第1讲幂的乘除-2025-2026学年北师大版七年级数学下册寒假预习

第1讲 幂的乘除 一、核心知识点 1. 同底数幂的定义 概念：形如（是底数，是正整数，且）的式子叫做幂；若两个幂的底数相同（底数可以是数字、字母，也可以是多项式），则这两个幂叫做同底数幂。 示例： 正确：与（底数都是）、与（底数都是）、与（底数都是多项式），均为同底数幂。 错误：与（底数分别是和，不同）、与（底数分别是和，不同），不是同底数幂。 2. 同底数幂的乘法法则 文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 符号表示：对于任意底数（，若，则的正整数次幂为，需注意后续运算），以及正整数、，有： · 法则推导（依据乘方的意义）： · 以为例，（3个2相乘），（5个2相乘），因此： · ，验证法则成立。 3. 法则的延伸与特殊情况 多个同底数幂相乘：法则可推广到3个及以上同底数幂相乘，即（、、均为正整数）。 · 示例：。 底数为多项式的情况：将多项式看作一个整体（即“整体思想”），仍适用法则。 · 示例：。 与10的幂结合（联系科学记数法）：若底数为10，相乘后可直接用科学记数法表示结果。 · 示例：。 二、常见易错知识 1. 底数不同时误用法则 错误表现：看到“幂相乘”就直接加指数，忽略“同底数”前提。 · 示例：错将计算为（错误，底数2≠3，不能用同底数幂法则）。 正确分析：底数不同的幂相乘，不能直接用“底数不变、指数相加”，需先判断底数是否相同，若不同，需先化简底数（如能化为相同底数则化简，否则直接保留原式或计算具体值）。 · 正确计算：。 2. 忽略指数为1的情况 错误表现：单独的字母（或数字）的指数是1，而非0，学生易遗漏指数1，导致计算错误。 · 示例：错将计算为（错误，，指数应为1）。 正确分析：当幂的指数为1时，通常省略不写，但计算时需补全指数1。 · 正确计算：。 3. 底数含负号时符号判断错误 错误表现：底数为负数时，未先确定底数的符号，直接套用法则，导致结果符号错误。 · 示例：错将计算为（错误，底数是，而非2）。 正确分析：底数为负数时，先观察底数的符号，再根据“负数的奇次幂为负，偶次幂为正”判断结果符号，同时保持底数不变、指数相加。 · 正确计算：（指数7是奇数，结果为负）。 4. 法则逆用不熟练 错误表现：只会正向用“”，不会逆用“”解决求值问题。 · 示例：已知，，求时，无法联想到逆用法则，导致无法求解。 正确分析：同底数幂法则的逆用是高频考点，需明确“指数相加”对应“幂相乘”。 · 正确计算：。 5. 混合运算中运算顺序错误 错误表现：在“同底数幂乘法+合并同类项”的混合运算中，先算加法，再算乘法，违背“先乘后加”的运算顺序。 · 示例：错将计算为（错误，运算顺序混乱）。 正确分析：混合运算需遵循“先算同底数幂乘法，再算加减（合并同类项）”的顺序。 · 正确计算：（先分别算乘法，再合并同类项）。 【知识结合练】 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方运算，利用积的乘方运算法则计算即可，掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．据报道，最新的人工智能助手在其发布后的前18天内下载量达到万次数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，进行解答即可． 【详解】解：万， 用科学记数法表示为． 故选：B． 3．的相反数是（   ） A．9 B． C．19 D． 【答案】B 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，相反数的含义，先计算，再求相反数即可. 【详解】解：∵， ∴的相反数是. 故选B 4．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的运算，积的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用乘方的定义得出，再利用积的乘方的逆运算法则计算即可． 【详解】解： , 故选：A． 5．若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方逆用，同底数幂的乘法逆用，根据幂的乘方逆用，同底数幂的乘法逆用运算法则进行求解即可，掌握幂的乘方和同底数幂的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 6．若，，则等于（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆运算，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解答本题的关键，特别注意运算过程中指数的变化规律，灵活运用法则的逆运算进行计算，培养学生的逆向思维意识． 根据同底数幂的乘法法则的逆运算变形后，把，代入即可求值． 【详解】解：∵，， ∴． 故选B． 7．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂乘除，合并同类项，积的乘方，根据同底数幂乘除，合并同类项，积的乘方运算法则逐一排除即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 8．已知，则的值为（   ） A．2 B．或1 C．或1或2 D．或2 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分情况讨论，第一种情况为时；第二种情况根据任何不等于0的数的0次幂都等于1可知且，即可得出答案． 【详解】解： 第一种情况：时， 解得， 第二种情况：且时，， 解得， 或时，， 故选：D． 二、填空题 9．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方，掌握是解题关键．根据幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 10．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先求出，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 11．计算：的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂相乘：底数不变，指数相加，熟练掌握运算法则是解题关键． 根据同底数幂乘法的运算法则计算即可得． 【详解】解：． 故答案为：． 12．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则进行计算即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：a． 13．已知，为正整数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂相乘和幂的乘方的逆用．解题关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则． 