ABCD,AD∥BC,其中AB=4,BC=5,由 7/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 于连续降雨使AD与BC之间积满污水，现在BA、CD的延长线的交点P处测得PA=3,则AD的长度为() A D A.2 B. 4 C. .9 3.(24-25九年级下·北京海淀·开学考试)如图，正方形CEDF的顶点D,E,F分别在ABC的边AB,BC,AC 上.AD=5,DB=3,则△AFD与BDE面积之和等于() D A.5.5 B.6 C.7.5 D.8 4.(2425九年级上陕西西安期中)如图，在平行四边形4BCD中，点E在D1的延长线上，且E=写AD ,连接CE交BD于点F,交AB于点G,则SABGC:S四边形4DcG的值是() E A D G A.3:5 B.5:3 C.5:7 D.3:4 5.(24-25九年级上全国期末)如图，在正方形ABCD中，G为CD的中点，连接AG并延长，交BC 边的延长线于点E,对角线BD交AG于点F,已知AF=2,则线段AE的长是() D A.16 B.12 C.10 D.6 6.(2025江苏南京三模)如图，AB∥CD,AD与BC相交于点O,过点O的直线与AB,CD分别相交于 点E,F,若AB=2,CD=4,则下列关系正确的是() 8/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A. AE 1 A0 1 CF-2 B. c02 C.FO-3 AD 1 D. BC2 二、填空题 7.(2025·云南模拟预测)如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，且 AD AE3 ACAB5若 DE=9,则BC= D B 8.(25-26九年级上全国期中)如图，AB∥CD,AD,BC相交于点E,若AE:DE=1:2,AB=2.5,则CD的 长为 A D 9.(24-25九年级下·辽宁抚顺阶段练习)如图，己知DE∥BC,CD和BE相交于点O, 5m8,cw=9:25,则2长- B 10.(2025宁夏·模拟预测)如图，AB,CD相交于点O,OC=2,OD=4,AC∥BD,EF是△ODB的 中位线，且EF=2,则AC的长为 9/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 11.(24-25九年级上广东江门·期末)如图，AB∥GH∥CD,点H在BC上，AC与BD交于点G,AB=2 ,BG:DG=23,则GH的长为 H 12.(25-26九年级上·山东聊城阶段练习)如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E是AD的中点，连 接BE,AC相交于点F,过F作AD的平行线交AB于点G,若FG=2,则BC的值是 D 三、解答题 13.(24-25九年级上·陕西榆林期中)如图，ABC的顶点A是线段PQ的中点，PQ∥BC,连接PC、 QB,分别交AB、AC于M、N,连接MN,求证：NM∥BC. 14.(25-26九年级上.宁夏银川期中)如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A出发沿 AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B出发沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q同时 出发，经过几秒后△PBQ和△ABC相似？ 15.(24-25九年级下·安徽合肥开学考试)如图，点D,C分别在AB,AE上，BC交DE于点F, ZADE =ZACB,BD =8,CE=4,CF =2. 10/13