先逆向运用同底数幂的乘法法则，再逆用幂的乘方法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，，据此可得答案． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题 15．用科学记数法表示下列各数． (1)600400； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了把绝对值大于1的数用科学记数法表示，关键是确定n与a的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差． （1）按照科学记数法的要求表示即可； （2）按照科学记数法的要求表示即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 16．计算： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 【答案】(1) (2) (3) (4)9 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，熟记是解题的关键； （1）根据计算即可； （2）根据计算即可； （3）根据计算即可； （4）根据计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 17．计算下列各题． (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可； （2）先根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的混合运算，分别计算积的混合运算，幂的混合运算，然后早计算同底数幂的除法，最后再计算合并同类项． 【详解】解： ． 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除运算，掌握相关运算法则是解题关键． 根据同底数幂的乘除运算法则求解即可． 【详解】解： ． 20．已知，，求 (1)； (2)． 【答案】(1)241 (2)5400 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得； （2）先根据同底数幂乘法的逆用可得，再根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． 试卷第10页，共10页 试卷第9页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 幂的乘除 一、核心知识点 1. 同底数幂的定义 概念：形如（是底数，是正整数，且）的式子叫做幂；若两个幂的底数相同（底数可以是数字、字母，也可以是多项式），则这两个幂叫做同底数幂。 示例： 正确：与（底数都是）、与（底数都是）、与（底数都是多项式），均为同底数幂。 错误：与（底数分别是和，不同）、与（底数分别是和，不同），不是同底数幂。 2. 同底数幂的乘法法则 文字表述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 符号表示：对于任意底数（，若，则的正整数次幂为，需注意后续运算），以及正整数、，有： · 法则推导（依据乘方的意义）： · 以为例，（3个2相乘），（5个2相乘），因此： · ，验证法则成立。 3. 法则的延伸与特殊情况 多个同底数幂相乘：法则可推广到3个及以上同底数幂相乘，即（、、均为正整数）。 · 示例：。 底数为多项式的情况：将多项式看作一个整体（即“整体思想”），仍适用法则。 · 示例：。 与10的幂结合（联系科学记数法）：若底数为10，相乘后可直接用科学记数法表示结果。 · 示例：。 二、常见易错知识 1. 底数不同时误用法则 错误表现：看到“幂相乘”就直接加指数，忽略“同底数”前提。 · 示例：错将计算为（错误，底数2≠3，不能用同底数幂法则）。 正确分析：底数不同的幂相乘，不能直接用“底数不变、指数相加”，需先判断底数是否相同，若不同，需先化简底数（如能化为相同底数则化简，否则直接保留原式或计算具体值）。 · 正确计算：。 2. 忽略指数为1的情况 错误表现：单独的字母（或数字）的指数是1，而非0，学生易遗漏指数1，导致计算错误。 · 示例：错将计算为（错误，，指数应为1）。 正确分析：当幂的指数为1时，通常省略不写，但计算时需补全指数1。 · 正确计算：。 3. 底数含负号时符号判断错误 错误表现：底数为负数时，未先确定底数的符号，直接套用法则，导致结果符号错误。 · 示例：错将计算为（错误，底数是，而非2）。 正确分析：底数为负数时，先观察底数的符号，再根据“负数的奇次幂为负，偶次幂为正”判断结果符号，同时保持底数不变、指数相加。 · 正确计算：（指数7是奇数，结果为负）。 4. 法则逆用不熟练 错误表现：只会正向用“”，不会逆用“”解决求值问题。 · 示例：已知，，求时，无法联想到逆用法则，导致无法求解。 正确分析：同底数幂法则的逆用是高频考点，需明确“指数相加”对应“幂相乘”。 · 正确计算：。 5. 混合运算中运算顺序错误 错误表现：在“同底数幂乘法+合并同类项”的混合运算中，先算加法，再算乘法，违背“先乘后加”的运算顺序。 · 示例：错将计算为（错误，运算顺序混乱）。 正确分析：混合运算需遵循“先算同底数幂乘法，再算加减（合并同类项）”的顺序。 · 正确计算：（先分别算乘法，再合并同类项）。 【知识结合练】 一、单选题 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．据报道，最新的人工智能助手在其发布后的前18天内下载量达到万次数据万用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．的相反数是（   ） A．9 B． C．19 D． 4．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 5．若，，则等于（　　） A． B． C． D． 6．若，，则等于（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 7．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 8．已知，则的值为（   ） A．2 B．或1 C．或1或2 D．或2 二、填空题 9．计算： ． 10．若，则的值为 ． 11．计算：的结果是 ． 12．计算： ． 13．已知，为正整数，则 ． 14．已知，，，试比较a，b，c的大小，用“>”将它们连接起来： ． 三、解答题 15．用科学记数法表示下列各数． (1)600400； (2)． 16．计算： (1)___________； (2)___________； (3)___________； (4)___________． 17．计算下列各题． (1)； (2)； 18．计算： 19．计算：． 20．已知，，求 (1)； (2)． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $